2019年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷以及答案解析

1、絕密啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）數(shù)學(xué)一、填空題：本大題共 14小題，每小題5分，共計(jì)70分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1. （5 分）已知集合A=1,0,1, 6,B= x|x>0,xC R,貝 UAn B=.2. （5分）已知復(fù)數(shù)（a+2i ） （1+i ）的實(shí)部為0,其中i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)a的值是3. （5分）如圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的S的值是.4. （5分）函數(shù)y=的定義域是 .5. （5分）已知一組數(shù)據(jù) 6, 7, 8, 8, 9, 10,則該組數(shù)據(jù)的方差是 .6. （5分）從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，則選出的2名同

2、學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是 .27. （5分）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，若雙曲線x2-義一=1 （b>0）經(jīng)過點(diǎn)（3, 4）,則該 b2雙曲線的漸近線方程是.8. （5分）已知數(shù)列an （nCN*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和.若a2a5+a8= 0, 4=27,則S8的值是.9. （5分）如圖，長方體 ABCD ABGD的體積是120, E為CC的中點(diǎn)，則三棱錐 E- BCD 的體積是.10. (5分)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，P是曲線y=x+ (x>0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) P到直線x+y= 0的距離的最小值是 .11. (5分)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)A在曲線y=l

3、nx上，且該曲線在點(diǎn) A處的切線經(jīng)過點(diǎn)(-e, - 1) (e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是BE= 2EA A% CE交于點(diǎn) Q若12. (5分)如圖，在ABCf, D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上,ab? ac= 癡?應(yīng)，則 空的值是AC13.，則 sin (2a +-的值是14. (5分)設(shè)f (x), g (x)是定義在R上的兩個(gè)周期函數(shù),f (x)的周期為4, g (x)的周期為2,且f (x)是奇函數(shù).當(dāng)xC (0, 2時(shí)，f (x)g (x)=其中k>0.若在區(qū)間(09上，關(guān)于x的方程f (x)=g (x)有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則 k的取值范圍是、解答題：本大題共 6小題，共計(jì)

4、90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15. (14分)在 ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為 a, b, c.(1)若 a=3c, b=6，cosB=,求 c 的值；(2)若顯兇=組，求sin (B+L)的值.a 2b216. (14分)如圖，在直三棱柱 ABC- A1B1G中，D, E分別為BC AC的中點(diǎn)，AB= BC求證：(1) AB1/平面 DEC;(2) BEELGE.c2217. (14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C： 3一+i= 1 (a>b>0)的焦點(diǎn)為2 ,2a b22Fl (-1, 0), F2 (1, 0)

5、.過F2作x軸的垂線l ,在x軸的上萬，1與圓F2：(X-1) +y=4a2交于點(diǎn)A,與橢圓C交于點(diǎn)D.連結(jié)AF1并延長交圓F2于點(diǎn)B,連結(jié)BB交橢圓C于點(diǎn)E,連結(jié) DF.已知 DF=.2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo).18. (16分)如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路1,湖上有橋AB (A訛圓O的直徑).規(guī)劃在公路1上選兩個(gè)點(diǎn)P, Q并修建兩段直線型道路 PB, QA規(guī)劃要求：線段 PB, QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn) O的距離均不少工 圓O的半徑.已知點(diǎn) A,B到直線1的距離分別為 AC和BD(C, D為垂足)，測(cè)得AB= 10, AC= 6, BD= 12

6、(單位： 百米).(1)若道路PB與橋AB垂直，求道路 PB的長；(2)在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在 D處？并說明理由；(3)在規(guī)劃要求下，若道路 PB和QA的長度均為d (單位：百米)，求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離.19. (16 分)設(shè)函數(shù) f (x) = (x-a) (x-b) (x-c)a,b,ce R, f'(x)為 f (x)的導(dǎo)函數(shù).(1)若 a= b= c, f (4) = 8,求 a 的值；(2)若awb, b=c,且f (x)和f ' (x)的零點(diǎn)均在集合 - 3, 1, 3中，求f (x)的極小值；(3)若a=0, 0<b<1,

