3.1二維隨機向量的分布ppt課件

1、Ch3 Ch3 隨機向量隨機向量例例1 1描述了任一個人的體形特征描述了任一個人的體形特征. .例例2 2可確定炮彈的彈著點可確定炮彈的彈著點. .任選一個人任選一個人, ,設設X X表示其身高，表示其身高，設任一炮彈彈著點設任一炮彈彈著點縱坐標為縱坐標為Y,Y,X YXY為為X,X,Y Y表示其體重表示其體重, ,的橫坐標的橫坐標X Y,X Y,例例3 3 設設 分別表示分別表示XXX123,任一鋼塊的長、寬、高任一鋼塊的長、寬、高, ,描述了任一描述了任一123,XXX鋼塊的形狀鋼塊的形狀. .在概率論中在概率論中, ,如果試驗的每個基本結果如果試驗的每個基本結果都對應三個有序實數都對應三

2、個有序實數 則稱為三維隨機向量則稱為三維隨機向量; ;一般地一般地, , 如果試驗的如果試驗的都對都對應一個實數應一個實數, , 則為一維隨機變量則為一維隨機變量; ;都對應一對有序實數都對應一對有序實數(,),X Y則稱為二維隨機向量則稱為二維隨機向量; ;如果試驗的每個基本結果如果試驗的每個基本結果(, ,),X Y Z如果試驗的每個基本結果如果試驗的每個基本結果都對應都對應 個個 n12,.,nXXX則稱為則稱為 維隨機向量維隨機向量. .n有序實數有序實數 每一個基本結果每一個基本結果3.1 3.1 隨機向量的分布隨機向量的分布 定義定義3.1 3.1 例如例如, ,那那么么是三維隨機

3、向量是三維隨機向量. .任一考生的語、數、外任一考生的語、數、外一、隨機向量及其分布一、隨機向量及其分布是定義在概率空間是定義在概率空間 維隨機向量維隨機向量. .n12,.,nXXX12,.,nXXX一個人的身高和體重一個人的身高和體重, ,是二維隨機向量是二維隨機向量. .設設 分別表示分別表示,X Y,X Y那那么么 設設 分別表示分別表示123,XXX任一鋼塊的長、寬、高任一鋼塊的長、寬、高, ,123,XXX設設 分別表示分別表示1234,XXXX及綜合的考試分數及綜合的考試分數, ,1234,XXXX是四維隨機向量是四維隨機向量. .設設(,)P 上的上的n n個隨機變量，個隨機變

4、量， 則稱則稱是是(,)P 上的一個上的一個定義定義3.2 3.2 12(,.,)nx xx稱為隨機向量稱為隨機向量設設 12, .,nXXXX 是是n n維隨機向量維隨機向量, ,語、數、英及綜合語、數、英及綜合 11,P Xx 22,Xx nnXx .,nR 的聯(lián)合分布函數的聯(lián)合分布函數. . 12,.,nXXXX n n元函數元函數的分布函數的分布函數. .或或n n個隨機變量個隨機變量12, .,nXXX12.(,)nx xFx 例如例如,任一考生的任一考生的設設 分別表示分別表示1234,XXXX的考試分數的考試分數, ,1234,XXXX是四維隨機向量是四維隨機向量. .(,80

5、70 90,)85F 180,P X 20,7X 30,9X 485X 例如例如(,160)50F 2( , )x yR 當當 時時, ,2n 二維隨機向量二維隨機向量X Y(, )的分布函數為的分布函數為 ,P Xx Yy 60,1P X 50Y 2,P X 4Y ab( , )F x y ( ,)F a b (, 24 )F ,P Xa Yb 定義定義3.2 3.2 稱為隨機向量稱為隨機向量設設 12,.,nXXXX 是是n n維隨機向量維隨機向量, ,n n元函數元函數的分布函數的分布函數. .12(,.,)nx xx 11,P Xx 22,Xx nnXx .,nR 12.(,)nx x

6、Fx 12,.,nXXXX 聯(lián)合分布函數聯(lián)合分布函數具有性質：具有性質：（1 1）（2 2）關于關于,x y均單調不減均單調不減. .對任意固定的對任意固定的,x當當 時，時，21yy 有有對任意固定的對任意固定的, y當當 時，時，21xx 有有（3 3）關于關于, x y均右連續(xù)均右連續(xù). .即對任意實數即對任意實數, alimxalimya（4 4）limx ( , )F x y(, )Fy 記記0 limy ( , )F x y( ,)F x 記記0 limxy ( , )F x y(,)F 記記0, limxy ( , )F x y(,)F 記記1 ,P Xx Yy ( , )F x

