線性系統(tǒng)部分總復(fù)習(2015)

1、總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論1主要學習內(nèi)容主要學習內(nèi)容Ch1 緒論緒論Ch2 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 Ch3 線性系統(tǒng)的運動分析線性系統(tǒng)的運動分析Ch4 線性系統(tǒng)的能控性和能觀性線性系統(tǒng)的能控性和能觀性Ch5 系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性Ch6 線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合線性反饋系統(tǒng)的時間域綜合總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論21、輸入、輸入輸出描述（外部描述）輸出描述（外部描述） (1) 用傳遞函數(shù)、微分方程等表征；用傳遞函數(shù)、微分方程等表征；(2)是系統(tǒng)的是系統(tǒng)的外部描述；外部描述；(3)是對系統(tǒng)的不完全描述。是對系統(tǒng)的不完全描述。2、狀態(tài)空間描述（內(nèi)部描述）、狀態(tài)空間描述（內(nèi)部描述）

2、 (1)用狀態(tài)空間表達式表征；用狀態(tài)空間表達式表征；(2)是系統(tǒng)的內(nèi)部描是系統(tǒng)的內(nèi)部描述；述；(3)是對系統(tǒng)的完全描述。是對系統(tǒng)的完全描述。總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論3建立狀態(tài)空間表達式的方法主要有兩種：建立狀態(tài)空間表達式的方法主要有兩種：能控標準型實現(xiàn)能控標準型實現(xiàn)能觀測標準型實現(xiàn)能觀測標準型實現(xiàn)總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論41. 可控規(guī)范形實現(xiàn)可控規(guī)范形實現(xiàn)設(shè)設(shè) 1212101110( )( )( )( )( )nnnnnnnsssY sN sG sU ssasa saD s則矩陣形式的則矩陣形式的可控規(guī)范形實現(xiàn)可控規(guī)范形實現(xiàn)為為Auy xx+bcx式中：式中：01101210100000100,000

3、101nnAaaaa b =c =友矩陣友矩陣上一頁上一頁 下一頁下一頁 返回返回主目錄主目錄 總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論52）可觀測規(guī)范形實現(xiàn)）可觀測規(guī)范形實現(xiàn)Auy xxbcx1212101110( )( )( )( )( )nnnnnnnsssY sN sG sU ssasa saD s則矩陣形式的狀態(tài)方程和輸出方程為則矩陣形式的狀態(tài)方程和輸出方程為式中：式中：00112211000100010;0001001nnnaaAaabc友矩陣友矩陣上一頁上一頁 下一頁下一頁 返回返回主目錄主目錄 總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論6設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：( )( )

4、( )( )( )( )tAtBttCtDtxxuyxu在初始條件為零時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣表達在初始條件為零時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣表達式為：式為：1( )()G sC sABDI總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論7 非奇異線性變換后系統(tǒng)非奇異線性變換后系統(tǒng)特征值不變、特征值不變、傳遞函傳遞函數(shù)矩陣不變、能控性不變、能觀測性不變、數(shù)矩陣不變、能控性不變、能觀測性不變、能控能控性指數(shù)不變、能觀測性指數(shù)不變、性指數(shù)不變、能觀測性指數(shù)不變、穩(wěn)定性不變穩(wěn)定性不變. .線性系統(tǒng)等價狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)等價狀態(tài)空間描述四、四、 線性定常系統(tǒng)的坐標變換線性定常系統(tǒng)的坐標變換 對于線性定常系統(tǒng)，對于線性定常系統(tǒng)，兩個代數(shù)等

5、價的狀態(tài)空兩個代數(shù)等價的狀態(tài)空間描述，可以化為相同的對角線規(guī)范型、約當規(guī)間描述，可以化為相同的對角線規(guī)范型、約當規(guī)范型、能控規(guī)范型和能觀規(guī)范型。范型、能控規(guī)范型和能觀規(guī)范型?？倧?fù)習：現(xiàn)代控制理論8 對狀態(tài)向量對狀態(tài)向量x引入線性非奇異變換引入線性非奇異變換 ，則變換后的，則變換后的狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述1xP xxAxBuyCxDun階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：xAxBuyCxDu11,AP APBP BCCPDD其中：其中：稱系統(tǒng)兩種不同的狀態(tài)空間描述稱系統(tǒng)兩種不同的狀態(tài)空間描述(a)，(b)為為代數(shù)等價代數(shù)等價的，的，對于參數(shù)矩陣滿足上述關(guān)系的系統(tǒng)稱為

