仁榮中學研究性學習課題黃金數(shù)的應用結題材料

1、仁榮中學高中數(shù)學研究性學習課題黃金數(shù)的應用材料匯編2009.11指導老師：閆金虎 徐旅飛參與教師：劉容玲 李書博 金海英 開題報告研究課題名稱：黃金數(shù)的應用課題組成成員閆金虎 徐旅飛 劉容玲 李書博 金海英高二年級數(shù)學研究性學習小組成員（學生共24人）1、 課題研究背景說明（怎么會想到本課題的）：我們數(shù)學、物理、化學、生物及美學中都存在很多的最好、最優(yōu)化的問題，如何實現(xiàn)最優(yōu)化從而達到我們的要求，使得我們的在各方面都能取得很好的成績？2、研究課題的目的和意義（為什么要進行本課題的研究）：應用廣泛，如：在藝術、生活中、建筑、及生物學等等各個學科中都有很廣泛的應用。3、課題介紹 這是公元前六世紀古希

2、臘數(shù)學家畢達哥拉斯所發(fā)現(xiàn)的。一天，畢達哥拉斯從一家鐵匠鋪路過，被鋪子中那有節(jié)奏的叮叮當當?shù)拇蜩F聲所吸引，便停下來仔細聆聽，似乎這聲音中隱匿著什么秘密。他走進作坊，拿出一把尺量了一下鐵錘和鐵砧的尺寸，發(fā)現(xiàn)它們之間存在著一種十分和諧的關系?；氐郊依铮呥_哥拉斯拿出一根線，想將它分為兩段。怎樣分才最好呢？經(jīng)過反復比較，他最后確定1：0.618的比例截斷最優(yōu)美。預期結果：在這次研究性學習中，我們組成員互相合作，共同完成了這一課題研究。從中我們了解到黃金數(shù)不僅僅是那簡簡單單的一串數(shù)字，它在美術、建筑甚至是人的飲食都可以起到作用。那些世界建筑大師設計的作品中常常會用到黃金數(shù)的知識。在研究中，當然也會遇到各

3、種無法預料的問題：剛開始，大家對于黃金數(shù)的知識都很缺乏，只是帶著一份好奇去探詢其中的奧秘；而且黃金數(shù)的資料學校圖書館比較缺乏，網(wǎng)上資料又是十分雜亂，對于信息需要篩選，留下對課題研究有用的部分。在學習大量資料以后，我們漸漸了解了黃金數(shù)，我們驚奇地發(fā)現(xiàn)小小的“黃金數(shù)”竟然有這么多神奇的應用！既然知道了，我們就更應該在生活中使用黃金數(shù)，美化生活。研究性學習活動記錄（一）課題題目黃金數(shù)的應用活動時間11月3日活動地點學校化學實驗室參加成員研究小組全體成員及指導老師活動內容目的制定研究計劃，明確任務分工。形式集中討論過程指導老師向各位成員介紹本研究性課題開展的目的、完成時間及預期成果，組織成員商討研究計

4、劃與任務分工。結果計劃：通過親身體驗、用心調查、全面收集、認真分析和探究實踐的方法，到達研究目的。步驟：1、到學校圖書館、縣圖書館、各大書店查看和翻閱有用資料，并做記錄。2、通過各種途徑收集關于黃金數(shù)的信息（電視、雜志、網(wǎng)絡等）并作記錄。3、撰寫開題報告。4、小組成員細讀收集到的相關文獻資料，并對收集到的關于黃金數(shù)的信息進行分門別類5、對研究成果形成報告，寫出個人的小結與反思。指導教師的建議和幫助計劃要切實可行，任務分工要合理、均衡。研究性學習活動記錄（二）課題題目黃金數(shù)的應用活動時間11月7日活動地點學?；瘜W實驗室參加成員研究小組全體成員及指導老師活動內容目的搜集資料形式查閱、搜集、匯總過程