7、 y ( , )F x y( , )F x y( , )F x y( , )F a y ( , )F x y( , )F x a( ,)F x1y(,)F x2y (, )Fy1x2x(, )Fy ( , )F x y01 對任意固定的對任意固定的,x當當 時，時，21yy 有有1( ,)F x y2( ,)F x y 證證當當 時，時，21yy 1y2y2Yy 1Yy ,Xx ,Xx 1Yy ,Xx 2Yy ,Xx 1Yy ,Xx 2Yy ,Xx PP1( ,)F x y2( ,)F x y( , )F x y關于關于y y單調不減單調不減. .假設假設 的分布函數的分布函數知，知，那那么么

8、隨機變量隨機變量隨機變量隨機變量稱為分布函數稱為分布函數關于關于X X的邊緣分布函數的邊緣分布函數. .稱為分布函數稱為分布函數關于關于Y Y的邊緣分布函數的邊緣分布函數. .( )XFx limy F x y( , )( ,)F x F x y( , )F x y( , )( )YFy , xP X Y yPY ,X limx F x y( , )(, )Fy F x y( , )的分布函數為：的分布函數為：XY的分布函數為：的分布函數為：PXx Yy Pxy(, )X Y二、離散型隨機向量二、離散型隨機向量定義定義3.3 3.3 的全部取值的全部取值如果二維隨機向量如果二維隨機向量(,)X

9、 Y或至多可列個或至多可列個, ,為為 則隨機向量則隨機向量(,)X Y為有限個為有限個的概率分布的概率分布離散型的離散型的. .例例 任取任取4 4個個0215袋中裝有袋中裝有1 1個紅球個紅球, ,2 2個白球個白球, ,3 3個黑球個黑球. .從中任從中任和和 分別表示分別表示4 4球中球中XY紅球及白球的個數紅球及白球的個數. .取取4 4個個, ,XY01012215 1Y , 0P X 0Y 0 , 0P X 46C12C33C , 0P X 2Y 46C22C23C315 153 , 1P X 0Y 11C33C115 46C151 , 1P X 1Y 46C 11C12C23C

10、615 156153 , 1P X 2Y 46C 11C22C13C315 0.52,F 2Y 3 1,F , 3P X 1Y P XY .5,0P X 515 915 215 315 315815 XY012011631515152301515的分布為的分布為: :XY Y的分布為的分布為: :稱為關于稱為關于Y Y的的稱為關于稱為關于 的邊緣分布的邊緣分布. .X 0P X , 0P X ,02,1Y 1P X , 1P X ,02,1Y XY012011631515152301515XP015151015YP012115815615邊緣分布邊緣分布. . 0,P X 0Y 0,P X 1

11、Y 0,P X 2Y 515 1015 任取任取4 4個個1. 1. 聯(lián)合分布聯(lián)合分布定義定義3.4 3.4 取這些值的概率為取這些值的概率為聯(lián)合分布常用表格表示聯(lián)合分布常用表格表示: :聯(lián)合分布具有性質聯(lián)合分布具有性質: :設設X Y(,)是二維離散型隨機向量是二維離散型隨機向量, ,的取值為的取值為聯(lián)合概率分布聯(lián)合概率分布. .稱上式為隨機向量稱上式為隨機向量 (,)X Y(2)1 能夠能夠的概率分布，的概率分布， 或或X X和和Y Y的的XY1.jp11pijyx(,),1,2,3,.i j jip ,iP Xx jYy ,1,2,3,.i j 12ixxx 12.iyyy01 (1)j

12、ipiji jp2122212.jiiijpppppp 12p非負性非負性歸一性歸一性2. 2. 邊緣分布邊緣分布的概率分布為的概率分布為: :設設(,)X Y XY1112121212122212.jjiiijijyyxxxpppppyppppXP12.ixxxj1 jp P Xx 1, ,.,.jyyyY 12 P Xx 1p11隨機變量隨機變量X X的分布為的分布為: :1 jpj 記為記為Xp 1記為記為Xp 11Xpp 12 .jp 1. xP X 1, Yy 1 . P Xx 1, jYy . XY1112121212122212.jjiiijijyyxxxpppppyppppXP

