Matlab線性代數(shù)實驗解析

1、Matlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析Matlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析 矩陣處理和分析矩陣處理和分析1矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量2Matlab線性方程組求解線性方程組求解3工資問題和動物繁殖問題工資問題和動物繁殖問題4Matlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析特殊矩陣的生成特殊矩陣的生成A=ones(m,n)A=ones(m,n)A=eye(n)A=eye(n)n階單位陣階單位陣A=hilb(n)A=hilb(n)n階階Hilbert矩陣矩陣hij=1/(i+j-1)H=invhilb(n)H=invhilb(n)n階階Hilbert逆矩陣，逆矩陣，n大時

2、壞條件大時壞條件V=vander(c)V=vander(c)Vandermonde矩陣，矩陣，c是向量，它是向量，它不是我們經(jīng)常遇到的，只需不是我們經(jīng)常遇到的，只需rot90R=rand(m,n)R=rand(m,n)Matlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析diag(A,k)diag(A,k)生成一個由矩陣生成一個由矩陣A A的第的第k k條對角線的條對角線的元素組成的列向量。元素組成的列向量。k=0k=0為主對角為主對角線；線；k0k0k0則是主對角線以上第則是主對角線以上第k k對角對角線線diag(X,k)diag(X,k)生成一個以向量生成一個以向量X X的元素為第的元素為第k k

3、條對條對角線元素，其余元素都是零的角線元素，其余元素都是零的m m階階方矩陣。其中方矩陣。其中m=Xm=X的長度的長度+|k|+|k|矩陣處理矩陣處理Matlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析矩陣生成示例矩陣生成示例1292463634815B思考與練習：生成如下矩陣思考與練習：生成如下矩陣525252525AMatlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析triu(A)triu(A)triu(A,k)triu(A,k)生成一個第生成一個第k k條對角線及以上元素為條對角線及以上元素為A A的的元素，其余元素都為零的與元素，其余元素都為零的與A A同階的上三同階的上三角矩陣，且角矩陣，且triu

4、(A,0)=triu(A)triu(A,0)=triu(A)。tril(A)tril(A)tril(A,k)tril(A,k)生成一個第生成一個第k k條對角線及以下元素是條對角線及以下元素是A A的的元素，其余元素都為零的下三角矩陣，且元素，其余元素都為零的下三角矩陣，且tril(A,0)=tril(A)tril(A,0)=tril(A)。fliplr(A)fliplr(A)矩陣左右翻轉(zhuǎn)矩陣左右翻轉(zhuǎn)flipud(A)flipud(A)矩陣上下翻轉(zhuǎn)矩陣上下翻轉(zhuǎn)rot90(A,k)rot90(A,k)將矩陣旋轉(zhuǎn)將矩陣旋轉(zhuǎn)9090度的倍度的倍 reshapereshape(A,m,n)(A,m,n

5、)將矩陣將矩陣A A的元素重排成的元素重排成mm行行n n列矩陣列矩陣矩陣處理矩陣處理Matlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析矩陣的基本分析矩陣的基本分析det(A)det(A)計算方矩陣計算方矩陣A的行列式值的行列式值 inv(A) inv(A)計算方陣計算方陣A的逆矩陣的逆矩陣rank(A)rank(A)計算矩陣計算矩陣A的秩的秩trace(A)trace(A)計算矩陣計算矩陣A的跡的跡orth(A)orth(A)A列向量規(guī)范正交化列向量規(guī)范正交化null(A)null(A)Ax=0的基礎解系的基礎解系norm(A)norm(A)矩陣矩陣A的范數(shù)的范數(shù),norm(A,1)|(A,inf

