利用Mathematica求函數(shù)極值ppt課件

1、 實驗六實驗六 利用利用MathematicaMathematica求函數(shù)極值求函數(shù)極值實驗?zāi)康模壕C合利用求導(dǎo)，解方程及確定實驗?zāi)康模壕C合利用求導(dǎo)，解方程及確定極值的相關(guān)知識求一元及多元函數(shù)極值。極值的相關(guān)知識求一元及多元函數(shù)極值。預(yù)備知識：預(yù)備知識： ( (一一) )極值概念及確定極值的必要條件、充分極值概念及確定極值的必要條件、充分條件條件( (二二) )最值與極值的關(guān)系，最值的確定最值與極值的關(guān)系，最值的確定( (三三)Mathematica)Mathematica中求函數(shù)極值相關(guān)命令中求函數(shù)極值相關(guān)命令邊學(xué)邊做：邊學(xué)邊做：( (一一) )用命令用命令FindMinimumFindMin

2、imum求極小值：求極小值：FindMinimumfx,x,x0FindMinimumfx,x,x0FindMinimumfx,y,x,x0,y,y0FindMinimumfx,y,x,x0,y,y0（1 1先作圖，觀察之后求函數(shù)先作圖，觀察之后求函數(shù) 在在 -3-3，33內(nèi)的極值內(nèi)的極值（2 2作圖之后求函數(shù)作圖之后求函數(shù) 的極值的極值( (二用求駐點的方法求函數(shù)極值二用求駐點的方法求函數(shù)極值(1)(1)求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值(2)(2)求函數(shù)求函數(shù) 的最值的最值242)(xxxf1) 1(4)(2xxxfxyxyxyxf933),(2233323),(22 yxxyyxyxf（三（三S

3、olveSolve，WhichWhich，PrintPrint，PlotPlot綜合應(yīng)用綜合應(yīng)用求極值求極值（1 1求函數(shù)求函數(shù) 的極值、拐點，的極值、拐點，描繪該函數(shù)圖像描繪該函數(shù)圖像（2 2設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 兩點處都取得極值，試確定兩點處都取得極值，試確定 的值，并問這的值，并問這時時 在在 處是取得極大值還是極小處是取得極大值還是極小值？值？593)(23xxxxfxbxxaxf2ln)(2, 1xx)(xf2, 1xxba,學(xué)生實驗：學(xué)生實驗：一、基礎(chǔ)部分一、基礎(chǔ)部分1 1求函數(shù)求函數(shù) 在在55，2020上的極值上的極值2 2求函數(shù)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。的單調(diào)區(qū)間。3. 3. 求函數(shù)求

4、函數(shù) 的極值點與極值的極值點與極值. .xxxxflncos)(233xxy32824yxyxz二、應(yīng)用部分二、應(yīng)用部分(1)當(dāng)當(dāng)a為何值時為何值時, 在在 處處有極值有極值,求此極值求此極值,并說明是極大值還是極小并說明是極大值還是極小值值.(2)若函數(shù)若函數(shù) 在在x=-1處有極大處有極大值為值為8,在在x=2處有極小值為處有極小值為-19,求求a,b,c,d.(3)把一根直徑為把一根直徑為d的圓木鋸成截面為矩形的梁的圓木鋸成截面為矩形的梁,問矩形截面高問矩形截面高h(yuǎn)與寬與寬b如何選擇時如何選擇時,才能使梁才能使梁的抗彎截面系數(shù)的抗彎截面系數(shù) 達(dá)到最大達(dá)到最大?(4)求表面積為求表面積為a2

5、且體積最大的長方體體積且體積最大的長方體體積.xxaxf3sin31sin)(3xdcxbxaxxf23)(261bhW 實驗六內(nèi)容詳解： 一、利用命令一、利用命令FindMinimumFindMinimum求極小值求極小值1 1、命令格式、命令格式一元函數(shù)：一元函數(shù)：FindMinimumfx,x,x0FindMinimumfx,x,x0功能：以功能：以 為初始條件，求函數(shù)為初始條件，求函數(shù) 的極小值。的極小值。多元函數(shù)：多元函數(shù)：FindMinimumfx,y,x,x0,y,y0FindMinimumfx,y,x,x0,y,y0功能：以功能：以 ， 為初始條件，求函數(shù)為初始條件，求函數(shù) 的

6、極小值。的極小值。0 xx 0 xx 0yy )(xf),(yxf2 2、邊學(xué)邊做、邊學(xué)邊做（1 1求函數(shù)求函數(shù) 在在-3-3，33內(nèi)的極值內(nèi)的極值解解 自定義函數(shù)自定義函數(shù) fx_:=x4-2 fx_:=x4-2* *x2;x2;作函數(shù)圖像作函數(shù)圖像 Plotfx,x,-3,3,AxesLabel-x,y Plotfx,x,-3,3,AxesLabel-x,y 因而可確定函數(shù)在因而可確定函數(shù)在-3-3，33內(nèi)有兩個極小值，相應(yīng)選內(nèi)有兩個極小值，相應(yīng)選擇初始值求得函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的極小值。擇初始值求得函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的極小值。FindMinimumfx,x,-2 FindMinimumfx,x

