工程制圖第一章幾何元素間的相對關(guān)系

1、1.4 直線與平面、平面與平面的相對關(guān)系直線與平面、平面與平面的相對關(guān)系基本要求基本要求（四）點、線、面綜合題（四）點、線、面綜合題 1熟練掌握點、線、面的基本作圖方法；熟練掌握點、線、面的基本作圖方法； 2能對一般畫法幾何綜合題進行空間分析，了解綜合題的一般解題能對一般畫法幾何綜合題進行空間分析，了解綜合題的一般解題步驟和方法。步驟和方法。（一）平行問題（一）平行問題 1熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件；熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件； 2熟練掌握線、面平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。熟練掌握線、面平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。（二）相交問題（二）相交問題 1熟練掌握

2、特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性）交點的求法和作兩個面的交線（其中一平面的投影具有積聚性）。）交點的求法和作兩個面的交線（其中一平面的投影具有積聚性）。 2熟練掌握一般位置線、面相交求交點的方法；掌握一般位置面、面熟練掌握一般位置線、面相交求交點的方法；掌握一般位置面、面相交求交線的作圖方法。相交求交線的作圖方法。 3掌握利用重影點判別投影可見性的方法。掌握利用重影點判別投影可見性的方法。（三）垂直問題（三）垂直問題 掌握線面垂直、面面垂直的投影特性及作圖方法掌握線面垂直、面面垂直的投影特性及作圖方法。1.4.1 平行

3、問題平行問題幾何條件幾何條件 若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與該平面平行。直線與該平面平行。有關(guān)線、面平行的作圖問題有：有關(guān)線、面平行的作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直線判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。一、直線與平面相互平行一、直線與平面相互平行 若一直線平行于屬于定平面內(nèi)的一直線，則該直線與平面平若一直線平行于屬于定平面內(nèi)的一直線，則該直線與平面平行。行。 例題例題1 試判斷直線試判斷直線AB是否平行于定平面是否平行于

4、定平面 fgfg結(jié)論：直線結(jié)論：直線ABAB不平行于定平面不平行于定平面 例題例題2 試過點試過點K作水平線作水平線AB平行于平行于CDE平面平面 baaffb 例題例題3 過點過點C C作平面平行于已知直線作平面平行于已知直線ABAB。deabaoxcced幾何條件幾何條件 若一個平面內(nèi)的相交二直線與另一個平面內(nèi)的相交若一個平面內(nèi)的相交二直線與另一個平面內(nèi)的相交二直線對應(yīng)平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依二直線對應(yīng)平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依據(jù)。據(jù)。兩平面平行的作圖問題有：兩平面平行的作圖問題有：判別兩已知平面是否相互平行；過判別兩已知平面是否相互平行；過一點作一平

5、面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一一點作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的所缺投影。平面的所缺投影。二、平面與平面相互平行二、平面與平面相互平行 若屬于一平面的相交兩直線對應(yīng)平行于屬于另一平面若屬于一平面的相交兩直線對應(yīng)平行于屬于另一平面的相交兩直線，則此兩平面平行的相交兩直線，則此兩平面平行EFDACB因為：因為：ABAABA1 1B B1 1，BCBBCB1 1C C1 1，所以：平面所以：平面ABCABC和平面和平面A A1 1B B1 1C C1 1相平行相平行 例題例題4 試判斷兩平面是否平行試判斷兩平面是否平行mnmnrrss結(jié)論：兩平面平行結(jié)論：兩平

6、面平行 例題例題5 過過K K點作一平面，使其與平面點作一平面，使其與平面ABCABC平行平行解：只要過解：只要過K K點作兩條相交直線分別平行于點作兩條相交直線分別平行于ABCABC的兩條邊，則的兩條邊，則這兩條相交直線所確定的平面就是所求平面這兩條相交直線所確定的平面就是所求平面abXOkbackceeff 例題例題6 已知定平面由平行兩直線已知定平面由平行兩直線AB和和CD給定。試過給定。試過 點點K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面 。emnmnfefsrsrkk 例題例題7 試判斷兩平面是否平行。試判斷兩平面是否平行。結(jié)論：因為結(jié)論：因為PH平行平行SH，所以兩平面平行，所

7、以兩平面平行1.4.2 相交問題相交問題一、一、特殊位置線面相交特殊位置線面相交二、二、一般位置平面與特殊位置平面相交一般位置平面與特殊位置平面相交三、三、直線與一般位置平面相交直線與一般位置平面相交四、四、兩一般位置平面相交兩一般位置平面相交直線與平面相交只有一個交點直線與平面相交只有一個交點直線與平面相交只有一個交點，它是直線與平面的共有點。直線與平面相交只有一個交點，它是直線與平面的共有點。BKAM兩平面的交線是直線兩平面的交線是直線兩平面的交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有兩平面的交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有FKNL一、特殊位置線面相交一、特殊位置線面相交直線與特殊位置平

