第2章_1彈性力學(xué)基礎(chǔ)與地震波—彈性力學(xué)基礎(chǔ)

1、第二章第二章 彈性力學(xué)基礎(chǔ)與地震波彈性力學(xué)基礎(chǔ)與地震波彈性力學(xué)基礎(chǔ)彈性力學(xué)基礎(chǔ)波動方程的解波動方程的解u震源所激發(fā)的波傳播到其他廣泛區(qū)域的地面震動被地震源所激發(fā)的波傳播到其他廣泛區(qū)域的地面震動被地震儀記錄震儀記錄地震圖。這種波或震動涉及小彈性形變，是地震圖。這種波或震動涉及小彈性形變，是彈性力學(xué)的研究對象。彈性力學(xué)的研究對象。u地球介質(zhì)在受到小規(guī)模、瞬間力的作用下，如地震、地球介質(zhì)在受到小規(guī)模、瞬間力的作用下，如地震、爆破等，震源區(qū)外圍介質(zhì)表現(xiàn)出彈性響應(yīng)，這也是我們爆破等，震源區(qū)外圍介質(zhì)表現(xiàn)出彈性響應(yīng)，這也是我們能記錄到地震波、觀測到大地震造成的地球自由振蕩的能記錄到地震波、觀測到大地震造成的

2、地球自由振蕩的原因。原因。u對在一年或數(shù)年的短時間尺度內(nèi)變化的作用，地球介對在一年或數(shù)年的短時間尺度內(nèi)變化的作用，地球介質(zhì)的力學(xué)響應(yīng)可以用彈性響應(yīng)來近似。地震波在彈性介質(zhì)的力學(xué)響應(yīng)可以用彈性響應(yīng)來近似。地震波在彈性介質(zhì)中的傳播過程是滿足波動方程。質(zhì)中的傳播過程是滿足波動方程。一、應(yīng)變與位移的關(guān)系一、應(yīng)變與位移的關(guān)系連續(xù)介質(zhì)中相鄰的、兩點(diǎn)的位移差為連續(xù)介質(zhì)中相鄰的、兩點(diǎn)的位移差為小形變條件下小形變條件下形變張量形變張量旋轉(zhuǎn)張量旋轉(zhuǎn)張量分析：分析：連續(xù)介質(zhì)中位連續(xù)介質(zhì)中位移場的空間變移場的空間變化含介質(zhì)元的化含介質(zhì)元的形變形變和和轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動兩兩部分部分受力后線段長度的相對變化受力后線段長度的相對變化

3、正應(yīng)變正應(yīng)變正交角度的變形正交角度的變形剪應(yīng)變剪應(yīng)變分析：分析：u介質(zhì)中某一點(diǎn)介質(zhì)中某一點(diǎn)的正應(yīng)變與剪應(yīng)的正應(yīng)變與剪應(yīng)變的定義還與變的定義還與線的取向有關(guān)線的取向有關(guān)u在三維空間中，介質(zhì)中任意一點(diǎn)在三維空間中，介質(zhì)中任意一點(diǎn)的正應(yīng)變有個取值，分別記為：的正應(yīng)變有個取值，分別記為：e11,e22,e33u介質(zhì)中任意一點(diǎn)的剪應(yīng)變有個介質(zhì)中任意一點(diǎn)的剪應(yīng)變有個取值，分別取值，分別記為：記為： e12,e13,e21,e23,e31,e32u三維空間中，連續(xù)介質(zhì)中任意一點(diǎn)處的應(yīng)變要用個單元值三維空間中，連續(xù)介質(zhì)中任意一點(diǎn)處的應(yīng)變要用個單元值組成的應(yīng)變張量方能完全描述組成的應(yīng)變張量方能完全描述二、應(yīng)力張

4、量二、應(yīng)力張量定義截面上點(diǎn)的應(yīng)力矢量為：定義截面上點(diǎn)的應(yīng)力矢量為：* 定義的應(yīng)力矢量是依賴于定義的應(yīng)力矢量是依賴于的外法線方向的的外法線方向的*ij第個腳標(biāo)表示的是截面元第個腳標(biāo)表示的是截面元的法線矢量方向，第個腳標(biāo)表示的法線矢量方向，第個腳標(biāo)表示作用在該面元上力的分量方向。作用在該面元上力的分量方向。從介質(zhì)內(nèi)截取個微小的四面體，四面體的從介質(zhì)內(nèi)截取個微小的四面體，四面體的三個面分別與三個坐標(biāo)平面平行，第四個面三個面分別與三個坐標(biāo)平面平行，第四個面是外法線單位矢量是外法線單位矢量n=(cos1, cos2 ,cos3)的的任意平面，該平面上的應(yīng)力矢量為任意平面，該平面上的應(yīng)力矢量為四面體處于平