13、12.ixxxj1 jp P Xx 2, ,.,.jyyyY 12 P Xx 2p21隨機變量隨機變量X X的分布為的分布為: :2 jpj 記為記為Xp 2記為記為1Xp1Xpp 22 .jp 2.2Xp記為記為2Xpj2 jp XY.1112121222122121ijjiijijxyyypppppppppxxXP12.ixxxj1 jp ,.,.jyyyY 12隨機變量隨機變量X X的分布為的分布為: :j 1Xp記為記為Xp 2j2Xp2 jp iP Xx iP Xx ,ip1jip記為記為Xip Xipjjip記為記為Xip 稱為關于稱為關于X X的邊緣概率分布的邊緣概率分布. .記

14、為記為Xp 1ip 2j ip . . XY.1112121222122121ijjiijijxyyypppppppppxx隨機變量隨機變量Y Y的分布為的分布為: :YP12.jyyy1YpPyY 1 P Yy 1, ,.,.ix xxX 12p11i 1ip記為記為Yp 1 1iipp 21ip 1. . XY.1112121222122121ijjiijijxyyypppppppppxx隨機變量隨機變量Y Y的分布為的分布為: :YP12.jyyy1YpPyY 2P Yy2,.,.12ix xxX p12iip2記為記為Yp2 1iipp22ip2.2Ypiip2 XY.11121212

15、22122121ijjiijijxyyypppppppppxx隨機變量隨機變量Y Y的分布為的分布為: :YP12.jyyy1YpjP Yy jP Yy , ,.,.ix xxX 12jp1i j ip記為記為Yjp 1iipjp 2j ip . .2Ypiip2iijp.Yjp稱為關于稱為關于Y Y的邊緣概率分布的邊緣概率分布. .例例 六個乒乓球中六個乒乓球中有有4 4個是新球，個是新球， 第一次取出兩個第一次取出兩個, ,X X，Y Y分別表示分別表示寫出寫出(X,Y)(X,Y)的分布的分布. . XY解解 用完后放回，用完后放回， 第二次再取出兩個第二次再取出兩個, ,第一次和第二次第

16、一次和第二次取到的新球數目取到的新球數目. . P X 1X 1 P Y 126C12C26C14C13C13C 72225 72225 P X 2X 2 P Y 126C12C26C14C24C 48225 48225 P X 1, Y 1 P X 2, Y 1012012 0 1 2 0 1 2XY12258225622524225722252422536225482256225關于關于X X和和Y Y的邊緣分布的邊緣分布: :012XP012YP可統(tǒng)一表示為可統(tǒng)一表示為 ,P Xi Yj iP X Xi Yj P,0,1, 2i j C26C26iC4iC22 jiC4 jiC22 15

17、22512022590225612251282253622515225120225902256122512822536225 0 1 2 0 1 2XY12258225622524225722252422536225482256225求以下概率：求以下概率： P XY 0 75225 P X, 0 Y 0 60225 P X, 1 Y 1 105225 P XY 79225 P XY 38225例例 把一枚硬幣連擲三次，把一枚硬幣連擲三次， X X表示三次中正面出現表示三次中正面出現的次數，的次數， Y Y表示三次中表示三次中出現正面的次數出現正面的次數的次數之差的絕對值，的次數之差的絕對值，

18、 求求(X(X，Y)Y)的聯(lián)合概率分布的聯(lián)合概率分布. .解解X 0時時, ,Y 3 18必有必有時時, ,X 1必有必有X 2時時, ,Y 1Y 1必有必有X 3時時, , 必有必有Y 313 0180 383803801800123 P X, 0 Y1 P X, 1 Y1 Y3 XY P X, 0 P X, 1 0 Y3 與出現反面與出現反面三、連續(xù)型隨機向量三、連續(xù)型隨機向量1. 1.密度函數密度函數的概率密度函數的概率密度函數定義定義3.5 3.5 設設(,)X Y是二維隨機向量是二維隨機向量, ,其分布函數其分布函數為為( , ).F x y如果存在非負可積的如果存在非負可積的二元函

