數(shù)值分析Matlab作業(yè)龍格庫(kù)塔歐拉方法解二階微分方程_第1頁(yè)
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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上Matlab 應(yīng)用使用Euler和Rungkutta方法解臂狀擺的能量方程背景 單擺是常見(jiàn)的物理模型,為了得到擺角的關(guān)于時(shí)間的函數(shù),來(lái)描述單擺運(yùn)動(dòng)。由角動(dòng)量定理我們知道化簡(jiǎn)得到 在一般的應(yīng)用和計(jì)算中,只考慮擺角在5度以?xún)?nèi)的小擺動(dòng),因?yàn)榭梢园珊?jiǎn)化為,這樣比較容易解。實(shí)際上這是一個(gè)解二階常微分方程的問(wèn)題。在這里的單擺是一種特別的單擺,具有均勻的質(zhì)量M分布在長(zhǎng)為2的臂狀擺上,使用能量法建立方程化簡(jiǎn)得到重力加速度取9.806651使用歐拉法令,這樣降階就把二階常微分方程轉(zhuǎn)化為一階微分方程組,再利用向前Euler方法數(shù)值求解。 y(i+1)=y(i)+h*z(i); z(i+1

2、)=z(i)+h*7.35499*cos(y(i);y(0)=0z(0)=0精度隨著h的減小而更高,因?yàn)橄蚯皻W拉方法的整體截?cái)嗾`差與h同階,(因?yàn)槭怯昧颂├展剑┧詺W拉方法的穩(wěn)定區(qū)域并不大。2. RK4-四階龍格庫(kù)塔方法使用四級(jí)四階經(jīng)典顯式Rungkutta公式穩(wěn)定性很好,RK4法是四階方法,每步的誤差是h5,而總積累誤差為h4階。所以比歐拉穩(wěn)定。運(yùn)行第三個(gè)程序:在一幅圖中顯示歐拉法和RK4法,隨著截?cái)嗾`差的積累,歐拉法產(chǎn)生了較大的誤差h=0.01h=0.0001,仍然是開(kāi)始較為穩(wěn)定,逐漸誤差變大總結(jié):RK4是很好的方法,很穩(wěn)定,而且四階是很常用的方法,因?yàn)榈轿咫A的時(shí)候精度并沒(méi)有相應(yīng)提升。通

3、過(guò)這兩種方法計(jì)算出角度峰值y=3.,周期是1.。三個(gè)程序歐拉法clear;clch=0.00001;a=0;b=25;x=a:h:b;y(1)=0;z(1)=0;for i=1:length(x)-1 % 歐拉 y(i+1)=y(i)+h*z(i); z(i+1)=z(i)+h*7.35499*cos(y(i);endplot(x,y,r*);xlabel(時(shí)間);ylabel(角度);A=x,y;%y(find(y=max(y)%Num=(find(y=max(y)y,T=max(y);fprintf(角度峰值等于%d,y) %角度的峰值也就是fprintf(n) fprintf(周期等于%

4、d,T*h) %周期legend(歐拉);龍格庫(kù)塔方法先定義函數(shù)rightf_sys1.mfunction w=rightf_sys1(x,y,z) w=7.35499*cos(y);clear;clc;%set(0,RecursionLimit,500)h=0.01;a=0;b=25;x=a:h:b;RK_y(1)=0; %初值RK_z(1)=0; %初值for i=1:length(x)-1 K1=RK_z(i); L1=rightf_sys1(x(i),RK_y(i),RK_z(i); % K1 and L1 K2=RK_z(i)+0.5*h*L1; L2=rightf_sys1(x(i

5、)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K1,RK_z(i)+0.5*h*L1); K3=RK_z(i)+0.5*h*L2; L3=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K2,RK_z(i)+0.5*h*L2); K4=RK_z(i)+h*L3; L4=rightf_sys1(x(i)+h,RK_y(i)+h*K3,RK_z(i)+h*L3); % K4 and L4 RK_y(i+1)=RK_y(i)+1/6*h*(K1+2*K2+2*K3+K4); RK_z(i+1)=RK_z(i)+1/6*h*(L1+2*L2+2*L3+L4); endplot(

6、x,RK_y,b+);xlabel(Variable x); ylabel(Variable y); A=x,RK_y; y,T=max(RK_y);legend(RK4方法);fprintf(角度峰值等于%d,y) %角度的峰值也就是fprintf(n) fprintf(周期等于%d,T*h) %周期兩個(gè)方法在一起對(duì)比使用跟上一個(gè)相同的函數(shù)rightf_sys1.mclear; clc; %清屏h=0.0001; a=0;b=25;x=a:h:b;Euler_y(1)=0; Euler_z(1)=0; %歐拉的初值RK_y(1)=0; RK_z(1)=0; %龍格庫(kù)塔初值for i=1:le

7、ngth(x)-1 %先是歐拉法 Euler_y(i+1)=Euler_y(i)+h*Euler_z(i); Euler_z(i+1)=Euler_z(i)+h*7.35499*cos(Euler_y(i); %龍格庫(kù)塔 K1=RK_z(i); L1=rightf_sys1(x(i),RK_y(i),RK_z(i); % K1 and L1 K2=RK_z(i)+0.5*h*L1; L2=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K1,RK_z(i)+0.5*h*L1); % K2 and L2 K3=RK_z(i)+0.5*h*L2; L3=rightf_sys1(x(i)+0.5*h,RK_y(i)+0.5*h*K2,RK_z(i)+0.5*h*L2); % K3 and L3 K4=RK_z(i)+h*L3; L4=rightf_sys1(x(i)+h,RK_y(i)+h*K3,RK_z(i)+h*L3); % K4 and L4 RK_y(i+1)=RK_y(i)+1/6*h*(K1+2*K2+2*K3+K4); RK_z(i+1)=RK_z(i)+1/6*h*(L1+2*L2+2*L3+L4); endplot(x,Euler_y,r-,x,RK_y,b-);

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