線性代數(shù)44實對稱矩陣對角化ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化一、對稱矩陣的性質(zhì)一、對稱矩陣的性質(zhì)二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化二、利用正交矩陣將對稱矩陣對角化定理實對稱矩陣的特征值必為實數(shù)定理實對稱矩陣的特征值必為實數(shù). .證明證明:1(),0.ijn nnAaxXAXXXx設(shè)為實對稱矩陣的特征值為對應(yīng)的特征向量 即一、對稱矩陣的性質(zhì)表示的共軛復(fù)數(shù),nTijnAAAAAaA表示的共軛復(fù)矩陣,由于是實對稱矩陣,所以1nxXXx表示的共軛復(fù)向量,AXX于是由,TTTXA XXX所以,AXXAXX可得即取共軛.TTTXAX得取可轉(zhuǎn)置()0.TXX所以,TAAA由,TTAXXXX即得,TTXXXX故0,所以因

2、此即是實數(shù),. 00XX由可知有至少不一量等于個分11 1111 10,0,(,)0Tnnnnxx xxXXxxx xx xx不放設(shè)則因此12121212 ,.Apppp設(shè)是實對稱矩陣的兩個特征值分別是對應(yīng)的特征向量 若則與正交定理證明證明,21222111 AppApp,AAAT 對對稱稱 TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正交正交與與即即pp. 021 ppT1 , ,.TAnPP APP APDDDA正交矩陣是對設(shè)為階實對稱矩陣 則必有使其中且的主對角線上的元素是的全部角

3、形矩陣特征值定理 , ,AnAk設(shè)為階實對稱矩陣是的重特征值則:定理(2) k將它們,后,得到的個相互正交的單位正交特單位化化征向量.(1) ;k必有個線性無關(guān)的特征向量根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其詳細(xì)步驟為：為對角矩陣，其詳細(xì)步驟為：二、利用正交矩陣將實對稱矩陣對角化1.11( ) |() ,(),.iskiiijsiiAfEAijkn求的特征值:其中而且,i正交對每個求特位征向量單1212,iiiiikiiiikk然后再將正交化 單位化,得到個相互正交的單位特征向量2.120,(1,2, );iiiiikEA Xis即求的基礎(chǔ)解

4、系3.1211122,(,)skTskksPP APP AP 個個個則為正交矩陣 而且121112121(,)skksskP解解123220(1)( )21 20214201,4,2.fEAA得的特征值例例 設(shè)實對稱陣設(shè)實對稱陣求正交矩陣求正交矩陣P將將A對角化對角化020212022A11(2),()01EA X對于求解齊次線性方程組11011201202012021000EAEA因為1323,12xxxx 得到同解方程組 3122,2,1,xxx 令得到231323 1單位化后得21 ,2 1故得到方程組的基礎(chǔ)解系為224,()0,EA X對于求解齊次線性方程組222 ,1 得到基礎(chǔ)解系2

5、232.313單位化后得到33,(),20EA X對于求解齊次線性方程組312 ,2 得到基礎(chǔ)解系3132323 單位化后得到1231221333122(3)( ,)333212333,142TPPP APP AP 為正交矩陣 且有1 1 11 1 11 1 1APA設(shè)求正交矩陣將對角化.例子212111(1)( ) |111111(3)00 (),3.fEAA解得到的特征值二重11(2)0,()0,EA X對于解方程組123,xxx 得到同解方程組為1111111111000111000EAA 2300,11xx 令12111,001得到基礎(chǔ)解系12121211111,1|2602單位化得到12211122111,121(,)11,(,)201 將正交化223