7、,-2 輸出結(jié)果為輸出結(jié)果為-1-1，x-1x-1FindMinimumfx,x,0.5FindMinimumfx,x,0.5輸出結(jié)果為輸出結(jié)果為1 1，x-1x-1本題還有一極大值，本題還有一極大值，MathematicsMathematics中沒有提供求函數(shù)中沒有提供求函數(shù)極大值的命令，因而需作轉(zhuǎn)化極大值的命令，因而需作轉(zhuǎn)化FindMinimum-fx,x,-0.5 FindMinimum-fx,x,-0.5 輸出結(jié)果為輸出結(jié)果為0 0，x-0 x-0242)(xxxf-3-2-1123x-1123y（2 2求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值解解 作函數(shù)圖形作法見第二節(jié)）作函數(shù)圖形作法見第二節(jié)）F

8、indMinimumx2+y2-xFindMinimumx2+y2-x* *y-3x-y-3x-2y+3,x,0.5,y,0.5 2y+3,x,0.5,y,0.5 輸出結(jié)果為輸出結(jié)果為-3.33333,x-2.66667,y-2.33333-3.33333,x-2.66667,y-2.33333323),(22 yxxyyxyxf-4-2241234 二、用求駐點的方法求函數(shù)極值二、用求駐點的方法求函數(shù)極值 邊學(xué)邊做邊學(xué)邊做(1)求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值解解 自定義函數(shù)自定義函數(shù)fx_:=4*(x+1)/(x2+1); Df=fx;Df2x_:=fx; 解方程求駐點解方程求駐點 NSolve

9、Df=0,x 輸出結(jié)果為輸出結(jié)果為x1=-2.41421，x2=0.414214 用二階導(dǎo)數(shù)判別極值用二階導(dǎo)數(shù)判別極值 f-2.41421=0.2426430，函數(shù)有極小值，函數(shù)有極小值 f-2.41421 輸出結(jié)果輸出結(jié)果-0.828427 f0.414214=-8.24263-3,y-0,x-3,y-2,x-x-3,y-0,x-3,y-2,x-1,y-0,x-1,y-21,y-0,x-1,y-2比較各點函數(shù)值比較各點函數(shù)值 fx,y/.% fx,y/.% 輸出結(jié)果為輸出結(jié)果為 27 27，3131， -5 -5，-1-1可求得最值為可求得最值為3131xyxyxyxf933),(2233三

10、三SolveSolve，WhichWhich，PrintPrint，PlotPlot綜合應(yīng)用求極值綜合應(yīng)用求極值邊學(xué)邊做邊學(xué)邊做1 1求函數(shù)求函數(shù) 的極值、拐點，描繪的極值、拐點，描繪該函數(shù)圖像該函數(shù)圖像解解 自定義函數(shù)自定義函數(shù) fx_:=x3-3 fx_:=x3-3* *x2-9x2-9* *x+5;x+5;畫圖可觀察函數(shù)的主要性態(tài)畫圖可觀察函數(shù)的主要性態(tài)Plotfx,x,-5,5Plotfx,x,-5,5解方程求駐點并賦值解方程求駐點并賦值 m=Solvefx=0,x; m=Solvefx=0,x; 找駐點結(jié)果為找駐點結(jié)果為x-1,x-3x-1,x-3取得取得m m中的數(shù)值中的數(shù)值 x1

11、=x/.m1;x2=x/.m2; x1=x/.m1;x2=x/.m2;計算二階導(dǎo)數(shù)值以判別能否取得極值計算二階導(dǎo)數(shù)值以判別能否取得極值p1=fx1;p2=fx2;p1=fx1;p2=fx2;判別并輸出結(jié)果判別并輸出結(jié)果 Whichp1=0,Print Whichp1=0,Print失效失效 ，p10p10，Print“f-1”Print“f-1”極小值極小值 ，p10p11n= Solvefx=0,x; x-1取得取得n n中的數(shù)值中的數(shù)值y1=x/.n1y1=x/.n1計算計算x=1x=1近旁兩點二階導(dǎo)數(shù)值以判別能否成為拐點近旁兩點二階導(dǎo)數(shù)值以判別能否成為拐點 q=fy1-0.1q=fy1-0.1* *fy1+0.1;fy1+0.1;判別并輸出結(jié)果判別并輸出結(jié)果 Whichq0 Whichq0，PrintPrint無拐點無拐點 ，p0p0，Print“(“1”,”f1”)”,Print“(“1”,”f1”)”,拐點拐點注：（注：（1 1WhichWhich命令命令格式：格式：WhichWhich條件條件1 1，表達(dá)式，表達(dá)式1 1，條件，條件2 2，表達(dá)式，表達(dá)式2 2，條件，條件n n，表達(dá)式，表達(dá)式nn執(zhí)行方式為依次檢驗條件，得到第一個條件為真