萬(wàn)有引力定律應(yīng)用講義

1、將物體在行星表面所受到的萬(wàn)有引力近似看作等于物體的重將物體在行星表面所受到的萬(wàn)有引力近似看作等于物體的重力。行星表面的加速度近似看作是由萬(wàn)有引力產(chǎn)生的。力。行星表面的加速度近似看作是由萬(wàn)有引力產(chǎn)生的。22MmmgGRMgGR 22222(2)2(mvmmrfrTrmGmrMr 宇宙間一切物體都是相互吸引著的，通常兩個(gè)物體間的萬(wàn)宇宙間一切物體都是相互吸引著的，通常兩個(gè)物體間的萬(wàn)有引力非常微小，人們無(wú)法覺(jué)察到它，但在天體系統(tǒng)中，由于有引力非常微小，人們無(wú)法覺(jué)察到它，但在天體系統(tǒng)中，由于天體的質(zhì)量均很大，萬(wàn)有引力就起著決定性的作用。天體的質(zhì)量均很大，萬(wàn)有引力就起著決定性的作用。 天體運(yùn)動(dòng)視為圓周運(yùn)動(dòng)

2、，萬(wàn)有引力充當(dāng)著向心力的作用。天體運(yùn)動(dòng)視為圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力充當(dāng)著向心力的作用。 應(yīng)用時(shí)根據(jù)實(shí)際情況選用相應(yīng)的公式進(jìn)行分析。應(yīng)用時(shí)根據(jù)實(shí)際情況選用相應(yīng)的公式進(jìn)行分析。 某一高度的重力加速度某一高度的重力加速度g與在此高度繞行的向心加速度與在此高度繞行的向心加速度a的的值相同。值相同。 在中學(xué)階段，一般把天體的橢圓運(yùn)動(dòng)近似為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。在中學(xué)階段，一般把天體的橢圓運(yùn)動(dòng)近似為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。據(jù)此，無(wú)論是比例題（常以選擇題、填空題出現(xiàn)）還是計(jì)算題，據(jù)此，無(wú)論是比例題（常以選擇題、填空題出現(xiàn)）還是計(jì)算題，均可用均可用“”的動(dòng)力學(xué)方程來(lái)解決。的動(dòng)力學(xué)方程來(lái)解決。22222(2)2(mvmmrfrTrmG

3、mrMr ”的動(dòng)力學(xué)方程。的動(dòng)力學(xué)方程。22222(2)2(mvmmrfrTrmGmrMr 若月球圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其周期為若月球圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其周期為T(mén)，又，又知月球到地心的距離為知月球到地心的距離為r，試求出地球的質(zhì)量和密度。，試求出地球的質(zhì)量和密度。萬(wàn)有引力提供月球圓周運(yùn)動(dòng)向心力萬(wàn)有引力提供月球圓周運(yùn)動(dòng)向心力222()MmGmrrT 2324 rMGT 22222(2)2(mvmmrfrTrmGmrMr 23343MMVGTR 測(cè)出衛(wèi)星圍繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑測(cè)出衛(wèi)星圍繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期和周期T33232222234()rMGTmMGMrVGTmrRr

4、T （式中（式中r衛(wèi)星軌道半徑，衛(wèi)星軌道半徑，R天體半徑）天體半徑）（當(dāng)衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌道半徑（當(dāng)衛(wèi)星繞天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌道半徑r與天體半徑與天體半徑R相等）相等）把地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)看作是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑約把地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)看作是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑約為為1.51011km，已知引力常量，已知引力常量G=6.671011 Nm2/kg2，則可，則可估算出太陽(yáng)的質(zhì)量約為估算出太陽(yáng)的質(zhì)量約為 kg。地球繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)周期地球繞太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)周期:T=365246060=3.15107s地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬(wàn)有引力提供。地球繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬(wàn)有引力提供。222()MmG

5、mrrT 232113021172443.14(1.510 ) 2106.6710(3.210 )rMkgGT 據(jù)美聯(lián)社據(jù)美聯(lián)社2002年年10月月7日?qǐng)?bào)道，天文學(xué)家在太陽(yáng)系的日?qǐng)?bào)道，天文學(xué)家在太陽(yáng)系的9大行星之外，又發(fā)現(xiàn)了一顆比地球小得多的新行星，而且還測(cè)大行星之外，又發(fā)現(xiàn)了一顆比地球小得多的新行星，而且還測(cè)得它繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的周期約為得它繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的周期約為288年。若把它和地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的年。若把它和地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道都看作圓，問(wèn)它與太陽(yáng)的距離約是地球與太陽(yáng)距離的多少軌道都看作圓，問(wèn)它與太陽(yáng)的距離約是地球與太陽(yáng)距離的多少倍？倍？44倍倍 萬(wàn)有引力對(duì)研究天體運(yùn)動(dòng)有著重要的意義。海王星、冥王星