6、)norm(x)norm(x)向量向量x的范數(shù)的范數(shù),norm(x,1)|(x,inf)cond(A)cond(A)矩陣矩陣A的條件數(shù)的條件數(shù)Matlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析q用解析方法和數(shù)值方法計算用解析方法和數(shù)值方法計算6階階Hilbert矩陣的行矩陣的行列式和秩，逆矩陣，驗證其是壞條件的列式和秩，逆矩陣，驗證其是壞條件的.10階以上階以上更是不用樂觀，符號求解即解析法可精確求解。更是不用樂觀，符號求解即解析法可精確求解。H=hilb(6)det(H)rank(H)H1=inv(H)H*H1norm(H*inv(H)-eye(length(H)cond(H)思考與練習思考與練習

7、Matlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析矩陣的特征值和特征向量矩陣的特征值和特征向量 設矩陣設矩陣A A是一個是一個n n階方陣，如果存在數(shù)階方陣，如果存在數(shù) 和一個非零和一個非零列向量列向量X X，使，使AX=XAX=X，則數(shù)，則數(shù) 稱為稱為A A的特征值，向的特征值，向量量X X稱為稱為A A對應于特征值對應于特征值 的特征向量。的特征向量。E=eig(A)E=eig(A)求出求出A的全部特征值，構成向量的全部特征值，構成向量E V,D=eig(A) V,D=eig(A)求出特征值構成對角陣求出特征值構成對角陣D，并求，并求出出A的特征向量構成的特征向量構成V的列向量，的列向量，并進行

8、過相似變換并進行過相似變換Matlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析矩陣的特征值和特征向量矩陣的特征值和特征向量 【例例】A=2,5,1;4,3,2;8,5,4;A=2,5,1;4,3,2;8,5,4;E=eig(A)E=eig(A)V,D=eig(A)V,D=eig(A)inv(V)inv(V)* *A A* *V VMatlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析練習練習產(chǎn)生一個產(chǎn)生一個4階的隨機矩陣，執(zhí)行階的隨機矩陣，執(zhí)行下列下列操作：操作：（1）求其秩和行列式，檢驗其是否可逆；若）求其秩和行列式，檢驗其是否可逆；若可逆，求其逆矩陣?？赡?，求其逆矩陣。（2）計算該矩陣的特征值、特征向量。）

9、計算該矩陣的特征值、特征向量。（3）驗證矩陣的特征值之和等于矩陣主對角）驗證矩陣的特征值之和等于矩陣主對角元之和，特征值之積等于矩陣的行列式。元之和，特征值之積等于矩陣的行列式。Matlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析矩陣方程求解矩陣方程求解( (左除和右除左除和右除) )n左除左除“ ” ”： AX=BAX=B X=ABX=AB 當當A A為方陣且可逆時有為方陣且可逆時有X=AB=inv(A)X=AB=inv(A)* *B B；n右除右除“ / ”/ ”： XA=BXA=B X=B/A X=B/A 當當A A為方陣且可逆時有為方陣且可逆時有X=B/A=BX=B/A=B* *inv(A)i

10、nv(A)Matlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析【例例】設設A A、B B滿足關系式：滿足關系式：ABAB2B+A,2B+A,求求B B。其中其中A=3 A=3 0 1; 1 1 0; 0 1 40 1; 1 1 0; 0 1 4。矩陣方程求解矩陣方程求解( (左除和右除左除和右除) )Matlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析線性方程組線性方程組Ax=bAx=b求解求解1、當A為滿秩矩陣（方陣）時，則 x=A(-1)*b ，在Matlab中有兩種方式計算上式，推薦使用第二種形式，因為與第一種相比，其求解速度更快，數(shù)值更精確。nx=inv(A)*bnx=AbA=1 2 3;1 3 5;

11、1 3 6;b=2 4 5 ;x1=inv(A)*bx2=AbMatlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析齊次方程組齊次方程組Ax=0Ax=0求解求解若若A 不滿秩，則方程有非零解不滿秩，則方程有非零解A=magic(8)rank(A)rref(A)null(A)qrref(A) %rref(A) %求得求得A A的行最簡形矩陣的行最簡形矩陣qnull(A) %null(A) %求得基礎解系求得基礎解系Matlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析非齊次線性方程組非齊次線性方程組Ax=bAx=b求解求解qr(A)=r(A,b)=n,r(A)=r(A,b)=n,方程有唯一解方程有唯一解 x=Ab