5、衡狀態(tài)四面體處于平衡狀態(tài)三、本構(gòu)方程與廣義胡克定律三、本構(gòu)方程與廣義胡克定律對線性彈性體，其應(yīng)力與應(yīng)變間的本構(gòu)關(guān)系可以用廣義對線性彈性體，其應(yīng)力與應(yīng)變間的本構(gòu)關(guān)系可以用廣義Hooke定律表示為：定律表示為：和和在彈性力學(xué)中稱為拉枚（在彈性力學(xué)中稱為拉枚（Lam）常數(shù)）常數(shù)各向同性彈性介質(zhì)各向同性彈性介質(zhì)* 對大量破壞性地震斷層破裂現(xiàn)場調(diào)查研究表明，構(gòu)造應(yīng)力作用下，地對大量破壞性地震斷層破裂現(xiàn)場調(diào)查研究表明，構(gòu)造應(yīng)力作用下，地殼所能承受的最大剪應(yīng)變不超過殼所能承受的最大剪應(yīng)變不超過10-4，大多數(shù)地震是在斷層應(yīng)變達(dá)到，大多數(shù)地震是在斷層應(yīng)變達(dá)到10-5 10-4時發(fā)生的破裂。小形變時，地球介質(zhì)力

6、學(xué)性質(zhì)接近線彈性體，因此時發(fā)生的破裂。小形變時，地球介質(zhì)力學(xué)性質(zhì)接近線彈性體，因此應(yīng)用線彈性理論研究震源、地震波的傳播是合適的。應(yīng)用線彈性理論研究震源、地震波的傳播是合適的。 彈性介質(zhì)中，任一處質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生一個擾動，即該處質(zhì)點(diǎn)發(fā)生一個小位移，由于彈性介質(zhì)中，任一處質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生一個擾動，即該處質(zhì)點(diǎn)發(fā)生一個小位移，由于介質(zhì)的彈性性質(zhì)，該處的運(yùn)動會影響相鄰點(diǎn)，擾動就會向周圍傳播。波動方程就介質(zhì)的彈性性質(zhì)，該處的運(yùn)動會影響相鄰點(diǎn)，擾動就會向周圍傳播。波動方程就是對彈性介質(zhì)中擾動激發(fā)和傳播規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)。是對彈性介質(zhì)中擾動激發(fā)和傳播規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)。l 均勻彈性桿的一維波動方程均勻彈性桿的一維波動方程 忽略體力，

7、一維均勻桿中質(zhì)點(diǎn)受力運(yùn)動描述忽略體力，一維均勻桿中質(zhì)點(diǎn)受力運(yùn)動描述分析截面積為的均勻彈性桿上、長度分析截面積為的均勻彈性桿上、長度為為dx的的小質(zhì)元受力運(yùn)動情況，暫忽小質(zhì)元受力運(yùn)動情況，暫忽略略體體力的作用。力的作用。 四、波動方程四、波動方程設(shè)處質(zhì)元時刻的位移設(shè)處質(zhì)元時刻的位移為為u(x,t)， 運(yùn)運(yùn)動速度則為（考慮小形變）動速度則為（考慮小形變） 處質(zhì)元時刻的加速度為處質(zhì)元時刻的加速度為設(shè)均勻桿的密度為設(shè)均勻桿的密度為，則長度為的小質(zhì)元的運(yùn)動方程為，則長度為的小質(zhì)元的運(yùn)動方程為即即 一維均勻彈性桿的波動方程一維均勻彈性桿的波動方程 一維均勻彈性桿的波動方程一維均勻彈性桿的波動方程波動方程的

8、一般解形式為波動方程的一般解形式為可以是任意的連續(xù)函數(shù)。以上形式的解稱為達(dá)朗伯可以是任意的連續(xù)函數(shù)。以上形式的解稱為達(dá)朗伯（DAlembert）解，即波動解，即波動方程的行波解。方程的行波解。 在在時刻時刻處的擾動與處的擾動與時刻時刻處的擾動是完全相等的，即擾動處的擾動是完全相等的，即擾動以速度向正方向傳播了一段距以速度向正方向傳播了一段距離，由離，由傳播到了傳播到了。 同樣可以證明，波動方程的另一個同樣可以證明，波動方程的另一個一般解表達(dá)的也是擾動的傳播，只是傳播的方向?yàn)樨?fù)方向。一般解表達(dá)的也是擾動的傳播，只是傳播的方向?yàn)樨?fù)方向。波動方程中的涵義是波傳播的速度。波動方程中的涵義是波傳播的速度