7、c=1,且f (x)的極大值為M求證：M.2720. (16分)定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“ Mb數(shù)列”.(1)已知等比數(shù)列an (nCN)滿足：a2a4=a5, a3 - 4a2+4a1= 0,求證：數(shù)歹U an為"M-數(shù)列”；一一，一.*(2)已知數(shù)列bn (nCN)滿足：b1=1,其中Sn為數(shù)列bn的前nSn bn項(xiàng)和.求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；設(shè)m為正整數(shù)，若存在“ M-數(shù)列” cn (nC N),對(duì)任意正整數(shù)k,當(dāng)kwm時(shí)，都有 ck< bkW ck+1成立，求 m的最大值.【選做題】本題包括 A、B、C三小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做

8、，則按作答的前兩小題評(píng)分 .解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.選修4-2 :矩陣與變換(本小題滿分10分)一 3 r21. (10分)已知矩陣 A=._2 2_(1)求 A2;(2)求矩陣A的特征值.B.選彳4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本小題滿分10分)22. (10分)在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A (3,千)，B(6,三),直線1的方程為p sin(0 + 一)= 3.(1)求A, B兩點(diǎn)間的距離；(2)求點(diǎn)B到直線l的距離.C.選彳4-5:不等式選講(本小題滿分0分)23. 設(shè) xC R,解不等式 | x|+|2 x- 1| >2.【必做題】第24題、第25題，每題10分，共

9、計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答 時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.24. (10 分)設(shè)(1+x) n= a0+aix+a2x2+anxn, n>4, nC N*.已知 a32 = 2a2a4.(1)求n的值；(2)設(shè)(1+JW n=a+bx/3,其中 a, bCN*,求 a2-3b2的值.25. (10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)集人=(0,0),(1,0),(2,0),，(n,0) , B= (0, 1),(n, 1) , ?n = (0, 2), (1, 2), (2, 2),(n, 2) , n N*.令 M=AUB U?n.從集合 M中任取兩個(gè)不同的點(diǎn)，用隨

10、機(jī)變量X表示它們之間的距離.(1)當(dāng)n=1時(shí)，求X的概率分布；(2)對(duì)給定的正整數(shù) n (n>3),求概率P (X< n)(用n表示).一、填空題：本大題共14 小題，每小題 5 分，共計(jì) 70 分 . 請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1 【分析】直接利用交集運(yùn)算得答案【解答】解：丁 A= -1, 0, 1, 6, B= x|x>0, xCR,.An B= - 1, 0, 1, 6 nx|x>0, xe R=1 , 6.故答案為： 1 ， 6【點(diǎn)評(píng)】本題考查交集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題2 【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由實(shí)部為 0 求的 a 值【解答】解： ( a

11、+2i) (1+i) = (a2) + (a+2) i 的實(shí)部為 0,a - 2= 0,即 a= 2.故答案為： 2【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題3 【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S 的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得x= 1, S= 0S= 0.5不滿足條件x>4,執(zhí)行循環(huán)體，x = 2, S= 1.5不滿足條件x>4,執(zhí)行循環(huán)體，x = 3, S= 3不滿足條件x>4,執(zhí)行循環(huán)體，x = 4, S= 5此時(shí)，滿足條件x>4,退

12、出循環(huán)，輸出 S的值為5.故答案為： 5【點(diǎn)評(píng)】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題4 【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0 求解一元二次不等式得答案【解答】解：由7+6xx2R0,彳導(dǎo)x2-6x- 7<0,解得：-1WxW7.，函數(shù)y= Jt46x_.2的定義域是1，7 -故答案為：-1, 7.【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題.5【分析】先求出一組數(shù)據(jù)6, 7, 8, 8, 9, 10的平均數(shù)，由此能求出該組數(shù)據(jù)的方差.【解答】解：一組數(shù)據(jù) 6, 7, 8, 8, 9, 10的平均數(shù)為：工=L

