數(shù)學分析2期末考試題庫

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù)學分析 2 期末試題庫數(shù)學分析 II 考試試題（ 1）一、 敘述題：（每小題 6 分，共 18 分）1、 牛頓-萊不尼茲公式2、a 收斂的 cauchy 收斂原理nn 13、 全微分二、 計算題 ：（每小題 8 分，共 32 分）1、limx 02x02sin t dt4x2、求由曲線2y x 和2x y 圍成的圖形的面積和該圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積。3、求nnx1 n(n 1)的收斂半徑和收斂域，并求和y4、已知 zu x ，求2ux y三、（每小題 10 分，共 30 分）1、寫出判別正項級數(shù)斂散性常用的三種方法并判別級數(shù)xp 1e x dx2、討論

2、反常積分的斂散性012 x3、討論函數(shù)列 Sn ( , ) 的一致收斂性( x) x2n四、 證明題 （每小題 10 分，共 20 分）x 1n1 n1、設 x 0, 1 ( 1,2 )n ，證明x nnn 1x 發(fā)散n2、證明函數(shù)xy2 2x y 0f (x, y) 2 2 在（0，0）點連續(xù)且可偏導，x y2 20 x y 0但它在該點不可微。 ，專心-專注-專業(yè)數(shù)學分析 II 考試題（ 2）一、 敘述題 ：( 每小題 5 分，共 10 分）b1、 敘述反常積分 f (x)dx,a 為奇點收斂的 cauchy 收斂原理a2、 二元函數(shù) f (x, y)在區(qū)域 D上的一致連續(xù)二、 計算題 ：

3、（每小題 8 分，共 40 分）1 1 11、 )lim (n 1 n 2 2n n x a(t sin t)2、求擺線 t 0,2 y a(1 cost)與 x 軸圍成的面積1 x3、求 (cpv ) dx21 x4、求冪級數(shù)n 1(xn1)2n的收斂半徑和收斂域x5、 ( , )u f xy ， 求y2ux y三、 討論與驗證題 ：（每小題 10 分，共 30 分）1、f2x y(x, y) ，求lim lim f (x, y),mil mil f (x, y)x yx 0 y 0 y 0 x 0； lim ( , )f x y(x, y) (0,0)是否存在？為什么？2、討論反常積分0a

4、rctanpxxdx的斂散性。3、討論n 13n( 2(n31)nn)的斂散性。四、 證明題 ：（每小題 10 分，共 20 分）b1、 設 f （x）在 a, b 連續(xù)， f (x) 0但不恒為 0，證明 f (x)dx 0a2、 設函數(shù) u 和 v 可微，證明 grad ( uv)= ugradv+vgradu數(shù)學分析 II 考試題（ 3）五、 敘述題 ：（每小題 5 分，共 15 分）1、定積分2、連通集3、函數(shù)項級數(shù)的一致連續(xù)性六、 計算題 ：（每小題 7 分，共 35 分）1、esin(ln1x)dx2、求三葉玫瑰線 r asin 3 0, 圍成的面積3、求n 2nxn cos 的上

5、下極限 2n 1 54、求冪級數(shù)nn(x 1)n1 2的和5、u f (x, y) 為可微函數(shù)， 求(ux u2 ( ) y)2在極坐標下的表達式七、 討論與驗證題 ：（每小題 10 分，共 30 分）1、已知 f (x,y)2 2(x y ) sin0 x 0 y 0 或1xcos1yx0,y0，求 lim ( , )f x y( x ,y) (0,0)，問limx 0limy 0f ( x, y),limy 0lim f (x,x 0y)是否存在？為什么？2、討論反常積分0xp1qxdx的斂散性。nx3、討論 0,1f n (x) x 的一致收斂性。1 n x八、 證明題 ：（每小題 10

6、 分，共 20 分）-1 1、 設 f （x）在 a,+ ）上單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)， f (0) 0 ，記它的反函數(shù) f（y），a b 1證明 f (x)dx f ( y)dy ab (a 0, b 0)0 02、 設正項級數(shù)x 收斂，證明級數(shù)n2x 也收斂nn 1 n 1數(shù)學分析（二）測試題（ 4）一 判斷題（正確的打“” ，錯誤的打“× ” ；每小題 3 分，共 15 分）：1閉區(qū)間 a, b 的全體聚點的集合是 a, b 本身。22函數(shù) ln x x 1 是x121在區(qū)間 1, 內(nèi)的原函數(shù)。3若 f x 在 a, b 上有界，則 f x 在 a, b 上必可積。x4若 f x 為

