小波變換ppt課件

1、第章小波變換第章小波變換v8.1 延續(xù)小波變換的根本概念和性質(zhì)延續(xù)小波變換的根本概念和性質(zhì)v8.2 常用的小波函數(shù)常用的小波函數(shù)v8.3 尺度因子離散化的小波變換及小波標(biāo)尺度因子離散化的小波變換及小波標(biāo)架架v8.4 離散小波變換的多分辨率分析離散小波變換的多分辨率分析v8.5 Mallat算法及實(shí)現(xiàn)算法及實(shí)現(xiàn)v8.6 小波變換小結(jié)小波變換小結(jié)v 第章小波變換第章小波變換v 自從自從1822年傅里葉年傅里葉(Fourier)發(fā)表發(fā)表“熱傳導(dǎo)解析實(shí)際以來，傅里葉變換不斷是信號處置領(lǐng)域中最完美、運(yùn)用最廣泛、效果最好的一種分析手段，但傅里葉變換只是一種純頻域的熱傳導(dǎo)解析實(shí)際以來，傅里葉變換不斷是信號處

2、置領(lǐng)域中最完美、運(yùn)用最廣泛、效果最好的一種分析手段，但傅里葉變換只是一種純頻域的分析方法，它在頻域的定位性是完全準(zhǔn)確的分析方法，它在頻域的定位性是完全準(zhǔn)確的(即頻域分辨率最高即頻域分辨率最高)，而在時域無任何定位性，而在時域無任何定位性(或分辨才干或分辨才干)，也即傅里葉變換所反映的是整個信號全部時間下的整體頻域特征，而不能提，也即傅里葉變換所反映的是整個信號全部時間下的整體頻域特征，而不能提供任何部分時間段上的頻率信息。相反，當(dāng)一個函數(shù)用供任何部分時間段上的頻率信息。相反，當(dāng)一個函數(shù)用函數(shù)展開時，它在時間域的定位性是完全準(zhǔn)確的，而在頻域卻無任何定位性函數(shù)展開時，它在時間域的定位性是完全準(zhǔn)確的

3、，而在頻域卻無任何定位性(或分辨才干或分辨才干)，也即，也即函數(shù)分析所反映的只是函數(shù)分析所反映的只是信號在全部頻率上的整體時域特征，而不能提供任何頻率段所對應(yīng)的時間信息。實(shí)踐中，對于一些常見的非平穩(wěn)信號，如音樂信號，在不同時間演奏不同音符；語音信號，在不同信號在全部頻率上的整體時域特征，而不能提供任何頻率段所對應(yīng)的時間信息。實(shí)踐中，對于一些常見的非平穩(wěn)信號，如音樂信號，在不同時間演奏不同音符；語音信號，在不同時間對應(yīng)不同音節(jié)；地震信號，在目的出現(xiàn)的位置對應(yīng)一個回波信號等，它們的頻域特性都隨時間而變化，因此也可稱它們?yōu)闀r變信號。對這一類時變信號進(jìn)展分析，時間對應(yīng)不同音節(jié)；地震信號，在目的出現(xiàn)的位

4、置對應(yīng)一個回波信號等，它們的頻域特性都隨時間而變化，因此也可稱它們?yōu)闀r變信號。對這一類時變信號進(jìn)展分析，v ，通常需求提取某一時間段(或瞬間)的頻域信息或某一頻率段所對應(yīng)的時間信息。因此，尋求一種介于傅里葉分析和分析之間的，并具有一定的時間和頻率分辨率的基函數(shù)來分析時變信號，不斷是信號處置界及數(shù)學(xué)界人士長期以來努力的目的。v 為了研討信號在部分時間范圍的頻域特征，1946年Gabor提出了著名的Gabor變換，之后又進(jìn)一步開展為短時傅里葉變換(Short Time Fourier Transform，簡記為STFT，又稱為加窗傅里葉變換)。目前，STFT已在許多領(lǐng)域獲得了廣泛的運(yùn)用，但由于ST

5、FT的定義決議了其窗函數(shù)的大小和外形均與時間和頻率無關(guān)而堅(jiān)持固定不變，這對于分析時變信號來說是不利的。高頻信號普通繼續(xù)時間很短，而低頻信號繼續(xù)時間較長，因此，我們期望對于高頻信號采用小時間窗，對于低頻信號那么采用大時間窗進(jìn)展分析。在進(jìn)展信號分析時，這種變時間窗的要求同STFT的固定時窗(窗不隨頻率而變化)的特性是相矛盾的，這闡明STFT在處置這一類問題時已無能為力了。此外，在進(jìn)展數(shù)值計(jì)算時，人們希望將基函數(shù)離散v離散化，以節(jié)約計(jì)算時間及存儲量，但Gabor基無論怎樣離散，都不能構(gòu)成一組正交基，因此給數(shù)值計(jì)算帶來不便，這些是Gabor變換的缺乏之處，但恰恰是小波變換的專長所在。小波變換不僅承繼和

6、開展了STFT的部分化的思想，而且抑制了窗口大小不隨頻率變化，缺乏離散正交基的缺陷，是一種比較理想的進(jìn)展信號處置的數(shù)學(xué)工具。v8.1 延續(xù)小波變換的根本概念和性質(zhì)v8.1.1 小波變換的定義v 給定一個根本函數(shù)，令v v 8.1 v式中 均為常數(shù)，且 。顯然， 是根本函數(shù)先作移位再作伸縮以后得到的。假設(shè)不斷地變化，我們可得到一族函數(shù) 。給定二次方可積的信號 ，即 ，那么 的小波變換WT，Wavelet Transform定義為)(1)(,abtatba0aba,)(,tba)(,tba)( tx)()(2RLtx)(txv v 8.2v式中 和 均是延續(xù)變量， 是 的共軛函數(shù)，因此該式又稱為延

7、續(xù)小波變換CWT。如無特別闡明，式中及以后各式中的積分都是從 到 。信號 的小波變換 是 和 的函數(shù)， 是時移， 是尺度因子。根本小波函數(shù) 又稱為根本小波，或母小波。 是母小波經(jīng)移位和伸縮所產(chǎn)生的一族函數(shù)，我們稱之為小波基函數(shù)，或簡稱小波基。這樣，式8.2中的WT又可解釋為信號 和一族小波基的內(nèi)積。v 根本小波可以是實(shí)函數(shù)，也可以是復(fù)函數(shù)。假設(shè) 是實(shí)信號，那么 是實(shí)函數(shù)， 也是實(shí)函數(shù)，反之， 為復(fù)函數(shù)。)(),()()()()(1),(,ttxdtttxdtabttxabaWTbabaxba,t) t (*)t()(tx),(baWTxbaba)(t)(,tba)(tx)(tx)(t),( b