5、從圖書館查閱黃金數(shù)的相關知識，從網(wǎng)絡搜集經(jīng)典的實例，并對搜集的資料進行記錄和匯總。結果1、 老師提示平時生活中的黃金數(shù)，學生從圖書館查閱到相關知識。2、 在網(wǎng)絡上搜集到較多典例，了解常見的黃金數(shù)的信息。3、 討論相關資料的價值，明確下次活動的方向。指導教師的建議和幫助查閱資料要用心，區(qū)分有無價值，記錄要簡明扼要。研究性學習活動記錄（三）課題題目黃金數(shù)的應用活動時間11月10日活動地點學?；瘜W實驗室參加成員研究小組全體成員及指導老師活動內容目的搜集資料形式查閱、搜集、匯總過程通過對各個行業(yè)中黃金數(shù)的應用實例、搜集的資料進行記錄和匯總。結果1、 進一步了解了黃金數(shù)相關知識。2、 搜集了豐富的黃金數(shù)

6、應用實例。3、 互相交流，說出各自心得。指導教師的建議和幫助調查要用心，區(qū)分有無價值，記錄要簡明扼要。研究性學習活動記錄（四）課題題目黃金數(shù)的應用活動時間11月14日活動地點學?；瘜W實驗室參加成員研究小組全體成員及指導老師活動內容目的訪問學生或者老師，并記錄情況。形式討論交流，合作探究過程匯總收集到的相關資料，全組成員參與分類整理，并討論交流。結果1、 對同學及少數(shù)老師進行了訪問2、 更深層的了解了黃金數(shù)。指導教師的建議和幫助分工合作，要有條理的進行。分析要深入，對黃金數(shù)有個深刻認識。研究性學習活動記錄（五）課題題目黃金數(shù)的應用活動時間11月19日活動地點學?；瘜W實驗室參加成員研究小組全體成員

7、及指導老師活動內容目的帶著收集的資料及總結出來的問題生物教師和物理、化學教師。形式匯報總結、交流反思過程各位成員一起去聽取各位老師提出的問題，研究小組組長長進行匯報、總結結果1 黃金數(shù)在各個學科中都有很廣泛的應用。2 黃金數(shù)在各個學科中的應用也具有很重要的意義。指導教師的建議和幫助結論要記住，同時要有自己真實的體會和感受，對今后的學習和生活有作用，學會學以致用。研究性學習活動記錄（六）課題題目黃金數(shù)的應用活動時間11月23日活動地點學?；瘜W實驗室參加成員研究小組全體成員及指導老師活動內容目的各小組成員進行反思、總結，并和大家交流形式匯報總結、交流反思過程各位成員對這次研究性學習進行總結，將自己

8、的心得體會說出來一起交流結果1、 應用廣泛。2、 具有重要的應用價值和意義。指導教師的建議和幫助學會學以致用。研究性學習活動記錄（七）課題題目黃金數(shù)的應用活動時間11月27日活動地點學?；瘜W實驗室參加成員研究小組全體成員及指導老師活動內容目的每個成員負責交一份個人小結或者心得體會，負責結題報告的同學要寫結題報告，組長負責收集并整理形式個人獨立完成過程每位成員借鑒別人的格式認真書寫結果1、 每位成員上交一份小結2、 組員負責與老師一起整理指導教師的建議和幫助改正錯的，發(fā)揚對的，學會學以致用。黃金數(shù)的應用研究性學習結題論文一、黃金數(shù)的“歷史”這是公元前六世紀古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯所發(fā)現(xiàn)的。一天，畢

9、達哥拉斯從一家鐵匠鋪路過，被鋪子中那有節(jié)奏的叮叮當當?shù)拇蜩F聲所吸引，便停下來仔細聆聽，似乎這聲音中隱匿著什么秘密。他走進作坊，拿出一把尺量了一下鐵錘和鐵砧的尺寸，發(fā)現(xiàn)它們之間存在著一種十分和諧的關系。回到家里，畢達哥拉斯拿出一根線，想將它分為兩段。怎樣分才最好呢？經(jīng)過反復比較，他最后確定1：0.618的比例截斷最優(yōu)美。后來古希臘美學家柏拉圖將這一比例稱為黃金分割律。這個規(guī)律意思是，整體與較大部分之比等于較大部分與較小部分之比。也就是說較大部分的平方等于整體與較小部分的乘積。如圖所示：0.618在數(shù)學中叫黃金比值，又稱黃金數(shù)。這是意大利著名畫家達.芬奇給它的美稱。其實數(shù)學上有許多幾何圖形蘊涵了黃