6、對于參數(shù)矩陣滿足上述關(guān)系的系統(tǒng)稱為代數(shù)等價系統(tǒng)代數(shù)等價系統(tǒng)。(a)(b)總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論9 對角規(guī)范形對角規(guī)范形狀態(tài)方程中的狀態(tài)方程中的系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A具具 有對角形的形有對角形的形式。式。 約當規(guī)范形約當規(guī)范形狀態(tài)方程中的狀態(tài)方程中的系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A具具 有分塊對角形有分塊對角形的形式。的形式。3. 狀態(tài)方程的對角規(guī)范形和約當規(guī)范形狀態(tài)方程的對角規(guī)范形和約當規(guī)范形總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論10已知已知n階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為階線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 xAxBu當系統(tǒng)矩陣當系統(tǒng)矩陣A具有具有n個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量 時，時，可以通過線性非奇異變換變換為對角線規(guī)范形可以

7、通過線性非奇異變換變換為對角線規(guī)范形 。即以即以下下2種情況下可化為對角線規(guī)范形：種情況下可化為對角線規(guī)范形： 12,n （1）系統(tǒng)矩陣）系統(tǒng)矩陣A的的n個特征值兩兩互異；個特征值兩兩互異；（2）系統(tǒng)矩陣）系統(tǒng)矩陣A有重特征值，且所有特征值的幾有重特征值，且所有特征值的幾何重數(shù)都等于其代數(shù)重數(shù)。何重數(shù)都等于其代數(shù)重數(shù)。 總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論11 對于對于n階線性定常系統(tǒng)階線性定常系統(tǒng)當系統(tǒng)矩陣當系統(tǒng)矩陣A有重特征值，且矩陣有重特征值，且矩陣A的線性無關(guān)的的線性無關(guān)的特征向量個數(shù)少于特征向量個數(shù)少于n時時，則可以通過線性非奇異則可以通過線性非奇異變變換變換為約當規(guī)范形。換變換為約當規(guī)范形。 xA

8、xBu總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論12 設(shè)設(shè)i為系統(tǒng)矩陣為系統(tǒng)矩陣A的一個特征值，且有的一個特征值，且有 det()( -)( )()0 iiiiisAss 則稱則稱i為特征值為特征值i的的代數(shù)重數(shù)代數(shù)重數(shù)。說明說明1：矩陣矩陣A的重特征值的重特征值i的重數(shù)的重數(shù)i 就是特征值就是特征值i的的 代數(shù)重數(shù)。代數(shù)重數(shù)。 說明說明2：若若n階線性定常系統(tǒng)含有重特征值階線性定常系統(tǒng)含有重特征值i且可化為且可化為 約當規(guī)范形時，約當規(guī)范形時， i的代數(shù)重數(shù)的代數(shù)重數(shù)i為該規(guī)范形中為該規(guī)范形中 所有屬于特征值所有屬于特征值i的約當小塊的階數(shù)之和。的約當小塊的階數(shù)之和。 總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論13 設(shè)設(shè)i為系統(tǒng)矩陣為

9、系統(tǒng)矩陣A的一個特征值，的一個特征值，i的幾何重的幾何重數(shù)可由下式計算數(shù)可由下式計算 ()iinrankIA說明：說明：若若n階線性定常系統(tǒng)含有重特征值階線性定常系統(tǒng)含有重特征值i且可化且可化 為約當規(guī)范形時，為約當規(guī)范形時，i的幾何重數(shù)的幾何重數(shù)i為該規(guī)為該規(guī) 范形中特征值范形中特征值i對應(yīng)的約當小塊的個數(shù)。對應(yīng)的約當小塊的個數(shù)?？倧?fù)習：現(xiàn)代控制理論14說明：約當規(guī)范形的特點說明：約當規(guī)范形的特點對包含重特征值的對包含重特征值的n維線性時不變系統(tǒng)，系統(tǒng)維線性時不變系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣矩陣 的的約當規(guī)范形是一個約當規(guī)范形是一個“嵌套式嵌套式”的對角塊陣的對角塊陣。“外層外層”反映整個矩陣，其形式是以

10、相應(yīng)于各反映整個矩陣，其形式是以相應(yīng)于各個特個特征值征值的約當塊為塊元的對角線分塊陣，的約當塊為塊元的對角線分塊陣，約當塊的個約當塊的個數(shù)等于相異特征值個數(shù)數(shù)等于相異特征值個數(shù)l，約當塊的維數(shù)等于相應(yīng)約當塊的維數(shù)等于相應(yīng)特征值的代數(shù)重數(shù)特征值的代數(shù)重數(shù)?！爸袑又袑印本褪羌s當塊，其形式是以約當小塊為塊元就是約當塊，其形式是以約當小塊為塊元的對角線分塊陣，的對角線分塊陣，約當小塊的個數(shù)等于相應(yīng)特征值約當小塊的個數(shù)等于相應(yīng)特征值的幾何重數(shù)的幾何重數(shù)。“內(nèi)層內(nèi)層”為約當小塊，約當小塊為為約當小塊，約當小塊為“以相應(yīng)特征值以相應(yīng)特征值為對角元，其右鄰元均為為對角元，其右鄰元均為1，其余元素均為，其余元素