8、aWTx),( baWTxv在式8.1中，b的作用是確定對 分析的時間位置，也即時間中心。尺度因子 的作用是把根本小波 作伸縮。我們知道，由 變成 ，當(dāng) 時，假設(shè) 越大，那么 的時域支撐范圍即時域?qū)挾容^之 變得越大；反之，當(dāng) 時，假設(shè) 越小，那么 的寬度越窄。這樣， 和 結(jié)合確定了對 分析的中心位置及分析的時間寬度，如圖8.1所示。v 這樣，式8.2的WT可了解為用一族分析寬度不斷變化的基函數(shù)對 作分析，由下一節(jié)的討論可知，這一變化正好順應(yīng)了我們對信號分析時在不同頻率范圍所需求不同的分辨率這一根本要求。式8.1中的因子 是為了保證在不同的尺度 時， 一直能和根本小波 有著一樣的能量，即)(tx

9、a)(t)( t)(at1aa)(at)(t1aa)(atab)(t)(txa1a)(,tba)(tdtabtadttba22,)(1)(v a)v b)v c) d) v 圖8.1 根本小波的伸縮及參數(shù)和對分析范圍的控制va)根本小波，b ， c) 不變， d)分析范圍)( t)(bt b)(abt bttta2a4a3abab0b1ab2av令 ，那么 ，這樣，上式的積分即等于 。v令 的傅里葉變換為 ， 的傅里葉變換為 ，由傅里葉變換的性質(zhì)， 的傅里葉變換為：v 8.3v由Parsevals定理，式8.2可重新表示為：v 8.4v此式即為小波變換的頻域表達(dá)式。 v8.1.2 小波變換的特

10、點(diǎn)v 下面，我們從小波變換的恒Q性質(zhì)、時域及頻率分辨率以及和其它變換方法的對比來討論小波變換的特點(diǎn)，以便對tabttaddtdtt2)()(tx)(X)(t)()(,tba)(1)(,abtatbabjbaeaa)()(,)(),(21),(,baxXbaWTdeaXabj)()(2v小波變換有更深化的了解。v 比較式8.2和式8.4，對小波變換的兩個定義可以看出，假設(shè) 在時域是有限支撐的，那么它和 作內(nèi)積后將保證 在時域也是有限支撐的，從而實(shí)現(xiàn)我們所希望的時域定位功能，也即使 反映的是 在b附近的性質(zhì)。同樣，假設(shè) 具有帶通性質(zhì)，即 圍繞著中心頻率是有限支撐的，那么 和 作內(nèi)積后也將反映 在中

11、心頻率處的部分性質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)好的頻率定位性質(zhì)。顯然，這些性能正是我們所希望的。問題是如何找到這樣的母小波 ，使其在時域和頻域都是有限支撐的。v 假設(shè) 的時間中心是 ，時寬是 ， 的頻率中心是v ，帶寬是 ，那么 的時間中心仍是 ，但時寬變成 ， 的頻譜 的頻率中心變?yōu)?，帶寬變成 。這樣， 的時寬帶寬積仍是 ，與 無關(guān)。 )(,tba)(tx),( baWTx),(baWTx)(tx)(,ba)(,ba)(,ba)(X)(X)(t)(t0tt)(0)(at0tta)(at)( aaa0/a/)(attav這一方面闡明小波變換的時頻關(guān)系也遭到不定原理的制約，但另一方面，也即更主要的是提示了小波變

12、換的一個性質(zhì)，也即恒Q性質(zhì)。定義:v =帶寬/中心頻率 (8.5)v為母小波 的質(zhì)量因數(shù)，對 ，其帶寬/中心頻率=v因此，不論 為何值 ， 一直堅(jiān)持了和 具有性同的質(zhì)量因數(shù)。恒Q性質(zhì)是小波變換的一個重要性質(zhì)，也是區(qū)別于其它類型的變換且被廣泛運(yùn)用的一個重要緣由。圖8.2闡明了和的帶寬及中心頻率隨變化的情況。0Q/)(t)(atQaa00/a)0(a)(at)(tv(a) (b) (c)v 圖8.2 隨 變化的闡明 0 aa2/21a2a2/1a)( aav將圖8.1和圖8.2結(jié)合起來，我們可看到小波變換在對信號分析時有如下特點(diǎn)：當(dāng) 變小時，對 的時域察看范圍變窄，但對 在頻率察看的范圍變寬，且察

13、看的中心頻率向高頻處挪動，如圖8.2.c所示。反之，當(dāng) 變大時，對 v 的時域察看范圍變寬，頻域的察看范圍變窄，且分析的中心頻率向低頻處挪動，如圖8.2b所示。將圖8.1和8.2所反映的時頻關(guān)系結(jié)合在一同，我們可得到在不同尺度下小波變換所分析的時寬、帶寬、時間中心和頻率中心的關(guān)系，如圖8.3所示。v由于小波變換的恒Q性質(zhì)，因此在不同尺度下，圖8.3中三個時、頻分析區(qū)間即三個矩形的面積堅(jiān)持不變。由此我們看到，小波變換為我們提供了一個在時、頻平面上可調(diào)的分析窗口。該分析窗口在高頻端圖中 處的頻率分辨率不好矩形窗的頻率邊變長，但時域的分辨率變好矩形的時間邊變短；反之，在低頻端圖中 處，頻率分辨率變好

14、，而時域分辨率變差。但在不同的值下，圖8.3中分析窗的面積堅(jiān)持不變，也即時、頻分辨率可以隨分析義務(wù)的需求作出調(diào)整。a)(tx)(Xa)(tx0220/v 圖8.3 a取不同值時小波變換對信號分析的時頻區(qū)間022 /002t) 2/ 1( a) 1( a) 2( a/22/2ttv眾所周知，信號中的高頻成份往往對應(yīng)時域中的快變時那么要求時域分辨率要好以順應(yīng)快變成份成份，如峻峭的前沿、后沿、尖脈沖等。對這一類信號分析間隔短的需求，對頻域的分辨率那么可以放寬，當(dāng)然，時、頻分析窗也應(yīng)處在高頻端的位置。與此相反，低頻信號往往是信號中的慢變成份，對這類信號分析時普通希望頻率的分辨率要好，而時間的分辨率可以