10、金比，如五角星等。代數(shù)上也有許多黃金數(shù)的知識，其中最有名的裴波那契數(shù)列，也就是1，1，3，5，8，13，21，34，55，89，或許大家要問這里面沒有黃金數(shù)啊，其實如果用前一項比后一項，它的比值將會在0.618上下波動。 ， ， ， ， ， ， ， ，如果你有興趣還可以算下去，最后你還會得到一個數(shù)，一個無限接近于黃金數(shù)的比值，不信你可以試一試。二、黃金數(shù)的廣泛應用1、藝術中的黃金數(shù)“0.618"，這個比值因具有美學價值而被古希臘美學家運用到造型藝術中，因為凡符合黃金分割律的形體總是最美的形體。在美術史上曾經(jīng)把它作為經(jīng)典法則來應用。有許多美術家運用它創(chuàng)造了不少不朽的著名。例如達

11、3;芬奇的蒙娜麗莎、拉斐爾筆下溫和俊秀的圣母像，都有意無意地用上了這個比值。黃金分割對攝影畫面構圖可以說有著自然聯(lián)系。例如照相機的片窗比例：135相機就是24X36即2:3的比例，這是很典型的。只要我們翻開影集看一看，就會發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)的畫幅形式，都是近似這個比例。2、飲食、生活作息中的黃金數(shù)：“黃金分割”的比值為0.618，它不僅是美學造型方面常用的一個比值，也是一個飲食參數(shù)。日本人的平均壽命多年來穩(wěn)居世界首位，合理的膳食是一個主要因素。在他們的膳食中，谷物、素菜、優(yōu)質蛋白、堿性食物所占的比例基本上達到了黃金分割的比值。醫(yī)學專家分析后還發(fā)現(xiàn)，飯吃六七成飽的人幾乎不生胃病。還有喝5杯水。人體內的

12、水分占體重的61.8，不計出汗，每天失去和需要補充的水達2500毫升。其中半固體食物供給的水和人體內部合成的水約1500毫升，大約占61.8。其余1000毫升需要補充，才能保持水平衡。因此，每人一天要喝5杯水。一天合理的生活作息也應該符合黃金分割，24小時中，2/3時間是工作與生活，1/3時間是休息與睡眠；在動與靜的關系上，究竟是“生命在于運動”，還是“生命在于靜養(yǎng)”？從辯證觀和大量的生活實踐證明，動與靜的關系同一天休息與工作的比例一樣，動四分，靜六分，才是最佳的保健之道。掌握與運用好黃金分割，可使人體節(jié)約能耗，延緩衰老，提高生命質量。 3、植物中的黃金數(shù)植物葉子，千姿百態(tài)，生機盎然，給大自然

13、帶來了美麗的綠色世界（如下圖）。  盡管葉子形狀隨種而異，但它在莖上的排列順序(稱為葉序)，卻是極有規(guī)律的。你從植物莖的頂端向下看，經(jīng)細心觀察，發(fā)現(xiàn)上下層中相鄰的兩片葉子之間約成1375 O。如果每層葉子只畫一片來代表，第一層和第二層的相鄰兩葉之間的角度差約是1375 O ，以后二到三層，三到四層，四到五層兩葉之間都成這個角度數(shù)。植物學家經(jīng)過計算表明：這個角度對葉子的采光、通風都是最佳的。葉子的排布，多么精巧！葉子間的1375 O 中，藏有什么“密碼”呢？我們知道，一周是360 O  ，360 O

14、0; 137.5 O  =222.5 O  ，137.5 O  :222.5 O  0.618。瞧，這就是“密碼”!葉子的精巧而神奇的排布中，竟然隱藏著0.618。有些植物的花瓣及主干上枝條的生長，也是符合這個規(guī)律的。 4、建筑中的黃金數(shù)世界上最有名的建筑物中幾乎都包含“黃金分割比”。遍布全球的眾多優(yōu)秀近現(xiàn)代建筑，盡管其風格各異，但在構圖布局設計方面, 都有意無意地運用了黃金分割的法則, 給人以整體上的和諧與悅目之美。舉世聞名的巴特農神廟也是這樣一個例子，神廟外部呈長方形，長228英尺，寬101英尺，有4