11、均為0”的矩的矩陣。陣。 總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論15p 組合系統(tǒng)：組合系統(tǒng)：由兩個或兩個以上的子系統(tǒng)按一定方由兩個或兩個以上的子系統(tǒng)按一定方式相互聯(lián)接而構(gòu)成的系統(tǒng)稱為組合系統(tǒng)。式相互聯(lián)接而構(gòu)成的系統(tǒng)稱為組合系統(tǒng)。p 基本的互聯(lián)方式有三種：并聯(lián)、串聯(lián)和反饋基本的互聯(lián)方式有三種：并聯(lián)、串聯(lián)和反饋p三種組合系統(tǒng)三種組合系統(tǒng)總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論16兩個線性時不變子系統(tǒng)兩個線性時不變子系統(tǒng)S1和和S2的狀態(tài)空間描述分別為：的狀態(tài)空間描述分別為： 11111111111ABSCD：xxuyxu22222222222ABSCD：xxuyxu1111222211212200ABABCCDDxxuxxxyux1(

12、 )( )NiisG sG總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論171111221222112122120ABB CAB DD CCD Dxxuxxxyux11( )( )( )( )NNsGs GsG sG總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論181111212122211200ABCBB CACxxuxxxyx1121( )( )( )( )ssssGIGGG1121( )( )( )( )ssssGGIGG或或總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論19 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：0()00(),A t tttett( ),0Attet當當t0 = 0時，可將其表為時，可將其表為即對于線性定常系統(tǒng)來說，它的狀

13、態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣就是即對于線性定常系統(tǒng)來說，它的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣就是矩陣指數(shù)函數(shù)。矩陣指數(shù)函數(shù)。 000,( ),ABtttxxuxx總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論201( )();tt ( )( )(0)tAtI( )Atte1）定義法）定義法0( )tAt （最常用）（最常用）)()(11AsLt3）拉氏反變換法）拉氏反變換法（）2）特征值法）特征值法總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論21 00( )(),0tx ttBtdt xu1110( )( )() +( )tLX sLsABsxxU 總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論22第第4章章 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論23線性定常系統(tǒng)線性定常

14、系統(tǒng) 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt完全能控的充分必要條件是完全能控的充分必要條件是 1ncrankQrank B ABABn 其中其中: n為矩陣為矩陣A的維數(shù)，的維數(shù)， 稱為系統(tǒng)的能控性判別陣。稱為系統(tǒng)的能控性判別陣。1ncQB ABAB 注：注：秩判據(jù)是一種方便，應(yīng)用廣泛的判別方法。秩判據(jù)是一種方便，應(yīng)用廣泛的判別方法。總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論24線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng) 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt完全能控的充分必要條件是：對矩陣完全能控的充分必要條件是：對矩陣A的所有特的所有特征值征值 ， (1,2, )iin1,2,irankI

15、ABnin均成立均成立，或等價地表示為或等價地表示為,rank sIABnsC 注：注：當系統(tǒng)矩陣當系統(tǒng)矩陣A的維數(shù)較高時，應(yīng)用秩判據(jù)的維數(shù)較高時，應(yīng)用秩判據(jù)可能不太方便，此時可考慮用可能不太方便，此時可考慮用PBH秩判據(jù)試一下。秩判據(jù)試一下?？倧?fù)習：現(xiàn)代控制理論25 當當矩陣矩陣A的特征值的特征值 為兩兩相異為兩兩相異時，時，線性定常連續(xù)系統(tǒng)線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是：其對角線規(guī)范型完全能控的充分必要條件是：其對角線規(guī)范型 12,n 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt12nxxBu中，中， 不包含元素全為零的不包含元素全為零的。B總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論26

16、 當當系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A有重特征值時有重特征值時，線性定常連，線性定常連續(xù)系統(tǒng)續(xù)系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是：由其導(dǎo)出的約當完全能控的充分必要條件是：由其導(dǎo)出的約當規(guī)范型規(guī)范型 中，中， 中與同一特征值的各中與同一特征值的各約當塊對應(yīng)的各子塊的約當塊對應(yīng)的各子塊的最后一行最后一行組成的矩陣是組成的矩陣是線性無關(guān)的。線性無關(guān)的。0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxtABxxuB總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論27總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論28 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)完全可觀測的充分必要條件是完全可觀測的充分必要條件是:或或0(0)0 xAxxxtyCx1onCCArankQranknCA1(

17、)TTTTnTorankQrank CA CACn其中：其中：n是系統(tǒng)的維數(shù)，是系統(tǒng)的維數(shù)，Qo稱為系統(tǒng)的能觀測性判別稱為系統(tǒng)的能觀測性判別陣，簡稱能觀測性陣。陣，簡稱能觀測性陣。總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論29 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是：對矩陣完全能觀測的充分必要條件是：對矩陣A的所的所有特征值有特征值 ，均有，均有0(0)0 xAxxxtyCx),2, 1(niiIrank;1,2,iAninCI sAranknsCC ，成立?；虻葍r地表示為成立。或等價地表示為總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論3012,nxxyCx 當矩陣當矩陣A的特征值的特征值 為兩兩相異時為兩兩相異時，線性定常連

