牛吃草變形學(xué)案

1、“牛吃草問題”的變形【例 1】一只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經(jīng)進了一些水，水勻速進入船內(nèi). 如果 10 人淘水， 3小時淘完；如 5 人淘水， 8 小時淘完 . 如果要求 2 小時淘完，要安排多少人淘水？答案：設(shè) 1 人 1 小時淘出的水量是“ 1”，淘水速度是 (5 8 103) (8 3)2 ，原有水量(10 2) 3 24，要求 2小時淘完，要安排 24 2 2 14 人淘水3 人淘【鞏固】一只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經(jīng)進了一些水，現(xiàn)在水勻速進入船內(nèi)，如果水 40 分鐘可以淘完； 6 人淘水 16 分鐘可以把水淘完，那么， 5 人淘水幾分鐘可以把水淘完？答案： 設(shè) 1 人 1 分鐘淘出的水量是“ 1”，

2、40 16 24 分鐘的進水量為 3 40 6 1624 ，所以每分鐘的進水量為24241，那么原有水量為：314080 5 人淘水需要 805120 ( 分鐘 ) 把水淘完【例 2】畫展 8:30 開門，但早有人來排隊入場，從第一個觀眾來到時起，若每分鐘來的觀眾一樣多，如果開 3 個入場口， 9 點就不再有人排隊；如果開 5 個入場口， 8 點 45 分就沒有人排隊。求第一個觀眾到達(dá)的時間。答案： 設(shè)每分鐘 1 個入口進入的人數(shù)為 1 個單位。 8:30 到 9:00共 30分鐘 3個入口共進入 33090。8:30 到 8:45共 15 分鐘， 5 個入口共進入 51575 ，15 分鐘到

3、來的人數(shù) 907515 ，每分鐘到來 1515 1 。8：30 以前原有人 3 30130 60 。所以應(yīng)排了60 1 60（分鐘），即第一個來人在 7：30【鞏固】畫展9 點開門，但早有人來排隊入場，從第一個觀眾來到時起，若每分鐘來的觀眾一樣多， 如果開 3 個入場口，9 點 9 分就不再有人排隊； 如果開 5 個入場口， 9 點 5 分就沒有人排隊求第一個觀眾到達(dá)的時間答案： 如果把入場口看作為“牛”，開門前原有的觀眾為“原有草量”，每分鐘來的觀眾為“草的增長速度”，那么本題就是一個“牛吃草”問題設(shè)每一個入場口每分鐘通過“ 1”份人，那么4 分鐘來的人為 39 55 2，即 1分鐘來的人為

4、 2 4 0.5 ，原有的人為：30.5922.5 這些人來到畫展，所用時間為22.5 0.5 45( 分) 所以第一個觀眾到達(dá)的時間為8點15分【例 3】在地鐵車站中，從站臺到地面有一架向上的自動扶梯小強乘坐扶梯時，如果每秒向上邁一級臺階，那么他走過20 級臺階后到達(dá)地面；如果每秒向上邁兩級臺階，那么走過 30 級臺階到達(dá)地面從站臺到地面有級臺階答案： 本題非常類似于“牛吃草問題”，如將題目改為：“在地鐵車站中，從站臺到地面有一架向上的自動扶梯小強乘坐扶梯時，如果每秒向上邁一級臺階，那么他走過20 秒后到達(dá)地面；如果每秒向上邁兩級臺階，那么走過 15 秒到達(dá)地面問：從站臺到地面有多少級臺階？