15、6根多立克式環(huán)列圓柱構成柱廊。文明古國埃及的金字塔，形似方錐，大小各異。但這些金字塔底面的邊長與高之比都接近于0.618，在現(xiàn)代建筑中，一些摩天建筑中使用“黃金分割點”進行處理，能使平直單調的塔身變得豐富多彩；在這類高層建筑物的黃金分割處布置腰線或裝飾物，則可使整個樓群顯得雄偉雅致。如舉世聞名的法國巴黎埃菲爾鐵塔、當今世界最高建筑之一的加拿大多倫多電視塔（553.33米），都是根據(jù)黃金分割的原則來建造的。上海的東方明珠廣播電視塔，塔身高達468米。為了美化塔身，設計師巧妙地在上面裝置了晶瑩耀眼的上球體、下球體和太空艙，既可供游人登高俯瞰地面景色，又使筆直的塔身有了曲線變化。更妙的是，上球體所選

16、的位置在塔身總高度58的地方，即從上球體到塔頂?shù)木嚯x，同上球體到地面的距離大約是58這一符合黃金分割之比的安排，使塔體挺拔秀美，具有審美效果。三、開展生活中實際調查的研究及成果經(jīng)過我們的討論,我們覺得應該自己去尋找生活中的黃金數(shù)。1、下面就是我們實地測量結果的統(tǒng)計表格,從中我們發(fā)現(xiàn)其實黃金數(shù)就在我們的身邊。只要稍微留心一下便可發(fā)現(xiàn)它離我們的生活有多近！在生活中，只要我們善于觀察，善于思考，將所學的知識與生活結合起來將會感到數(shù)學的樂趣，生活中處處都應用著數(shù)學的知識。物   品寬(cm)長(cm)比值教室墻體磚塊18290.621一片葉子0.91040.6428學生證6.110

17、0.61校園雕像51830.614課桌40650.615 2、在實地調查、相關問題的訪問、同學們之間互相交流討論后，我們從中獲得了不少的生活小知識。如（1）、報幕員應站在舞臺的什么地方報幕最佳？答：根據(jù)黃金分割，應站在舞臺寬度的0.618處以站在舞臺長度的黃金分割點的位置最美觀，聲音傳播得最好。（2）、假如您打算買臺25寸的國產彩色電視機，要想物美價廉，最佳價位是多少？答：如上所述，要想確定最佳價格，我們得知道同一品牌的最高價與最低價，然后根椐公式：（最高價位最低價位）×0.618最低價位最佳價位。以下是我們的調查結果名 牌高檔的價格(元)低檔的價格(元)最佳的價格(元)長

18、虹彩電135012801320創(chuàng)維彩電129511001221（3）、請問在夏季，人們?yōu)槭裁锤裢饬魬俅禾斓母杏X？答：人在春季感到舒暢，那是因為這時的環(huán)境溫度正好在22至24攝氏度之間，而這種氣溫與人的正常體溫37攝氏度正呈現(xiàn)微妙之處：人的正常體溫37攝氏度與0618的乘積為228攝氏度，人在這一環(huán)境溫度中，機體的新陳代謝、生理活動均處于最佳狀態(tài)。四、問題與建設在這次研究性學習中，我們組成員互相合作，共同完成了這一課題研究。從中我們了解到黃金數(shù)不僅僅是那簡簡單單的一串數(shù)字，它在美術、建筑甚至是人的飲食都可以起到作用。那些世界建筑大師設計的作品中常常會用到黃金數(shù)的知識。在研究中，當然也會遇到各種無

19、法預料的問題：剛開始，大家對于黃金數(shù)的知識都很缺乏，只是帶著一份好奇去探詢其中的奧秘；而且黃金數(shù)的資料學校圖書館比較缺乏，網(wǎng)上資料又是十分雜亂，對于信息需要篩選，留下對課題研究有用的部分。在學習大量資料以后，我們漸漸了解了黃金數(shù)，我們驚奇地發(fā)現(xiàn)小小的“黃金數(shù)”竟然有這么多神奇的應用！既然知道了，我們就更應該在生活中使用黃金數(shù)，美化生活。 附件：1黃 金 數(shù) 的 感 受黃金分割在生活中非常常見，許許多多的建筑物都是利用了黃金分割。為了使建筑物更美觀、更協(xié)調，工程師們就想到了黃金分割，因為利用黃金分割的建筑物給人的視覺效果最佳。黃金分割在每家每戶都用得到，如門窗、磁磚、長方桌、電冰箱是多如牛毛，數(shù)

