巧用四點共圓

1、巧用四點共圓在直角三角形的圖形變換中時?？梢钥吹?，當我們證明了四點共圓時，很多知識 在后面的證明中會簡化很多，而我們利用圓中90。的圓周角對的弦是直徑及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這兩個定理就很容易證明四點共圓。所以我們有很多 題目的證明都可以走這樣一條路。在這些年來不斷進行的教改中，人教版的數(shù)學教材也有了不少變化，特別是圓中 的大量定理被刪除，降低了初中階段數(shù)學學習的難度，而保留的一些題目都是可以用 三角形的相關(guān)知識解決的。然而，很多時候，我們可以發(fā)現(xiàn) 我們?nèi)匀豢梢越栌脠A的相關(guān)知識使證明簡化。下面我們看這樣一個模板：如圖：RTAABC口 RTDBC中，/ BAC=90 , / BCD

2、=90。求證：A、B、C、D四點共圓證明：取BC中點O,連接AO DO / BAC=90 , / BCD=90 .AO=BO=CO=DO A、B、C、D四點在以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑的圓上：有了這個結(jié)論，有很多的結(jié)論可以直接引申得到，我們看下面的一些習題變式：一.由直角三角形到等腰三角形的轉(zhuǎn)化如圖：RTABC?口 RTDBCt, / BAC=90 , / BCD=90。點 Q M分別為 BC AD 的中點。求證：OML AD證明由上面的AO=OD.點M為AD的中點.OML AD證明由上面的四點共圓.OML AD那么這里的一種方法是用等腰三角形的三線合一定理，另一個是運用了圓中的垂 徑定理，寫法

3、過程是一樣多的步驟。但在圓中來解決問題就很好地將直角三角形與等 腰三角形結(jié)合起來，體現(xiàn)了幾何圖形變換中的一種基本的轉(zhuǎn)換思想，當圖形發(fā)生變化時這樣的結(jié)論也會很快得出，不需要重新去構(gòu)造定理成立的條件變式圖形如左邊的圖，條件不變，結(jié)論也不變，只是圖形發(fā)生了變化，原本用哪 一種方法都是可以的。但如果在圓中有這樣的定理，通過證明四點共圓后這種圖形模 式就可以直接用圓的相關(guān)知識，那么我們就只需要一個步驟就能得到正確結(jié)論了，這 也反映了數(shù)學知識的螺旋上升原理，圓的知識比三角形的知識包含的內(nèi)容更多，運用 范疇也就更廣。二.圓與相似的比較我們知道相似三角形的性質(zhì)中有對應(yīng)角相等一條，這個性質(zhì)可以用來進行相關(guān)的 角

4、的計算和證明。而在圓中則有同弧所對的圓周角相等且等于圓心角的一半這樣的性 質(zhì)，這個性質(zhì)中同弧所對的圓周角有無數(shù)個，也就是說我們在圓中找相應(yīng)的角的關(guān)系 能夠有很多可以用。憶 A a例：如圖，一幅三角板 ACD BCE, AC況等腰直角廠二屋“三角形，/ CADW CBE=90 ,直線 a/CD 試判斷 B C與 B PE的數(shù)量關(guān)系并證明.C”-D判斷：B C = B P證明：連接CP方法設(shè)B P與AC交于點0/ CAD= CBE=90 , / CO B =Z AO P.B O CAAO P.BO CO -=AO POvZ COP= BOA. .AO耿 APOC丁 / CPBW CAB.all C

5、D丁 / CABW ACD=45丁 / CPBW CAB=45vZ CBE=90 ./ BCP=45 =/BPC方法由上面的模板我們可以知道點 A B、C、P四點共圓，于是我們可以知道/ CPBW CAB （利用同弧所對的圓周角相等）比較一下這兩種證明方法，如果沒有四點共圓，就是考查了學生對相似的理解， 通過相似轉(zhuǎn)換得到所需要的結(jié)論，但當我們學習了四點共圓后很快就能夠得出結(jié)論， 省了兩次相似，這種思考比相似比例的轉(zhuǎn)化要簡單許多，這樣作比較，就更能突出四 點共圓的優(yōu)勢了。我們看變式題：在這兩個圖形中，已知條件仍然同上題，只是 BE與AD的交點變 成了與DA（或AD的延長線的交點。問在這種情況下，

