第三節(jié)函數(shù)極限的定義PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第三節(jié)函數(shù)極限的定義第三節(jié)函數(shù)極限的定義.,0 . 1xxx記為記為無(wú)限增大無(wú)限增大且且.,0 . 2xxx記為記為無(wú)限增大無(wú)限增大且且., . 3xxx記為記為無(wú)限增大無(wú)限增大且且為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù)., . 4000 xxxxxx記為記為且且無(wú)限接近無(wú)限接近0005. ,. xxxxx 且且無(wú)無(wú)限限接接近近于于為為0006. ,.xxxxx 且且無(wú)無(wú)限限接接近近于于為為第1頁(yè)/共56頁(yè).sin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù)xxx播放播放第2頁(yè)/共56頁(yè)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近無(wú)限接近”.;|)(|)(|任意小任意小表示表示AxfAxf (

2、 0)+.xXx 表示的過(guò)程. 0sin)(,無(wú)限接近于無(wú)限接近于無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxfx 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問(wèn)題問(wèn)題:第3頁(yè)/共56頁(yè)1. x + 時(shí)時(shí) f (x) 的極限的極限定義定義 設(shè)設(shè) f(x) 在在 x a (a0)有定義有定義 , 對(duì)對(duì)任意給定的任意給定的正數(shù)正數(shù) ,總總存在正數(shù)存在正數(shù) X , 當(dāng)當(dāng) x X 時(shí)，恒有時(shí)，恒有| f(x) A| 0, 總總存在正數(shù)存在正數(shù) 0,只要只要 f 的定義域中的點(diǎn)的定義域中的點(diǎn) x 滿足滿足0|x x0| 時(shí)，恒有時(shí)，恒有 |f(x) A| 成立成立，則稱常數(shù)，則稱常數(shù) A 是函數(shù)是函數(shù) f(x) 當(dāng)

3、當(dāng) x x0時(shí)的極限時(shí)的極限,簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱 A 是是 f (x)在在 x0 處的極限處的極限. )()(,)(lim00 xxAxfAxfxx 或或者者記記為為第14頁(yè)/共56頁(yè)幾何意義幾何意義)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時(shí)域時(shí)鄰鄰的去心的去心在在當(dāng)當(dāng) Ayxfyxx 第15頁(yè)/共56頁(yè)定義定義 Axfxx)(lim0.|)(|,|0, 0, 00 Axfxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)00|0000 xxxxxxxxx 注意：注意：說(shuō)明說(shuō)明.,)10有有關(guān)關(guān)的的正正數(shù)數(shù)與與任任意意給

4、給定定的的接接近近程程度度與與用用來(lái)來(lái)刻刻劃劃 xx.,|0)20不不能能去去掉掉是是重重要要的的定定義義中中xx .)()30是是否否有有定定義義無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf第16頁(yè)/共56頁(yè)例例1).( ,lim0為常數(shù)為常數(shù)證明證明CCCxx 證證( )0 ,f xACC 這這里里.lim0CCxx 0, 可可任任取取一一正正數(shù)數(shù)00,xx 則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), 0 ( )0,f xA 總總有有第17頁(yè)/共56頁(yè)例例2. 211lim21 xxx證明證明證證21( )21xf xAx 這這里里|1|,x 只只要要01,x 則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒(méi)有定義處沒(méi)有定義.1

5、 x,)( Axf要使要使212,1xx 總總有有. 211lim21 xxx, 0 , 取取第18頁(yè)/共56頁(yè)例例3.lim00 xxxx 證證0( )f xAxx 這這里里0可取x 00,xx 則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)00 xxxx ,)( Axf要使要使0,xx 總總有有,00 xxx 00,xxx 只只要要.lim,0:000 xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證明證明00.xxx 即即, 0 第19頁(yè)/共56頁(yè)用定義證明用定義證明 的過(guò)程的過(guò)程 ：Axfxx )(lim01. 把把| f(x) A|化簡(jiǎn)為化簡(jiǎn)為| f(x) A| k |x x0| ;2. 要要| f(x) A| , ,只要只要 k |x x0

6、| ;1. 3 k取取4. 驗(yàn)證驗(yàn)證.第20頁(yè)/共56頁(yè)重要結(jié)論重要結(jié)論冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)及反三冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)及反三角函數(shù)等基本初等函數(shù)，在其定義域內(nèi)的每點(diǎn)處角函數(shù)等基本初等函數(shù)，在其定義域內(nèi)的每點(diǎn)處的極限都存在且等于函數(shù)在該點(diǎn)處的值的極限都存在且等于函數(shù)在該點(diǎn)處的值. 0 ( ) , 00,lim ( )( )是 基 本 初等 函 數(shù)有重要結(jié) 論 fxxf xxDf xf x 第21頁(yè)/共56頁(yè)2.單側(cè)極限單側(cè)極限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設(shè)設(shè)兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx,0 x