15、放寬，同時分析的中心頻率也應(yīng)移到低頻處。顯然，小波變換的特點(diǎn)可以自動滿足這些客觀實(shí)踐的需求。v總結(jié)上述小波變換的特點(diǎn)可知，當(dāng)我們用較小的對信號作高頻分析時，我們實(shí)踐上是用低頻小波對信號作概貌察看,小波變換的這一特點(diǎn)即既符合對信號作實(shí)踐分析時的規(guī)律，也符合人們的視覺特點(diǎn)。綜上所述，由于小波變換信號作概貌察看,小波變換的這一特點(diǎn)即既符合對信號作實(shí)踐分析時的規(guī)律，也符合人們的視覺特點(diǎn)。綜上所述，由于小波變換具有恒Q性質(zhì)及自動調(diào)理對信號分析的時寬/帶寬等一系列突出優(yōu)點(diǎn)，因此被人們稱為信號分析的“數(shù)學(xué)顯微鏡。v8.1.3 8.1.3 延續(xù)小波變換的根本性質(zhì)延續(xù)小波變換的根本性質(zhì)v1 1時移性質(zhì)時移性質(zhì)v

16、假設(shè)假設(shè) 的的CWTCWT是是 ，那么，那么 的的CWTCWT是是 。該結(jié)論極易證明。該結(jié)論極易證明。記記 ，那么，那么v 8.68.6 v 2 2尺度轉(zhuǎn)換性質(zhì)尺度轉(zhuǎn)換性質(zhì)v 假設(shè)假設(shè) 的的CWTCWT是是 ，令，令 ，那么，那么v 8.78.7v )(tx),(baWTx)(tx),(baWTx)()(txtydtabttxa1baWTy)()(),(t dabttxa1)()(),(baWTx)(tx),(baWTx)()(txty),(1),(baWTbaWTxyv證明： ，令 ，v那么 v該性質(zhì)指出，當(dāng)信號的時間軸按 作伸縮時，其小波變換在 和 兩個軸上同時要作一樣比例的伸縮，但小波變

17、換的波形不變。這是小波變換優(yōu)點(diǎn)的又一表達(dá)。v3微分性質(zhì)v 假設(shè) 的CWT是 ，令 ，那么v 8.8dtabttxabaWTy)()(1),(ttt d1abttxa1baWTy)()(),(dtabttxa)()(11),(1baWTxab)(tx),( baWTx)()()(txdttdxty),(),(baWTbbaWTxyv證明：v由式8.6的移位性質(zhì)，有v即 v4兩個信號卷積的CWT v 令 的CWT是 及 ，并令v ，那么有 dtabtdttdxabaWTy)()(1),(dtabtttxttxaLimt)()()(10dtabttxadtabtttxatLimt)()(1)()(1

18、10tbaWTtbaWTLimbaWTxxty),(),(),(0),(),(baWTbbaWTxy)(),(thtx),(baWTx),(baWTh) () () (thtxtyv 8.9v式中符號 表示對變量 作卷積。v證明：v由式8.6的移位性質(zhì)，有v同理， v于是式8.9得證。 ),()(),(baWTtxbaWThby),()(baWTthxbbbdtabtdthxabaWTy)()()(1),( ddtabtthax)()(1)(dbaWTxbaWThy),()(),(dbaWThbaWTxy),()(),(v5兩個信號和的CWTv 令 的CWT分別是 ，且v ，那么v 8.10v

19、同理，假設(shè) ，那么v 8.11v式8.10，8.11闡明兩個信號和的CWT等于各自CWT的和，也即小波變換滿足疊加原理。v6小波變換的內(nèi)積定理v 設(shè) 和 ， 的小波變換分別是v 和 ，那么v 8.12 )(),(21txtx),(),(21baWTbaWTxx)()()(21txtxtx),(),(),(21baWTbaWTbaWTxxx)()()(2211txktxktx),(),(),(2211baWTkbaWTkbaWTxxx)(),(21txtx)()(RLt2)(),(21txtx),(1baWTx),(2baWTx )(),(),(),(212021txtxCdbadabaWTba

20、WTxxv式中 ， 為 的傅里葉變換。v證明：由式8.4關(guān)于小波變換的頻域定義，式8.12的左邊有： dC02)()()(tdbadadeaXdeaXabjbj22102)()()()(4 dbeddaaXXadabj )(2102)()()()(4 ddaaXXada)()()()()(2210 daXXa2da2210)()()(dXXadaa212102)()()()(v假定積分v存在，再由Parseval定理，上述的推導(dǎo)最后為v于是定理得證。v式8.12實(shí)踐上可看作是小波變換的Parseval定理。該式又可寫成更簡單的方式,即v (8.13)v進(jìn)一步，假設(shè)令 ，有v (8.14) ca

21、daa 0202)()()()(),()()(212121txtxcdXXc)(),(),(),(2121txtxcbaWTbaWTxx)()()(21txtxtxdadbbaWTacdttxx2022),(1)( v該式更清楚地闡明，小波變換的幅平方在尺度位移平面上的加權(quán)積分等于信號在時域的總能量，因此，小波變換的幅平方可看作是信號能量時頻分布的一種表示方式。v式8.12和式8.13中對 的積分是從 ，這是由于我們假定 總為正值。這兩個式子中出現(xiàn)的 是由于定義小波變換時在分母中出現(xiàn)了 ，而式中又要對 作積分所引入的。v讀者都熟知傅里葉變換中的Parseval定理，即時域中的能量等于頻域中的能

22、量。但小波變換的Parseval定理稍為復(fù)雜，它不但要有常數(shù)加權(quán)，而且以 的存在為條件。v8.1.4小波反變換及小波允許條件v 下面給出延續(xù)小波反變換的公式及反變換存在的條件。v設(shè) ，記 為 的傅里葉變換，假設(shè)v那么 可由其小波變換 來恢復(fù)，即v (8.15)a0a2aa/1ac)()(),(2RLttx)()(t02)(c)(tx),( baWTxdadbtbaWTactxbax)(),(1)(,02v證明：設(shè) ， ,那么v將它們分別代入式8.12的兩邊，再令 ，于是有v v于是定理得證。v在式(8.12)、式(8.15)中，結(jié)論的成立都是以 為前提條件的，這又稱為“允許條件admissib