8、面相交直線與特殊位置平面相交判斷直線的可見性判斷直線的可見性特殊位置直線與一般位置平面相交特殊位置直線與一般位置平面相交bbaaccmmnn直線與特殊位置平面相交直線與特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某個投影有積聚性由于特殊位置平面的某個投影有積聚性，交點可直接求出。交點可直接求出。kk判斷直線的可見性判斷直線的可見性bbaaccmmnkkn特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。線的可見性。 例題例題8 求直線求直線MNMN與平面與平面ABCABC的交點的交點K K并判別可見性。并判別可見性。aXOabmbnccm

9、nkk1 212( )特殊位置直線與平面相交特殊位置直線與平面相交( )求鉛垂線求鉛垂線EFEF與一般位置平面與一般位置平面ABCABC的交點并判別其可見性。的交點并判別其可見性。k21k21 例題例題9 求直線求直線MNMN與平面與平面ABCABC的交點的交點K K并判別可見性。并判別可見性。ee1 221( )kkXOcbanmcbmna二、一般位置平面與特殊位置平面相交二、一般位置平面與特殊位置平面相交 求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題，由于特殊位置平面的某個投影有積聚性，交問題，由于特殊位置平面的某個投影有積聚性，交線可直接求出。

10、線可直接求出。一般位置平面與特殊位置平面相交一般位置平面與特殊位置平面相交判斷平面的可見性判斷平面的可見性一般位置平面與特殊位置平面相交一般位置平面與特殊位置平面相交nlmmlnbaccabfkfkMmnlPBCacbPHAFKNLkf判斷平面的可見性判斷平面的可見性判斷平面的可見性判斷平面的可見性abcmnlabcmnlfkfk求交線并判斷可見性求交線并判斷可見性defdefabcacbkmkm1 221( )abcd ge fabcdefg1 221( )求交線并判斷可見性求交線并判斷可見性kllk三、直線與一般位置平面相交三、直線與一般位置平面相交以正垂面為輔助平面求線面交點以正垂面為輔

11、助平面求線面交點 示意圖示意圖以鉛垂面為輔助平面求線面交點以鉛垂面為輔助平面求線面交點 示意圖示意圖判別可見性判別可見性 示意圖示意圖12以正垂面為輔助平面求線面交點以正垂面為輔助平面求線面交點QV21kk步驟：步驟：1過過EF作正作正垂平面垂平面Q。2求求Q平面與平面與ABC的交線的交線。3求交線求交線與與EF的交的交點點K。示意圖ABCQ過過MN作正垂面作正垂面QMN以正垂面為輔助平面求線面交點以正垂面為輔助平面求線面交點 示意圖示意圖12以鉛垂面為輔助平面求線面交點。以鉛垂面為輔助平面求線面交點。PH1步驟：步驟：1過過EF作鉛作鉛垂平面垂平面P。2求求P平面與平面與ABC的交線的交線。

12、3求交線求交線與與EF的交的交點點K。kk2 示意圖CAB過過MN作鉛垂面作鉛垂面PNMPEFK以鉛垂面為輔助平面求線面交點以鉛垂面為輔助平面求線面交點 示意圖示意圖fee直線直線EF與與 ABC相交，判別可見性。相交，判別可見性。利利用用重重影影點點判判別別可可見見性性1243（ ）kk34示意圖( )21直線直線EF與平面與平面ABC相交，判別可見性示意圖相交，判別可見性示意圖1 (2)(4)3利利用用重重影影點。點。判判別別可可見見性性四、兩一般位置平面相交四、兩一般位置平面相交 求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題題, 因而可利用求

13、一般位置線面交點的方法找出交線因而可利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。兩一般位置平面相交兩一般位置平面相交求交線求交線 示意圖示意圖判別可見性判別可見性例題例題6 6 兩一般位置兩一般位置平面相交，平面相交，求交線步驟：求交線步驟：1用求直線用求直線與平面交點與平面交點的方法，作的方法，作出兩平面的出兩平面的兩個共有點兩個共有點K、E。求兩平面的交線求兩平面的交線llnmmnPVQV1221kkee2連接兩個連接兩個共有點，畫共有點，畫出交線出交線KE。示意圖兩一般位置平面相交求交線的方法兩一般位置平面相交求交線的方

14、法 示意圖示意圖 利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。連線即為兩平面的交線。MBCAFKNL利利用用重重影影點點判判別別可可見見性性兩平面相交，判別可見性兩平面相交，判別可見性3 4 ( )3 4 21( )1 2abcgfedabecdfgPVQVmn1 212( )3434( )mn求交線并判斷可見性求交線并判斷可見性 例題例題10 試過試過K點作一直線平行于已知平面點作一直線平行于已知平面ABC，并與直線并與直線EF相交相交 。分析分析 過已知點過已知點K作平面作平面P平行平行于于ABC；直線；直線