18、續(xù)系統(tǒng)線性定常連續(xù)系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是：其對角線規(guī)范型完全能觀測的充分必要條件是：其對角線規(guī)范型 12,n 中，中， 不包含元素全為零的不包含元素全為零的。0(0)0 xAxxxtyCxC總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論31 當當系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A有重特征值時有重特征值時，線性定常連，線性定常連續(xù)系統(tǒng)續(xù)系統(tǒng)完全能觀測的充分必要條件是：由其導(dǎo)出的約完全能觀測的充分必要條件是：由其導(dǎo)出的約當規(guī)范型當規(guī)范型中，中， 0(0)0 xAxxxtyCxACxxy =xC總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論32 考慮連續(xù)時間線性時變系統(tǒng)考慮連續(xù)時間線性時變系統(tǒng) 線性時變系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：線性時變系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)的

19、狀態(tài)空間描述為：（1 1）（2 2）( )( ) ( ) xA t xB t uyC t x： ( )( ) ( ) TTTTTdTTTAtCtBt ：四、對偶性四、對偶性1.1.對偶系統(tǒng)：對偶系統(tǒng)：2.2.對偶原理：對偶原理： 線性時變系統(tǒng)的完全能控等同于其線性時變系統(tǒng)的完全能控等同于其對偶系統(tǒng)的完全能觀測，線性時變系統(tǒng)的完全能對偶系統(tǒng)的完全能觀測，線性時變系統(tǒng)的完全能觀測等同于其對偶系統(tǒng)的完全能控。觀測等同于其對偶系統(tǒng)的完全能控。 總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論331.1.能控規(guī)范形的定義：能控規(guī)范形的定義： 對對完全能控完全能控的的單輸入單輸出單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)，線性時不變系統(tǒng)，如果其狀態(tài)

20、空間描述具有如下形式如果其狀態(tài)空間描述具有如下形式 cccAbycxxux其中：其中：01-10101cnA001cb 則稱此狀態(tài)空間描述為則稱此狀態(tài)空間描述為能控規(guī)范形能控規(guī)范形。五五. .能控能觀規(guī)范形能控能觀規(guī)范形總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論34結(jié)論：結(jié)論：對于對于完全能控完全能控的單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)的單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)Abycxxux其中：其中：A為為nn常陣，常陣，b，c分別為分別為n維列向量和維列向量和n維行維行向量。設(shè)系統(tǒng)的特征多項式為向量。設(shè)系統(tǒng)的特征多項式為1110( )det()nnnssIAsss引入非奇異線性變換陣引入非奇異線性變換陣P：2.化化SISO能控系統(tǒng)

21、為能控規(guī)范形能控系統(tǒng)為能控規(guī)范形111111111111 11nnnnnnPAbAb bb AbAb總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論35作變換作變換 ，即可導(dǎo)出，即可導(dǎo)出能控規(guī)范形能控規(guī)范形為：為：1Pxx式中：式中：1101210110100000100;000101ccncnAP APbP bccP 其中：其中：121120121nnnnnncbcAbcbcAbcAbcAbcbcccAbycxxux總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論363.3.能觀測規(guī)范形的定義：能觀測規(guī)范形的定義： 對對完全能觀測完全能觀測的的單輸入單輸出單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)，線性時不變系統(tǒng)，如果其狀態(tài)空間描述具有如下形式如果其狀態(tài)空間描述

22、具有如下形式其中：其中： 則稱此狀態(tài)空間描述為則稱此狀態(tài)空間描述為能觀測規(guī)范形能觀測規(guī)范形。 oooxA xb uyc x01-10011onA001oc 總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論37結(jié)論：結(jié)論：對于對于完全能觀測完全能觀測的單輸入單輸出的單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)Abycxxux其中：其中：A為為nn常陣，常陣，b，c分別為分別為n維列向量和維列向量和n維行維行向量。設(shè)系統(tǒng)的特征多項式為向量。設(shè)系統(tǒng)的特征多項式為1110( )det()nnnssIAsss引入非奇異線性變換陣引入非奇異線性變換陣Q：4.化化SISO能觀測系統(tǒng)為能觀測規(guī)范形能觀測系統(tǒng)為能觀測規(guī)范形1111111111