23、ility condition。該允許條件含有多層的意思： v 1.并不是時域的任一函數(shù) 都可以充任小波。其可以作為小波的必要條件是其傅里葉變換滿足該允許條件；)()(1txtx)()(2tttx)()(),(21txtxtx)()()(),(abta1dtabttta1baWT2xttdadbtbaWTactxbax)(),(1)(,02c)()(2RLt v2.假設(shè) ，那么必有 ，否那么 必趨于無窮。這等效地通知我們，小波函數(shù) 必然是帶通函數(shù)；v3.由于 ，因此必有v (8.16)v這一結(jié)論指出， 的取值必然是有正有負(fù)，也即它是振蕩的。v以上三條給我們勾畫出了作為小波的函數(shù)所應(yīng)具有的大致特

24、征，即 是一帶通函數(shù)，它的時域波形應(yīng)是振蕩的。此外，從時頻定位的角度，我們總希望 是有限支撐的，因此它應(yīng)是快速衰減的。這樣，時域有限長且是振蕩的這一類函數(shù)即是被稱作小波wavelet的緣由。v 由上述討論， 自然應(yīng)和普通的窗函數(shù)一樣滿足：v 8.17c0) 0 ( c)(t0)(0 0)(dtt)(t)(t)(t)(tdtt)(v并且由后面的討論可知，尺度因子 常按 來離散化，v。由式8.3，對應(yīng)的傅里葉變換 ，由于需求在不同的尺度下對信號進(jìn)展分析，同時也需求在該尺度下由 來重建 ，因此要求 是有界的，當(dāng) 由 時，應(yīng)有v (8.18)v式中， 。該式稱為小波變換的穩(wěn)定性條件，它是在頻域?qū)π〔ê?/p>

25、數(shù)提出的又一要求。滿足式8.18的小波稱作“二進(jìn)dyadic小波。v8.1.5小波變換的充要條件v我們在上一節(jié)指出，并不是時域任一函數(shù)都可以用作小波 。可以作為小波的函數(shù)至少要滿足允許條件。與此結(jié)論相類似，并不是 平面上的任一二維函數(shù) 都aja2Zjbjj2je22)(/),(baWTx)(tx2)2(jjBAjj2)2(BA0)(t),(ba),(baWTv對應(yīng)某一函數(shù)的小波變換。 假設(shè)是某一時域信號，如v 的小波變換，它應(yīng)滿足一定的條件。v設(shè) 是 平面上的任一點(diǎn)， 上的二維函數(shù) 欲是某一函數(shù)的小波變換的充要條件是它必需滿足如下的重建核方程，即v 8.19v式中 是 在 處的值，v 8.20

26、v稱為重建核。v證明：由式8. 2小波變換的定義，有),( baWT)(tx),(00ba),(ba),(ba),( baWTxdadbbabaKbaWTabaWTxx),;,(),(),(000200),(00baWTx),(baWTxdtttCbabaKbaba)()(1),;,(00,00)(),(100,ttCbabav將式8.15代入該式，有v式8.19的重建核方程和式8.20的重建核公式闡明，假設(shè) 是 的小波變換，那么在 平面上某一點(diǎn) v 處小波變換的值 可由半平面上 的值 來表示，也即， 是半平面上 的總奉獻(xiàn)。 dtttxbaWTbax)()(),(,dttdadbtbaWTac

27、1baWT00babax0200 x)()(),(),(,dadbdtttcbaWTababax)()(1),(00,02dadbttcbaWTababax)(),(1),(00,02),( baWTx)(tx),(ba),(00ba),(00baWTx),(RbRa),(baWTx),(00baWTx),(aWTxv既然 平面上各點(diǎn)的 可由式8.19相互表示，因此這些點(diǎn)上的值是相關(guān)的，也即式8.15對 的重建是存在信息冗余的。這一結(jié)論通知我們可以用 平面上離散柵格上的 來重建 ，以消除重建過程中的信息冗余。v我們知道，當(dāng)用 的短時傅里葉變換 來重建v 時， 平面上的信息也是有冗余的，即 平面

28、上各點(diǎn)的 是相關(guān)的，因此引出了離散柵格上的STFT，進(jìn)一步的開展即是信號的Gabor展開與Gabor變換。由此可以得出，將一個一維的函數(shù)映射為一個二維函數(shù)后，在二維平面上往往會存在信息的冗余，由此引出了二維函數(shù)的離散化問題及標(biāo)架實(shí)際。有關(guān)離散小波變換及小波標(biāo)架的內(nèi)容將在后面予以討論。v重建核 是小波 和 處的小波 的內(nèi)積，因此 反映了 和 的相關(guān)性。),(ba),(aWTx)(tx),(ba),(baWTx)(tx)(tx),(tSTFTx)(tx),( t),( t),(tSTFTx),;,(00babak)(,tba),(00ba)(00,tbak)(,tba)(00,tbav假設(shè) ，即兩

29、個小波重合時， 取最大值；假設(shè) 遠(yuǎn)離 ，那么 將迅速減小。假設(shè)能保證 v，那么 平面上各點(diǎn)小波變換的值將互不相關(guān)。這等效地要求對恣意的尺度 及位移 ，由母小波 構(gòu)成的一族v是兩兩正交的?？梢韵胂螅僭O(shè) 延續(xù)取值，要想找到這樣的母小波 使 兩兩正交，那將是非常困難地。因此，延續(xù)小波變換 必然存在信息冗余。然而，當(dāng) 離散取值時，那么有能夠得到一族正交小波基 。v8.2 常用的小波函數(shù)v由前面表達(dá)可知，作為一個小波的函數(shù) ，它一定要滿足允許條件，在時域一定要是有限支撐的，同時，也希望在頻域也是有限支撐的，當(dāng)然，假設(shè)時域越窄，其頻域必然是越寬，反之亦然。在時域和頻域的有限支撐方面我們往往只能取一個折中

30、。此外，希望由母小波 構(gòu)成的 是兩兩正00,bbaakk),(ba),(00ba),(00bbaak),(baab)(t)(,tbaba ,)(t)(,tba),(baWTxba,)(,tba)(t)(x)(,tbav交的或是雙正交的,進(jìn)一步，希望 有高階的消逝矩，希望與 相關(guān)的濾波器具有線性相位等,可以根據(jù)上述要求對現(xiàn)已提出的大量的小波函數(shù)作一粗略地分類。在下面的分類中，第一類是所謂地“經(jīng)典類小波，在MATLAB中把它們稱作“原始Crude小波。這是一批在小波開展歷史上比較有名的小波；第二類是Daubecheis構(gòu)造的正交小波，第三類是由Cohen，Daubechies構(gòu)造的雙正交小波。v8

