年金的含義與計算

1、第一章財務管理的價值觀念教學目標：了解資金時間價值；熟悉資金時間價值的基本術語；掌握單利、 復利與預付年金的終值與現值的計算方法； 了解風險的概念和類別；掌握風險衡 量及風險報酬確定的方法。教學重點：終值、現值的含義，復利終值現值的計算；普通年金終值、現值 計算；預付年金終值現值計算；遞延年金終值現值計算；永續(xù)年金終值現值計算。教學難點：年金終值現值計算。課時：8第一節(jié)：資金時間價值什么是資金時間價值？資金的所有者因進行某項投資活動（如開辦企業(yè)、購買有價證券、存入銀 行、借出款項等）而推遲消費，就要得到相應的報酬。這種因推遲使用貨幣一段 時間而得到的相應報酬就是資金的時間價值。期初狀態(tài)效果1萬

2、元置于家中1萬元1萬元進一批貨，1個月內售出，獲利10%1.1萬元1萬元存入銀行，年利率12%1.01萬元時間價值實質是隨著時間的推移，貨幣在周轉使用中所發(fā)生的增值，時間越 長、增值越多。本質上看，它來源于貨幣有目的的投資，是工人創(chuàng)造的剩余價值 的一部分。1、單利的計算計算公式F = P - （1+i n）P = F （ 1+ i n ）-1I = P - i - nF-終值 P-現值（本金）i-利率（折現率）I- 利息n-計息期例1:某人持有一張帶息票據，面額 2000元，票面利率5%，持票90天，問他可以得到多少利息？解：I=2000 X 5 % X 90/360=25 （元）例2:某人希

3、望在5年后從銀行取得本利和1000元，用于支付一筆款項。若在利率為 5% ,在單利方式計算下，此人現在需要存入銀行多少錢？解：P=1000X 1 / (1+ 5 % X5) =800 (元)2、復利終值是指一定量的本金，按復利計算，若干期后的本利和。公式： Fn= P - (1+i)n 復利終值系數(F / P, i , n)Fn復利終值P本金i 利率n計息期復利利息：I=F-P=P(1+i)n-1公式的推導如下：年份年初本金P當年利息I年末本利和F1PPI2F(Ui)P(1+i) J叫SiR * n1產(1+|產P(1+|產N PCI一尸1nP(1+1產2 ip(itir例3:某人將1000

4、元存入銀行，定期3年，年利率10%,3 年期滿，按復利計算，問他可以從銀行得到多少元？解：F5 =1000 X (1+ 10 % ) =1000 X(F/P, 10%, 3)=1000 X 1.331=1331 (元)例4:某人有資金1000元，擬存入銀行，在復利10%計息 的條件下，經過多少年可以使他的資金增加一倍？解：2000 =1000 X (1+ 10 % ) = 1000 X (F /P, 10 %, n)n2=(1+ 10% )查表可知：需要7年多的時間。例5:(復利現值)某企業(yè)擬在5年后用10000元購買新設備，銀行現行的年利率為10%,問現在需要解：10000 =PX(1+ 1

5、0 % )一次存入銀行多少元? 5P=10000 =10000 =10000 =6210( 例6:(復利利息)-5X (1+ 10 % )義(P / F , 10 % ,5)X 0.621元)某企業(yè)用1000元對外投資5年，年利率為15%,每年復利一次，其復利本利和與復利利息為多少?解：F=1000X ( 1+ 15 % ) 5 =1000 X (F / P , 15% , 5)=1000 X 2.011=2011 （元）I =2011-1000= 1011 （元）3、現金流量圖（cash flow diagram）描述現金流量作為時間函數的圖形，它能表示資金在不同時間點流入與流出的情況。是資

6、金時間價值計算中常用的工具。三大要素：大小、流向、時間點300現金流入現金流山200 20020001234 時間400說明：cn.水平線是時間標度，時間的推移是自左向右,每一格代表一個時間單位（年、月、日）；2）.箭頭表示現金流動的方向:向上一一現金的流入,向下現金的流出;現金流量圖與立腳點有關。注意：。）.第一年年末的時刻點同時也表示第二年年初。 .立腳點不同，畫法剛好相反。 .凈現金流量=現金流入-現金流出 .現金流量只計算現金收支（包括現鈔、轉帳支票等憑證），不計算項目內 部的現金轉移（如折舊等）。例7：某投資者購買了 1000元的債券，限期3年，年利率10%到期一次還本付 息，按照復