12、x=Ab 或或x=inv(A)x=inv(A)* *b.b.qr(A)=r(A,b)n,r(A)=r(A,b)n,方程有無窮解方程有無窮解q特解：特解：AbAb或或pinv(A)pinv(A)* *b bq用用null(A,r)null(A,r)求得求得AX=0 AX=0 的基礎解系的基礎解系A = A(:,1:6);b = 260*ones(8,1);Abpinv(A)*bMatlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析練習練習判斷下面的線性方程組是否有解，若有解判斷下面的線性方程組是否有解，若有解求其通解。求其通解。1234123412342132344352xxxxxxxxxxxx Matl

13、ab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析工資問題 現(xiàn)有一個木工，一個電工和一個油漆現(xiàn)有一個木工，一個電工和一個油漆工，三人互相同意彼此裝修他們自己的房子。工，三人互相同意彼此裝修他們自己的房子。在裝修之前，他們達成協(xié)議：（在裝修之前，他們達成協(xié)議：（1）每人總共）每人總共工作工作10天（包括給自己家干活在內(nèi)）；（天（包括給自己家干活在內(nèi)）；（2）每人的日工資根據(jù)一般的市價在每人的日工資根據(jù)一般的市價在6080元之元之間；（間；（3）每人的日工資數(shù)應使得每人的總收）每人的日工資數(shù)應使得每人的總收入與總支出相等。入與總支出相等。問題問題Matlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析工資問題 下表是他們協(xié)

14、商后制定出的工下表是他們協(xié)商后制定出的工作天數(shù)的分配方案，作天數(shù)的分配方案，如何計算如何計算他們每人應得的工資他們每人應得的工資？ Matlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析問題分析與建立模型分析分析 以以 分別表示木工、分別表示木工、電工、油漆工的日工資。電工、油漆工的日工資。 123,x x x 根據(jù)協(xié)議中每人總支出與總收根據(jù)協(xié)議中每人總支出與總收入相等的原則，分別考慮木工、入相等的原則，分別考慮木工、電工及油漆工的總收入和總支出。電工及油漆工的總收入和總支出。 Matlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析問題分析與建立模型可得方程得方程組可得方程得方程組 整理整理 1231123212

15、332610451044310 xxxxxxxxxxxx1231231238604504470 xxxxxxxxxMatlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析求解 計算計算A=-8 1 6;4 -5 1;4 4 -7A=-8 1 6;4 -5 1;4 4 -7rref(A)rref(A)null(A)null(A)Matlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析實驗練習三戶鄰居三戶鄰居A，B，C，每家都有一個菜園，在，每家都有一個菜園，在各自的菜園內(nèi)，各自的菜園內(nèi)，A種番茄，種番茄，B種玉米，種玉米，C種種茄子。他們同意按照下面的比例分享各家茄子。他們同意按照下面的比例分享各家的收獲。求他們所種蔬

16、菜的收益。的收獲。求他們所種蔬菜的收益。 練習練習A得番茄的得番茄的1/2，玉米的，玉米的1/3，茄子的，茄子的1/4；B得番茄的得番茄的1/3，玉米的，玉米的1/3，茄子的，茄子的1/4；C得番茄的得番茄的1/6，玉米的，玉米的1/3，茄子的，茄子的1/2；Matlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析動物繁殖問題某農(nóng)場飼養(yǎng)的動物所能達到的最大年齡為某農(nóng)場飼養(yǎng)的動物所能達到的最大年齡為15歲歲,將其分將其分為三個年齡組為三個年齡組:第一組第一組,0 5歲歲;第二組第二組6 10歲歲;第三組第三組11 15歲。動物從第二年齡組起開始繁殖后代歲。動物從第二年齡組起開始繁殖后代,經(jīng)過長期統(tǒng)經(jīng)過長期統(tǒng)