5、”采用牛吃草問題的方法，電梯2015 5 秒內(nèi)所走的階數(shù)等于小強多走的階數(shù)：2 15 1 20 10 階，電梯的速度為 10 52 階/ 秒，扶梯長度為 20 (12)60 （階）?！眷柟獭績蓚€頑皮的孩子逆著自動扶梯行駛的方向行走，男孩每秒可走3 級梯級，女孩每秒可走 2 級梯級，結(jié)果從扶梯的一端到達(dá)另一端男孩走了100 秒，女孩走了300 秒。問：該扶梯共有多少級梯級？答案： 本題與牛吃草問題類似， 其中扶梯的梯級總數(shù)相當(dāng)于原有草量； 而自動扶梯運行的速度則相當(dāng)于草的增長速度。并且上樓的速度要分成兩部分一部分是孩子自己的速度，另一部分是自動扶梯的速度。自動扶梯的速度（女孩每秒走的梯級

6、5;女孩走的時間男孩每秒走的梯級×男孩走的時間）÷（女孩走的時間男孩走的時間）(23003100)(300100)1.5 ，自動扶梯的梯級總數(shù)女孩每秒走的梯級×女孩走的時間自動扶梯的速度×女孩走的時間23001.5300600450（級）所以自動扶梯共有150 級的梯級。150【例 4】小明從甲地步行去乙地， 出發(fā)一段時間后， 小亮有事去追趕他， 若騎自行車，每小時行 15 千米， 3 小時可以追上；若騎摩托車，每小時行 35 千米， 1 小時可以追上；若開汽車，每小時行 45 千米，多長時間能追上。答案：本題是“牛吃草”和行程問題中的追及問題的結(jié)合小明

7、在31 2 小時內(nèi)走了15 3 35 1 10 千米，那么小明的速度為 10 25 ( 千米 / 時) ，追及距離為15 5 3 30(千米) 汽車去追的話需要：3045 53 ( 小時) 45( 分鐘) 【例 5】快、中、慢三車同時從4A 地出發(fā)沿同一公路開往 B 地，途中有騎車人也在同方向行進，這三輛車分別用7分鐘、 8 分鐘、 14 分鐘追上騎車人已知快車每分鐘行 800 米，慢車每分鐘行600 米，中速車的速度是多少？答案： 可以將騎車人與三輛車開始相差的距離看成原有草量，騎車人的速度看成草生長的速度，所以騎車人速度是：(600 14 800 7) (14 7)400 ( 米/ 分)

8、，開始相差的路程為： (600 400) 14 2800 （米），所以中速車速度為： 28008 400750( 米分 )【鞏固】有固定速度行駛的甲車和乙車，如果甲車以現(xiàn)在速度的2 倍追趕乙車， 5 小時后甲車追上乙車；如果甲車以現(xiàn)在速度的3 倍追趕乙車， 3 小時后甲車追上乙車，那么如果甲車以現(xiàn)在的速度去追趕乙車，問：幾個小時后甲車追上乙車？答案： 分析知道甲車相當(dāng)于“牛”，甲追趕乙的追及路程相當(dāng)于“原有草量”，乙車相當(dāng)于“新生長的草”設(shè)甲車的速度為“ 1”，那么乙車 5 32 小時走的路程為 25 3 31，所以乙的速度為1 2 0.5 ，追及路程為： 2 0.5 5 7.5 15( 小時

9、)如果甲以現(xiàn)在的速度追趕乙，追上的時間為：7.5 1 0.5【例 6】甲、乙、丙三車同時從A 地出發(fā)到B 地去甲、乙兩車的速度分別是每小時60 千米和每小時 48 千米有一輛卡車同時從 B 地迎面開來，分別在它們出發(fā)后 6 小時、 7 小時、 8 小時先后與甲、乙、丙車相遇，求丙車的速度答案： 相遇問題可以看成是草勻速減少的過程，全程看成是原有草量，卡車速度看成是草勻速減少的速度。所以卡車速度為：(60648 7) (7 6) 24 （千米 / 時），全程：(60 24) 6 504 （千米），丙車速度為： 504 82439（千米 / 時）【鞏固】小新、正南、妮妮三人同時從學(xué)校出發(fā)到公園去小