20、也數(shù)也不清。黃金分割也給人們帶來了許多方便。人們如果想知道一棵樹若干年后樹枝數(shù)目，利用黃金分割來計算（n年后樹枝數(shù)目/n+1年后的樹枝數(shù)目）大約等于0.618這個黃金數(shù)。生活中像雕塑、名畫等許許多多看起來那么勻稱、美感，就是因為它運用了黃金分割的原理。最初聽到黃金分割數(shù)的時候，我們并不知道它會和生活聯(lián)系在一起，而且聯(lián)系很緊密。當我們在了解它的時候，大家都覺得很奇怪，黃金分割難道是用黃金來分的嗎？了解之后才明白，黃金分割并不是很難。黃金分割早在公元前6世紀就已被研究出來，一直廣泛應用到今天甚至未來，黃金分割還是一個古老的教學方法。各種神奇的作用和魔力，在實際中往往發(fā)揮出我們意想不到的作用，甚至連

21、飲食參數(shù)、睡眠時間都有0.618的存在，我們真的是越來越感到不可思議。黃金分割真的是太神圣了，怪不得德國天文學家開普勒稱黃金分割為神圣分割，我們真的是介紹不完黃金分割。在做完這次課題之后，我們更加了解了黃金分割，它與生活的關系、與人類的關系、與大自然的關系，它真的無處不在，黃金分割真的是太神秘了，也太神圣了。事實印證著一句格言：生活中不是缺少美（0.618），而是缺少發(fā)現(xiàn)。附件2 小組成員感言：在研究過程中，我們分工合作，在操作電腦有困難時及時向他人請教。很感謝這次研究活動，它不僅讓我開拓了視野，還增長了我們的計算機知識，豐富了我們的業(yè)余生活。更重要的是，它讓我們堅信：“團結就是力量”。黃金分

22、割，能讓我在買東西時，知道同一種物品的最佳價位，這樣真正做到了物美價廉，而且我也成為我家的購物顧問了。做完這次活動，感覺和同學們的心貼近了，以前無非是碰頭打個招呼，收作業(yè)和一些必要的談話，而現(xiàn)在，大家都互相有了更近一步的了解，這些天我們都在討論著同樣的話題，形影不離，好像姐妹一樣。（1）通過這次的活動，我感受到黃金分割就在我們的身邊，原本搞不懂的例子，現(xiàn)在通過黃金分割一算，一下子就茅塞頓開，這使我感到很高興，原來數(shù)學離我們很近，我們無時無刻地在應用著它?。?）還有，它使我們懂得了要了解一個知識，要從不同的角度去探索觀察。同時，也學會了將以前所學過的知識進行靈活運用。飲食也講究“黃金分割”“黃金

23、分割”的比值為0.618，它不僅是美學造型方面常用的一個比值，也是一個飲食參數(shù)。日本人的平均壽命多年來穩(wěn)居世界首位，合理的膳食是一個主要的因素。在他們的膳食中，谷物、素菜、優(yōu)質蛋白、堿性食物所在的比例基本上達到了黃金分割的比值。 人體的消化道長9米。它的61.8%約為5.5米，是承擔消化吸收任務的小腸的長度。人類是雜食動物，最適合消化以素為主的混合膳食。 谷物為主     當膳食中的碳水化合物（主要是谷物中的淀粉）的供熱量占總熱量的61.8%時，才能滿足人體對熱量的需求。因此，專家建議人們應吃以谷物為主的膳食。 喝5杯水 人體內的水分站體重的61.8%，

24、不計出汗，每天失去和需要補充的水達2500毫升。其中半固體食物供給的水和人體內部合成的水約1500毫升，大約占61.8%。其余1000毫升需要補充，才能保持水平衡。因此每人一天要喝5杯水。 吃優(yōu)質蛋白蛋白質是人體含量最多的有機物質，由20種氨基酸組成，“20”的61.8%即12種氨基酸為人體自行合成，另外8種氨基酸必須由食物供給。由于谷物中的蛋白質品質比較查，因此，為了保證蛋白質的攝入，膳食中優(yōu)質蛋白質的供給量應達到31.8%。優(yōu)質蛋白質主要存在于動物性食物和豆類食物中。動植物油兼吃植物油和動物油脂肪各有其生理功效，植物油與動物油脂肪的攝入比例也符合黃金分割的比值。酸堿平衡米、面、肉、蛋、油、

