高三數(shù)學高考導數(shù)專題5：函數(shù)的最值

1、專題5：函數(shù)的最值1已知函數(shù)，若成立，則的最小值為（ ）ABCD【解析】令，則，即，若，則，有，當時，單調遞減；當時，單調遞增；，即的最小值為.故選：D.2已知函數(shù)，若，則的最小值為（ ）ABCD【解析】由題意，得，即，又，得在上單調遞增，綜上知：，令，則，得；，得；故在上單調遞減，在上單調遞增.，故選：C3若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)a的最大值為（ ）ABCD【解析】令，所以，因為需要保證有意義，所以，所以在上單調遞增，因為當時，且，所以，使得，并且當時，；當時，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以，且，所以，所以所以，考慮函數(shù)，其中，根據(jù)復合函數(shù)單調性可得函數(shù)在上單調遞減，因為，所以

2、解得到，所以，因為在上單調遞增，所以，所以的最大值為.故選：C4已知函數(shù)，若存在，使得成立，則的最小值為（ ）ABCD【解析】函數(shù)f（x）的定義域為（0，+），當x（0，e）時，f（x）0，f（x）單調遞增，當x（e，+）時，f（x）0，f（x）單調遞減，又f（1）0，所以x（0，1）時，f（x）0； 同時，若存在，使得成立，則且，所以，即x2lnx1，又所以，故，令，k0，則，令，解得，令，解得，在（，3）單調遞減，在（3，0）單調遞增，故選：D5已知函數(shù)，若關于的方程恰有兩個不等實根，且，則的最小值為（ ）ABCD【解析】作函數(shù)的大致圖象如下，結合圖象易知，使得，故，令，則，令，則，當時，

3、當時，故在上單調遞減，在上單調遞增，故選：D.6已知函數(shù).（1）a=1時,求函數(shù)f（x）的極值；（2）若,求f（x）的最小值g（a）的取值范圍.【解析】(1)當a=1時,則,令h（x）=exx,當x（0,+）時,h（x）=ex10,在（0,+）上,h（x）h（0）=1,即exx,令f（x）=0,則x=1,經檢驗,在（0,1）上,f（x）0,f（x）單調遞減,在（1,+）上,f（x）0,f（x）單調遞增,當x=1時,函數(shù)y=f（x）取得極小值e1,無極大值；(2),令,則,由（1）知,當x（0,+）時,exx,ex（x22x+2）xx（x22x+2）x=x（x1）20,p（x）0在（0,+）上恒

4、成立,f（x）在定義域上單調遞增,方程f（x）=0在（0,+）上有唯一解,設方程f（x）=0的解為x0,則在（0,x0）上f（x）0,在（x0,+）上f（x）0,且1x02,f（x）的最小值為,由f（x）=0得,代入g（a）得,令,則,x2+2x2=（x1）211,ex（x2+2x2）+xxex0,（x）在1,2上為減函數(shù),g（a）ln21,e1.7已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)），且在點處的切線的斜率為，函數(shù).（1）求的單調區(qū)間和極值；（2）若，求的最大值.【解析】（1）由已知得，在點處的切線的斜率為，所以，從而，.因為，在上遞增，且，所以當時，；時，的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為，所以，無極大

5、值.（2）令，得，當時，在上單調遞增，當時，與相矛盾；當時，此時；當時，得，所以在，為減函數(shù)，在，為增函數(shù).當時，即，所以（其中）.令，則，所以在，為增函數(shù)，在，為減函數(shù).當時，即：當時，的最大值為，所以的最大值為.綜上所述：的最大值為.8已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）當時，記函數(shù)在區(qū)間的最大值為.最小值為，求的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的定義域為.當時，恒成立，函數(shù)的增區(qū)間為，無單調減區(qū)間；當時，令可得；令可得，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.綜上，當時，函數(shù)的增區(qū)間為，無單調減區(qū)間；當時， 函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）當時，由（1）可得函數(shù)在區(qū)間單調遞減，在區(qū)間單調遞增.，.由.

6、當時，有.記，則，函數(shù)在單調遞減，即.此時的取值范圍為.當時，有.記，則，函數(shù)在單調遞增，即.此時的取值范圍為.綜上，的取值范圍為.9已知函數(shù)兩個極值點.（1）當時，求；（2）當時，求的最大值.【解析】（1） （）當時，（）由，得或；由，得在及上單調遞增，在上單調遞減， （2）的兩個極值點，是即方程的兩個根，QQ群416652117，又，（）令，則即即又在上單調遞減的最大值為的最大值10已知函數(shù).（1）當時，求的最大值；（2）對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當時，則，時，；時，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)（2）對任意的，不等式恒成立，在上恒成立，令，則令，則，在上為增函數(shù)

7、，又，使得，即，時，在上單調遞減，時，在上單調遞增，由可得令，則又，在上單調遞增，綜上所述，滿足條件的的取值范圍是11已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)的最小值；（2）求證：.【解析】（1）因為，所以當時，單調遞減當時，單調遞增所以（2）證明：要證，只需證明：對于恒成立，令，則，當時，令，則，在上單調遞增，即在上為增函數(shù)又因為，所以存在使得由得即即即所以當時，單調遞減當時，單調遞增所以，令，則所以在上單調遞增，所以，所以，所以，即12已知函數(shù)（a、）.（1）當，時，求的單調區(qū)間；（2）當，時，求的最小值.【解析】（1）當，時，（）.，令得，或（舍去）.當時，單調遞減，當時，單調遞增

8、，單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（2）.設（），1）當時，則在上單調遞減，且，在上單調遞增，.2）當時，設，有兩根，.，不妨令，當時，即，在上單調遞減，當時，即，在上單調遞增.當，即時，在上單調遞增.又，.當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增.又，存在使得，.綜上可得13已知函數(shù)，.（1）若直線是曲線的切線，求的最大值；（2）設，若函數(shù)有兩個極值點與，且，求的取值范圍.【解析】（1）因為，又因為是曲線的切線，即故，因為，即，故，所以，即所以單調遞減，故，綜上，的最大值是0.（2）因為，所以，是的兩根，即，故，所以，因為，令，即單調遞減，且，所以在單調遞增，故，綜上，的取值范圍是.14已知函數(shù)（1）求的極值；（2）求在上的最大值【解析】（1）函數(shù)的定義域為，當時，恒成立，則在上是減函數(shù)，無極值；當時，令，解得，則在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以當時，有極小值，無極大值，綜上，當時，無極值，當時，有極小值，無極大值；（2）當時，由（1）知在上是減函數(shù)，所以當時，有最大值；當時，由（1）知在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，（i）當，即時，在上是增函數(shù)，所以當時，有最大值；（ii）當即時，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).若，即時，有最大值；若，即時，有最大值；（）當即時，在上是減函數(shù)，所以當時，有最大值，綜上所述，當時，有最大值；當時，有最大值.15已知函數(shù).（1）當時，求證：；（2）設，記在