7、連續(xù)的偶函數(shù)，則 F x f t dt0亦為偶函數(shù)。5正項級數(shù)nn101 n 1 !是收斂的。二填空題 （每小題 3 分，共 15 分）：1數(shù)列1nn3n1的上極限為 ，下極限為 。21 2 nlim n n2 2 2 22 2n 1 nn2。3d tandx0x tedt。4冪級數(shù)nnxn1 n 3的收斂半徑 R 。5 將 函數(shù) f x x x 展開成 傅里葉 級數(shù)，則 a0 ，a ，nb 。n三計算題 （每小題 7 分，共 28 分）： dx1 x x e e； 2e0xln x dx；x3 dx0 1 4x； 4xdx21 x 1四解答題 （每小題 10 分，共 30 分）：21求由拋物

8、線 y 2x與直線 y x 4 所圍圖形的面積。n2判斷級數(shù)1 tann 11n是否收斂，若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？3確定冪級數(shù)n 12nx2n11的收斂域，并求其和函數(shù)。五證明題 （12 分）：證明：函數(shù)sin nxf x 在 , 上有連續(xù)的二階導函數(shù)，并求 f x 。4n n1數(shù)學分析（二）測試題（ 5）二 判斷題（正確的打“” ，錯誤的打“× ” ；每小題 3 分，共 15 分）：1設 a 為點集 E 的聚點，則 a E 。22函數(shù) ln x x 1 是x121在 , 內(nèi)的原函數(shù)。3有界是函數(shù)可積的必要條件。x4若 f x 為連續(xù)的奇函數(shù)，則 F x f t dt0亦為奇

9、函數(shù)。2n5正項級數(shù)是收斂的。n n 12二填空題 （每小題 3 分，共 15 分）：1數(shù)列n2 1 的上極限為 ，下極限為 。21 2 nlim n n2 2 2 2nn n n n2。3d sindx0x tedt。4冪級數(shù)n 1nn42 1nx的收斂半徑 R 。5 將 函數(shù) f x x x 展 開 成傅 里葉級 數(shù)，則 a0 ，a ，nb 。n三計算題 （每小題 7 分，共 28 分）：3x1 dx29 x； 210exdx；3dx2 x2 x 2； 4xdx10 1 x 2四解答題 （每小題 10 分，共 30 分）：1求由兩拋物線2y x 與2y 2 x 所圍圖形的面積。nn 12判

10、斷級數(shù)1 ln是否收斂，若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？n n 13確定冪級數(shù)n 1n x 的收斂域，并求其和函數(shù)。n 1五證明題 （12 分）：證明：函數(shù)22x1f x e 在 0, 上連續(xù)。n2nn 1數(shù)學分析（二）測試題（ 6）一判斷（ 2*7=14 分）（ ）1. 設 x f (x) a,b0為 在 上的極值點，則 ( ) 0f x0（ ）2. 若在 a,b 內(nèi) f (x) g ( x), f (b) g(b),則對 x a,b, 有f (x) g(x)（ ）3. 若x為點集 A的聚點，則必有 x A（ ）4. 若F ( x)連續(xù)，則 F ( x)dx F (x) C2x2（ ）5.

11、若 ( , , , ( ) ( )f x）在 a b f t dt f xa b 上連續(xù)， x 則a（ ）6. 若 an收斂， b 發(fā)散，則 （a b ）必發(fā)散n n n2 3（ ）7. 若 an 收斂，則 a 必收斂n二填空（ 3*7=21 分）1. 已知 f (ln x) 2 x,則f (x) _2 sin xln( x2 1)dx _3.設f x（ ）2xxe(xx0)0),則20f(x1) dx_4 . 求1x2lim sin t dt _3x 0x 03 x2 的拐點坐標5. 求y x 1 (_)1 1 16用定積分求 _limn 1 n 2 n n n17. 冪級數(shù) nn xn 2