6、就是根據(jù)萬(wàn)有引力定律發(fā)現(xiàn)的。在18世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的第七個(gè)行星天王星的運(yùn)動(dòng)軌道，總是同根據(jù)萬(wàn)有引力定律計(jì)算出來(lái)的有一定偏離。當(dāng)時(shí)有人預(yù)測(cè)，肯定在其軌道外還有一顆未發(fā)現(xiàn)的新星。后來(lái)，亞當(dāng)斯和勒維列在預(yù)言位置的附近找到了這顆新星(海王星)。后來(lái)，科學(xué)家利用這一原理還發(fā)現(xiàn)了太陽(yáng)系的第9顆行星冥王星，由此可見(jiàn)，萬(wàn)有引力定律在天文學(xué)上的應(yīng)用，有極為重要的意義。 牛頓人造地球衛(wèi)星的設(shè)想圖Main Ideav平拋平拋洲際洲際導(dǎo)彈導(dǎo)彈人造人造衛(wèi)星衛(wèi)星增大增大 人造人造地球地球衛(wèi)星的最小速度有多大呢？衛(wèi)星的最小速度有多大呢？( (一一) )發(fā)射原理發(fā)射原理1 1、第一宇宙速度（環(huán)繞速度）、第一宇宙速度（環(huán)繞速度）衛(wèi)星做

7、圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬(wàn)衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬(wàn)有引力提供，萬(wàn)有引力近似等有引力提供，萬(wàn)有引力近似等于重力于重力mgmg，衛(wèi)星運(yùn)行半徑近似，衛(wèi)星運(yùn)行半徑近似看作地球半徑，根據(jù)牛頓第二看作地球半徑，根據(jù)牛頓第二定律得定律得:mg=GMm/R:mg=GMm/R2 2=mv=mv2 2/R/R616.37 109.87.9km/svgR最小的近地發(fā)射速度最小的近地發(fā)射速度, ,近地發(fā)射時(shí)近地發(fā)射時(shí)速度等于這個(gè)速度衛(wèi)星，剛好能速度等于這個(gè)速度衛(wèi)星，剛好能在地球表面附近作勻速圓周運(yùn)動(dòng)在地球表面附近作勻速圓周運(yùn)動(dòng)v1=7.9km/sMain Idea1124266.67 105.98 107.9km/s6.

8、4 10GMvRv7.9km/s同學(xué)們?cè)偎闼?，近地衛(wèi)星的周期又是多少呢？我們能否發(fā)射一顆周期為我們能否發(fā)射一顆周期為50min的衛(wèi)星呢？的衛(wèi)星呢？不能！不能！ 1223 1464005087 6857 9.min.RTsv Main Ideav v2 2= 11.2km/s= 11.2km/s、第二宇宙速度、第二宇宙速度 （脫離速度）（脫離速度）11.2km/sv16.7km/s11.2km/sv v v1 1v v4 4 v v3 3v v1 1 v v4 4v v2 2 v v1 1 v v4 4 v v3 3A AB B知小圓半徑為知小圓半徑為R,R,周期為周期為T(mén),T,大大圓半徑為圓半

9、徑為r,r,求衛(wèi)星從求衛(wèi)星從A A躍遷躍遷到到B B的時(shí)間？的時(shí)間？提示：用開(kāi)普勒第提示：用開(kāi)普勒第3 3定律求解定律求解比較下列速度大小比較下列速度大小 解：設(shè)解：設(shè)“光子光子”的質(zhì)量為的質(zhì)量為m m，由于光不能從太陽(yáng)射出，由于光不能從太陽(yáng)射出, , 設(shè)設(shè)“光子光子”恰好繞太陽(yáng)恰好繞太陽(yáng)( (黑洞黑洞) )作近地勻速圓周運(yùn)動(dòng)作近地勻速圓周運(yùn)動(dòng), ,向心力由萬(wàn)有引力提供，由牛頓第二定律得向心力由萬(wàn)有引力提供，由牛頓第二定律得: : 113028236.67 102.0 10:(3.0 10 ) 1.5 101.5.GMRcmkm解得22GMmmcRR例例: :已知太陽(yáng)的質(zhì)量已知太陽(yáng)的質(zhì)量M=2