25、糖、酒屬于酸性食物，進食過多會使血液偏酸，導致酸性體質，使免疫能力下降，容易患病。根據(jù)統(tǒng)計，有61.8%的疾病緣于酸性體質。所以，應該多吃一些堿性的食物，使血液保持正常的微堿性。堿性食物主要有海帶，食用菌、蔬菜和水果，進食量應占膳食總量的61.8%。黃金分割菲波那齊是13世紀意大利數(shù)學家，他于1228年提出一個兔子繁殖數(shù)問題：“如果有一對小兔，兩個月后就能生，每月生一對，生下來的小兔也是如此，如果都不死，一年以后有多少對？”打從那以后，人們越來越注意這個數(shù)學題的奇妙答案：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89這便是奇妙的菲波那齊數(shù)列。這個整數(shù)列有三個特點：（1）任何相鄰兩個數(shù)，其

26、第一個數(shù)與第二個數(shù)的比值約等于0.618，相鄰兩個數(shù)的位置越靠后，比值越接近，稱為黃金比率。（2）任何相鄰三個數(shù)，其中前兩個數(shù)之和等于第三個數(shù)，如1+2=3，2+3=5，3+5=8，依此類推。（3）任何相鄰三個數(shù)，其中第一個數(shù)和第三個數(shù)的乘積與第二個數(shù)的平方相差1。從自然界到日常生活處處都存在菲波那齊數(shù)列，存在黃金比率。某些花的花瓣數(shù)是菲波那齊數(shù)：水仙花3瓣，金鳳花5瓣，翠雀花8瓣，金盞花13瓣，紫苑花21瓣，雛菊花34，55或89瓣，向日葵的花盤上面有21個順時針旋形與34個逆時針旋形；在動物中還可以發(fā)現(xiàn)一些軟體動物的甲殼花紋、昆蟲翅膀對的數(shù)目在一定程度上符合這個數(shù)列；一些無機物質的原子排列

27、、分子的締合形式也與這個數(shù)列接近。人體最理想的比例（最靚的身材）應是上半身及下半身（以肚臍為界）的比值與黃金比率相吻合，例如一個模特的身高為1.618米，則上半身為0.618米，下半身為1米。如果再細分，上半身的黃金點在咽喉，面部的黃金點是眼睛，下半身的黃金點在膝蓋。建筑物廊柱間的比例，繪畫、攝影構圖地平線的分割，主體在畫幅中的位置，一本書長與寬的比例如果符合黃金比率的話就顯得美，如果改為1：1則顯得呆板，單調。文學、戲劇與詩歌寫作中的起、承、轉、合原則，所謂“轉”便是轉折、對比，是寫作的關鍵所在。“轉”在整個結構部位中接近黃金分割點。菲波那齊數(shù)列在音樂中得到普遍的應用，如常見的曲式類型與菲波

28、那齊數(shù)列頭幾個數(shù)字相符，它們是簡單的一段式、二段式、三段式和五段回旋曲式。大型奏鳴曲式也是三部性結構，如再增加前奏及尾聲則又從三發(fā)展到五部結構。黃金分割比例與音樂中高潮的位置有密切關系。我們分析許多著名的音樂作品，發(fā)覺其中高潮的出現(xiàn)多和黃金分割點相接近，位于結構中點偏后的位置：小型曲式中8小節(jié)一段式，高潮點約在第5小節(jié)左右（見本教程曲44，第一個8小節(jié)樂段）；16小節(jié)二段式，高潮點約在第10小節(jié)左右；24小節(jié)帶再現(xiàn)三段式，高潮點在第15小節(jié)左右。夢幻曲是一首帶再現(xiàn)三段曲式，由A、B和A三段構成。每段又由等長的兩個4小節(jié)樂句構成。全曲共分6句，24小節(jié)。理論計算黃金分割點應在第14小節(jié)（24&#