12、的收斂半徑 R 三 . 計算 （4*7=28 分）( 要有必要的計算過程 )1 x 2. dx1. xe dx2x x 113. arcsin xdx024求曲線 y x 與y x所圍成的圖形的面積2四判別級數(shù)的斂散性（ 2*9=18 分）(要有必要的過程 )1 .n 1n2nnn!2 . 判別n 1(n1)n2n2x在（ , ）上是否一致收斂，為什么五證明： (9+10=19 分)1設級數(shù)2a 與n2b 都收斂，證明： anbn 絕對收斂n2設 f ( x)在 a,b 上二階可導， f (a) f (b) 0，證明：存在 一點 (a ,b) ，使得f ( )(b4a)( ) ( )2 f b

13、 f a數(shù)學分析（二）測試題（ 7）一判斷（ 2*7=14 分）（ ）1. 設 ( ) 0f x ，則 x0必為f (x) 的極值點0（ ）2. 若在 a,b 內(nèi) f (x) g ( x), f (b) g(b),則對 x a, b, 有f (x) g (x)（ ）3. 若x為點集 A的聚點，則 x可能不屬于 A（ ）4. 若F ( x)連續(xù)，則 F (x)dx F (x) Cb（ ）5. 若 f (x a,b x b, a , f (t)dt f ( x)）在 上連續(xù)， 則xun1（ ）6. 若 ，則級數(shù) n收斂lim l 1 uu nn（ ）7. 冪級數(shù) n至少存在一個收斂點an x二填空

14、（ 3*7=21 分）1. 已知 f (x1) x2 2,則f (x) _cos x 1 cos x 12 _已知 dx A, dx則1 4 0 4x 1 x 13.x 1 (x 0)2設f（x） 2 , 則 f (x 1) dx _x (x 0)04 . 求1 1 costxlim dt _x 0 tx 01 13 x2 f5. 求 f (x) x 1的極大值為 (_) _3 21 1 2 n6用定積分求 lim _n n n n nn27. 冪級數(shù) nxn的收斂半徑 R 三 . 計算 （4*7=28 分）( 要有必要的計算過程 )11. xln xdx 2. dx2x x 113. x a

15、rctanxdx04求曲線 y x3 從x 0到x 1的弧長四判別級數(shù)的斂散性（ 2*9=18 分）(要有必要的過程 )1 .n 11 n 1n n22n2 . 判別n 1(n1)n2n2x在（ , ）上是否一致收斂，為什么五證明： (9+10=19 分)1設級數(shù)2a 與n2b 都收斂，證明：n2(an bn) 收斂b2 f x a b f x f x dx f x x a b若 ( )在 , 上連續(xù)， ( ) 0, ( ) 0,證明： ( ) 0， ,a數(shù)學分析（二）測試題（ 8）三 判斷題（正確的打“” ，錯誤的打“× ” ；每小題 3 分，共 15 分）：1開區(qū)間 a, b 的

16、全體聚點的集合是 a, b 本身。22函數(shù) ln x x 1 是x121在區(qū)間 1, 內(nèi)的原函數(shù)。3若 f x 在 a, b 上有界，則 f x 在 a, b 上必可積。x4若 f x 為 a, b 上的連續(xù)函數(shù)，則 F x f t dt 在 a, b 上可導。a5正項級數(shù)1n n1是收斂的。二填空題 （每小題 4 分，共 16 分）：1 2 nlim1 2 2 2 2 2 2n 1 n 2 n nn。d2 0x et tdd x。3冪級數(shù)nnxn1 n 3的收斂半徑 R 。4 將 函數(shù) f x x x 展開成 傅里葉 級數(shù)，則 a0 ，a ，nb 。n三計算題 （每小題 10 分，共 30

17、分）： d x1 2 1 xx e x x ； 3 dx； 2 1 ln d0 1 4x；四解答題 （每小題 10 分，共 30 分）：21求由拋物線 y 2x與直線 y x 4 所圍圖形的面積。1n2判斷級數(shù) 21n n1是否收斂，若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？3確定冪級數(shù)n 1n x 的收斂域，并求其和函數(shù)。n 1五證明題 （9 分）：證明：函數(shù)22x1f x e 在 0, 上連續(xù)。n2nn 1參考答案（ 1）一、1 、設 f (x) 在 a, b 連續(xù) ， F (x) 是 f (x) 在 a,b 上 的一個 原函數(shù)， 則成 立baf (x) dx F (b) F (a)2、 0. N