13、 (6+7+8+8+9+10) = 8,6該組數(shù)據(jù)的方差為：§=L (68) 2+ (78) 2+ (88) 2+ (8 8) 2+ (98) 2+ (108) 2造.故答案為:【點(diǎn)評(píng)】本題考查一組數(shù)據(jù)的方差的求法，考查平均數(shù)、方差等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.6【分析】基本事件總數(shù) n=c. = 10,選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)包含的基本事 件個(gè)數(shù)mc；C；+C=7,由此能求出選出的 2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率.【解答】解：從3名男同學(xué)和2名女同學(xué)中任選 2名同學(xué)參加志愿者服務(wù)，基本事件總數(shù)n=c>10，選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)包含的基本事件個(gè)數(shù)

14、：mC 洌| 博二7,n 10故答案為:7To，選出的2名同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率是 p=.【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能 力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.7.【分析】把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程，求得b,則雙曲線的漸近線方程可求.【解答】解：二.雙曲線 X2-4=1 (b>0)經(jīng)過點(diǎn)(3, 4),b2底二 I,解得 b2= 2,即 b=V2.b2又a=1, .該雙曲線的漸近線方程是y= ±四誹故答案為：y=【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.8【分析】設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為d,公差為d,由已知列關(guān)

15、于首項(xiàng)與公差的方程組，求解首項(xiàng)與公差，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求得&的值.【解答】解：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為公差為d,'（勺+d） （a +娟）+丁 _則 gxg,解得 1.廿"=6X（5）+15X2=16.故答案為：16.【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和，是基礎(chǔ)題.9【分析】推導(dǎo)出 y, =ABX BO DD=120,三棱錐 E-BCD的體積： V bc產(chǎn)AiiLL1- D 1U1 L11X S瓦口 XE xgxBCXDC XCE = /iyX ABX BO DD,由此能求出結(jié)果.【解答】解：.長方體 ABC» A1B1CD的體積

16、是120, E為CC的中點(diǎn)，V收Df %RAB< BCX DD=120，三棱錐E- BCD勺體積：憂一BC- -匕一 工二.=二 .亍：.印一”【點(diǎn)評(píng)】本題考查三棱錐的體積的求法，考查長方體的結(jié)構(gòu)特征、三棱錐的性質(zhì)等基礎(chǔ) 知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.10【分析】利用導(dǎo)數(shù)求平行于 x+y=0的直線與曲線y= x+1 (x>0)的切點(diǎn)，再由點(diǎn)到直線的距離公式求點(diǎn) P到直線x+y = 0的距離的最小值.【解答】解：由y = x/L (x>0),得y' = 1 白,設(shè)斜率為-1的直線與曲線y=x+9 (x>0)切于(x(o, x X°

17、K。由 1一解得(x0>。).孫，曲線y= x+1 (x>0)上，點(diǎn)P (也，為力)至U直線x+y=0的距離最小，K最小值為'"父”二小V2故答案為：4.【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，是中檔題.11【分析】設(shè) A (選，lnx0),利用導(dǎo)數(shù)求得曲線在 A處的切線方程，代入已知點(diǎn)的坐標(biāo)求解xo即可.【解答】解：設(shè) A (xo, lnx 0),由y = lnx ,得y'=,=一,則該曲線在點(diǎn) A處的切線方程為口及口y - 1nx 0= (x-K n),1ro切線經(jīng)過點(diǎn)(-e, T)-l-lnx(j = -1

18、ff0.A點(diǎn)坐標(biāo)為(e, 1).故答案為：(e, 1).【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，區(qū)分過點(diǎn)處與在點(diǎn)處的不同，是中檔題.12【分析】首先算出a(5=-a5,然后用而、 AC表示出AO、 EC,£ I,正=,前5進(jìn)一步可得結(jié)果.1*- I X. 1【解答】解：設(shè)AO= x AD= (AB + AC),結(jié)合標(biāo)?菠=延亞得A0= AE+ECi= AE+ EC=AE+(AC-AE)=（）宜辦菽=上匹法+ 而3廣卜_卜3T=k J=-15=-（而+正），?+菽而資2筋=元-AE= - -|AB+AC,而菽/+/唇簿【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查向量的表示以及