31、.2.1經(jīng)典類小波v8.2.1.1 Haar小波v Haar小波來自于數(shù)學(xué)家Haar于1910年提出的Haar正交函數(shù)集，其定義是：v 8.21v其波形如圖8.4a所示。)( x)(x011)( t其它12/12/10ttv 的傅里葉變換是：v 8.22vHaar小波有很多優(yōu)點(diǎn)，如：vHaar小波在時域是緊支撐的，即其非零區(qū)間為0，1；v假設(shè)取 ，那么Haar小波不但在其整數(shù)位移處是正交的，即 ，而且在 取不同值時也是兩兩正交的，即 ，如圖8.3(b)和(c)所示。所以Haar小波屬正交小波；vHaar波是對稱的。我們知道，系統(tǒng)的單位抽樣呼應(yīng)假設(shè)具有對稱性，那么該系統(tǒng)具有線性相位，這對于去除相

32、位失真是非常有利的。Haar小波是目前獨(dú)一一個既具有對稱性又是有限支撐的正交小波；vHaar小波僅取1和1，因此計(jì)算簡單。但Haar小波是不延續(xù)小波，由于 ，因此 在 處只需一階零)(t2/2)(sin4)(jeajZbZj2aj,0)(),(kttj0)2(),(ttj 0)(dttt)(0v點(diǎn)，這就使得Haar小波在實(shí)踐的信號分析與處置中遭到了限制。但由于Haar小波有上述的多個優(yōu)點(diǎn)，因此在教科書與論文中常被用作范例來討論。 v 圖8.4 Harr小波2/121000)( t)1(t)2/( tttt21111v8.2.1.2 Morlet小波vMorlet小波定義為v (8.23)v其傅

33、里葉變換v 8.24 v它是一個具有高斯包絡(luò)的單頻率復(fù)正弦函數(shù)。思索到待分析的信號普通是實(shí)信號，所以在MATLAB中將式8.23改造為：v 8.25v并取 。該小波不是緊支撐的，實(shí)際上講 可取v 。但是當(dāng) ，或再取更大的值時， 和 在時域和頻域都具有很好的集中，如圖8.5所示。vMorlet小波不是正交的，也不是雙正交的，可用于延續(xù)小波變換。但該小波是對稱的，是運(yùn)用較為廣泛的一種小波。tjteet2/2)(2/)(202)(etett02/cos)(250t50)(t)(v (a)時域波形 (b)頻譜v 圖8.5 Morlet小波v8.2.1.3 Mexican hat小波v該小波的中文名字為

34、“墨西哥草帽小波，又稱Marr小波。它定義為 (8.26)v式中 ，其傅里葉變換為2/22)1()(tetct4/132cv (8.27)v 該小波是由一高斯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)所得到的，它沿著中心軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的三維圖形猶如一頂草帽，故由此而得名。其波形和頻譜如圖8.6所示。v 該小波不是緊支撐的，不是正交的，也不是雙正交的，但它是對稱的，可用于延續(xù)小波變換。由于該小波在 處有二階零點(diǎn)，因此它滿足允許條件，且該小波比較接近人眼視覺的空間呼應(yīng)特征，因此它在1983年即被用于計(jì)算機(jī)視覺中的圖像邊緣檢測。v 圖8.6 墨西哥草帽小波， (a)時域波形， (b)頻譜2/222)(ec0v8.2.1.4

35、Gaussian小波v高斯小波是由一根本高斯函數(shù)分別求導(dǎo)而得到的，定義為：v ， (8.28)v式中定標(biāo)常數(shù)是保證 。v該小波不是正交的，也不是雙正交的，也不是緊支撐的。當(dāng) 取偶數(shù)時 v 正對稱，當(dāng) 取奇數(shù)時， 反對稱。圖8.7給出了 時 的時域波形及對應(yīng)的頻譜。v 圖8.7 高斯小波取 (a)時域波形， (b)頻譜2tkk2edtdct/)(821k,1t2)(k)(tk)(t4k )(t4kv8.2.28.2.2正交小波正交小波v 目前提出的正交小波大致可分為四種，即目前提出的正交小波大致可分為四種，即DaubechiesDaubechies小小波，對稱小波，波，對稱小波，Coiflets

36、Coiflets小波和小波和MeyerMeyer小波。這些正交小波小波。這些正交小波和前面所討論的和前面所討論的“經(jīng)典小波不同，它們普通不能由一個簡經(jīng)典小波不同，它們普通不能由一個簡約的表達(dá)式給出，而是經(jīng)過一個叫做約的表達(dá)式給出，而是經(jīng)過一個叫做“尺度函數(shù)尺度函數(shù)Scalling Scalling functionfunction的的 的加權(quán)組合來產(chǎn)生的。尺度函數(shù)是小波的加權(quán)組合來產(chǎn)生的。尺度函數(shù)是小波變換的又一個重要概念。由下節(jié)討論可知，小波函數(shù)變換的又一個重要概念。由下節(jié)討論可知，小波函數(shù) ，尺度函數(shù)尺度函數(shù) 同時和一個低通濾波器同時和一個低通濾波器 及高通濾波器及高通濾波器 相關(guān)連，相關(guān)

37、連， 和和 可構(gòu)成一個兩通道的分析濾波器組。這可構(gòu)成一個兩通道的分析濾波器組。這些內(nèi)容構(gòu)成了小波變換的多分辨率分析的實(shí)際根底。因此，些內(nèi)容構(gòu)成了小波變換的多分辨率分析的實(shí)際根底。因此，在討論正交小波時，同時涉及到尺度函數(shù)在討論正交小波時，同時涉及到尺度函數(shù) ，分析濾波器，分析濾波器組組 ， 及綜合濾波器組及綜合濾波器組 ， 。MATLABMATLAB中的中的Wavelet ToolboxWavelet Toolbox中有相關(guān)的軟件來產(chǎn)生各類正交小涉及其中有相關(guān)的軟件來產(chǎn)生各類正交小涉及其相應(yīng)的濾波器。相應(yīng)的濾波器。v8.2.2.1 Daubechies8.2.2.1 Daubechies小波小

