第3章多維隨機變量

1、第三章第三章 多維隨機變量多維隨機變量第一節(jié)第一節(jié) 二維隨機變量及其分布二維隨機變量及其分布第二節(jié)第二節(jié) 邊緣分布邊緣分布第三節(jié)第三節(jié) 條件分布條件分布第四節(jié)第四節(jié) 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性第五節(jié)第五節(jié) 兩個隨機變量函數(shù)的分布兩個隨機變量函數(shù)的分布上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回1、二維隨機變量的定義及其分布函數(shù)、二維隨機變量的定義及其分布函數(shù)定義定義3.1 設(shè)設(shè)E是一個隨機試驗，它的樣本空間是是一個隨機試驗，它的樣本空間是 =e.設(shè)設(shè)X(e)與與Y(e)是定義在同一樣本空間是定義在同一樣本空間 上的兩上的兩個個隨機變量隨機變量,則稱則稱(X(e),Y(e)為為 上的上的二維隨機變量二

2、維隨機變量或或二維隨機向量二維隨機向量。簡記為。簡記為(X,Y).定義定義3.2 設(shè)設(shè)(X,Y)是二維隨機變量是二維隨機變量,對于任意實數(shù)對于任意實數(shù)x,y，稱，稱二元函數(shù)二元函數(shù) F(x,y)=PX x，Y y 為二維隨機向量為二維隨機向量(X,Y)的的分布函數(shù)分布函數(shù)或或聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)。第一節(jié)第一節(jié) 二維隨機變量及其分布二維隨機變量及其分布上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回(X,Y)的分布函數(shù)滿足如下的分布函數(shù)滿足如下基本性質(zhì)基本性質(zhì)： (2) 0 F(x,y) 1(1)F(x,y)是變量是變量x,y的不減函數(shù)的不減函數(shù). 0),(, yFy對于任意的對于任意的0),(, xFx對

3、于任意的對于任意的1),(0),( FF，(3) ( , ), ( , )(, )( , )( ,)F x yx yF x yF xyF x yF x y關(guān)于是右連續(xù)的，即，0),(),(),(),( ,),(),()4(1121122221212211 yxFyxFyxFyxFyyxxyxyx有有，和和對于任意對于任意上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回2、二維離散型隨機變量、二維離散型隨機變量定義定義3.3 若二維隨機向量若二維隨機向量(X,Y)的所有可能取值是有的所有可能取值是有限對或無限可列多對限對或無限可列多對,則稱則稱(X,Y) 為為二維離散型隨機二維離散型隨機變量變量。設(shè)設(shè)(X,Y)

4、的一切可能值為的一切可能值為(xi,yj)，i,j=1,2, ，且，且(X,Y)取取各對可能值的概率為各對可能值的概率為 PX=xi，Y=yj=pij， i,j=1,2, (1) 非負性非負性: pij0，i，j=1，2；1)2(, jiijp規(guī)范性：規(guī)范性：上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回, ( , ), 離離散散型型隨隨機機變變量量的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布函函數(shù)數(shù)jX YF x yP Xx Yypijxx yyi例例3.2 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X在在1，2，3，4四個整數(shù)中等可能四個整數(shù)中等可能地取值，另一個隨機變量地取值，另一個隨機變量Y在在1X中等可能地取一整中等可能地取一整數(shù)值，試求（數(shù)

5、值，試求（X，Y）的分布律）的分布律. 解解 由乘法公式容易求得（由乘法公式容易求得（X，Y）的分布律，易知）的分布律，易知X=i，Y=j的取值情況是：的取值情況是：i=1，2，3，4，j取不大于取不大于i的正整數(shù)，且的正整數(shù)，且上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回于是（于是（X，Y）的分布律如下表）的分布律如下表 1 1,|,41,2,3,4,.P Xi YjP Yj Xi P XiiijiY X 1 2 3 412341/4 1/8 1/12 1/16 0 1/8 1/12 1/16 0 0 1/12 1/16 0 0 0 1/16上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回3 、二維連續(xù)型隨機變量、二維