10、.0M=2.010103030kgkg，光的速度，光的速度c=3.0c=3.010108 8m/sm/s，試估算太陽(yáng)如果演變成了黑洞，它的半徑將變成多少？試估算太陽(yáng)如果演變成了黑洞，它的半徑將變成多少？例例: : 在天體運(yùn)動(dòng)中，把兩顆相距很近在天體運(yùn)動(dòng)中，把兩顆相距很近的恒星稱(chēng)為雙星，這兩顆星必須各自的恒星稱(chēng)為雙星，這兩顆星必須各自以一定的速率繞某一中心轉(zhuǎn)動(dòng)才不至以一定的速率繞某一中心轉(zhuǎn)動(dòng)才不至于由于萬(wàn)有引力而吸在一起。已知兩于由于萬(wàn)有引力而吸在一起。已知兩恒星的質(zhì)量分別為恒星的質(zhì)量分別為M M1 1和和M M2 2兩恒星距離兩恒星距離為為L(zhǎng) L。求：。求：(1)(1)兩恒星轉(zhuǎn)動(dòng)中心的位置；兩

11、恒星轉(zhuǎn)動(dòng)中心的位置；(2)(2)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。L LM M1 1M M2 2r r1 1L-rL-r1 1解：如圖所示，兩顆恒星分別以轉(zhuǎn)解：如圖所示，兩顆恒星分別以轉(zhuǎn)動(dòng)中心動(dòng)中心O作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，角速度相同，設(shè)相同，設(shè)M1的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為r1，M2的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為r2=L-r1；它們之間的；它們之間的萬(wàn)有引力是各自的向心力。萬(wàn)有引力是各自的向心力。22121 122M MGM rML1(L-r )由后兩式相等解得得由后兩式相等解得得21121212rrM LM LMMMM，由前兩式相等解得得由前兩式相等解得得212231()GMG MMrLL

12、例：如圖所示，有例：如圖所示，有A A、B B兩個(gè)衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)方向相兩個(gè)衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)方向相同，同，A A衛(wèi)星的周期為衛(wèi)星的周期為T(mén) T1 1，B B衛(wèi)星的周期為衛(wèi)星的周期為T(mén) T2 2 ，在某一時(shí)刻兩衛(wèi)，在某一時(shí)刻兩衛(wèi)星第一次相遇（即兩衛(wèi)星距離最近），星第一次相遇（即兩衛(wèi)星距離最近）， 求：求：1 1、多少時(shí)間后兩衛(wèi)星第二次相遇？、多少時(shí)間后兩衛(wèi)星第二次相遇？ 2 2、多少時(shí)間后兩衛(wèi)星第一次相距最遠(yuǎn)、多少時(shí)間后兩衛(wèi)星第一次相距最遠(yuǎn) ？ 1221TTtTT1m2mt/2t/2解：解：A A星轉(zhuǎn)得快，設(shè)相遇時(shí)星轉(zhuǎn)得快，設(shè)相遇時(shí)B B轉(zhuǎn)過(guò)角度為轉(zhuǎn)過(guò)角度為，則則A A轉(zhuǎn)過(guò)角

13、度為轉(zhuǎn)過(guò)角度為(+2)(+2)，設(shè)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為，設(shè)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為tt122t12222TT1122TTT1212TTT12112221222TTTTTtTTT【例例1 1】20002000年年1 1月月2626日我國(guó)發(fā)射了一顆同步衛(wèi)星，其定點(diǎn)位置日我國(guó)發(fā)射了一顆同步衛(wèi)星，其定點(diǎn)位置與東經(jīng)與東經(jīng)9898的經(jīng)線在同一平面內(nèi)的經(jīng)線在同一平面內(nèi). .若把甘肅省嘉峪關(guān)處的經(jīng)度若把甘肅省嘉峪關(guān)處的經(jīng)度和緯度近似為東經(jīng)和緯度近似為東經(jīng)9898和北緯和北緯a=40a=40已知地球半徑已知地球半徑R R、地球自、地球自轉(zhuǎn)周期轉(zhuǎn)周期T T、地球表面重力加速度、地球表面重力加速度g(g(視為常數(shù)視為常數(shù)) )和光速和光速c c，試求該，試求該同步衛(wèi)星發(fā)出的微波信號(hào)傳到嘉峪關(guān)處的接收站所需的時(shí)間同步衛(wèi)星發(fā)出的微波信號(hào)傳到嘉峪關(guān)處的接收站所需的時(shí)間( (要求用題給的已知量的符號(hào)表示要求用題給的已知量的符號(hào)表示).).解：如圖知同步衛(wèi)星的周期解：如圖知同步衛(wèi)星的周期