38、波v Daubechies Daubechies小波簡稱小波簡稱dbdb小波。它是由法國學(xué)者小波。它是由法國學(xué)者Ingrid Ingrid DauechiesDauechies于于9090年代初提出并構(gòu)造的。年代初提出并構(gòu)造的。DaubechiesDaubechies對小波變對小波變)(t)(t)(t)(0zH)(1zH)(0zH)(1zH)(t)(0zH)(1zH)(0zG)(1zGv換的實(shí)際做出了突出的奉獻(xiàn)，特別是在尺度取2的整數(shù)次冪時的小波實(shí)際及正交小波的構(gòu)造方面進(jìn)展了深化的研討，其代表作深受同行們的歡迎。vdbN中的表示db小波的階次， 。當(dāng)時，db1即是Haar小波。因此，前述的Ha

39、ar小波應(yīng)歸于“正交小波類。Daubechies計(jì)算出了 時的 及 。在MATLAB5.3中，N的階次還可以擴(kuò)展。db小波是正交小波，當(dāng)然也是雙正交小波，并是緊支撐的。 的支撐范圍在v ， 的支撐范圍在 。小波 具有N階消逝矩， 在 處具有階零點(diǎn)。但db小波是非對稱的，其相應(yīng)的濾波器組屬共軛正交鏡像濾波器組CQMFB。圖8.8給出了 時， ， 及 ， 的波形。102N102N010,),(ghht1g)(t) 12(0Nt)(tNN )1 ( )(t)(04N)(t)(t)()(圖8.8 時db小波 (a) ，(b) ， (c) ，(d) 4N)(t)(t)()(v8.2.2.2 對稱小波v對

40、稱小波簡記為symN， ，它是db小波的改良，也是由Daubechies提出并構(gòu)造的。它除了有db小波的特點(diǎn)外，主要是 是接近對稱的，因此，所用的濾波器可接近于線性相位。圖8.9是 時的對稱小波。v (a) (b)v 圖8.9 時的對稱小波(a) ，(b) 8 , 3 , 2N)(t4N4N)(t)(tv8.2.2.3 Coiflets小波v該小波簡記為coifN， .在db小波中，Daubechies小波僅思索了使小波函數(shù) 具有消逝矩N階，而沒思索尺度函數(shù) 。R.Coifman于1989年向Daubechies提出建議，希望能構(gòu)造出使 也具有高階消逝矩的正交緊支撐小波。Daubechies接

41、受了這一建議，構(gòu)造出了這一類小波，并以Coifman的名字命名。vcoifN是緊支撐正交、雙正交小波，支撐范圍為 ，也是接近對稱的。 的消逝矩是2N， 的消逝矩是2N-1。圖8.10是N=4時的coif4小波。v 圖8.10 N=4時v 的Coiflets小v 波，a) ，v (b) 5 , 2 , 1N)(t)(t)(t16 N)(t)(t)(t)(tv8.2.2.4 Meyer小波vMeyer小波簡記為meyr，它是由Meyer于1986年提出的。該小波無時域表達(dá)式，它是由一對共軛正交鏡像濾波器組的頻譜來定義的。vMeyer小波是正交、雙正交的，但不是有限支撐的，但其有效的支撐范圍在 到

42、之間。該小波是對稱的，且有著非常好的規(guī)那么性。圖8.11給出了Meyer小波的尺度函數(shù) 和小波函數(shù) 。v 圖8.11 v Meyer小波v a) ，v (b) )(t)(t)(t)(tv8.2.3 8.2.3 雙正交小波雙正交小波v我們知道，兩通道正交鏡像濾波器組的分析濾波器我們知道，兩通道正交鏡像濾波器組的分析濾波器 和和v 是功率對稱的，且是功率對稱的，且 和和 之間有著正交性，再之間有著正交性，再者者 ， ， 和和 有著同樣的長度，都不是線性相有著同樣的長度，都不是線性相位的。為了獲得線性相位的濾波器組，需放棄位的。為了獲得線性相位的濾波器組，需放棄 的功率的功率互補(bǔ)性質(zhì)。這也就放棄了互

43、補(bǔ)性質(zhì)。這也就放棄了 和和 之間的正交性，代之的之間的正交性，代之的是雙正交關(guān)系。是雙正交關(guān)系。v 由于離散小波變換最后是由兩通道濾波器組來實(shí)現(xiàn)。因此，由于離散小波變換最后是由兩通道濾波器組來實(shí)現(xiàn)。因此，正交小波條件下的正交小波條件下的 ， 和和 與與 都不具有線性都不具有線性相位相位HaarHaar小波除外。為此，小波除外。為此，DaubechiesDaubechies和和CohenCohen提出并提出并構(gòu)造了雙正交小波，其目的是在放寬小波正交性的條件下得構(gòu)造了雙正交小波，其目的是在放寬小波正交性的條件下得到線性相位的小涉及相應(yīng)的濾波器組。到線性相位的小涉及相應(yīng)的濾波器組。v雙正交濾波器組簡

44、稱雙正交濾波器組簡稱biorNr,NdbiorNr,Nd，其中，其中NrNr是低通重建濾波器是低通重建濾波器的階次，的階次，NdNd是低通分解濾波器的階次。在是低通分解濾波器的階次。在MATLABMATLAB中，中， NrNr和和NdNd的能夠組合是：的能夠組合是：)(0zH)(1zH)(0nh)(1nh)(0nh)(1nh)(0ng)(1ng)(0zH)(0nh)(1nh)(t)(t010,ghh1gv Nr =1, Nd =1,3,5v Nr =2, Nd =2,4,6,8v Nr =3, Nd =1,3,5,7,9v Nr =4, Nd =4v Nr =5, Nd =5v Nr =6,

45、Nd =8v這一類小波自然不是正交的，但它們是雙正交的，是緊支撐的，更主要的是它們是對稱的，因此具有線性相位。分解小波 的消逝矩為Nr -1。圖8.12給出的bior3.7的分解小波、尺度函數(shù)及重建小波和尺度函數(shù)。)(tv 圖8.12 雙正交小波bior3.7 v (a)分解尺度函數(shù) (b)分解小波 v (c)重建尺度函數(shù) (d)重建小波)(t)(t)(t)(tv8.2.48.2.4延續(xù)小波變換的計(jì)算延續(xù)小波變換的計(jì)算v在式在式8.28.2關(guān)于小波變換的定義中，變量關(guān)于小波變換的定義中，變量 ， 和和 都是延續(xù)的，當(dāng)我們在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)一個信號的小波變換都是延續(xù)的，當(dāng)我們在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)一個信號的