17、計計,第二年齡組的動物在其年齡段平均繁殖第二年齡組的動物在其年齡段平均繁殖4個后代個后代,第三第三組在其年齡段平均繁殖組在其年齡段平均繁殖3個后代個后代,第一年齡組和第二年齡第一年齡組和第二年齡組的動物能順利進入下一個年齡組的存活率分別為組的動物能順利進入下一個年齡組的存活率分別為1/2和和1/4。假設農(nóng)場現(xiàn)有三個年齡段的動物各。假設農(nóng)場現(xiàn)有三個年齡段的動物各1000頭頭,問問15年后農(nóng)場飼養(yǎng)的動物總數(shù)及農(nóng)場三個年齡段的動物各將年后農(nóng)場飼養(yǎng)的動物總數(shù)及農(nóng)場三個年齡段的動物各將達到多少頭達到多少頭?指出指出15年間年間,動物總增長多少頭及總增長率動物總增長多少頭及總增長率.Matlab線性代數(shù)實

18、驗解析線性代數(shù)實驗解析動物繁殖問題 11223304311/ 2001,1,2,301/ 401x kx kxkxkkxkxk年齡組為年齡組為5 5歲一段歲一段, ,故將時間周期也取故將時間周期也取5 5年。年。1515年經(jīng)過年經(jīng)過3 3個周期。個周期。x xi i(k)(k)用用k=1k=1，2 2，3 3分別表示第一、分別表示第一、二、三個周期，表示第二、三個周期，表示第i i個年齡組在第個年齡組在第k k個周期的數(shù)個周期的數(shù)量。由題意量。由題意, ,有如下矩陣遞推關系有如下矩陣遞推關系: : 1x kL x kMatlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析實驗練習 （商品的經(jīng)營問題）某商店

19、每月考察一次經(jīng)營情（商品的經(jīng)營問題）某商店每月考察一次經(jīng)營情況，其結(jié)果用銷路好或銷路壞這兩種狀況之一表況，其結(jié)果用銷路好或銷路壞這兩種狀況之一表示。已知如果本月銷路好，下月仍保持這種狀況示。已知如果本月銷路好，下月仍保持這種狀況的概率為的概率為0.5；如果本月銷路壞，下月轉(zhuǎn)變?yōu)殇N；如果本月銷路壞，下月轉(zhuǎn)變?yōu)殇N路好的概率為路好的概率為0.4。試分析假若開始時商店處于。試分析假若開始時商店處于銷路好的狀況，那么經(jīng)過若干月后能保持銷路好銷路好的狀況，那么經(jīng)過若干月后能保持銷路好的概率有多大？若開始時商店處于銷路壞的狀況的概率有多大？若開始時商店處于銷路壞的狀況呢？呢？ 練習練習馬氏鏈的簡單應用馬氏鏈的簡單應用Matlab線性代數(shù)實驗解析線性代數(shù)實驗解析實驗練習 （服務網(wǎng)點的設置問題）為適應日益擴大的（服務網(wǎng)點的設置問題）為適應日益擴大的旅游事業(yè)的需要，某城市的甲、乙、丙三旅游事業(yè)的需要，某城市的甲、乙、丙三個照相館組成一個聯(lián)營部，聯(lián)合經(jīng)營出租個照相館組成一個聯(lián)營部，聯(lián)合經(jīng)營出租相機的業(yè)務。游客可由甲乙丙三處任何一相機的業(yè)務。游客可由甲乙丙三處任何一處租出相機，還在三處中任意一處即可。處租出相機，還在三處中任意一處即可。估計其轉(zhuǎn)移概率如下表所示