18、0, 使得 m n N ，成立an a a1 n 2 m3 、設2D R 為開集 ， z f ( x, y), (x, y) D 是定 義在 D 上的二 元函數(shù) ，P0 (x0 , y0 ) 為 D 中的一定點，若存在只與點有關(guān)而與 x, y 無關(guān)的常數(shù) A 和 B，使得2 y2z 則稱函數(shù) f 在點 P0 (x0, y0 ) 處是可微的，并稱A x B y o( x )A 為在點 P0 (x0, y0) 處的全微分x B y二、1、分子和分母同時求導limx 02x0sin t6x2dtlimx 042x sin x 156x3（8 分）2、 、兩曲線的交點為（ 0，0），（1，1）（2 分

19、）所求的面積為：10(1x x ) （3 分）2 dx所求的體積為：103(x x ) （3 分）5 dx13、 解：設n x (n 1)( n 2)f (x) ， lim 11 n(n 1)1nnn(n 1)，收斂半徑為 1，收斂域-1 ，1 （2 分）fn 1x 1 1' x x(x) ln(1 ), (02(n 1) x xn 11),f (x)x0f1 x' x x(t)dt 1 ln( 1 ), (0x1)(3 分）x=0 級數(shù)為 0，x=1，級數(shù)為 1，x=-1 ，級數(shù)為 1-2ln2 （3 分）4、解：uy=y ln xxx z z（3 分）2ux yy 1y1x

20、z zln x xzx(5 分）三、1、解、 有比較判別法， Cauchy,DAlembert,Raabe 判別法等 （應寫出具體的內(nèi)容 4 分）(n 1)!n 1(n 1) 1nlim lim (1 ) en!n nn 1nn1（4 分）由 DAlembert 判別法知級數(shù)收斂（ 1 分）2、解：0x1p x （2 分），對1e xdx x p 1e x dx x p 1e dx0 110xp ，由于1e x dx1 x e xp 故 p>0 時p 1 xx 1( 0)10xp 收斂 （4 分）；1e xdx1xp ，由于1e x dx2 x e xp 1 （4 分）故對一切的 pxx

21、 0( )1xp1e dxx收斂，綜上所述 p>0，積分收斂3、解：2 1Sn (x) x 收斂于 x （4 分） lim sup Sn (x) x 02nnx ( , )所以函數(shù)列一致收斂性（ 6 分）四、 證明題 （每小題 10 分，共 20 分）1、證明：x x x xn 1 2 n 2 1 13 4n , ( 2)xn x2 n （6 分）x x x x 2 3 n 1 n 1 n 12 3 n 1 21發(fā)散，由比較判別法知級數(shù)發(fā)散（ 4 分） n 2 n 1xy2、證明： 0 | | | xy |2 2x y（4 分）( x,limy) (0,0)xxy22y=0 所以函數(shù)在（

22、 0，0）0點 連 續(xù) ，（ 3 分 ） 又 0l i mx0 x， fx (0,0), f y ( 0,0) 存 在 切 等 于 0 ，（ 4 分 ） 但( x,l i my ) (0,0)2xx yy2不存在，故函數(shù)在（ 0，0）點不可微（ 3 分）參考答案（ 2）1、 0. 0, 使得0 ，成立1 2aa21f ( x) dx2 、 設2D R 為 點 集 ，mf : D R 為 映 射 ， 0. 0, 使 得x1 x2 , x1, x2 D ，成立 f (x1 ) f ( x2 )1二、1、由于 在0 ，1 可積，由定積分的定義知（ 2 分）1 xlimn(1 1n 1 n 212n)