46、小波變換時，時， ， 和和 均應(yīng)離散化。對均應(yīng)離散化。對 離散化最常用的方離散化最常用的方法是取法是取 ，如取，如取 ，這樣，這樣 。對于。對于 按按2 2的的整次冪取值所得到的小波習(xí)慣上稱之為整次冪取值所得到的小波習(xí)慣上稱之為“二進(jìn)二進(jìn)dyadicdyadic小波。對這一類小波的小波變換，我們可用有關(guān)離散小波變小波。對這一類小波的小波變換，我們可用有關(guān)離散小波變換的方法來實(shí)現(xiàn)。然而取換的方法來實(shí)現(xiàn)。然而取 ，在實(shí)踐任務(wù)中有時，在實(shí)踐任務(wù)中有時顯得尺度騰躍太大。當(dāng)希望顯得尺度騰躍太大。當(dāng)希望 恣意取值恣意取值 ，也即在，也即在 的范圍內(nèi)恣意取值時，這時的小波變換即是延續(xù)小波變換。的范圍內(nèi)恣意取

47、值時，這時的小波變換即是延續(xù)小波變換。v計(jì)算式計(jì)算式8.28.2的最簡單的方法是用數(shù)值積分的方法，即令的最簡單的方法是用數(shù)值積分的方法，即令v (8.29) (8.29) tabtabaZjaaj,020aja2aZjaj,2a)0(a)0(adtabttxabaWTx)()(1),(kkkdtabttxa1)()(1v由于在 的區(qū)間內(nèi)， ，所以上式又可寫為：v (8.30)v由該式可以看出，小波變換 可看作是 和v的卷積后的累加所得到的結(jié)果，卷積的中間變量是 ，卷積后的變量為 及 。MATLAB中的cwt.m即是按此思緒來實(shí)現(xiàn)的。詳細(xì)過程大致如下：v1. 先由指定的小波稱號得到母小波 及其時

48、間軸上的刻度，假定刻度長為 ；v2. 從時間軸坐標(biāo)的起點(diǎn)開場求積分 ，v3.由尺度因子 確定對上述積分值選擇的步長， 越大，上述積分值被選中的越多；v4求 和所選中的積分值序列的卷積，然后再作差分，即完成式8.30。1kkt)()(kxtxkkkxdtabtkxabaWT1)()(1),()()()(11kkkdtabtdtabtkxa),(baWTx)(kx)(abt tba)(t10Ndttk)(01, 1Nkaa)(kxv本方法的缺乏之處是在 變化時，式8.30中括號內(nèi)的積分、差分后的點(diǎn)數(shù)不同，也即和 卷積后的點(diǎn)數(shù)不同。處理的方法是在不同的尺度下對 作插值，使其在不同的尺度下，在其有效支

49、撐范圍內(nèi)的點(diǎn)數(shù)一直一樣。有關(guān)CWT快速計(jì)算的方法還可借助于CZT及梅林變換等方法，此處不再討論。v例8.1令 為一正弦加噪聲信號，它取自MATLAB中的noissin.mat。對該信號作CWT， 分別等于2和128， 時，小波變換的結(jié)果對應(yīng)信號中的高頻成份， 時，小波變換對應(yīng)信號中的低頻成份。其原始信號及變換結(jié)果見圖8.13(a)，(b)和c。v例8.2 依然運(yùn)用例8.1的信號“noissin，對其作CWT時 分別取10，30，60，90，120及150。所得到的圖8.14是在各個尺度下的小波系數(shù)的灰度圖。顏色越深，闡明在該尺度及該位移程度軸處的小波系數(shù)越大。此例旨在闡明對小波變換的結(jié)果具有不

50、同的表示方式。a)(kx)(t)(txa2a128aav圖8.13 信號“noissin的小波變換，(a)原信號，v (b) ，(c) 2a128a v 圖8.14 多尺度下小波變換的灰度表示Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 10 30 60 90 120 .time (or space) bscales a1002003004005006007008009001000 10 30 60 90120150v8.3 8.3 尺度離散化的小波變換及小波標(biāo)架尺度離散化的小波變換及小波標(biāo)架v我們在式我們在式8.28.2定義了信號定義了信號 的延的

51、延續(xù)小波變換，式中續(xù)小波變換，式中 ， v 和和 都是延續(xù)變量。為了在計(jì)算機(jī)上都是延續(xù)變量。為了在計(jì)算機(jī)上有效地實(shí)現(xiàn)小波變換，有效地實(shí)現(xiàn)小波變換， 自然應(yīng)取離散自然應(yīng)取離散值，值， 和和 也應(yīng)取離散值。從減少信也應(yīng)取離散值。從減少信息冗余的角度，息冗余的角度， 和和 也沒有必要延也沒有必要延續(xù)取值。續(xù)取值。v 和和 構(gòu)成了一個二維的構(gòu)成了一個二維的“尺度位移尺度位移平面。前已述及，平面。前已述及，v 越大，越大， 對應(yīng)的頻率越低，反之，對應(yīng)的頻率越低，反之，對應(yīng)的頻率越高。因此，對應(yīng)的頻率越高。因此， 平面也可平面也可視為視為“時頻平面。對同一個信時頻平面。對同一個信號號 ，我們已給出過不同的

52、表示方式，我們已給出過不同的表示方式，如如STFTSTFT，GaborGabor變換，變換，WVDWVD及本章的小波及本章的小波變換。變換。 v現(xiàn)重寫幾個有關(guān)的公式，即現(xiàn)重寫幾個有關(guān)的公式，即v (8.31)(8.31)v (8.32)(8.32)(txabttaabbaba)( aba )(txdetSTFTgtxtjx),()0(21)()()(,thctxnmmnnm v (8.33)v (8.34)v其中式8.32是用時頻平面離散柵格 上的點(diǎn)來表示，即Gabor展開，式8.33是具有雙線性變換的表示方式，它和其它三種表示方式有較大的區(qū)別。式8.31和式8.34闡明同一信號在時頻平面上具

53、有不同的表示方式。式8.31的反變換是有信息冗余的，即不需求 的一切的值就可恢復(fù)。同理，式8.34的小波變換也存在著信息冗余。在這兩個式子中，我們只需取時頻平面上的離散柵格處的點(diǎn)即可。問題的關(guān)鍵是如何決議 和 抽樣的步長以保證對 的準(zhǔn)確重建。下面，我們首先思索尺度因子 的離散化，然后再思索 和 的同時離散化。detWxtxtjx),2()0(21)(dadbtbaWTactxbax)(),(1)(,02),(nm),( tSTFTaaabb)( txv8.3.1 8.3.1 尺度離散化的小波變換尺度離散化的小波變換v目前通用的對目前通用的對 離散化的方法是按冪級數(shù)的方式逐漸加離散化的方法是按冪