29、215;0.618=14.83），與全曲高潮正好吻合。有些樂曲從整體至每一個局部都合乎黃金比例，本曲的六個樂句在各自的第2小節(jié)進行負相分割（前短后長）；本曲的三個部分A、B、A在各自的第二樂句第2小節(jié)正相分割（前長后短），這樣形成了樂曲從整體到每一個局部多層復合分割的生動局面，使樂曲的內容與形式更加完美。大、中型曲式中的奏鳴曲式、復三段曲式是一種三部性結構，其他如變奏曲、回旋曲及某些自由曲式都存在不同程度的三部性因素。黃金比例的原則在這些大、中型樂曲中也得到不同程度的體現(xiàn)。一般來說，曲式規(guī)模越大，黃金分割點的位置在中部或發(fā)展部越靠后，甚至推遲到再現(xiàn)部的開端，這樣可獲得更強烈的藝術效果。如莫扎特

30、D大調奏鳴曲第一樂章全長160小節(jié)，再現(xiàn)部位于第99小節(jié)，不偏不依恰恰落在黃金分割點上（160×0.618=98.88）。據(jù)美國數(shù)學家喬·巴茲統(tǒng)計，莫扎特的所有鋼琴奏鳴曲中有94%符合黃金分割比例，這個結果令人驚嘆。我們未必就能弄清，莫扎特是有意識地使自己的樂曲符合黃金分割呢，抑或只是一種純直覺的巧合現(xiàn)象。然而美國的另一位音樂家認為?！拔覀儜斨?，創(chuàng)作這些不朽作品的莫扎特，也是一位喜歡數(shù)字游戲的天才。莫扎特是懂得黃金分割，并有意識地運用它的?！必惗喾冶瘣碜帏Q曲Op.13第二樂章是如歌的慢板，回旋曲式，全曲共73小節(jié)。理論計算黃金分割點應在45小節(jié)，在43小節(jié)處形成全曲激越

31、的高潮，并伴隨著調式、調性的轉換，高潮與黃金分割區(qū)基本吻合。肖邦的降D大調夜曲是三部性曲式。全曲不計前奏共76小節(jié)，理論計算黃金分割點應在46小節(jié)，再現(xiàn)部恰恰位于46小節(jié)，是全曲力度最強的高潮所在，真是巧奪天工。拉赫曼尼諾夫的第二鋼琴協(xié)奏曲第一樂章是奏鳴曲式，這是一首宏偉的史詩。第一部分呈示部悠長、剛毅的主部與明朗、抒情的副部形成鮮明對比。第二部分為發(fā)展部，結構緊湊，主部、副部與引子的材料不斷地交織，形成巨大的音流，音樂爆發(fā)高潮的地方恰恰在第三部分再現(xiàn)部的開端，是整個樂章的黃金分割點，不愧是體現(xiàn)黃金分割規(guī)律的典范。此外這首協(xié)奏曲的局部在許多地方也符合黃金比例。我們再舉一首大型交響音樂的范例，俄

32、國偉大作曲家里姆斯柯薩科夫在他的天方夜譚交響組曲的第四樂章中，寫至辛巴達的航船在洶涌滔天的狂濤惡浪里，無可挽回地猛撞在有青銅騎士像的峭壁上的一剎那，在整個樂隊震耳欲聾的音浪中，樂隊敲出一記強有力的鑼聲，鑼聲延長了六小節(jié)，隨著它的音響逐漸消失，整個樂隊力度迅速下降，象征著那艘支離破碎的航船沉入到海底深淵。在全曲最高潮也就是“黃金點”上，大鑼致命的一擊所造成的悲劇性效果懾人心魂。黃金律歷來被染上瑰麗詭秘的色彩，被人們稱為“天然合理”的最美妙的形式比例。世界上到處都存在數(shù)的美，對于我們的眼睛，尤其是對我們學習音樂的人的耳朵來說，“美是到處都有的，不是缺乏美，而是缺少發(fā)現(xiàn)”股票中的黃金分割根據(jù)調查研究，我們發(fā)現(xiàn)，黃金分割在股票的應用中也是十分的廣泛，以下給大家解釋一下我們所做出來的一點小結：（一）“頂”的判斷 當空頭市場結束，多頭市場展開時，投資人最關心的問題是“頂”在哪里？事實上，影響股價變動的因素極多，要想準確地掌握上升行情的最高價是絕對不可能的，因此，投資人所能做的，就是依照黃金分割計算可能出現(xiàn)的