19、數二元函數( , )f x y使得對于任意實數對使得對于任意實數對( , ),x y有有xy ( , )F x y( , )f s t ds dtxy則稱則稱(X,Y)(X,Y)為為( , )f x y稱為稱為(X(X，Y)Y)的的或或X X與與Y Y 的聯(lián)合密度函數的聯(lián)合密度函數. .簡稱簡稱密度函數密度函數. .(, ) ( , )X Yf x y記為記為 , xP X Yy 二維連續(xù)型隨機向量二維連續(xù)型隨機向量概率密度函數概率密度函數定義定義3.5 3.5 設設(,)X Y是二維隨機向量是二維隨機向量, ,其分布函數其分布函數為為( , )F x y如果存在非負可積的如果存在非負可積的二

20、元函數二元函數( , )f x y使得對于任意實數對使得對于任意實數對( , ),x y有有xy ( , )F x y( , )f s t ds dtxy則稱則稱(X,Y)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機向量為二維連續(xù)型隨機向量( , )f x y稱為稱為(X(X，Y)Y)的概率密度函數的概率密度函數或或X X與與Y Y的聯(lián)合密度函數的聯(lián)合密度函數. .簡稱簡稱密度函數密度函數. .(, ) ( , )X Yf x y記為記為 , xP X Yy 密度函數具有性質密度函數具有性質: :(1)( ,)0f x y (2) dx( , )f x y dy1 對平面上任意對平面上任意有有特殊地特殊地, ,

21、 ,P aXb0abcd對平面上的任一矩形區(qū)域對平面上的任一矩形區(qū)域 有有axb cyd cYd （非負性）（非負性）（歸一性）（歸一性）可度量的區(qū)域可度量的區(qū)域D,D,( )3( , )f x y dxdy:D ba dxdcdy( , )f x y( , )f x y dxdyD D(,)X YD PD 例例 解解1 G ( ),S G(, ) ( , )X Yf x y( , )f x y ( , )x yG ,C( , )x yG 0,其中其中 為平面上的為平面上的G一個可度量的有界區(qū)域一個可度量的有界區(qū)域, ,其其G dx( , )f x y dy2RG Cdxdy0dxdyC 1G

22、dxdyC 所以所以C1( )S G( , )f x y ( , )x yG x yG( , ) 0,S G1,( )確定確定C C的值的值. .0面積為面積為S(G),S(G),設二維隨機向量設二維隨機向量定義定義 如果二維隨機向量如果二維隨機向量的概率密度為的概率密度為(,)X Y其中其中G G為平面上的為平面上的一個可度量的有界區(qū)域一個可度量的有界區(qū)域, ,G G的面積的面積, ,S G( )則稱隨機向量則稱隨機向量X Y(,)( , )f x y x yG( , ) 0,S G1,( )此時對平面上任意此時對平面上任意可度量的區(qū)域可度量的區(qū)域D,D,G0D (, )PX YD ( ,)

23、Df x y dxdyD G D G dxdy0ySdGdx1( )1( )S G DG dxdy1( )S G ()S DG均勻分布均勻分布對應幾何概率對應幾何概率. .x yG( , ) 是是服從服從G G上的均勻分布上的均勻分布. .G Gxy例例 設隨機向量設隨機向量X Y(,)的密度函數為的密度函數為(, ) ( , )X Yf x y 0,其它其它kxy,xy01 （1 1求求k k；1yx1解解D1 D dxf x y dy( , )10dx dyx1kxy10kdx xy22x12k xdx102(1)x 8k D 2RD dxdydxdy0kxydxdykxy8k 例例 (,

24、 ) ( , )X Yf x y0其它其它,k x y01xy （2 2求概率求概率解解yx8 P XY 1 P XY 1 xy 1( , )f x y dxdy1xy 1112xy ( , )f x y dxdyD1dx 120dyx8xyx 1dx 1208xy22xx1 4x120 x 2(1)x 2dxD1yx 1例例 ),(),(yxfYX2221(1)(1)xy 求求(1) (1) X Y(,)的聯(lián)合分布函數的聯(lián)合分布函數;解解( , )F x y P Xx, Yy x y ds2221(1)(1)st 21 x 211s dsy 211t d t21 arctgsx arctgt