23、111nnnnnnccAAQcAAccc總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論38作變換作變換 ，即可導(dǎo)出，即可導(dǎo)出能觀測規(guī)范形能觀測規(guī)范形為：為：Qxx式中：式中：其中：其中：121120121nnnnnncbcAbcbcAbcAbcAbcb00111-111001,10 0 1oonnoAQAQbQbccQ oooxA xb uyc x總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論39 結(jié)論結(jié)論：對不完全能控的系統(tǒng)，：對不完全能控的系統(tǒng)，rankQc=kn，引，引入線性非奇異變換入線性非奇異變換 ，即可導(dǎo)出系統(tǒng)按，即可導(dǎo)出系統(tǒng)按能能控性控性結(jié)構(gòu)分解的規(guī)范表達式結(jié)構(gòu)分解的規(guī)范表達式xPx1200cccccccccccxxAABuxxA

24、xyCCxP P 矩陣如矩陣如何確定？何確定？六、連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解六、連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解1. 線性定常系統(tǒng)按能控性的結(jié)構(gòu)分解線性定常系統(tǒng)按能控性的結(jié)構(gòu)分解總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論401）從能控性判別陣）從能控性判別陣Qc中任意的選取中任意的選取k個線性無關(guān)個線性無關(guān)的的列列向量，記為向量，記為 。2）在）在n維實數(shù)空間中任意選取盡可能簡單的維實數(shù)空間中任意選取盡可能簡單的(n- -k)個列向量（個列向量（注：注：所謂盡可能簡單是指這所謂盡可能簡單是指這(n-k)個列個列向量中有盡可能多的元素為零，非零元素取值為向量中有盡可能多的元素為零，非零元素取值為1），記為），記

25、為 ，使它們和，使它們和 線性線性無關(guān)。這樣就可以構(gòu)成無關(guān)。這樣就可以構(gòu)成nn非奇異變換矩陣非奇異變換矩陣12,kq qq12,kknqqq12,kq qq1121kknPqqqqq總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論411200cccccccccccBAACCAxxxu,y = y =xxx式中：式中： 為為k維能控狀態(tài)子向量，維能控狀態(tài)子向量， 為為(n-k)維不能控維不能控狀態(tài)子向量，并且狀態(tài)子向量，并且 cxcx121()()0ckcn kkn kAAAPAPA行行列列()0ckn kkBBPB行行列1()qcckn kCCPCC行列列進行非奇異線性變換：進行非奇異線性變換：ccPxx= x =x即可

26、得到系統(tǒng)按能控性分解的規(guī)范表達式：即可得到系統(tǒng)按能控性分解的規(guī)范表達式：總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論42 結(jié)論結(jié)論：對不完全能觀的系統(tǒng)，：對不完全能觀的系統(tǒng)，rankQo=mn，引引入線性非奇異變換入線性非奇異變換 ，即可導(dǎo)出系統(tǒng)按能觀，即可導(dǎo)出系統(tǒng)按能觀性結(jié)構(gòu)分解的規(guī)范表達式性結(jié)構(gòu)分解的規(guī)范表達式xFx2100oooooooooooxxBAuxxBAAxyCxF 矩陣如矩陣如何確定？何確定？2. 線性定常系統(tǒng)按能觀測性的結(jié)構(gòu)分解線性定常系統(tǒng)按能觀測性的結(jié)構(gòu)分解總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論431. 從從Qo中任意的選取中任意的選取m個線性無關(guān)的個線性無關(guān)的行行向量，記為向量，記為 。12,mh hh2. 在在

27、n維實數(shù)空間中任意選取盡可維實數(shù)空間中任意選取盡可能 簡 單 的能 簡 單 的 ( n - m ) 個個 n 維 行 向維 行 向量量 ，使它們和，使它們和 線性無關(guān)。構(gòu)成線性無關(guān)。構(gòu)成nn非奇異變換非奇異變換矩陣矩陣11mmnFhhhh12,mmnhhh12,mh hh總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論44即可得到系統(tǒng)按能觀測性分解的規(guī)范表達式：即可得到系統(tǒng)按能觀測性分解的規(guī)范表達式：210oooooooooooBACBAA0 xxxu,y =xxx式中：式中： 為為m維能觀測狀態(tài)子向量，維能觀測狀態(tài)子向量， 為為(n- m)維維不能觀測狀態(tài)子向量，并且不能觀測狀態(tài)子向量，并且 oxox121()()om

28、on mmn mAAFAFAA0行行列列()omon mmBBFBB行行列1()qomn mCCFC0行列列進行非奇異線性變換進行非奇異線性變換ooxx =Fxx總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論45七七. 最小實現(xiàn)（補充）最小實現(xiàn)（補充）1最小實現(xiàn)的定義：最小實現(xiàn)的定義：傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個維的一個維數(shù)最低的實現(xiàn)，稱為數(shù)最低的實現(xiàn)，稱為G(s)的最小實現(xiàn)或不可約簡的最小實現(xiàn)或不可約簡實現(xiàn)。實現(xiàn)。3定理定理1：設(shè)設(shè)(A,B,C)為傳遞函數(shù)矩陣的一個為傳遞函數(shù)矩陣的一個n維維實現(xiàn)，則其為最小實現(xiàn)的充要條件是實現(xiàn)，則其為最小實現(xiàn)的充要條件是A,B可控可控且且A,C可觀測?？捎^測?？倧?fù)習：現(xiàn)代控