7、利計算法，則3年后該投資者可獲得的利息是多少？> F=?i=10%1000解：I=P(1+i)n 1=1000(1+10%)3 1=331 元(三)年金的現值與終值?年金是(Annuity )指等額、定期的系列收支。特點：等額、等期形式：等期等額償還貸款，等期等額發(fā)放養(yǎng)老金、等期等額支付工程款、 每年相同的銷售收入?按年金的收付時點，可以將年金劃分為：普通年金、預付年金、遞延年金、永續(xù)年金1、普通年金(Ordinary Annuity )又稱后付年金：是指各期期末收付的年金。012345A A A A A(1)普通年金終值：是一定時期內每期期末等額收付款項的復利終值之和。每期期末等額收付

8、款項的復利終值之和q 2n_2nT nIll.一.lAA AA A_> A(ki)0, * A(l + 1)* A,(l+1)- n2* A(I11). n1.A(|+1)普通年金終值計算公式的推導每年的支付金額為A；利率為I；期數為n;其中:則按復利計算的普通年金終值2A1 i A1 i 2每年的等式兩邊同乘(2A1 i A1 i 2上述兩式相減，整理后,A11+i)：A1得至上F為:3n 1A1 in 1nA1 i A1 i是普通年金為1元、利率為i、經過n期的年金終值，記作(F/A,i , n),可以通過查閱“年金終值系數表”取得相關系數。年金終值為多少？ 解：F =100=100

9、=100xXX例8:某人5年內，每年年底存入銀行100元，存款利率為8%,問第5年年末(1+8% )51 / 8 % (F / A , 8% , 5) 5.867=586.7 (元)(2)償債基金的計算償債基金(Sinking Fundi)是指為了在約定的未來一定時點清償某筆債務或 積聚一定數額的資金而必須分次等額存入的準備金，也就是為使年金終值達到既 定金額的年金數額。償債基金的計算是根據年金的終值計算年金的即已知終值求 年金。根據普通年金終值計算公式：A F/A,i,n可知:FF/A,i,n式中的普通年金終值系數的倒數，稱償債基金系數記作(A/ F, i , n)償債基金系數和普通年金終值

10、系數互為倒數?！纠恐朴嗊€款計劃例9:假設江南公司擬在3年后還清100萬元的債務，從現在起每年末等 額存入銀行一筆款項。假設銀行存款利率為10%,每年需要存入多少元？解：F10030.21萬元F /A,i,nF/A,10%,3在銀行利率為10%時，每年存入30.21萬元，3年后可得100萬元，用來還清債由于有利息因素，不必每年存入 33.33萬元，只要存入較少的金額，3年后 本利和即可達到100萬元用以清償債務。（3）普通年金現值的計算它是一定時期內每期期末等額收付款項的復利現值之和。A<i+1)普通年金現值公式的推導: 由于：-12P A1 i A1 iA1 i 3A1 i n等式兩邊

11、同乘（1+i）：1 i P A1 i上述兩式相減（2）0 A1i 1 A1A1 i (n1)其中:(1)：A1i是普通年金為1元、利率為i、經過n期的年金現值記作(P/A, i , n)可以通過查閱“年金現值系數表”取得相關系數。例10:假設你需要在每年年末取出100元，連續(xù)取3年，在銀行存款利率為10% 的情況下，你現在要向銀行存入多少錢？P=100X (1+10% -1+100X (1+10% -2+100 X (1+10% -3=248.68 元例12:某公司須馬上向銀行存入一筆款項，以便在今后 5年內能于每年年終發(fā) 放特種獎金4000元?，F時銀行存款年利率為 8%,問該公司現在應向銀行

12、存入多少元？解：P =4000 X 1 (1+8% ) -5 / 8 %=4000 X (P / A , 8 % , 5)=4000 X 3.993=15972 (元(4)、年資本回收額的計算年資本回收額(Capital Recovery ),是指在約定年限內等額收回初始投入 資本或清償所欠的債務。即根據年金現值計算的年金，即已知現值求年金。根據普通年金現值計算公式：n1 1 iP AA P/A,i,ni可知：PP/A,i,n普通年金現值系數的倒數，稱資本回收系數記作(A/P, i , n)資本回收系數與年金現值系數互為倒數 例13:假設江南公司現在擬出資100萬元投資某項目，項目投資回報率預