10、新、正南兩人的速度分別是每分鐘 20 米和每分鐘 16 米在他們出發(fā)的同時，風(fēng)間從公園迎面走來，分別在他們出發(fā)后 6 分鐘、 7 分鐘、 8 分鐘先后與小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度答案：當(dāng)小新和風(fēng)間相遇時，正南落后小新 6 20 1624 ( 米) ，依題意知正南和風(fēng)間走這 24 米需要 7 6 1( 分鐘 ) ，正南和風(fēng)間的速度和為：24 1 24( 米分 ) ，風(fēng)間的速度為： 24 16 8 ( 米分 ) ，學(xué)校到公園的距離為： 24 7168( 米) 所以妮妮的速度為：168 8 8 13(米分)【例 7】一個裝滿了水的水池有一個進水閥及三個口徑相同的排水閥，如果同時打開進水閥及一

11、個排水閥，則 30分鐘能把水池的水排完，如果同時打開進水閥及兩個排水閥，則10分鐘把水池的水排完問：關(guān)閉進水閥并且同時打開三個排水閥，需要多少分鐘才能排完水池的水？答案：設(shè)一個排水閥1 分鐘排水量為“1”，那么進水閥1 分鐘進水量5 ，水池原有水量為10.53015 關(guān)閉進水閥并且同時打開三個排水閥，需要 1535 ( 分鐘 ) 才能排完水池的水【鞏固】一個蓄水池有1 個進水口和 15 個出水口，水從進水口勻速流入當(dāng)池中有一半的水時，如果打開9 個出水口， 9 小時可以把水排空如果打開7 個出水口， 18小時可以把水排空如果是一滿池水，打開全部出水口放水，那么經(jīng)過時分

12、水池剛好被排空答案： 本題是牛吃草問題的變形設(shè)每個出水口每小時的出水量為1，則進水口每小時的進水量為：(7 18 9 9) (189) 5 ，半池水的量為： (9 5) 9 36 ，所以一池水的量為 72如果打開全部15 個出水口，排空水池所需要的時間為 72 (15 5) 7.2 小時，即 7 小時12 分鐘【例 8】北京密云水庫建有 10 個泄洪洞，現(xiàn)在水庫的水位已經(jīng)超過安全線，并且水量還在以一個不變的速度增加，為了防洪，需要調(diào)節(jié)泄洪的速度，假設(shè)每個閘門泄洪的速度相同，經(jīng)測算，若打開一個泄洪閘， 30 個小時以后水位降至安全線；若同時打開兩個泄洪閘， 10 個小時后水位降至安全線根據(jù)抗洪形

13、勢，需要用 2 個小時使水位降至安全線以下，則至少需要同時打開泄洪閘的數(shù)目為多少個？答案：此題是牛吃草問題的變形，假設(shè)每個泄洪洞每小時泄洪的量為 1，則水庫每小時增加的水量為 (1 30 2 10) (30 10) 0.5，原有的水量超過安全線的部分有(10.5)3015 如果要用 2 個小時使水位降至安全線以下，至少需要開1520.58 個泄洪閘【鞏固】有一個蓄水池裝了 9 根相同的水管，其中一根是進水管，其余 8 根是出水管開始時，進水管以均勻的速度不停地向蓄水池注水后來，想打開出水管，使池內(nèi)的水全部排光如果同時打開 8 根出水管，則 3 小時可排盡池內(nèi)的水；如果僅打開 5 根出水管，則需

14、 6 小時才能排盡池內(nèi)的水 若要在 4.5 小時內(nèi)排盡池內(nèi)的水， 那么應(yīng)當(dāng)同時打開多少根出水管？答案：設(shè)1根出水管 1 小時排水的量為“ 1”，那么進水管每小時進水量為5683632，池內(nèi)原有水量為 8 23 18 要在 4.5 小時內(nèi)排盡池內(nèi)的水，應(yīng)當(dāng)同時打開 184.5 26 根出水管【鞏固】由于環(huán)境惡化、氣候變暖，官廳水庫的水在勻速減少，為了保證水庫的水量，政府決定從上游的壺流河水庫以及冊田水庫分別向官廳水庫進行調(diào)水，已知這兩個水庫的每個閘門放水量是相同的，如果同時打開壺流河水庫的5 個閘門 30 小時可以使官廳水庫水量達(dá)到原來的標(biāo)準(zhǔn)，如果同時打開冊田水庫的4 個閘門 40 小時可以使官