54、級數(shù)的方式逐漸加大大 ，即令，即令 。假設(shè)。假設(shè)取取 ，那么，那么v (8.35)(8.35)v稱為稱為“半離散化二進(jìn)小波，而半離散化二進(jìn)小波，而v (8.36) (8.36)v稱為二進(jìn)小波變換。稱為二進(jìn)小波變換。v設(shè)母小波設(shè)母小波 的中心頻率為的中心頻率為 ，帶寬為，帶寬為 ，當(dāng)，當(dāng) 時，時，v 的中心頻率變?yōu)榈闹行念l率變?yōu)?，帶寬，帶寬 v。假設(shè)。假設(shè) 時，時， 的中心頻率和帶寬分別是：的中心頻率和帶寬分別是：v 和和 。從對信號作頻域分析的。從對信號作頻域分析的aaZjaaaj, 0,0020a)(2(2)(2/,bttjjbj)(),(),(,ttxbjWTbjxdtbttxjj)(2

55、()(22/)(t0ja2)(,tbj0jj00j22/)(jj212ja)(, 1tbj01j01j2)(121jjv角度，我們希望當(dāng) 由 變成 時， 和 在頻域?qū)?yīng)的分析窗為 v和 可以相銜接。這樣，當(dāng) 由0變至無窮時， 的傅里葉變換可以覆蓋整個 軸。顯然，假設(shè)令母小波 的 ，那么上面兩個頻域窗首尾相連，即 和 首尾相連。經(jīng)過對母小波作適宜的調(diào)制，可以方便地做到 。v如今，我們來討論如何由式8.36的 來恢復(fù) ，設(shè) 是 的對偶小波，并令 和 取類似的方式，即 (8.37)v這樣，經(jīng)過對偶小波，我們希望能重建 ：v (8.38)v為了尋覓 和 應(yīng)滿足的關(guān)系，現(xiàn)對上式作如下改動：aj212j)

56、(,tbj)(,1tbj )( ,)(jj0j0j)( ,)(1j1j01j01jj)(,tbj)(t30)(2 ,21jj2 ,221jj30)(),(bjWTx)(tx)( t)(t)(,tbj)(,tbj)(2(2)(2/,bttjjbj)(txdbbtbjWTtxjxjj)(2(),(2)(2/3)( t)(tv式中F代表求傅里葉變換。由式8.3和式8.4，有v (8.39)v顯然，假設(shè)v (8.40)v那么式8.39的右邊變成的傅里葉反變換，自然就是 。 )(2(),(2)(2/3btbjWTtxjxjj)(2(),(2122/3btFbjWTFjxjjdeXtxtjjjjjjj)2

57、(2)2(2)(212)(2/2/3deXtjjjj)2()2()(211)2()2(jjj)(txv對于滿足允許條件的小波 ，當(dāng) 時，其二進(jìn)制小波 對應(yīng)的傅里葉變換應(yīng)滿足式8.18的穩(wěn)定性條件。這樣，結(jié)合式8.18和式8.40，我們可由下式得到對偶小波 :v (8.41)v由于式8.41的分母滿足式8.18，因此有v (8.42)v這樣，對偶小波 也滿足穩(wěn)定性條件，也即，總可以找到一個“穩(wěn)定的對偶小波 由式8.38重建出 。下面定理更完好地回答了在半離散二進(jìn)小波變換情況下的 重建問題。v定理8.1 假設(shè)存在常數(shù) ，使得v (8.43)(tZjaj,2)(,tbj)( tjj2)2()()(A

58、Bjj1)2(12)( t)( t)(tx)(tx0, 0BARBAjj2)2(v那么v (8.44)v假設(shè) 滿足v (8.45)v那么v (8.46)v該定理指出，假設(shè) 的傅里葉變換滿足穩(wěn)定性條件，那么 在v 上的小波變換的幅平方的和是有界的。進(jìn)而， 和 的傅里葉變換假設(shè)滿足式8.45也即式8.40，那么可由式8.46重建。222),(21xBbjWTxAxjj)( tRjjj 1)2()2()(),(2)(,tbjWTtxbjxjjdbbtbjWTjxjj)(2(),(22/3)(t)(txZjaj,2)(t)( tv總之，假設(shè)滿足允許條件，且再滿足穩(wěn)定性條件，由二進(jìn)小波變換總可以重建，也

59、即一個滿足穩(wěn)定性條件的對偶小波總是存在的。但是，滿足穩(wěn)定性條件的對偶小波不一定是獨(dú)一的。如何構(gòu)造“好的小涉及得到獨(dú)一的對偶小波是小波實(shí)際中的重要內(nèi)容。v假設(shè)式8.43的穩(wěn)定性條件滿足，那么 的允許條件必定滿足，且v (8.47)v從而，由延續(xù)小波變換 總可以恢復(fù) ，也即式8.15總是成立。v以上討論的是僅對 作二進(jìn)制離散化的情況，如今思索 和 同時離散化的相應(yīng)實(shí)際問題。dC02)(BBdA022ln)(2ln),(baWTx)(txaabv8.3.28.3.2離散柵格上的小波變換離散柵格上的小波變換v令令 ，我們可實(shí)現(xiàn)對，我們可實(shí)現(xiàn)對 的離散化。假設(shè)的離散化。假設(shè) ，那么那么 。欲對。欲對 離

60、散化，最簡單的方法是將離散化，最簡單的方法是將 均勻抽樣，如令均勻抽樣，如令 ， 的選擇應(yīng)保證能由的選擇應(yīng)保證能由 來來恢復(fù)出恢復(fù)出 。當(dāng)。當(dāng) 時，將時，將 由由 變成變成 時，即時，即是將是將 擴(kuò)展了擴(kuò)展了 倍，這時小波倍，這時小波 的中心頻率比的中心頻率比 的中心頻率下降了的中心頻率下降了 倍，帶寬也下降了倍，帶寬也下降了 倍。因此，這時倍。因此，這時對對v 抽樣的間隔也可相應(yīng)地?cái)U(kuò)展抽樣的間隔也可相應(yīng)地?cái)U(kuò)展 倍。由此可以看出，當(dāng)尺倍。由此可以看出，當(dāng)尺度度 分別取分別取 ，對，對 的抽樣間隔可以取的抽樣間隔可以取v ，這樣，對，這樣，對 和和 離散化后的結(jié)果是：離散化后的結(jié)果是：v (8.