19、計(jì)算，考查計(jì)算能力.13.【分析】由已知求得tan a ,分類利用萬能公式求得sin2 a , cos2 a的值，展開兩角和的正弦求sin （2a +-7TT）的值.【解答】解：由t&nQ tT tan(tsnU得5Tt an 口 +1 air- n1 -t an G t arr.tanU (1-tanGl)1+tanCl9二y,解得tanJ當(dāng)tana = 2 時(shí),sin2 a2tw 口Iftan2 口a = 2 或 tan4一,cos2 5sin(2 a +7T7當(dāng) tan a一時(shí)，sin232-tanaIfta n2 CI,COs2 a91-tan CL _4 l+tan2Ct&#

20、39;sin(2a+=si或QC口苧3s2。5共=魯亭亭當(dāng)率.綜上，sin (2a+L)的值是亞. 410故答案為：返.10【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的恒等變換與化簡(jiǎn)求值，考查兩角和的三角函數(shù)及萬能公式 的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.14【分析】由已知函數(shù)解析式結(jié)合周期性作出圖象，數(shù)形結(jié)合得答案.【解答】解：作出函數(shù) f (x)與g (x)的圖象如圖，由圖可知，函數(shù) f (x)與 g(x) = - ="(1vxW2, 3vxW4, 5<x< 6, 7vxW8)僅有2個(gè)實(shí)數(shù)根；要使關(guān)于x的方程f (x) =g (x)有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則 f 以)=71-(i-L) xC (0, 2與

21、g (x) = k (x+2), xC (0, 1的圖象有 2 個(gè)不同交點(diǎn),由(1, 0)到直線kx-y+2k=0的距離為1,得馳=1 解得k=坐(k>0), k/k+1&兩點(diǎn)(-2, 0), (1, 1)連線的斜率k=J-,七k平即k的取值范圍為二，返).34故答案為：二，學(xué)).【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判定，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.、解答題：本大題共 6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15【分析】（1）由余弦定理得:cosB=,由此能求出c的值.（2）由01n=?？谒?，利用正弦定理得 2s

22、in B cosB,再由sin 2B+cos2B 1,能求出sin Ba 2b二昱,cosB電晶,由此利用誘導(dǎo)公式能求出sin （B+-）的值.552【解答】解：（1）二.在 ABC中，角A, B, C的對(duì)邊分別為a, b, c.a=3c, b=6,cos B=由余弦定理得:cos B=a-10c2-22ac3'解得c=.sinA cosB2b，由正弦定理得:sinA sinB cosB2b2sin B= cos B,sin 2B+cos2B= 1,.sinBW, cos B= ",55 .sin （a）=cos B.25【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形邊長、三角函數(shù)值的求法，考查正弦

23、定理、余弦定理、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.16.【分析】（1）推導(dǎo)出DEE/ AR AB/ A1B1,從而DE/ A1B1,由此能證明 AB/平面DEC.（2）推導(dǎo)出BEX AA, BEX AC從而BE1平面ACg,由此能證明 BE! GE.【解答】證明：（1）二.在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，D, E分別為BC AC的中點(diǎn)，DE/ AB AB/ AB, . DE/ AB,.D日平面DEC, AB?平面DEC,解：(2)二.在直三棱柱 ABO ABC中，E是AC的中點(diǎn)，AB= BC. BE!AA, BE!AC又 AAAAC= A, BE

24、!平面 ACCV. CiE?平面 ACCAi,BE! CiE.【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行、線線垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.17【分析】(1)由題意得到FiD/ BE,然后求AD再由AD= DF=求得a,則橢圓方程可2求；3_(2)求出D的坐標(biāo)，得到=knm =,寫出BE的方程，與橢圓方程聯(lián)立即可 SF2 DF 24求得點(diǎn)E的坐標(biāo).【解答】解：(1)如圖，: F2A= F2B,F2AB= / F2BA,. F£= 2a= F2D+DA= F2D+F1D, AD= FQ,則/ DAF= / DFA,.Z DFA