15、廳水庫水量達(dá)到原來的標(biāo)準(zhǔn)，如果24 小時使官廳水庫水量達(dá)到原來的標(biāo)準(zhǔn)，問需同時打開兩個水庫的幾個閘門 ?答案：設(shè) 1個閘門1 小時的放水量為“ 1”，那么每小時自然減少的水量為：40430540301，實際注入水量為： 5 1 30 120 ；24 小時蓄水需要打開的閘門數(shù)是： 120241 6(個)【例 9】甲、乙、丙三個倉庫，各存放著數(shù)量相同的面粉，甲倉庫用一臺皮帶輸送機和 12 個工人，5 小時可將甲倉庫內(nèi)面粉搬完； 乙倉庫用一臺皮帶輸送機和 28 個工人， 3 小時可將倉庫內(nèi)面粉搬完； 丙倉庫現(xiàn)有 2 臺皮帶輸送機， 如果要用 2 小時把丙倉庫內(nèi)面粉搬完，同時還要多少個工人？ ( 每個

16、工人每小時工效相同，每臺皮帶輸送機每小時工效也相同，另外皮帶輸送機與工人一起往外搬運面粉)答案： 設(shè) 1 人 1 小時搬運的份數(shù)為“ 1”，那么一臺皮帶運輸機1 小時的工作量為12 ，每個倉庫存放的面粉總量為：5120 那么 , 丙倉庫現(xiàn)有 2 臺皮帶輸送機， 如果要用 2 小時把丙倉庫內(nèi)面粉搬完， 需要 120 2 12 236( 人) 【例 10】小方用一個有洞的杯子從水缸里往三個同樣的容積的空桶中舀水。第一個桶距水缸有 1 米，小方用 3 次恰好把桶裝滿；第二個桶距水缸有 2 米，小方用 4 次恰好把桶裝滿。第三個桶距水缸有 3 米，那么小方要多少次才能把它裝滿（假設(shè)小方走路的速度不變，

17、水從杯中流出的速度也不變）答案：小方裝第二個桶比第一個桶多用了一杯水，同時多走了2 4135 米路，所以從杯中流出的速度是 1 50.2 （杯 / 米），于是 1 桶水原有水量等于330.2 2.4杯水，所以小方要 2.4(130.2)6 次才能把第三個桶裝滿?！纠?11】某建筑工地開工前運進一批磚， 開工后每天運進相同數(shù)量的磚， 如果派 250 個工人砌磚墻， 6 天可以把磚用完，如果派 160 個工人， 10 天可以把磚用完，現(xiàn)在派 120 名工人砌了 10 天后，又增加 5 名工人一起砌，還需要再砌幾天可以把磚用完？答案： 開工前運進的磚相當(dāng)于“原有草量”，開工后每天運進相同的磚相當(dāng)于“新生長的草”，工人砌磚相當(dāng)于“牛在吃草” 所以設(shè) 1 名工人 1 天砌磚數(shù)量為“ 1”，那么每天運來的磚為 16010 250 6 106 25 ，原有磚的數(shù)量為： 250 25 61350 如果120 名工人砌 10天，將會砌掉10 天新運來的磚以及 950 原有的磚，還剩1350950 400的原有的磚未用， 變成 1205 125人來砌磚，還需要： 400 125 254(天)【例 12】某建筑工地開工前運進一批磚，開工后每天運進相同數(shù)量的磚，如果派15個工人砌磚墻， 14 天可以把磚用完，如果派 20 個工人， 9