7、x從左側(cè)無(wú)限趨近從左側(cè)無(wú)限趨近;0 xx記作記作,0 xx從右側(cè)無(wú)限趨近從右側(cè)無(wú)限趨近.0 xx記作記作yox1xy 112 xy第22頁(yè)/共56頁(yè)左極限定義左極限定義).limitleft()(,)(,0, 0, 0,),()(0000處的左極限處的左極限在在是是則稱則稱恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)對(duì)對(duì)內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)設(shè)xxfAAxfxxxxxf 右極限定義右極限定義).limitright()(,)(,0, 0, 0,),()(0000處的右極限處的右極限在在為為數(shù)數(shù)則稱常則稱常恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)對(duì)對(duì)內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)設(shè)xxfAAxfxxxxxf .)()(lim00AxfAxfxx

8、或或記作記作.)()(lim00AxfAxfxx 或或記作記作第23頁(yè)/共56頁(yè).)()()(lim000AxfxfAxfxx 定理定理由此有由此有.)(lim)(,)()(,)()(000000不存在不存在說(shuō)說(shuō)處沒(méi)有極限或者處沒(méi)有極限或者在在則則中至少有一個(gè)不存在中至少有一個(gè)不存在與與或或都存在但不相等都存在但不相等與與若若xfxxfxfxfxfxfxx 第24頁(yè)/共56頁(yè).lim0不存在不存在驗(yàn)證驗(yàn)證xxxyx11 o00limlimxxxxxx 左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例1證證0lim( 1)1x 00limlimxxxxxx 0lim

9、11x 第25頁(yè)/共56頁(yè).1)(lim, 0 10 1)(202 xfxxxxxfx證明證明設(shè)設(shè)例例在分段點(diǎn)處的極限應(yīng)考察兩側(cè)在分段點(diǎn)處的極限應(yīng)考察兩側(cè)第26頁(yè)/共56頁(yè),)(lim,0情情況況應(yīng)應(yīng)先先看看一一看看單單側(cè)側(cè)極極限限的的討討論論一一般般說(shuō)說(shuō)xfxx的的一一些些情情況況：應(yīng)應(yīng)分分別別研研究究左左、右右極極限限1).分分段段函函數(shù)數(shù)在在分分段段點(diǎn)點(diǎn)處處的的極極限限xxtanlim.)22 如如：的的極極限限有有些些三三角角函函數(shù)數(shù)在在特特殊殊點(diǎn)點(diǎn)xxxx100elim,1arctanlim.)3如如：函函數(shù)數(shù)在在特特殊殊點(diǎn)點(diǎn)的的極極限限有有些些反反三三角角函函數(shù)數(shù)、指指數(shù)數(shù).,)(

10、,00限限則則應(yīng)應(yīng)分分別別研研究究左左、右右極極若若有有差差別別分分開開討討論論則則不不必必兩兩側(cè)側(cè)變變化化趨趨勢(shì)勢(shì)一一致致在在時(shí)時(shí)若若xxfxx 第27頁(yè)/共56頁(yè)定理定理1 若極限若極限 (或或 )存在，則存在，則極限是惟一的極限是惟一的.)(lim0 xfxx)(limxfx 1. 極限的惟一性極限的惟一性第28頁(yè)/共56頁(yè)證證00lim( ),lim( ),設(shè)又xxxxf xAf xB不妨設(shè)不妨設(shè) A B ,2|BA 由定義由定義, 對(duì)對(duì);|)(|0, 0101 Axfxx時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng) ,min21 取取時(shí)有時(shí)有則當(dāng)則當(dāng) |00 xx| |( ( )( ( )|ABf xBf xA

11、|( )|( )|f xBf xA. |BA .矛盾矛盾故極限若存在則必唯一故極限若存在則必唯一.;|)(|0, 0202 Bxfxx時(shí)恒有時(shí)恒有當(dāng)當(dāng)?shù)?9頁(yè)/共56頁(yè).)(,)(lim 00有有界界函函數(shù)數(shù)去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的某某個(gè)個(gè)則則在在點(diǎn)點(diǎn)存存在在若若極極限限xfxxfxx定理定理2.),(),()(,0,)(lim 內(nèi)均有界內(nèi)均有界和和在無(wú)窮區(qū)間在無(wú)窮區(qū)間使得函數(shù)使得函數(shù)則必存在則必存在存在存在若極限若極限XXxfXxfx 定理定理2 2. 有極限的函數(shù)的有極限的函數(shù)的局部局部有界性有界性第30頁(yè)/共56頁(yè)xxysin 幾何意義幾何意義 X X.2,)(,的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)