13、計為10%,公司擬在3年內收回投資，請問每年至少要收回多少元 ？解：APP/A,i,n100P/A,10%,340.21萬元投資回報率為10%時，每年至少要收回40.21萬元，才能確保3年后收回初始 投資額100萬元。2 .即付年金(預付年金)即付年金是指一定時期內，每期期初等額收付的系列款項。(1)即付年金終值：是其最后一期期末時的本利和，即各期收付款項的復利終 值之和。°1一廿 ET tl FT fl-II23n1Ln口期即付年金終值 AAA A A i0123n1nn期善誦生 III| ifin w 3一金終值AAAAA11II.預付年金與普通年金比較：普通年金收付款的時點？在

14、期末 預付年金的收付款時點？在期初 這是兩者的區(qū)別。在實務中，我們可以在理解普通年金終值計算的基礎上掌握預付年金終值的計 算。具體有兩種方法：方法一：利用同期普通年金的終值公式再乘以(1+i)計算(1 + i)012345A (F/A, i , n)預付年金的終值計算公式為：F AF/A,i,n 1 i方法二：利用期數加i,系數減i的方法計算預付年金的終值計算公式應為：F A F/A,i,n 1 A A F/A,i,n 1 1A (F/A,i,n+1 ) -A例14：假如江南公司有一基建項目，分五次投資，每年年初投資 1000萬元，預 計第五年末建成。該公司的投資款均向銀行借款取得，利率為 8

15、%該項目的投 資總額是多少？(1)按方法一計算：F= a (F/A, i , n) (1+i)= 1000X (F/A, 8% 5) X (1+8%= 1000X 5.8666 X ( 1+8%= 6335.92 (元)(2)按方法二計算：F= a (F/A, i , n+1) -A=A (F/A, i , n+1) 1)= 1000X (F/A, 8% 6) 1)= 1000X (7.3359 1)= 6335.90 (元)例15:某人計劃在連續(xù)10年的時間里，每年年初存入銀行 1000元，現時銀行存款利率為8%,問第10年末他能一次取出本利和多少元？解：F =1000 X(F/A , 8%

16、, 10) X (1+ 8%)=1000義 14.487 義 1.08=15645(元)或：F=1000 X (F /A , 8% , 11)-1=1000 X (16.645-1)=15645(元)(2)預付年金現值的計算預付年金現值，是指一定時期內每期期初收付款項的復利現值之和。每期期初收付款項的復利現值之和。有兩種計算方法。0n期即忖年 金現值i1I2:3n1nJiIA 4* /A/A。123.jTnLln期普通年 金現值AA/A方法一：利用同期普通年金的現值公式再乘以(1+i )計算(1+/)012345A CP/A fir n即付年金的現值公式：P A P/A,i,n 1 i方法二：

17、利用期數減i,系數加i的方法計算預付年金的現值公式：P A P/A,i,n 1 A A P/A,i,n 1 1 0123451f1F1，1F1卜、FA (P/AJfn-l) +A也就是說，即付年金現值系數與普通年金現值系數相比，期數減 1,系數加1 例16:江南公司擬購買新設備，供應商有兩套付款方案。方案一是采用分 付款方式，每年年初付款20000元，分10年付清。方案二是一次性付款15萬 元。若公司的資金回報率為6%你將選擇何種付款方式，假設有充裕的資金。解：實際上，將方案一求出的現值與方案二的15萬元進行比較即可得出結果。也就是求預付年金的現值，因此有：=20000X (P/A, 6% 1

18、0) X (1+6%= 20000X7.3601 X (1+6%= 156034.00 (元)或,= 20000X (P/A, 6% 101) +1)=20000X (6.8017 + 1)= 156034.00 (元)所以，應選擇一次性付款。例17:企業(yè)若租用一臺設備，在10年中，每年年初要付租金 5000元，現 時銀行存款利率為8%。假設該設備原值40000元，無殘值，問該企業(yè)應租還是 應買？解:P =5000 X(P/A , 8%, 10)義(1+ 8 %)=5000 X6. 71 X 1.08=36234(元)或：P=5000 X (P /A , 8%, 9)+1=5000 X (6.