29、制理論463. 設(shè)設(shè)單輸入單輸出單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)(A,b,c)的傳遞函的傳遞函數(shù)為：數(shù)為：11( )( )()()( )( )N sG ssIAadj sIAsscbcb式中：式中： 是系統(tǒng)的特征多項式；是系統(tǒng)的特征多項式；( )det()ssIA( )()N sadj sIAcb ，其中，其中adj(sI-A)為特征矩陣為特征矩陣sI-A的伴隨矩陣。的伴隨矩陣。 定理定理2：系統(tǒng)實現(xiàn)系統(tǒng)實現(xiàn)(A,b,c)為最小實現(xiàn)，即為可控為最小實現(xiàn)，即為可控且可觀測的充要條件是，且可觀測的充要條件是， 與與 互質(zhì)?；ベ|(zhì)。( ) s( )N s給出給出SISO線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)寫出其

30、最小實現(xiàn)：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)寫出其最小實現(xiàn)：對傳遞函數(shù)對傳遞函數(shù)G(s)化簡，使其分子分母互質(zhì)，然后直接化簡，使其分子分母互質(zhì)，然后直接寫出其能控或能觀規(guī)范型即為最小實現(xiàn)的一種形式。寫出其能控或能觀規(guī)范型即為最小實現(xiàn)的一種形式。總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論47外部穩(wěn)定性外部穩(wěn)定性通過系統(tǒng)輸入通過系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系來描輸出關(guān)系來描述系統(tǒng)穩(wěn)定性述系統(tǒng)穩(wěn)定性內(nèi)部穩(wěn)定性內(nèi)部穩(wěn)定性通過零輸入下狀通過零輸入下狀態(tài)運動的響應(yīng)來態(tài)運動的響應(yīng)來描述系統(tǒng)穩(wěn)定性描述系統(tǒng)穩(wěn)定性描述穩(wěn)定性的兩種方法描述穩(wěn)定性的兩種方法第第5 5章章 系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性一、一、總復(fù)習：

31、現(xiàn)代控制理論481.1.外部穩(wěn)定性外部穩(wěn)定性 對于一個因果系統(tǒng)，假定對于一個因果系統(tǒng)，假定系統(tǒng)的初始條件為零系統(tǒng)的初始條件為零，如果對應(yīng)于任意一個如果對應(yīng)于任意一個有界的有界的p維輸入維輸入u(t)，所產(chǎn)生的，所產(chǎn)生的q維輸出維輸出y(t)均是有界的均是有界的，則稱此系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。則稱此系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的。也稱為有界輸入也稱為有界輸入-有界輸出穩(wěn)定有界輸出穩(wěn)定(BIBO穩(wěn)定穩(wěn)定)。2.2.內(nèi)部穩(wěn)定性內(nèi)部穩(wěn)定性00( )( ) , ( )xA t xB t u x tx令外輸入令外輸入u=0=0，如果對于給定的任意初始狀態(tài)，系統(tǒng)，如果對于給定的任意初始狀態(tài)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)均滿足下列關(guān)系式的零

32、輸入響應(yīng)均滿足下列關(guān)系式：則稱該系統(tǒng)為內(nèi)部穩(wěn)定，或漸近穩(wěn)定。則稱該系統(tǒng)為內(nèi)部穩(wěn)定，或漸近穩(wěn)定。0tlim( )0uxt 總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論49二、線性定常系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性的關(guān)系二、線性定常系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性的關(guān)系外外部部穩(wěn)穩(wěn)定定性性內(nèi)內(nèi)部部穩(wěn)穩(wěn)定定性性既能控又能觀時既能控又能觀時總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論50三、李雅普諾夫第二法主要定理三、李雅普諾夫第二法主要定理1. 結(jié)論結(jié)論5.11 (定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理1) 對于定常系統(tǒng)對于定常系統(tǒng)其中其中f(0)=0，如果存在一個具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的，如果存在一個具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)標量函數(shù)V(

33、x), V(0) = 0，并且對于狀態(tài)空間，并且對于狀態(tài)空間X中中的一切非零點的一切非零點x滿足如下條件：滿足如下條件： 1） V(x)為正定；為正定； 2） 為負定；為負定； 3） 當當 時，時， 。則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定的。的。( )0ftxx，( )V xx( )V x總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論512. 結(jié)論結(jié)論5.12 (定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理定常系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定判別定理2) 對于定常系統(tǒng)對于定常系統(tǒng)其中其中f(0)=0，如果存在一個具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的，如果存在一個具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的標量函數(shù)標量函數(shù)V(x), V(0) = 0，并且

