第二節(jié)期權(quán)定價(jià)模型

1、一、金融期權(quán)價(jià)格構(gòu)成（一）金融期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值1、含義：期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值，即履約的價(jià)值，指期權(quán)合約本身所具有的價(jià)值，也是期權(quán)的買方立即執(zhí)行期權(quán)能獲得的收益。 期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值取決于協(xié)定價(jià)格與標(biāo)的物市場價(jià)格的關(guān)系。 期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值不會小于零。根據(jù)內(nèi)在價(jià)值，期權(quán)可分為實(shí)值、虛值和平值三種。看漲期權(quán)看跌期權(quán)實(shí)值S XS X虛值S X平值S = XS = X看漲期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值 (T) = max0,S(T)-K看跌期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值P(T) = maxK-S(T),0 1、含義 期權(quán)的時(shí)間價(jià)值，即外在價(jià)值，指期權(quán)購買者為購買期權(quán)而實(shí)際付出的期權(quán)費(fèi)超過該期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值的那部分價(jià)值。2、時(shí)間價(jià)值=期權(quán)價(jià)格-內(nèi)在價(jià)值

2、 The time value represents the investors beliefs that they can make more money by selling or exercising the option at some future date. 性質(zhì) 1 1:在在期權(quán)到期日，期權(quán)價(jià)格等于其內(nèi)在價(jià)值（時(shí)間價(jià)值為0）。 性質(zhì) 2 2:在在期權(quán)到期日之前，美式期權(quán)價(jià)格大于或等于其內(nèi)在價(jià)值性質(zhì) 3 3:對于具有相同標(biāo)的資產(chǎn)和在相同執(zhí)行價(jià)格的兩個(gè)期權(quán)，距到期日較長的期權(quán)，其價(jià)格較高. . 性質(zhì) 4 4:對于具有相同標(biāo)的資產(chǎn)和在相同到期日的兩個(gè)看漲期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格越小的期權(quán)，其價(jià)格

3、較高； 對于具有相同標(biāo)的資產(chǎn)和在相同到期日的兩個(gè)看跌期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格越高的期權(quán)，其價(jià)格較高；性質(zhì) 5 5:看漲期權(quán)的價(jià)格，不會高于標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格；If the premium of the call option is greater than the price of its underlying asset:Today: buy the asset, write the call and receive $(C-S).If the call is exercised deliver the stock and get $E.If it not exercised you keep both

4、$(C-S) and the underlying asset. 性質(zhì) 6 6:看跌期權(quán)的價(jià)格，不會高于執(zhí)行價(jià)格；1、協(xié)定價(jià)格與市場價(jià)格及兩者的關(guān)系（1）決定期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值（2）決定期權(quán)的時(shí)間價(jià)值協(xié)定價(jià)格與市場價(jià)格差距越大，時(shí)間價(jià)值越小，協(xié)定價(jià)格與市場價(jià)格差距越小，時(shí)間價(jià)值越大，當(dāng)期權(quán)處于平值時(shí)，時(shí)間價(jià)值最大。2、權(quán)利期間（期權(quán)剩余的有效時(shí)間） 期權(quán)期間越長，套期保值時(shí)間越長，期權(quán)時(shí)間價(jià)值越大 隨著期權(quán)期間縮短，期權(quán)時(shí)間價(jià)值的增幅是遞減的。3、標(biāo)的資產(chǎn)的收益：標(biāo)的資產(chǎn)收益率越高，看漲期權(quán)價(jià)格越低，看跌期權(quán)價(jià)格越高。4、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)性：標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)性越大，期權(quán)價(jià)格越高5、利率：利率對看