15、EF與平面與平面P交于交于H；連接連接KH，KH即為所求。即為所求。FPEKH作圖作圖mnhhnmPV11221. 過點過點K作平面作平面KMN/ ABC平平面。面。2. 求直線求直線EF與與平面平面KMN的交的交點點H 。3. 連接連接KH，KH即為所求。即為所求。 例題例題11 試過試過A點作一直線與兩已知直線點作一直線與兩已知直線BC及及EF相相交交 。cbaeffecbakkll1.4.3 垂直問題垂直問題一、直線與平面相互垂直一、直線與平面相互垂直二、直線與直線相互垂直二、直線與直線相互垂直三、平面與平面相互垂直三、平面與平面相互垂直一、直線與平面垂直一、直線與平面垂直 直線與平面垂

16、直，則直線垂直于平面上的任意直線與平面垂直，則直線垂直于平面上的任意直線（相交或不相交）。反之，直線垂直平面直線（相交或不相交）。反之，直線垂直平面上的任意兩相交直線，則直線垂直該平面。上的任意兩相交直線，則直線垂直該平面。直線與平面垂直的幾何條件：直線與平面垂直的幾何條件：若一直線垂直于一平面，則必垂若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。直于屬于該平面的一切直線。定理定理1 若一直線垂直于一平面，則直線的水平投影必垂直于屬若一直線垂直于一平面，則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于

17、該平面的正平線的正面投影。該平面的正平線的正面投影。klkl定理定理2（逆）（逆） 若一直線的水平投影垂直于屬于平面的水平線若一直線的水平投影垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影，則直線必垂直于該平面。面投影，則直線必垂直于該平面。 例題例題12 平面由平面由BDF給定，試過定點給定，試過定點K作平面的法線。作平面的法線。acacnnkkh 例題例題13 試過定點試過定點K作特殊位置平面的法線。作特殊位置平面的法線。hhhhh（a）（c）（b） 例題例題14 平面由兩平行線平面由兩平行線AB、CD給

18、定，試判斷直線給定，試判斷直線MN是否是否垂直于該平面。垂直于該平面。efef例：求例：求C C點到直線點到直線ABAB的距離。的距離。二、直線與直線垂直二、直線與直線垂直分析：分析：求求C C點到直線點到直線ABAB的距離實際上就是過的距離實際上就是過C C點作線段垂直相點作線段垂直相交于交于ABAB，然后求出線段的實長。，然后求出線段的實長。ababcc 例題例題15 試過定點試過定點A作直線與已知直線作直線與已知直線EF正交。正交。EQ過已知點過已知點A A作平面垂直于已知直線作平面垂直于已知直線EFEF，并交于點，并交于點K K，連接，連接AKAK，AKAK即為所求。即為所求。FAK分

19、析分析作圖作圖21aefafe1221PV12kk兩平面垂直的幾何條件：兩平面垂直的幾何條件：若一直線垂直于一定平面，則包含若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。這條直線的所有平面都垂直于該平面。AD三、平面與平面垂直三、平面與平面垂直反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個平面的任意一點向反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個平面的任意一點向第二個平面作的垂線必屬于第一個平面。第二個平面作的垂線必屬于第一個平面。兩平面垂直兩平面不垂直繪制相互垂直平面的兩種方法：繪制相互垂直平面的兩種方法：1、使平面、使平面Q經(jīng)過垂直于平面經(jīng)過垂直于平面P的直線的直線AB；2、使平面、使平

20、面Q垂直于平面垂直于平面P上的直線上的直線CD；g 例題例題16 平面由平面由BDF給定，試過定點給定，試過定點K作已知平面的垂面。作已知平面的垂面。hacachg 例題例題17 試判斷試判斷 ABC與相交兩直線與相交兩直線KG和和KH所給定的平面是否所給定的平面是否 垂直。垂直。ffdd結(jié)論：因為結(jié)論：因為AD直線不在直線不在 ABC平面上，所以兩平面不垂直。平面上，所以兩平面不垂直。 例題例題18 試過點試過點K作直線，使其同時垂直于兩交叉直線作直線，使其同時垂直于兩交叉直線AB、CD。bakdcdckabeehh 例題例題19 過直線過直線AB上一點上一點A作一直線垂直于作一直線垂直于AB，并與，并與DE相交。相交。abdeedabQV1122kk1.4.4 平面上的最大斜度線平面上的最大斜度線1 1平面上的投影面最大斜度線平面上的投影面最大斜度線平面上對某個投影面傾角平面上對某個投影面傾角最大的直線。它與投