6、連續(xù)型隨機變量.,),(),(簡稱為概率密度簡稱為概率密度聯(lián)合概率密度函數(shù)聯(lián)合概率密度函數(shù)的的稱為稱為非負二元函數(shù)非負二元函數(shù)YXyxf定義定義3.4 設(shè)設(shè)(X,Y)為二維隨機向量為二維隨機向量,(X,Y)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x,y).若存在非負二元函數(shù)若存在非負二元函數(shù)f(x,y),對于任意實數(shù)對于任意實數(shù)x,y，有，有 xydvduvufyxF),(),(.),(為二維連續(xù)型隨機向量為二維連續(xù)型隨機向量則稱則稱YX上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回(2)( , )1f u v dudv ( , )f x y概率密度的性質(zhì)：;0),()1( yxf),(),(,),(),()3(2yx

7、fyxyxFyxyxf 則則連續(xù)連續(xù)在在若若 GdxdyyxfGYXPxOyG),(),( ,)4(則則平面的一區(qū)域平面的一區(qū)域為為設(shè)設(shè)上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回.),(,),(,)4(, 1,)2(.),(為頂?shù)那斨w的體積為頂?shù)那斨w的體積以曲面以曲面為底為底的值等于以的值等于以知知由性質(zhì)由性質(zhì)積為積為平面之間空間區(qū)域的體平面之間空間區(qū)域的體介于該曲面和介于該曲面和知知由性質(zhì)由性質(zhì)表示空間的一張曲面表示空間的一張曲面在幾何上在幾何上yxfzGDYXPxOyyxfz 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 設(shè)設(shè)G是平面上的有界區(qū)域是平面上的有界區(qū)域,其面積為其面積為S,若二維隨機變?nèi)舳S

8、隨機變量量(X.,Y)的概率密度為的概率密度為 其它其它0),(1),(GyxAyxf設(shè)設(shè)(X,Y)在區(qū)域在區(qū)域G上服從均勻分布上服從均勻分布,D為為G內(nèi)的一區(qū)域內(nèi)的一區(qū)域,即即D G,且且D的面積為的面積為S(D),那么那么SDSdxdySdxdyyxfDYXPDD)(1),(),( 二維均勻分布二維均勻分布則稱則稱(X,Y)在區(qū)域在區(qū)域G上服從均勻分布上服從均勻分布.上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回若若(X.,Y)的概率密度為的概率密度為)()(2)(121exp121),(2222212121212221 yyxxyxf二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布).,(),(),(. 11, 0, 0,2

9、1212121 NYXYX記為記為服從二維正態(tài)分布，服從二維正態(tài)分布，則稱則稱其中其中 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回221,4,( , )40,.xyf x y其他例例3.3 設(shè)（設(shè)（X，Y）在圓域）在圓域x2+y24上服從均勻分布，求上服從均勻分布，求（1） （X，Y）的概率密度；）的概率密度；（2） P0X1，0Y1.解解 （1） 圓域圓域x2+y24的面積的面積A=4，故（，故（X，Y）的概）的概率密度為率密度為 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回110001,01( , )d d11dd.44GPXYf x yx yxy（2） G為不等式為不等式0 x1，0y1所確定的區(qū)域，所確定的

10、區(qū)域，所以所以上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回2e,0,0,( , )0,.其他x ykxyf x y例例3.4 設(shè)二維隨機變量（設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為）的概率密度為 (1) 確定常數(shù)確定常數(shù)k；（；（2）求（）求（X，Y）的分布函數(shù)；）的分布函數(shù)；（3）求）求PX + Y 2. 解解 （1）由性質(zhì)有）由性質(zhì)有 200( , )d ded d x yf x yx ykx y2200eded41.xykxyk上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回( , )( , )d dyxF x yf u vu v (2) 由定義有由定義有 222001ded(1 e)(1 e),0,0.40,.其他

11、x yxyxyxyyx22( , )d d x yP XYf x yx y(3) 222112200011ded(ee )d1 2e .42 x yxxxyx上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 X和和Y自身的分布函數(shù)分別稱為二維隨機向量自身的分布函數(shù)分別稱為二維隨機向量(X,Y)關(guān)于關(guān)于X和和Y的的邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)，分別記為，分別記為FX(x), FY(y)。當。當已知已知(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)時，可通過時，可通過( ),(, ).YFyP YyP XYyFy 求得兩個邊緣分布函數(shù)求得兩個邊緣分布函數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 邊緣分布邊緣分布 ,( ,),XFxP XxP

