離散型隨機(jī)變量的期望及方差

1、離散型隨機(jī)變量的均值與方差1離散型隨機(jī)變量的均值與方差(1)均值若離散型隨機(jī)變量的概率分布為x1x2xnPp1p2pn則的數(shù)學(xué)期望(或平均數(shù)、均值，簡(jiǎn)稱期望)為Ex1p1x2p2xnpn它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平(2)方差如果離散型隨機(jī)變量所有可能取的值是x1，x2，xn，且取這些值的概率分別是p1，p2，pn，那么D()(x1E)2p1(x2E)2p2(xnE)2pn叫做的方差隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度(標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位)(3)若服從二項(xiàng)分布，即B(n，p)，則Enp，Dnp(1p)兩點(diǎn)分布，則Ep，Dp(1p)2均值、

2、方差的性質(zhì)及應(yīng)用(1)ECC(C為常數(shù))；(2)E(ab)aEb(a、b為常數(shù))；(3)D(ab)a2D.1設(shè)隨機(jī)變量B(n，p)，且E1.6，D1.28，則()An8，p0.2 Bn4，p0.4Cn5，p0.32 Dn7，p0.45答案：A 2如果是離散型隨機(jī)變量，32，那么()AE3E2，D9DBE3E，D3D2CE3E2，D9E4DE3E4，D3D2答案：A3一個(gè)均勻小正方體的六個(gè)面中，三個(gè)面上標(biāo)以數(shù)0，兩個(gè)面上標(biāo)以數(shù)1，一個(gè)面上標(biāo)以數(shù)2.將這個(gè)小正方體拋擲2次，則向上的數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望_熱點(diǎn)之一熱點(diǎn)之一求離散型隨機(jī)變量的期望與方差 求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟：1理解X的意義，

3、寫出Y的所有可能取值；2求X取每個(gè)值的概率；3寫出X的分布列；4由均值的定義求EX；5由方差的定義求DX.【例】某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：從裝有9個(gè)白球，1個(gè)紅球的箱子中每次隨機(jī)地摸出1個(gè)球，記下顏色后放回，摸出1個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金10元；摸出2個(gè)紅球可獲得獎(jiǎng)金50元，現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次，令X表示甲，乙摸球后獲得的獎(jiǎng)金總額求：(1)X的概率分布；(2)X的數(shù)學(xué)期望解：解：摸球的情形有以下5種：甲1白，乙2白(0元)；甲1紅，乙2白或甲1白，乙1紅1白(10元)；甲1紅，乙1紅1白(20元)；甲1白，乙2紅(50元)；甲1紅，乙2紅(60元)(1)X的所有可能的

4、取值為0,10,20,50,60，熱點(diǎn)之二熱點(diǎn)之二期望與方差的性質(zhì)及應(yīng)用 利用均值和方差的性質(zhì)，可以避免復(fù)雜的運(yùn)算常用性質(zhì)有：(1)ECC(C為常數(shù))；(2)E(aXb)aEXb(a，b為常數(shù))；(3)E(X1X2)EX1EX2；E(aX1bX2)aE(X1)bE(X2)；例1袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n1,2,3,4)現(xiàn)從袋中任取一個(gè)，表示所取球的標(biāo)號(hào)(1)求的分布列、期望和方差；(2)若ab，E1，D11，試求a，b的值(2)由Da2D，得a22.7511，即a2.又EaEb，當(dāng)a2時(shí)，由121.5b，得b2；當(dāng)a2時(shí)，由121.5b，得b4.思維

5、拓展思維拓展在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的期望與方差時(shí)，首先要弄清其分布特征，正確求出分布列，這是求均值和方差的前提，然后準(zhǔn)確應(yīng)用公式，特別是充分利用期望和方差的性質(zhì)解題，善于使用公式E(aXb)aEXb，D(aXb)a2DX，能避免繁瑣的運(yùn)算過程，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度即時(shí)訓(xùn)練 如果X是離散型隨機(jī)變量，EX6，DX0.5，X12X5，那么EX1和DX1分別是()A12,1 B7,1 C12,2 D7,2解析：因?yàn)镋(aXb)aEXb，D(aXb)a2DX，由已知可得EX17，DX12，應(yīng)選D.答案：D熱點(diǎn)之三熱點(diǎn)之三與二項(xiàng)分布有關(guān)的期望與方差 當(dāng)隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布時(shí)，可不用列出分布列，直接由公式求出EX和DX.思路探究解答該5個(gè)問題可以認(rèn)為是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，答對(duì)問題的個(gè)數(shù)服從二項(xiàng)分布，求的期望與方差可通過與的線性關(guān)系間接求出思維拓展思維拓展(1)當(dāng)求隨機(jī)變量的期望與方差時(shí)，可首先分析是否服從二項(xiàng)分布，如果服從，則用公式求解，可大大減少運(yùn)算量(2)注意利用E(ab)aEb及D