23、1 1 1 11 1= lim ( ) dx ln 2（61 2 nn n 0 1 x1 1 1n n n分）4、 、所求的面積為：202 32a(1 cosx) dx a （8 分）5、 解：1 x A1 x(cpv ) dx lim dx (3 分）2 121 x xA A14、解： lim 1n2n x，r=1 （4 分）由于 x=0，x=2 時，級數(shù)均收斂，所以收斂域為 0 ，2 （4 分）5、解：uy=xf x f （3 分）1 22y2ux yf1f2 2yf11xy f22x3y（5 分）三、1、解、2 2 2x y x x y ylim lim lim 1, lim lim l

24、imx y 0 x 0 y 0 x 0 y 00 x y x x y y0（5 分）由于沿 y kx 趨于（0，0）1極限為所以重極限不存在（ 5 分） 1 k2、解：0arctan x arctan x arctan x1p dx dx dx （2 分），對 p pp dx dx dx （2 分），對x 0x 1x10arctan xp dx ，由于xxparctan x1 x1(px0)故 p<2 時10arctan xp 收斂（ 4 分）；dxx1arctan xdxp ，由于xxarctan xp （4 分）故 p>1(x )px 21arctanpxxdx收斂，綜上所述

25、1<p<2，積分收斂3 n nn 2 ( 1) 2 13、解： lim 1所以級數(shù)收斂（ 10 分）nn 33四、 證明題 （每小題 10 分，共 20 分）1、證明：由 f (x) 0但不恒為 0，至少有一點 x0 a,b f （x）在 a, b 連續(xù)（ 2 分），存b d在包含 x0 的區(qū)間 c,d a,b ，有 f (x) 0（4 分）， f (x)dx f ( x)dx 0（4 分）a c2、證明：以二元函數(shù)為例grad (uv) (uxv vxu,uy v vy u) (ux v,uyv) (vxu, vyu) v(ux ,uy ) u(vx ,vy ) vgradu u

26、gradv（10 分）參考答案（ 3）一、1、設有定數(shù) I ， 0. 0, 使得對任意的分法a x0 x1 xn b和任意的點 i xi 1 ,xi ，只要 max ( x ) ，成立i1 i nnf (i ) x Iii 12、 S的任意兩點 x，y 之間，都存在 S中的一條道路 r ，則稱 S為連通集3、 0. N( ) 0,使得 m n N ，成立an 1 a 2 an me二、1、 sin(ln1x)dx x sin ln xe|1ecos(ln1x)dxesin1ecos11e1sin(lnx)dxe 1（5 分） ( sin 1 cos1 1)sin(ln x )dx e e12（

27、2 分）6、 由對稱性知，所求的面積為：62 a 2a22sin 3 d2 04（7 分）7、 解：上極限為 0.5 ，下極限為12cos45(7 分）4、解：lim nn1n212，r=2 （3 分）1收斂域為（ -3 ，1），級數(shù)的和為 （4 分），1 x 5、解： 設極坐標方程為x r cos , y r sinuxu= cos sinux u r sin ux r cos uyy（5 分） (ux)u2 ( )2y=(ur)2 1 ( )u22r（2 分）三、1、解、由于1 1sin cos 有界，x y2 y2x 為無窮小， lim f (x, y)( x, y) ( 0,0)0 （

28、5 分）1 1 1 1 1 12 2 2 2lim lim ( x y ) sin cos lim ( lim x sin cos lim y sin cosx y 0 x y x 0 y x y0 x y0 y 0)， 而1 12l xi s mci no s極限不存在，y 0 yxlimy 02y sin1xcos1y極限存在，故整體極限不存在，同理limy 0limx 0f (x, y)不存在（ 5 分）12、解： dxp q0 xx10x1 1dxp q p qx1xxdx（2 分），對10xp1qxdx，1m i np( x 故 min( p, q) 1 時,q)由 于 1( 0)x

29、p qx x101p qx xdx收 斂 （ 4 分 ）；p1x1qxdx1m pa,q ) x ( x， 由 于 1( )xp qx x（ 4 分 ） 故max( p, q) 11x1p 收斂，綜上所述 min( p, q) 1 ， max( p, q) 1時，積分收qdxx斂（2 分）3、解： lim f (x) x f (x)nn2x x（3 分）， lim sup f (x) f (x) lim sup 0nn n n x1x所以函數(shù)列一致收斂（ 7 分）四、 證明題 （每小題 10 分，共 20 分）a b11 證明：當 b f (a) 時， f ( x)dx f ( y)dy ab