25、= / F2BA 則 FiD/ BE,2. 2. c=i,b2=a2- i,則橢圓方程為+二一二1，a2 3-12-12_i2 .取 x=i,得 丫二三- 則 AD= 2a-=-v aa a又 DF =與，二冬，解得 a=2 (a>0).2 a 222，橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為 q-pg丁二1；網(wǎng)(2)由(i)知，D (i,Fi ( i, 0),3_."嗎二L 春貝U B& y=/-i), 3一、，.12聯(lián)立 | 22 ，得 21x 18x39=0.j JU 3 1解得Xi= - 1或y =Li (舍). . 即點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-1, -DF / BF2【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓

26、，圓與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，證明 是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題.18.【分析】(1)設(shè)BD與圓O交于M連接AM以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，l為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則 A (0, 6), B ( 8, 12), D ( 8, 0)設(shè)點(diǎn)P(X1, 0), PBL AB,運(yùn)用兩直線垂直的條彳斜率之積為-1,求得P的坐標(biāo)，可得所求值;(2)當(dāng)QALAB時(shí)，QA上的所有點(diǎn)到原點(diǎn) O的距離不小于圓的半徑，設(shè)此時(shí)Q (X2, 0),運(yùn)用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1,求得Q的坐標(biāo)，即可得到結(jié)論；(3)設(shè)P (a, 0), Q (b, 0),則aw - 17, b>- ,結(jié)合條件，可得 b的最小值，由

27、 ri-a兩點(diǎn)的距離公式，計(jì)算可得PQ【解答】解：設(shè) BD與圓O交于M連接AMAB為圓O的直徑，可得 AML BM即有 DM= AC= 6, B陣 6, A陣 8,以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，l為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則 A (0, -6),B(- 8, - 12),D(- 8,0)(1)設(shè)點(diǎn) P (x1，0), PB±AB則 kBp?kAB= - 1gp0-(-12) ?-&-(-12) = " i.町-(-8) 0-一8)解得 xi=- 17,所以 P(- 17, 0), PB=V(TT+g)2+(0+2)2 = 15;(2)當(dāng)QALAB時(shí)，QA上的所有點(diǎn)到原點(diǎn) O的距離不

28、小于圓的半徑，設(shè)此時(shí)Q(X2, 0),則 kQ"kAB= - 1,即 0一(-6) ?-6-1-lp = 1,解得 X2=一里，Q(一2，0),k2-00-(-8)22由-17v- 8<-，在此范圍內(nèi)，不能滿足PB, QA上所有點(diǎn)到 O的距離不小于圓的半2徑，所以P, Q中不能有點(diǎn)選在 D點(diǎn)；(3)設(shè) P (a, 0), Q (b, 0),則 a< 17, b>- , pB"= ( a+8) 2+144 >225,2QA= b2+36>225,貝U b>3/21，當(dāng) d 最小時(shí)，PQ= 17+3721 .【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線和圓的位置關(guān)系

29、，考查直線的斜率和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1,以及兩點(diǎn)的距離公式，分析問題和解決問題的能力，考查運(yùn)算能力，屬于中檔 題.19【分析】(1)由a= b = c,可得 f(x)= ( x - a)3,根據(jù) f (4) = 8,可得(4- a)3=8,解得a.(2) ab,b= c,設(shè) f (x) = ( x a) (x b)2.令 f(x) =( x a) (x b)2= 0,解得 x= a,或 x = b. f' ( x) = ( x - b) (3x -b - 2a).令 f '( x) =0,解得x= b,或x=乙3tb .根據(jù)f (x)和f' ( x)的零點(diǎn)均

30、在集合 A=-3, 1, 3中，通過分類討J論可得：只有 a= 3, b = - 3,可得= J = 1CA,可彳導(dǎo):f (x) = (x-3) (x+3) 332.利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得x=1時(shí)，函數(shù)f (x)取得極小值.(3) a= 0, 0 V b< 1, c= 1, f (x) = x (x - b) (xT). f (x) = 3x2 - ( 2b+2) x+b. >0.令 f' (x) =3x2- (2b+2) x+b=0.解得：x = ，產(chǎn)+1 3. x1<x2,可得x = x1時(shí)，f (x)取得極大值為 M通過計(jì)算化簡(jiǎn)即可證明結(jié)論.【解答】解：(1)