6、結(jié)論是否改變。結(jié)論當然是不變，證明的方法也仍然是上面的兩種。但是在這兩個變式圖形中， 找三角形相似就比較困難了，原來的兩次全等中的三角形比較好找，這里發(fā)生了改變 就不太容易發(fā)現(xiàn)。但是四點共圓這里還是照舊，即點A、B C P四點共圓，然后得到/ CPB= CAB很快就能得出結(jié)論。從這個圖形變換中我們可以看出四點共圓的的妙用，也可以再次體會到學習了圓 的知識后可以綜合前面所學的知識，讓我們的知識層次更上一層樓。三.利用四點共圓求最值，替代函數(shù)方法。代例：如圖，直角三角形 ABC中，/ABC=9 0° ,X.AB=q BC=8 D為AC中點，過D作DEL DF,分別交射線AB BC于E、F

7、,則EF的最小值為?這個題目求線段的最值有兩種方式，一種是用代數(shù)方法，*n求二次函數(shù)的頂點，另一種則是利用幾何圖形中的特殊點。' S,一利用函數(shù)方法計算就很復雜了，如果這里我們看到了這個特殊形狀，即/ ABC=/DEF=90° ,所以我們可以得到點 E、B、F、D四點共圓O,其中 EF為圓O的直徑。因為圓心O在線段BD的垂直平分線上，所以當 O點恰好為BD的中 點的時候，圓O的半徑是最小的，于是BD就是圓O的直徑。所以EF=DB=5最小值。在這里，我們就利用四點共圓的特殊性質(zhì)在幾何圖形中找到了所需要的特殊值， 這個圖形體現(xiàn)了四點共圓的妙用，一種幾何圖形思想，也反映出數(shù)形結(jié)合的

8、思想四.四點共圓知識的應(yīng)用體現(xiàn)數(shù)學轉(zhuǎn)化的思想。例：如圖，正方形ABCD勺邊長為6,點O是對角線AG BD的交點，點E在CD上,且DE=2CEM點C作CF，BE,垂足為F,連接OF則OF的長為？解：正方形ABCD勺邊長為6,點O是對角線AC BD的交點 .AOB AAOD ABO（C COM等腰直角三角形，且 AO=BO=CO=DO=23. DE=2CE .CE=2,DE=4BE=2710 （在直角三角形BCE中用勾股定理求得） CF± BE / ECF廿 CEF=90 / EBC廿 CEF=90丁 / ECFN EBC / BCEW BFC=90 .BCS BEC.BC _ BF B

9、E BC. BC=6,BE=2.109 .BF=9 105.世=9雨+ 6亞=3新，曳=3亞+2廝=3而BD 510 BE10.BF BO -=BD BE ./ DBEW DBE .BOS ABED.型="=3 5BE DE 10. DE=4 .OF=6 i55此題考查了正方形所有的性質(zhì)和相似三角形的基本模型，反復借用相似的判定和 性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)出線段比例的轉(zhuǎn)化思想，特別是相似三角形對應(yīng)邊的比例中一般 運用的較多的是火特殊角的兩邊的比，對于第三邊的比很少用到，在這里運用的就是 這個第三邊的比，故在轉(zhuǎn)化過程中比較復雜，不容易想到。如果我們觀察這個圖形可以發(fā)現(xiàn)點 B、C、F、。這四點是共圓的，故/1=/ 2=45° （圓中同弧所對圓周角相等），所以/ 1=/ 3=45° ,力口上公共角/ DBE就能彳#到4 BOF “BED這樣的方法就利用幾何圖形中的變換得到所要的結(jié)論，少了許多計算，更能 啟發(fā)學生的開放性思維，也能讓學生在研究問題的時候有更多的空間想像力。圓這一章的知識綜合性很強，可以將前面所學過的所有的圖形放在圓中研究問題，故四點共圓的基本理念可以將三角形四邊形的相關(guān)知識進行轉(zhuǎn)化，有效結(jié)合幾何圖形，建立圖形變換的基本思想，而由直徑所對圓周角