30、 (a 0,b 0)0 0（4 分）a f ( a)1當 b f (a) 時， f (x)dx f ( y)dy ab (a 0,b 0)0 0（3 分）1f (b) b1當 b f (a)時， f ( x)dx f ( y)dy ab (a 0,b 0)0 0（3 分）2、證明：由于收斂n 1x ，故 lim xn 0（2 分），于是，總存在nnn 使得 n n0 時，02有 0 x 1，從而，當n n0 時，有 xn xn0 （5 分），由于級數(shù)nx 收斂，當然nxnn 1 nn0收斂，故級數(shù)2x 收斂，從而n2x 也收斂（ 3 分）nnn n01標 準 答 案 （4）四 判斷題（正確的打

31、“” ，錯誤的打“× ” ；每小題 3 分，共 15 分）：1 2 3× 4× 5二填空題 （每小題 3 分，共 15 分）：113，131； 2 ln 22x 2tan sec ； 4 3 ； 3 e x5 a0 0 ， an 0 ，bn1n 21n三計算題 （每小題 7 分，共 28 分）： dx1 x x e ed1xe2xex arctan e C ；（4 分） （3 分）e1xln xdx e11 1 1ee2 2ln xd x x ln x xdx12 2 21122e142xe12 1 2e 1 ； 4（4 分） （3 分）x3 dx0 1 4x l

32、imbbx0 1 4 x0 1 4dx1 2 limb2bdx0 41 x1 2 limbb2arctan x 0； 4（2 分） （2 分） （2 分） （1分）2xdx1 x 1lima 12xdxa x1lima 12323 1x 1 2 x 1 2 2a834。（2 分） （3 分） （2 分）四解答題 （每小題 10 分，共 30 分）：21求由拋物線 y 2x與直線 y x 4 所圍圖形的面積。解：兩交點為 2, 2 , 8, 4 ，則 （3 分）S42y42y2dy2y24y3y64182（3 分） （3 分） （1 分）n2判斷級數(shù)1 tann 11n是否收斂，若收斂，是絕對收

33、斂還是條件收斂？解：設an1tan ， an 0 ， 則 an an 1, an 0 n ， （3n分）n由 Leibniz 判別法知，級數(shù)1 tann 11n收斂。 （3分）1 ntan而由 lim 11nn知，級數(shù)1tann n1發(fā)散，故原級數(shù)條件收斂。 （4分）3確定冪級數(shù)n 12nx2n11的收斂域，并求其和函數(shù)。n 1 x解： 因為2n 1lim x2n 1xn2， 所以 （22n 1分）當 x 1 時冪級數(shù)絕對收斂，當 x 1 冪級數(shù)發(fā)散，故收斂半徑 R 1。 （2分）又當 x 1時冪級數(shù)發(fā)散，故收斂域為 1, 1 。 （2分）設2n 1xS x ，則2n 1n 1Sxn 1x12

34、 2n ，從而 （221 x分）S x1x0 21 xdx12ln11xx， x 1, 1 。 （2分）五證明題 （12 分）：證明：函數(shù)sin nxf x 在 , 上有連續(xù)的二階導函數(shù)，并求 f x 。4n n1證明：因為 x , ，有sinnnx414n，sinnnx4cosnx3n13n，cosnx3nsinnnx212n（3分）而級數(shù)14n,13n,12n都收斂，故級數(shù)sin nx cos nx sin nx, ,4 3 2n n n n 1 n 1 n 1n n n n，都在, 上一致收斂。 （3分）又 級 數(shù) 的 每 一 項 都 是 連 續(xù) 的 ， 故 由 函 數(shù) 項 級 數(shù) 的

35、連 續(xù) 性 和 可 微 性 知 ，f x , f x , f x都在 , 上連續(xù)，且 （3分）cos nxf x ，3n n1s i nnxf x ， x , 。 （22n n1分）標 準 答 案 （5）五 判斷題（正確的打“” ，錯誤的打“× ” ；每小題 3 分，共 15 分）：1× 2 3 4× 5二填空題 （每小題 3 分，共 15 分）：sinx cos1 3 ， 1 ； 21 ln 2； 3e x； 414；5 a0 ， an 1n122n， bn 0三計算題 （每小題 7 分，共 28 分）：3x1 dx29 x122x9d2x2x12199x2d2