34、對于狀態(tài)空間，并且對于狀態(tài)空間X中中的一切非零點的一切非零點x滿足如下條件：滿足如下條件： 1） V(x)為正定；為正定； 2） 為負半定；為負半定； 3） 對于任意對于任意 非零非零 ； 4） 當當 時，時， 。則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是則系統(tǒng)的原點平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定的。的。( )0ftxx，( )V xx( )V x00,( ( ;,0)0XVt x x總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論520(0)0Atxxxx，1、結(jié)論、結(jié)論5.22 特征值判據(jù)特征值判據(jù) ：考慮線性定常自治系統(tǒng)考慮線性定常自治系統(tǒng)系統(tǒng)的系統(tǒng)的每一個每一個平衡狀態(tài)是平衡狀態(tài)是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的充

35、分必要條件為：系統(tǒng)矩陣的充分必要條件為：系統(tǒng)矩陣A的的所有所有特征值均具特征值均具有有非正非正(負或零負或零)實部實部，且，且實部為零的特征值實部為零的特征值是是A的的最小多項式最小多項式的的單根單根。四、線性時不變系統(tǒng)的特征值穩(wěn)定判據(jù)四、線性時不變系統(tǒng)的特征值穩(wěn)定判據(jù)(sI-A)-1中所有元素的最小公分母中所有元素的最小公分母總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論530(0)0Atxxxx，2、結(jié)論、結(jié)論5.23 特征值判據(jù)特征值判據(jù) ：考慮線性定常自治系統(tǒng)考慮線性定常自治系統(tǒng)系統(tǒng)的系統(tǒng)的唯一唯一平衡態(tài)平衡態(tài)xe=0是是漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定的充要條件是：的充要條件是：系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A的的所有所有特征值均具有特征

36、值均具有負實部負實部。 對于零初始條件的對于零初始條件的p維輸入和維輸入和q維輸出連續(xù)時間維輸出連續(xù)時間線性線性定常定常系統(tǒng)，系統(tǒng)，G(s)為其傳遞函數(shù)矩陣，則系統(tǒng)為其傳遞函數(shù)矩陣，則系統(tǒng)為為BIBO穩(wěn)定的充分必要條件為穩(wěn)定的充分必要條件為真或嚴真的傳遞函真或嚴真的傳遞函數(shù)矩陣數(shù)矩陣G(s)的所有極點均具有負實部的所有極點均具有負實部。結(jié)論結(jié)論5.3 ：線性定常系統(tǒng)：線性定常系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論54結(jié)論結(jié)論5.24 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)0(0)0Atxxxx，0exTA PPAQ 的原點平衡狀態(tài)的原點平衡狀態(tài) 為漸近穩(wěn)定的充分必要條為漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，對

37、于任意給定的一個正定對稱矩陣件是，對于任意給定的一個正定對稱矩陣Q，李亞，李亞普諾夫矩陣方程普諾夫矩陣方程有唯一正定對稱矩陣解有唯一正定對稱矩陣解P。 注意：注意：使用中常選取使用中常選取Q陣為單位陣或正定對角陣。陣為單位陣或正定對角陣。五、線性時不變系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定判據(jù)五、線性時不變系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定判據(jù)總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論55一一 . . 兩種常用反饋結(jié)構(gòu)兩種常用反饋結(jié)構(gòu)u v Kx vFvFC xuy(),xA BK x Bvy Cx()xABFCxBvyC x,總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論56二二 . .反饋結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)性能的影響反饋結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)性能的影響1. 對系統(tǒng)可控性和可觀測性的影響對

38、系統(tǒng)可控性和可觀測性的影響結(jié)論結(jié)論6.1/6.2：狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的可控性，但狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的可控性，但可能改變系統(tǒng)的可觀測性?？赡芨淖兿到y(tǒng)的可觀測性。結(jié)論結(jié)論6.3：輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控性和能觀輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控性和能觀測性。測性?？倧?fù)習：現(xiàn)代控制理論570, (0),0ABxx t xxuvKux()ABKBvxx對于線性定常受控系統(tǒng)對于線性定常受控系統(tǒng)如果可以找到狀態(tài)反饋控制律如果可以找到狀態(tài)反饋控制律使得通過反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)使得通過反饋構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，即是漸近穩(wěn)定的，即（A-BK）的特征值均具有負的特征值均具有負實部，實部，則稱系統(tǒng)則稱系統(tǒng)實現(xiàn)了狀態(tài)反饋鎮(zhèn)