12、 Xx YF x上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回1、二維離散型隨機變量的邊緣分布、二維離散型隨機變量的邊緣分布, 2 , 1,),( jipyYxXPYXijji其其分分布布律律為為為為二二維維離離散散型型隨隨機機向向量量設(shè)設(shè) xxjijXipxFxF),()( 于于是是有有邊邊緣緣分分布布函函數(shù)數(shù). 2 , 1,),( ,. 2 , 1, ,),( jpyYPYYXipxXPXYXYXYXiijjjiji的的邊邊緣緣分分布布律律為為關(guān)關(guān)于于同同理理的的邊邊緣緣分分布布律律為為關(guān)關(guān)于于邊邊緣緣分分布布律律的的和和關(guān)關(guān)于于關(guān)關(guān)于于自自身身分分布布律律分分別別稱稱之之為為和和上一頁上一頁下一頁下一

13、頁返回返回0,1,;X第一次摸出白球,第一次摸出紅球例例3.63.6 設(shè)袋中有設(shè)袋中有4個白球及個白球及5個紅球，現(xiàn)從其中隨機個紅球，現(xiàn)從其中隨機地抽取兩次，每次取一個，定義隨機變量地抽取兩次，每次取一個，定義隨機變量X，Y如下：如下： 0,1,.Y第二次摸出白球,第二次摸出紅球?qū)懗鱿铝袃煞N試驗的隨機變量（寫出下列兩種試驗的隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布）的聯(lián)合分布與邊緣分布與邊緣分布.（1） 有放回摸球；（有放回摸球；（2） 無放回摸球無放回摸球. 解解 （1 1）采取有放回摸球時，（）采取有放回摸球時，（X X，Y Y）的聯(lián)合分布）的聯(lián)合分布與邊緣分布由表與邊緣分布由表3-53-5給出給出.

14、 .上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回YX0 1PX=xi014/94/9 4/95/95/94/9 5/95/94/95/9PY=yj 4/9 5/9(2) (2) 采取無放回摸球時，（采取無放回摸球時，（X X，Y Y）的聯(lián)合分布與邊）的聯(lián)合分布與邊緣分布由表緣分布由表3-63-6給出給出. . 表表3-53-5表表3-63-6 Y X0 1PX=xi014/93/8 4/95/85/94/8 5/94/84/95/9PY=yj4/9 5/9上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回2、二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布、二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布設(shè)設(shè)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機向量，具有概率密度為二維連續(xù)

15、型隨機向量，具有概率密度f(x,y)， 則則dd( )() =()xXFx= F x,f x, yyx 從而知，從而知，X為連續(xù)型隨機變量且概率密度為為連續(xù)型隨機變量且概率密度為 dyyxfdxxdFxfXX),()()(.),()(),(的的邊邊緣緣概概率率密密度度和和關(guān)關(guān)于于關(guān)關(guān)于于為為分分別別稱稱YXYXyfxfYX同理，同理，Y也是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為也是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為 dxyxfdyydFyfYY),()()(上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例3.7 求二維正態(tài)隨機變量的邊緣概率密度求二維正態(tài)隨機變量的邊緣概率密度.( )( , )d ,Xfxf x yy由于

16、解解 222221221122212211()()()()2,yxyyxx 2212122211()122(1)2-121( )eed21xyxXfxy 212211,1yxt令上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回則有則有 222112211()()2221111( )eede,.22xxtXfxtx 2222()221( )e,.2yYfyy 同理同理上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回., 2 , 1,|, 0,., 2 , 1,|, 0,),( 的條件分布律的條件分布律條件下條件下為在為在則稱則稱若若對于固定的對于固定的同樣同樣的條件分布律的條件分布律條件下隨機變量條件下隨機變量為在為在則稱則稱

17、若若對于固定的對于固定的是二維離散型隨機向量是二維離散型隨機向量設(shè)設(shè)YxXjxXPyYxXPxXyYPxXPiXyYiyYPyYxXPyYxXPyYPjYXiijiijijjiijij 第三節(jié)第三節(jié) 條件分布條件分布1、二維離散型隨機變量的條件分布律、二維離散型隨機變量的條件分布律定義定義3.5上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例3.10 一射手進行射擊一射手進行射擊,每次射擊擊中目標的概率均每次射擊擊中目標的概率均為為p(0p1)且假設(shè)各次擊中目標與否相互獨立且假設(shè)各次擊中目標與否相互獨立,射擊進射擊進行到擊中目標兩次為止行到擊中目標兩次為止.設(shè)以設(shè)以X表示到第一次擊中目標表示到第一次擊中目