36、x1 92 ln 92 x x C2 2；（2 分） （3 分） （2 分）210xe dx1t2 t e dt01 1t t 2t e 2 e dt 2 ；0 0（ x t ）（3 分） （3 分） （1 分）3dx2 x2 x 2limbdxb2 2 2x x1 3 limb1 1b2 x 1 x 2dx2 ln 23；（2 分） （3 分） （2 分）4xdx10 1 x2lima 1xdxa0 1 2xlima 1a21 x 1 。0（2 分） （3 分） （1 分）四解答題 （每小題 10 分，共 30 分）：1求由兩拋物線2y x 與2y 2 x 所圍圖形的面積。解：兩交點為 1,

37、1 , 1, 1 ，則 （3 分）S112x22xdx1232x x 3183（3 分） （3 分） （1 分）n 1 n2判斷級數(shù)1 ln是否收斂，若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？n n 1解：設ann 1ln ，an 0， 則 an an 1 , an 0 n ， （3n分）n 1 n由 Leibniz 判別法知， 級數(shù) 1 ln收斂。 （3 nn 1分） n 1lnn而由 lim 11nn知，級數(shù)nlnn n11發(fā)散， 故原級數(shù)條件收斂。 （4分）3確定冪級數(shù)n 1n x 的收斂域，并求其和函數(shù)。n 1n解： 因為 lim 1， 所以收斂半徑 R 1。 （3nn 1分）又當 x 1時冪級

38、數(shù)發(fā)散， 故收斂域為 1, 1 。 （3分）設n 1S x nx ， 則n 1xS0t dtn 1x0ntn1dtn1xnx1 x，（2 分）從而S xx 1xS t dt0 1 x 1 x2， x 1, 1 。 （2分）五證明題 （12 分）：證明：函數(shù)22x1f x 在 0, 上連續(xù)。e n2nn 112ne2x2n12n證明：因為 x 0, ，有， （4分）12n收 斂 ， 故 級 數(shù)n 112ne2x2n在 0, 上 一 致 收 斂 。 而 級 數(shù)（4 分）又級數(shù)的每一項都是連續(xù)的，故由函數(shù)項級數(shù)的連續(xù)性知，f x 在 , 上 連 續(xù) 。（4 分）答案（6）1 2 3 4 5 6 7一

39、 × × × × e 2 13 ( 13,25 27)2 1 0 3二 e e Cx 2x2ln 2 2三 . 計算 ( 要有必要的計算過程 ) x = xex ex C1. xe dx 12. dx 2x x 1x 1（令t 1 ）xt2 x 1 12 2 arctant C 2 arctan C(或 Cdt arccos )x 1 x113. arcsin xdx 1024求曲線 y 2 x2與y x所圍成的圖形的面積1 2 xdx 9(2 x )解： 22四判別級數(shù)的斂散性1 .n 1n2nnn!n2 n! 2解： lim n 1 收斂nen n2

40、 . 判別 (n 1n1)n2n2x在（ , ）上是否一致收斂，為什么nnk ，且 解： ( 1) 1(即一致有界 )，對每一個 x ( , ), 單調(diào)遞減2 2n x k 12nn2x一致趨向于 n0（）n 1( 1)n2nn2x在（ , ）上一致收斂五證明：1設級數(shù)2a 與n2b 都收斂，證明： anbn 絕對收斂n1 2 2 2 2證明： anb (a b ), a b anbn 絕對 收斂而 n n 收斂 n n n22設 f ( x)在 a,b 上二階可導， f (a) f (b) 0，證明：存在 一點 (a ,b) ，使得4( ) ( )f ( ) 2 f b f a （提示：用泰勒公式）(b a)證明：由泰勒公式知f1(x f a f a)( x a) f 1)(x a) ( ) ( (22及f12(x) f (b) f (b)( x b) f ( )(x b)2 a b分別令 x ,有 2a b 1 b a2f ( f a) f 1)( ) （1）) ( (2 2 2a b 1 b a2f ( ) f (b) f ( )( ) （2）2