12、寬為寬為為中心線為中心線直線直線圖形完全落在以圖形完全落在以函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) AyxfyXxXx A第31頁(yè)/共56頁(yè)).0)(0)(,),(,0, )0(0,)(lim00 xfxfxUxAAAxfxx或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則或或且且若若。 定理定理3(3(局部保號(hào)性局部保號(hào)性) )2020,0 ,(, )( )0AAAxU xf xA 。證證：若若，取取則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)有有20220,0 ,(, )( )0.AAAAxU xf xAA 。若若，取取則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)有有3. 極限的極限的局部局部保號(hào)性保號(hào)性第32頁(yè)/共56頁(yè)).0)(0)(,),(),(,0, )0(0,)(lim xfxfXXxXAA

13、Axfx或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則或或且且若若定理定理3 ).0(0, )0)(0)(,),(,0,)(lim00 AAxfxfxUxAxfxx或或則則或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且若若。 推論推論第33頁(yè)/共56頁(yè)定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 則則有有若若設(shè)設(shè)。 推推論論).()(),(, 0,)(lim,)(lim000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有則則且且設(shè)設(shè)。 ., 0)(即為前面的定理與推論即為前面的定理與推論若若 xg第34頁(yè)/共56頁(yè)4.函數(shù)極限的歸并性函數(shù)極限的歸并性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)

14、系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)00010() ,.()( ).nnnnxxxxnxxf xf xxx 設(shè)在過(guò)程中有數(shù)列使得時(shí)則稱數(shù)列為函數(shù)當(dāng)時(shí)的子列定義：定義：00lim( ),()( ),lim().nxxnnf xAf xf xxxf xA若數(shù)列是當(dāng)時(shí)的一個(gè)子列 則有定理：定理：第35頁(yè)/共56頁(yè)例如例如,xxysin 1sinlim0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在限都存在, ,且相等且相等

15、. .第36頁(yè)/共56頁(yè)判別極限不存在的一個(gè)命題判別極限不存在的一個(gè)命題00111102.()(),()(),( ).nnnnnnnnxxxxf xf xxxf x若存在兩個(gè)趨于且各項(xiàng)均異于的數(shù)列和使得對(duì)應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列或發(fā)散 或者兩者都收斂但極限不相等 那么當(dāng)時(shí)的極限不存在第37頁(yè)/共56頁(yè)xy1sin 例例1.1sinlim0不存在不存在證明證明xx證證,1)(11 nnnnx 取取, 0lim nnx; 0 nx且且,2141)(11 nnnnx 取取, 0lim nnx; 0 nx且且第38頁(yè)/共56頁(yè) nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlim

16、nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 第39頁(yè)/共56頁(yè)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義函數(shù)極限的統(tǒng)一定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后時(shí)刻時(shí)刻(見(jiàn)下表見(jiàn)下表)第40頁(yè)/共56頁(yè)0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過(guò)過(guò) 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后 )(xf Axf)(過(guò)過(guò) 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后 n

17、 x x xXN,Nn Xx )(xf Axf)(Xx -Xx 第41頁(yè)/共56頁(yè)思考思考題題試試問(wèn)問(wèn)函函數(shù)數(shù) 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的的左左、右右極極限限是是否否存存在在？當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，)(xf的的極極限限是是否否存存在在？第42頁(yè)/共56頁(yè)思考題解答思考題解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在左極限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右極限存在右極限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.第43頁(yè)/共56頁(yè).01. 01_131222 yzxzxxyx，必有

18、，必有時(shí)，只要時(shí)，只要取取，問(wèn)當(dāng)，問(wèn)當(dāng)時(shí)，時(shí)，、當(dāng)、當(dāng).001. 0420_4212 yxxyx，必有，必有只要只要時(shí)，時(shí)，取取，問(wèn)當(dāng)，問(wèn)當(dāng)時(shí)，時(shí)，、當(dāng)、當(dāng) 證明：證明：二、用函數(shù)極限的定義二、用函數(shù)極限的定義一、填空題一、填空題:0sinlim221241lim1221 xxxxxx、練練 習(xí)習(xí) 題題第44頁(yè)/共56頁(yè).)(:0極限各自存在并且相等極限各自存在并且相等必要條件是左極限、右必要條件是左極限、右時(shí)極限存在的充分時(shí)極限存在的充分當(dāng)當(dāng)函數(shù)函數(shù)三、試證三、試證xxxf?0)(存存在在時(shí)時(shí)的的極極限限是是否否在在四四、討討論論：函函數(shù)數(shù) xxxx 第45頁(yè)/共56頁(yè)一一、1 1、0 0. .0 00 00 02 2； 2 2、397. .四四、不不存存在在. .練習(xí)題答練習(xí)題答案案第46頁(yè)/共56頁(yè).sin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)