18、標所需要的射擊次數(shù)所需要的射擊次數(shù),以以Y表示總共進行的射擊次數(shù)表示總共進行的射擊次數(shù).試求試求(X,Y)的聯(lián)合分布律和條件分布律的聯(lián)合分布律和條件分布律.22,1,2,1,2,1nP Xm Ynp qmnmmqp 解解: 由題意由題意,X=m表示第表示第m次首次擊中目標次首次擊中目標,Y=n表示第表示第n次擊中目標次擊中目標,因而因而mn,X=m, Y=n表示第表示第m次和第次和第n次擊中目標而其余次擊中目標而其余n-2次均未擊中目標次均未擊中目標.于是于是(X,Y)的聯(lián)合分布律為：的聯(lián)合分布律為：上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回22111222211,2,(1)2,3,nmn mnnnmX

19、YP Xmp qpqmP Ynp qnp qn由這一聯(lián)合分布律可得關(guān)于 和關(guān)于 的邊緣分布律分別為上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 , 2, 1|, 2 , 11122 mmnpqpqqpmXnYPYmXmmnmn的條件分布律為的條件分布律為下下在條件在條件對于固定的對于固定的22221|1,2,1;1(1)nnp qP Xm Ynmnnnp q 對于固定的對于固定的n=2,3,在條件在條件Y=n下下X的條件分布律為的條件分布律為上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回2、二維連續(xù)型隨機變量的條件分布、二維連續(xù)型隨機變量的條件分布定義定義3.6 對固定的實數(shù)對固定的實數(shù)y，設(shè)對于任意給定的正數(shù)，設(shè)對于

20、任意給定的正數(shù)，Py-0,且若對于任意實數(shù)且若對于任意實數(shù)x，極限，極限lim0yYyxXP,lim0yYyPyYyxXP存在，則稱此極限為存在，則稱此極限為在在Y=y的條件下的條件下X的條件分布函數(shù)的條件分布函數(shù)，記作記作P 或記為或記為 .yYxX )(yxFYX同樣同樣,在在X=x條件下隨機變量條件下隨機變量Y的條件分布函數(shù)的條件分布函數(shù)lim)(0 xXxyYPxyFXY為為)|(xyFXY上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回設(shè)設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x,y)，概率密度為，概率密度為f(x,y)。若在點。若在點(x,y)處處f(x,y)連續(xù)，邊緣概率密度連續(xù)，邊緣概率密度f

21、Y(y)連續(xù)，且連續(xù)，且fY(y)0，則有：則有：)(),(2/)()(2/),(),(lim)()(),(),(lim,lim)(000yFdydyyxFyFyFyxFyxFyFyFyxFyxFyYyPyYyxXPyxFYYYYYYX 亦即亦即 xYYxYXduyfyufyfduyufyxF)(),()(),()(上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回類似地在相應(yīng)條件下可得在類似地在相應(yīng)條件下可得在X=x條件下條件下Y的條件概率的條件概率密度為密度為 )(),()(xfyxfxyfXXY 若記若記 為條件為條件Y=y下下X的條件概率函數(shù)，則由上的條件概率函數(shù)，則由上式知：式知：)(),()(yfy

22、xfyxfYYX )(yxfYX上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回22()2(1)|2( , )1( | )e;( )2(1)xyXYYf x yfx yf y22222(1)21( , )e(,),2 1xxyyf x yx y 所以解解 易知易知 例例3.11 設(shè)（設(shè)（X，Y）N（0，0，1，1，），求），求fXY（xy）與）與fYX(yx).22()2(1)|2( , )1( | )e.( )2(1)yxY XXf x yfy xfx上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回設(shè)設(shè)F(x,y)為二維隨機變量為二維隨機變量(X,Y)的分布函數(shù)，的分布函數(shù)， (X,Y)關(guān)于關(guān)于X和關(guān)于和關(guān)于Y的邊緣分布函