31、 a = b= c,f (x) = ( x- a) 3,f (4) =8,( 4-a) 3=8,，4-a=2,解得 a= 2.(2) awb, b=c,設(shè) f (x) = ( x - a) (x - b) 2.令 f (x) = ( x - a) (x - b) 2= 0,解得 x = a,或 x= b.2a+bf' ( x) = (x-b) 2+2 (x-a) (x-b) = (x-b) (3x-b-2a).令 f ' (x) =0,解得 x= b,或 x =.f (x)和f' (x)的零點(diǎn)均在集合 A=-3, 1, 3中,a= 12a+b3 |2-3-|-?A,舍去

32、.-L?A,舍去.3a=一3, b=3,則2a+b 6-1-3a= 3b=1,則2a+b36£_3 -=-1 ?A,舍去.?A,舍去.a= 1b=3,則2a+b 5?A舍去.a= 32"b"I-6-3因此 a= 3, b= 3,可得：f (x) = (x-3) (x+3) 2.f (x) =3x- ( - 3) (x-1).可得x=1時(shí)，函數(shù)f (x)取得極小值，f ( 1) = - 2 X 42= - 32.(3)證明：a=0, 0vbw 1c= 1,f (x) = x (x b) (x 1).f (x) = (x b) (x 1)2+x (x1) +x (xb

33、) = 3x ( 2b+2) x+b.解得:Xl+X2 =可得f'(b+i) 2- i2b= 4b2- 4b+4= 4 也_ 2.2(x) = 3x - ( 2b+2) X+b= 0.X_ - LXi 2b+2XlX2 =X2 =+3 >3.Xi<X2,X = X1 時(shí),(Xi)f （X）取得極大值為M(2b+2) Xi+b=0,可得:2= (2b+2) Xi - b,3M= f=(X1 一 b)(X； - Xi) = ( Xi - b)(2b+2)勺-b-Xi) = (2b - i)2.2 - 2bXi+b (2b+2)勺-b-Zb%+卜勺=七(-26'+21&g

34、t;-2)叼+1>"+1>(Xi) = Xi (Xi b) (Xi T)2 2b +2b- 2= - 2.M在 XiC (0,二上單調(diào)遞減,Meg、M Me.27+ b2+b) =b45b-2"zF427【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、方程與不等式的解法、分類討論方法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.20.【分析】（i）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,然后根據(jù)a2a4= a5, a3-4a2+4ai= 0列方程求解，在根據(jù)新定義判斷即可;（2）求出b2, b3, b4猜想bn,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明;（3）設(shè)cn的公比為q,將問題轉(zhuǎn)化為卜普

35、1前法皆然亦，然后構(gòu)造函數(shù)f（X）=g （x）=號(hào)843）， xkT分別求解其最大值和最小值，最后解不等式寫上乎，即可.3 Kl-1【解答】解：（i）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,則由 a2a4=a5, a3 4a2+4ai=0,得f 2 4_4aiq=2曰 i q - q2a q -43q+42二0.數(shù)列an首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)即數(shù)列an為“ MF數(shù)列”；(2)如=1, -L=JL-_,當(dāng) n=1 時(shí)，二上L, b2= 2, S 2 b b b 2當(dāng) n=2 時(shí)，-L=一一.b3= 3,S 2 b+b2 b 2 bj當(dāng) n=3 時(shí)，=.- 44, . b4 = 41猜想bn=n,下面用數(shù)學(xué)歸納法

36、證明;(i)當(dāng) n= 1 時(shí)，bi= 1,滿足 bn= n,(ii )假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即 bk=k,則n=k+1時(shí),由工一,得Sk好肌+1+故n=k+1時(shí)結(jié)論成立，*根據(jù)(i) (ii )可知，bn=n對(duì)任意的nCN都成立.故數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式為 bn= n；設(shè)cn的公比為q,， , ， . . * » 一 、 »存在“Mb數(shù)列” cn (nCN),對(duì)任意正整數(shù) k,當(dāng)kwm時(shí)，都有CkW bkW Ck+i成立,一 k 1k . ,、即q < k<對(duì)kwm恒成立,當(dāng)k=1時(shí)，q>1,當(dāng)k=2時(shí), V2«S,當(dāng)k>3,兩邊取對(duì)數(shù)可得

