武漢大學至學期期末測驗考試線性代數B試題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上武漢大學2007至2008第二學期期末考試線性代數B試題武漢大學數學與統(tǒng)計學院20072008第二學期線性代數B （A卷，工54）學院              專業(yè)                   學號  &

2、#160;                  姓名          矚慫潤厲釤瘞睞櫪廡賴。注：所有答題均須有詳細過程，內容必須寫在答題紙上，凡寫在其它地方一律無效.一、（10分） 計算下列行列式；1.  2. 若都是四維列向量，且四階行列式求四階行列式.二、（10分）若有不全為

3、零的數使成立，則線性相關，也線性相關.試討論該結論是否正確？三、（12分）設3階方陣，試求：1、的特征值和特征向量；           2、（為正整數）及其特征值和特征向量.四、（15分）當為何值時，方程組有唯一解、無解、有無窮多解？在有解時，求出方程組的解.五、（15分）設二次型其中二次型的矩陣的特征值之和為1，特征值之積為1、的值；   2、用正交變換將二次型化為標準形，并寫出所用的正交變換與正交矩陣.六（18分）在四維實向量構成的線性空間中,已知：

4、；.1、 求使為的基；2、 求由基的過渡矩陣；3、設線性變換為：,求在基下的變換矩陣C.七（20分）1. 設階方陣的伴隨矩陣為證明：若則；2. 設為階矩陣，且滿足，證明：.武漢大學數學與統(tǒng)計學院20072008第二學期線性代數B （工54，A卷答案）一、1、從第2行開始，每一行乘以（-1）加到上一行，然后從第1列開始，每列加到后1列，得2、由行列式的性質，可得.二、由題設能斷定向量組線性相關，但其部分向量組不一定別線性相關.例如取則當時，有從而線性相關，但其部分向量組卻分別線性無關.三、1、，故的特征值為.當時，解線性方程組，由，可得基礎解系，

5、故對應于的全部特征向量為（）；當時，解，可得基礎解系，故對應于的全部特征向量為(不全為零）；2、令，則有，即有，從而.的特征值為.且的特征值對應的特征向量與相應特征值對應的特征向量相同.四、解: 對方程組的增廣矩陣施以初等行變換：        （1）當且時，從而方程組有惟一解.（2）當時，由于方程組無解.（3）當時，有可見故方程組有無窮多組解.又由此可得與原方程組同解的方程組為令得其特解與原方程組的導出組同解的方程組為：由此可得基礎解系為于是，原方程組的全部解為其中是任意常數.五、1、次型的矩陣為設的特

6、征值為由題設，有    解得2、矩陣的特征多項式得的特征值對于解方程組得其基礎解系對于解齊次線性方程組得基礎解系由于已是正交向量組，為得到規(guī)范正交向量組，只需將單位化，由此得     令矩陣則為正交矩陣.在正交變換下，有且二次型的標準形為六、解：1、；2、設,   則           ，  .    &#

7、160;      設 , 則                                        3由,求在基下的變換矩陣C=P.七、1、下分兩