23、數(shù)分別為的邊緣分布函數(shù)分別為FX(x)，F(xiàn)Y(y)，則上，則上式等價于式等價于第四節(jié)第四節(jié) 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性定義定義3.7 設(shè)設(shè)X和和Y是兩個隨機變量，如果對于任意實是兩個隨機變量，如果對于任意實數(shù)數(shù)x和和y，事件，事件Xx與與Yy相互獨立，即有相互獨立，即有P Xx , Yy =PXxPYy，則稱，則稱隨機變量隨機變量X與與Y相互獨立相互獨立。RyxyFxFyxFYX ,),()(),(由獨立性定義可證由獨立性定義可證 “若若X與與Y相互獨立，則對于任意實數(shù)相互獨立，則對于任意實數(shù)x1x2,y1y2,事件事件 x1Xx2與事件與事件 y1Yy2相互獨立相互獨立”。上一頁上一頁

24、下一頁下一頁返回返回結(jié)論推廣結(jié)論推廣：“若若X與與Y獨立，則對于任意一維區(qū)間獨立，則對于任意一維區(qū)間I1和和I2，事件，事件XI1與與YI2相互獨立相互獨立”。Px1Xx2 ,y1Yy2=F(x2, y2)-F(x2, y1)-F(x1, y2)+F(x1, y1)=FX(x2) FY(y2)-FX(x2) FY(y1)-FX(x1) FY(y2)+FX(x1) FY(y1)= FX(x2)-FX(x1) FY(y2)-FY(y1)= Px1Xx2Py1Yy2 所以事件所以事件x1Xx2與與y1Yy2是相互獨立的。是相互獨立的。當（當（X,Y）為離散型或連續(xù)型隨機向量時，可用它的）為離散型或連

25、續(xù)型隨機向量時，可用它的分布律或概率密度來判別分布律或概率密度來判別X與與Y的獨立性。的獨立性。上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例3.13 設(shè)（設(shè)（X，Y）在圓域）在圓域x2+y21上服從均勻分布，上服從均勻分布，問問X和和Y是否相互獨立？是否相互獨立？解解 （X，Y）的聯(lián)合分布密度為）的聯(lián)合分布密度為221,1,( , )0,.xyf x y其他由此可得由此可得221,11,( )( , )0,.Xxxfxf x y dy 其他上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回可見在圓域可見在圓域x2+y21上，上，f（x，y）fX(x)fY(y),故故X和和Y不不相互獨立相互獨立. 221,11,( )(

26、 , )d0,.Yyyfyf x yx 其他上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回第五節(jié)第五節(jié) 兩個隨機變量函數(shù)的分布兩個隨機變量函數(shù)的分布1、二維離散型隨機變量函數(shù)的分布律、二維離散型隨機變量函數(shù)的分布律例例3.15 設(shè)（設(shè)（X，Y）的分布律如下表所示，求）的分布律如下表所示，求Z=X+Y和和Z=XY的分布律的分布律.上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 XY-1 2-1125/20 3/202/20 3/206/20 1/20上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回解解 先列出下表先列出下表上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回P 5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20（X,Y） X+Y XY

27、（-1,-1） （-1,1）（-1,2）（2,-1） （2,1）（2,2） -2 0 1 1 3 4 1 -1 -2 -2 2 4從表中看出從表中看出Z=X+Y可能取值為可能取值為-2，0，1，3，4，且，且PZ=-2=PX+Y=-2=PX=-1，Y=-1=5/20；PZ=0=PX+Y=0=PX=-1，Y=1=2/20；PZ=1=PX+Y=1=PX=-1，Y=2+PX=2，Y=-1=6/20+3/20=9/20；上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回PZ=3=PX+Y=3=PX=2，Y=1=3/20；PZ=4=PX+Y=4=PX=2，Y=2=1/20. 于是于是Z=X+Y的分布律為的分布律為 5/2

28、0 2/20 9/20 3/20 1/20P-2 0 1 3 4X+Y同理可得同理可得，Z=XY的分布律為的分布律為 9/20 2/20 5/20 3/20 1/20P-2 -1 1 2 4XY上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回設(shè)設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機向量，具有概率密度為連續(xù)型隨機向量，具有概率密度f(x,y)，又又Z=g(X,Y)(g(x,y)為一已知的連續(xù)函數(shù)為一已知的連續(xù)函數(shù))。大部分情。大部分情況下，況下，Z是一連續(xù)型隨機變量。是一連續(xù)型隨機變量。),()(zYXgPzZPzFZ dxdyyxfzyxg),(),( 為求為求Z的概率密度，可先求出的概率密度，可先求出Z的分布函數(shù)的分布函