37、，產(chǎn)，曄對(duì)kw m有解,k k-1當(dāng)x>3時(shí)，f' (x) <0,此時(shí)f (x)遞增,.M4 I oh. 14 i ln3. .當(dāng) k > 3 時(shí)，L J=-L k.濡 3-Inx令g (x)=號(hào)43)，貝d-，令巾&)二12T田則/二弩， 二J當(dāng) x'3 時(shí)，？(x) v 0,即 g' (x) v 0,1. g (x)在3 , +00)上單調(diào)遞減，即k>3時(shí)，里L(fēng)1上HL,則Lk-1 m-1ln3 / Inm下面求解不等式里1<血，3m-1化簡(jiǎn)，得 3lnm - ( m- 1) ln 3< 0,令 h (m=3lnm (m1

38、) ln 3,則 h' (M = - - In 3, m由 k>3得 m>3, h' (n) < 0, h (nj)在3 , +0°)上單調(diào)遞減,又由于 h (5) = 3ln 5 41n 3= In 125 In 81 >0, h (6) = 31n 6 5ln 3= In 216 In 243V0,存在 mC （ 5, 6）使得 h （m0）= 0,1 1，m的最大值為5,此時(shí)qC §3 , §4 .【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由遞推公式求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和不等式恒成立，考查了數(shù)學(xué)歸納法和構(gòu)造法，是數(shù)列、函數(shù)和不等式的綜合性問題

39、，屬難題.【選做題】本題包括 A、B、C三小題，請(qǐng)選定其中兩小題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分 .解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A.選修4-2 :矩陣與變換（本小題滿分10分）21 【分析】（1）根據(jù)矩陣A直接求解A2即可；（2）矩陣A的特征多項(xiàng)式為f（X）= a '=入25入+4,解方程f （入）=0|-2 A-2即可.【解答】解：（1） A？ 1 L2 2112 2|_2 2J""L10 6（2）矩陣A的特征多項(xiàng)式為:f（X） =人心 1=入25 入 +4,-2 人-2令f （入）=0,則由方程入之5入+4=0,得入=1或

40、入=4,，矩陣A的特征值為1或4.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩陣的運(yùn)算和特征值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算與求解能力， 屬基礎(chǔ)題.B.選彳4- 4-4 :坐標(biāo)系與參數(shù)方程（本小題滿分10分） 22【分析】（1）設(shè)極點(diǎn)為Q則由余弦定理可得 小:0”+0咚2皿比8也皿，解出AR（2）根據(jù)直線l的方程和點(diǎn)B的坐標(biāo)可直接計(jì)算 B到直線l的距離.【解答】解：（1）設(shè)極點(diǎn)為 Q則在 OA升，由余弦定理，得A= oA+oB 2OA0BcosZA0B|,AB= 商+值產(chǎn)-八獷后皿（）;（2）由直線1的方程psin （。JL） =3,知4直線l過（3盤，三），傾斜角為四24又B （也2L）,.二點(diǎn)B到直線l的距離為-）=2,【

41、點(diǎn)評(píng)】本題考查了在極坐標(biāo)系下計(jì)算兩點(diǎn)間的距離和點(diǎn)到直線的距離，屬基礎(chǔ)題.C.選彳4-5:不等式選講（本小題滿分0分）23.【分析】對(duì)|x|+|2 x-1|去絕對(duì)值，然后分別解不等式即可.【解答】解:| x|+|2 x 1| ="12 a-3"+12 .| x|+|2 x- 1| >2,-k+1>2或J k1,或0<z<y1.x> 1 或 x e ?或 xv -,3，不等式的解集為x|xv-工或x>1.3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，屬基礎(chǔ)題.【必做題】第24題、第25題，每題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.24【分析】（1）運(yùn)用二項(xiàng)式定理，分別求得a2, a3, a4,結(jié)合組合數(shù)公式，解方程可得n的值；（2）方法一、運(yùn)