25、y 21 arctg x2 arctg y2 stxy隨機向量隨機向量d t161 110解解 (, )PX YD ( , )Df x y dxdy 10 10dx2221(1)(1)xy21 10 211x dx10 211y d y21 arctg x10arctg y1021 44例例 求求(2) (2) 隨機向量隨機向量X X，Y Y） 落入以點落入以點(0, 0), (0, 1),(1, 0), (1, 1)為頂點的正方形為頂點的正方形設隨機向量設隨機向量區(qū)域的概率區(qū)域的概率. .),(),(yxfYX2221(1)(1)xy d y2.2.邊緣密度函數邊緣密度函數設連續(xù)型隨機向量設

26、連續(xù)型隨機向量YX(,)的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為f x y( , )那那么么 X是連續(xù)型隨機變量，是連續(xù)型隨機變量， 其密度函數為其密度函數為Xfx( )( )Xfx fyxdy( , )證證 由密度函數的定義，由密度函數的定義，PXa a Xfx( )dx另一方面，另一方面，PXa aP X ,Y adx dy f x y( , ) ( )Xfx fyxdy( , )稱為密度函數稱為密度函數f x y( , )關于關于X X的邊緣密度函數的邊緣密度函數由聯(lián)合密度函數的定義由聯(lián)合密度函數的定義aXfx( )例例 求邊緣密度求邊緣密度. .設隨機向量設隨機向量X Y(,)服從服從上的均勻分布上的

27、均勻分布, ,即即:02,02Dxy (, ) ( , )X Yf x y 0,其它其它1,40,2x y220例例 設設220求邊緣密度求邊緣密度. .x , 0 2x x , 0 02xx時時當當20 x2 ,12所以所以12 (, ) ( , )X Yf x y 0,其它其它1,40,2x y解解( )Xfx ( , )fdyxy 0 x ( )Xfx ( , )fdyxy 0 20 dy0dy0dy14XXxf( ) 0,其它其它1,202xX X服從服從0,20,2上的均勻分布上的均勻分布. .dy0dy0例例 求邊緣密度求邊緣密度. . , 0 2y , 0 02y2 ,12所以所

28、以12 其它其它解解( )Yfy ( , )fdyxx 0y ( )Yfy ( , )fdyxx 0 20 dx0dx0dx14( )YYfy 0,其它其它1,202ydx0dx0220yyy時時當當20 y(, ) ( , )X Yf x y 0,1,40,2x yY Y服從服從0,20,2上的均勻分布上的均勻分布. .例例 設隨機向量設隨機向量X Y(,)服從服從上的上的即即22:1D xy (,) ( , )X Yf x y 0,其它其它1,221xy1求邊緣密度求邊緣密度. .均勻分布均勻分布, ,例例 (,) ( , )X Yf x y 0,其它其它1,221xyxx1x 解解時時當

29、當11 x21 x 21 x 2211xx dy0dy01dy 22 1x 22 1,x 0,其它其它11x 22 1,xX X不服從均勻分布不服從均勻分布. .求邊緣密度求邊緣密度. .Xfx ( )( , )fdyxy , 0 1x , 0 11x 1x dy0dy0( )Xfx ( , )fdyxy ( )Xfx求邊緣密度求邊緣密度. .yy11 y 1y 11y 解解( )Yfy ( , )fdyxx 1y 時時當當11 y21 y Yfy ( )fdxxy( , )21 y 2211yy dx0dx01dx 22 1y ( )Yfy 0,其它其它11y 22 1,y Y Y不服從均勻

30、分布不服從均勻分布. .22 1,y , 0 , 0 dx0dx0(,) ( , )X Yf x y 0,其它其它1,221xy四、二維正態(tài)分布四、二維正態(tài)分布定義定義則稱則稱(X,Y)(X,Y)服從服從(, )X Y其中參數其中參數2121,210,0, 1 設設(X,Y)(X,Y)是二維隨機向量是二維隨機向量, ,如果其概率密度如果其概率密度函數為函數為的二維正態(tài)的二維正態(tài)記為記為x y( , )1) ( , )0 x y 2)dxdy( , ) x y1211222(, )N均為常數均為常數, ,且且參數為參數為211222(, )( , ) x y 1212 21122(1) 112xe222y 222y11x 分布分布, , XXx定理定理 二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布的邊緣分布的邊緣分布為一維正態(tài)分布為一維正