29、數(shù)2、二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布、二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回即首先找出上式右端的積分區(qū)域即首先找出上式右端的積分區(qū)域Dz。如果求得了。如果求得了FZ(z) ,那么可通過那么可通過 求出求出Z的概率密的概率密度度 。dzzdFzfZZ)()( )(zfZ求解過程中，關(guān)鍵在于將事件求解過程中，關(guān)鍵在于將事件Zz等價地轉(zhuǎn)化為用等價地轉(zhuǎn)化為用(X,Y)表示的事件表示的事件g(X,Y) z=(X,Y) ,其其中中 。zD ),(),(zyxgyxDz 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回如果一隨機變量的概率密度為上式，稱該隨機變量服從如果一隨機變量的概率密度為上式，稱該隨

30、機變量服從參數(shù)為參數(shù)為 的瑞利分布。由題可知，若的瑞利分布。由題可知，若X,Y獨立服從同一分獨立服從同一分布布 則則 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的瑞利分布。的瑞利分布。), 0(2 N22YXZ 設(shè)設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，現(xiàn)求，現(xiàn)求Z=X+Y的概率密的概率密度。令度。令 ，則，則Z的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為),(zyxyxDz )(zYXPzZPzFZ zDdxdyyxf),( yzdydxyxf),(1)和的分布和的分布上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 固定固定z和和y對積分對積分 作換元法，令作換元法，令x+y=u得得 yzdxyxf),( zyzduyyufd

31、xyxf),(),(于是：于是： zzZdudyyyufdudyyyufzF),(),()(yxOzyx z上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回由概率密度定義，即得由概率密度定義，即得Z的概率密度為的概率密度為 dyyyzfzfZ),()(由由X與與Y的對稱性，又可得的對稱性，又可得 dxxzxfzfZ),()(當當X與與Y相互獨立時，有相互獨立時，有 dxxzfxfdyyfyzfzfYXYXZ)()()()()(其中其中 分別是分別是X和和Y的密度函數(shù)。的密度函數(shù)。 )(),(yfxfYX上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回例例3.17 設(shè)設(shè)X和和Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們都是兩個相互獨立的隨

32、機變量，它們都服從服從N（0，1）分布，求）分布，求Z=X+Y的概率分布密度的概率分布密度.221( )e,2xXfxx 解解 由題設(shè)知由題設(shè)知X，Y的分布密度分別為的分布密度分別為 221()e,.2yYfyy 由卷積公式知由卷積公式知 ( )( )()dZXYfzfxfzxx上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回2222()()224211eedeed .22xzxzzxxx,2ztx設(shè)得2222444111( )eedee,222zzztZfzt即即Z服從服從N（0，2）分布）分布.上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 21),( ),( )( ,),(),(DDzdxdyyxfdxdyyxfzZ

33、PzFZYXZYXZyxfYX的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為的的概概率率密密度度現(xiàn)現(xiàn)求求又又的的聯(lián)聯(lián)合合概概率率密密度度為為設(shè)設(shè)商的分布商的分布)2( 0),(),(1yzDdxdyyxfdxdyyxf而而yx1D2Dzyx 上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 yzzduyyuyfdxyxf),(),(得得 zzDdyduyyuyfdudyyyuyfdxdyyxf00),(),(),(1于是于是),0(),(, yyxudxyxfyzyz作作換換元元積積分分對對于于固固定定的的 0),(),(:2yzDdudyyyuyfdxdyyxf類似地可得類似地可得 zdyduyyuyf0),(上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回 21),(),()(:DDzdxdyyxfdxdyyxfzF故有故有:的概率密度為的概率密度為由概率密度定義可得由概率密度定義可得YXZ 00),(),(dudyyyuyfdyyyuyfz zdudyyyufy),(| dyyyzfyzfZ),(|)(: 相互獨立時有相互獨立時有與與當當YX dyyfyzfyzfYXz)()(|)(.)()(的概率密度的概率密度和和分別為分別為和和其中其中YXyfxfYX上一頁上一頁下一頁下一頁返回返回2,020( )( )0000:.xyXYXYexeyfxfyxyXZY設(shè) 和 相互獨立 它們的概率密度分