39、定實現(xiàn)了狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定。結(jié)論結(jié)論6.16: 當且僅當線性定常系統(tǒng)的當且僅當線性定常系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定時，系統(tǒng)是狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的。時，系統(tǒng)是狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的。2. 反饋結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響反饋結(jié)構(gòu)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論58總結(jié)總結(jié): : (1)(1)完全能控完全能控的線性定常系統(tǒng)一定是狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)的線性定常系統(tǒng)一定是狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的。定的。 (2)(2)線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)不完全能控不完全能控，但，但不能控部分是漸不能控部分是漸近穩(wěn)定的近穩(wěn)定的（即不能控部分的極點均具有負實（即不能控部分的極點均具有負實部），則系統(tǒng)一定是狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的。部），則系統(tǒng)一定是狀態(tài)反饋可鎮(zhèn)定的

40、。 (3)(3)線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)不完全能控不完全能控，但不能控部分是不但不能控部分是不穩(wěn)定的穩(wěn)定的（即不能控部分的極點具有非負實部），（即不能控部分的極點具有非負實部），則系統(tǒng)一定不能通過狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定。則系統(tǒng)一定不能通過狀態(tài)反饋鎮(zhèn)定?？倧?fù)習：現(xiàn)代控制理論59三、三、 系統(tǒng)的極點配置系統(tǒng)的極點配置結(jié)論結(jié)論6.4：利用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點的充利用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點的充分必要條件是被控系統(tǒng)可控。分必要條件是被控系統(tǒng)可控。 注：注：若系統(tǒng)不完全能控即不滿足上述結(jié)論條件，若系統(tǒng)不完全能控即不滿足上述結(jié)論條件，但系統(tǒng)不能控部分特征值屬于期望閉環(huán)特征值，但系統(tǒng)不能控部分特征值屬于期望閉環(huán)特

41、征值，那么仍能配置系統(tǒng)的全部閉環(huán)極點。那么仍能配置系統(tǒng)的全部閉環(huán)極點?？倧?fù)習：現(xiàn)代控制理論60 給定給定n維受控系統(tǒng)維受控系統(tǒng)(A,b)和一組任意期望閉環(huán)特和一組任意期望閉環(huán)特征值征值 , 要確定要確定(1n)維的反饋增益向量維的反饋增益向量k,使閉環(huán)系統(tǒng)矩陣使閉環(huán)系統(tǒng)矩陣(A-bk)的特征值為的特征值為 。*12,n *12,n 12nkkkk設(shè)設(shè)(1) 計算期望的特征多項式：計算期望的特征多項式：*1*1110( )()()nnnnssssss總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論61(2) 用待定系數(shù)計算閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式：用待定系數(shù)計算閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項式：1110( )det( I)nnnssA b

42、ksss (3) 由下列由下列n個方程計算反饋矩陣個方程計算反饋矩陣k的元素：的元素：*11221100nnnn，系統(tǒng)完全能控，單輸入系統(tǒng)的極點配系統(tǒng)完全能控，單輸入系統(tǒng)的極點配置有唯一解；置有唯一解；系統(tǒng)不完全能控，若期望極點中包系統(tǒng)不完全能控，若期望極點中包含所有不能控極點，極點配置有解（可通過上述含所有不能控極點，極點配置有解（可通過上述通用的計算方法求出反饋增益陣通用的計算方法求出反饋增益陣K），），否則無解。否則無解?？倧?fù)習：現(xiàn)代控制理論621110( )det ( I)nnnssAsss(1) 計算矩陣計算矩陣A的特征多項式的特征多項式:(2) 計算期望的特征多項式計算期望的特征多

43、項式:*12*1*110( )()()()nnnnsssssss(3) 計算計算(能控規(guī)范型能控規(guī)范型)反饋矩陣反饋矩陣 :*001111nnkk總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論631kkP(6) 計算原系統(tǒng)的反饋增益陣：計算原系統(tǒng)的反饋增益陣：(4) 計算變換矩陣計算變換矩陣P:1111111111111 1nnnnnnPAbAb bb AbAb(5) 計算計算P- -1：總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論64矩陣的循環(huán)性矩陣的循環(huán)性循環(huán)矩陣定義：循環(huán)矩陣定義：矩陣矩陣A的特征多項式等于其最小多項式的特征多項式等于其最小多項式循環(huán)矩陣性質(zhì)：循環(huán)矩陣性質(zhì)：結(jié)論結(jié)論6.5：當且僅當矩陣當且僅當矩陣A的約當規(guī)范形中的約當規(guī)范形中相應(yīng)于每個相應(yīng)于每個不同特征值僅有不同特征值僅有一個一個約當小塊時約當小塊時，矩陣，矩陣A為循環(huán)矩陣。為循環(huán)矩陣。結(jié)論結(jié)論6.6：若系統(tǒng)矩陣若系統(tǒng)矩陣A的的n個特征值個特征值兩兩互異兩兩互異，則矩陣，則矩陣A為循環(huán)矩陣為循環(huán)矩陣。總復(fù)習：現(xiàn)代控制理論65結(jié)論結(jié)論6.11：對完全能控對完全能控n維單輸入單輸出線性時不維單輸入單輸出線性時不變系統(tǒng)，