19、247+1)=36235(元)<40000元租設備劃得來！普通年金與預付年金的比較年金期間利率和金額相同時，預付年金的終值比普通年金的終值大(預付年金終值系數在普通年金終值系數上，期數加1,系數減1)年金期間利率和金額相同時，預付年金的現值比普通年金的現值大(預付年金現值系數在普通年金現值系數上，期數減1,系數加1)3、遞延年金遞延年金(Deferred Annuity )是指第一次年金收付形式發(fā)生在第二期或第 二期以后的年金。遞延年金的支付形式如圖所示。012 . m m+1 m+ 2 . m+ nV7遞延期遞延年金發(fā)生的期數從圖中可以看出，前m期沒有發(fā)生年金收付形式。我們一般用 m表

20、示遞延期數, 用n表示遞延年金發(fā)生的期數，則總期數為 m+n(1)、遞延年金終值計算由于遞延期m與終值無關，只需考慮遞延年金發(fā)生的期數 n。m+1 m+ 2 . m +n012J遞延期遞延年金發(fā)生的期數計算公式如下:F AF/A,i,n例18:農莊的累計凈收益為多少?假設江南公司擬一次性投資開發(fā)某農莊，預計該農莊能存續(xù) 15年，但是前 5年不會產生凈收益，從第6年開始，每年的年末產生凈收益 5萬元。在考慮資 金時間價值的因素下，若農莊的投資報酬率為 10%該農莊給企業(yè)帶來累計收益 為多少？012 55+15+2 5+1011 N遞延期5遞延年金發(fā)生的期數10求該農莊給企業(yè)帶來的累計收益，實際上

21、就是求遞延年金終值。根據=50000 X (F/A, 10% 10)= 50000X15.937= 796850 (元)(2)、遞延年金現值計算012n-1 nm m+1m + 2m+n 1 m+n遞延年金是指在最初若干期沒有收付款項的情況下，后面若干期有等額的系 列收付款項。遞延年金的現值是自若干時期后開始每期款項的現值之和。 即是后 n期年金貼現至mffl第一期期初的現值之和。遞延年金的現值與遞延期數相關遞延的期數越長，其現值越低。遞延年金的 現值計算有三種方法。方法1：把遞延期以后的年金套用普通年金公式求現值，然后再向前折現。m+1 m+2 .遞延期遞延年金發(fā)生的期數AP/A,i,n P

22、/F,i,m方法2:把遞延期每期期末都當作有等額的年金收付 A,把遞延期和以后各期看成是 一個普通年金，計算出這個普通年金的現值再把遞延期虛增的年金現值減掉即 可。m十2 . m+ r2假設遞罪期內短期都有A收付P A P/A,i,m n P/A,i,m方法3:先求遞延年金終值，再折現為現值012 m m+1 rn+2 m+ n11 N即P A F /A,i,n P/F,i,m n例19:農莊的累計投資限額為多少？假設江南公司擬一次性投資開發(fā)某農莊，預計該農莊能存續(xù) 15年，但是前 5年不會產生凈收益，從第6年開始，每年的年末產生凈收益 5萬元。在考慮資 金時間價值的因素下，若農莊的投資報酬率

23、為 10%假設江南公司決定投資開發(fā) 該農莊，根據其收益情況，該農莊的累計投資限額為多少？分析:012 .55+15+2 .5+1011N遞延期5遞延年金發(fā)生的期數10實質上，求現值只有未來的收益大于當前的投資額， 企業(yè)才有投資的意愿。由于不同時點上 的資金不能直接比較。因此，必須考慮資金時間價值，將未來的收益與當前的投 資額進行對比。因為遞延期 m為5,發(fā)生遞延年金收付期數n為10。解：按第一種方法計算：P= 50000X (P/A, 10% 10) X (P/F, 10% 5)= 50000X 6.1446 X 0.6209= 190759.11 (元)按第二種方法計算：P= 50000X (P/A, 10% 15) - 50000X (P/A, 10% 5)=50000X 7.6061 50000X 3.7908 = 190765.00 (元)按第三種方法計算：P= 50000X (F/A, 10% 10) X (P/F, 10% 15)=50000X 15.9370 X 0.2