9、。 l 三維均勻介質(zhì)中的波動方程三維均勻介質(zhì)中的波動方程分析如圖所示三維介質(zhì)中的小質(zhì)元受面力作用情況分析如圖所示三維介質(zhì)中的小質(zhì)元受面力作用情況 體力體力fx1 x2 x3的作用（是單位體積質(zhì)元的體力），質(zhì)元的運(yùn)動方程有的作用（是單位體積質(zhì)元的體力），質(zhì)元的運(yùn)動方程有 l 三維均勻介質(zhì)中的波動方程三維均勻介質(zhì)中的波動方程 均勻?qū)雍蜕渚€理論近似：均勻?qū)雍蜕渚€理論近似：速度只是深度的函數(shù)，把介質(zhì)模擬為一系列均勻?qū)?，層?nèi)拉梅系數(shù)梯度為零速度只是深度的函數(shù)，把介質(zhì)模擬為一系列均勻?qū)樱瑢觾?nèi)拉梅系數(shù)梯度為零、 隨隨1/1/變化，變化，高頻時，拉梅系數(shù)的梯度趨于零高頻時，拉梅系數(shù)的梯度趨于零 l 三維均勻介

10、質(zhì)中的波動方程三維均勻介質(zhì)中的波動方程 由赫姆霍茨定理，任意一個矢量場都由赫姆霍茨定理，任意一個矢量場都可以表達(dá)為一個無旋度的矢量場和一個可以表達(dá)為一個無旋度的矢量場和一個無散度的矢量場之和，并略去體力無散度的矢量場之和，并略去體力即有即有 l 三維均勻介質(zhì)中的波動方程三維均勻介質(zhì)中的波動方程 * 三維彈性介質(zhì)中可以存在兩種以不同速度傳播的波，一種是以較快三維彈性介質(zhì)中可以存在兩種以不同速度傳播的波，一種是以較快的速度的速度傳播的無旋波傳播的無旋波，在地球內(nèi)部傳播的這種波通常稱為波，在地球內(nèi)部傳播的這種波通常稱為波（Primary wave），），因?yàn)樗紫鹊竭_(dá)記錄臺站因?yàn)樗紫鹊竭_(dá)記錄臺站；

11、* 另一種是以較慢的速度另一種是以較慢的速度傳播的無散波傳播的無散波，經(jīng)地球內(nèi)部傳播的這種波，經(jīng)地球內(nèi)部傳播的這種波通常稱為波通常稱為波（Secondary wave），），因?yàn)檫@種波在地震記錄圖上通常是因?yàn)檫@種波在地震記錄圖上通常是第二個到達(dá)的顯著地震震相第二個到達(dá)的顯著地震震相。*波、波是地震記錄圖上最為顯著的兩個體波震相。由于波與波、波是地震記錄圖上最為顯著的兩個體波震相。由于波與波傳播速度不同，它們可以由同一震源同時激發(fā)，但以不同的速度獨(dú)立波傳播速度不同，它們可以由同一震源同時激發(fā)，但以不同的速度獨(dú)立傳播。波傳播速度大約為波傳播。波傳播速度大約為波的的1.73倍倍，在地震圖上波比波先到

12、，在地震圖上波比波先到達(dá)，比較容易識別。達(dá)，比較容易識別。 l 三維均勻介質(zhì)中的波動方程三維均勻介質(zhì)中的波動方程 波與波的主要差異波與波的主要差異波的傳播速度較波速度快，地震圖上總是先記錄到波波的傳播速度較波速度快，地震圖上總是先記錄到波這兩種波的偏振（質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動）方向相互正交。波的偏振方向這兩種波的偏振（質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動）方向相互正交。波的偏振方向與波的傳播方向一致；波的偏振方向與波的傳播方向垂直與波的傳播方向一致；波的偏振方向與波的傳播方向垂直 l 三維均勻介質(zhì)中的波動方程三維均勻介質(zhì)中的波動方程 波與波的主要差異波與波的主要差異三分向地震儀記錄在通常情況下，波的垂直分量相對較強(qiáng)，三分向地震儀記錄在

13、通常情況下，波的垂直分量相對較強(qiáng)，波的水平分量相對較強(qiáng)。波的低頻成份較波豐富。波的水平分量相對較強(qiáng)。波的低頻成份較波豐富。 l 三維均勻介質(zhì)中的波動方程三維均勻介質(zhì)中的波動方程 波與波的主要差異波與波的主要差異天然地震的震源破裂通常以剪切破裂和剪切錯動為主，震天然地震的震源破裂通常以剪切破裂和剪切錯動為主，震源向外輻射的波的能量較波的強(qiáng)。源向外輻射的波的能量較波的強(qiáng)。波通過時，質(zhì)元無轉(zhuǎn)動運(yùn)動，但有體積變化，波是一波通過時，質(zhì)元無轉(zhuǎn)動運(yùn)動，但有體積變化，波是一種無旋波。波通過時，質(zhì)元有轉(zhuǎn)動，但無體積變化，波種無旋波。波通過時，質(zhì)元有轉(zhuǎn)動，但無體積變化，波是一種無散的等容波是一種無散的等容波。用散度算子用散度算子同時作用于波動方程式的兩邊（設(shè)在無體力作用區(qū)），則同時作用于波動