5、漲期權(quán)價(jià)格有正向影響，利率對看跌期權(quán)價(jià)格有負(fù)向影響影影響響因因素素歐歐式式買買權(quán)權(quán)歐歐式式賣賣權(quán)權(quán)美美式式買買權(quán)權(quán)美美式式賣賣權(quán)權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S+-+-協(xié)定價(jià)格X-+-+權(quán)利期間?+標(biāo)的資產(chǎn)收益-+-+標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)+利率+-+-其中：+為期權(quán)價(jià)格上升 -為期權(quán)價(jià)格下降X45內(nèi)在價(jià)值期權(quán)價(jià)格時(shí)間價(jià)值S0C 看跌期權(quán)的價(jià)格看跌期權(quán)的價(jià)格X內(nèi)在價(jià)值期權(quán)價(jià)格時(shí)間價(jià)值S0P6 5 4 3 2 1 0 權(quán)利期間 時(shí)間價(jià)值（一）假設(shè)條件看漲、看跌期權(quán)具有相同的執(zhí)行價(jià)格和相同的到期日，并且都是歐式期權(quán)。（二）平價(jià)關(guān)系 1、無收益資產(chǎn)的平價(jià)關(guān)系構(gòu)造如下兩個(gè)組合：Portfolio A: 一份歐式看漲期權(quán)的多

6、頭和 現(xiàn)金。Portfolio B:一份歐式看跌期權(quán)的多頭和一單位標(biāo)的資產(chǎn)在 T,組合A 的價(jià)值為:組合B的價(jià)值為: 因此，在t, 兩組合的價(jià)值應(yīng)相等 )(tTrKe),()0 ,(KSMaxKKSMaxTT),()0 ,(KSMaxSSKMaxTTTPKeSCtTr)(2、有固定收益資產(chǎn)的平價(jià)關(guān)系 Where D is the PRESENT VALUE of the dividends paid over the entire life of the option.That is, we substitute (S - D) for S.)()(tTrKeDSCP3、期貨期權(quán)的平價(jià)關(guān)系 構(gòu)

7、造如下兩個(gè)組合：Portfolio A: 一份歐式期貨看漲期權(quán)的多頭和 現(xiàn)金。Portfolio B:一份歐式期貨看跌期權(quán)的多頭和一份期貨合約和 現(xiàn)金。在 T,組合A 的價(jià)值為:組合B B的價(jià)值為: 因此，在t, 兩組合的價(jià)值應(yīng)相等 )(tTrKe)(tTrFe),()0 ,(KFMaxKKFMaxTT),()()0 ,(KFMaxFFFFKMaxTTTPKeFeCtTrtTr)()(4、美式期權(quán)的平價(jià)關(guān)系（1）標(biāo)的資產(chǎn)無收益的平價(jià)關(guān)系 （2）標(biāo)的資產(chǎn)有收益的平價(jià)關(guān)系 )(tTrKeSpcKS)(tTrKeDSpcKDS （一）一）二項(xiàng)式定價(jià)模型與期貨定價(jià)相同，我們可以利用無套利定價(jià)原理對期權(quán)

8、定價(jià)。方法是：構(gòu)造一個(gè)證券組合，其贏利與期權(quán)正好相同(現(xiàn)金流復(fù)制方法現(xiàn)金流復(fù)制方法)。Black and Scholes (1973) 正是應(yīng)用這種方法得出了著名的期權(quán)定價(jià)公式。二項(xiàng)式定價(jià)模型，盡管簡單，但原理與Black and Scholes公式是相同的假設(shè)當(dāng)前的無風(fēng)險(xiǎn)利率為20%, 股票當(dāng)前的價(jià)格為60$，到時(shí)期末，股票價(jià)格要么下降到30$或上升到90 $. 90 60 30 到時(shí)期末，執(zhí)行價(jià)格為60$的期權(quán)的價(jià)值要么是0 或30. 30C 0 Cu = max (us - k),o Cd = max (ds - k),o設(shè)我們購買0.5股股票，并且從銀行借入 12.50 $. 則有：

9、30 = 0.5 90 - 12.5 (1+0.2) 0.5 60 -12.5 = 17.5 0 = 0.5 30 - 12.5 (1+0.2) 可見，這個(gè)組合與看漲期權(quán)的盈虧完全相同，因此，看漲期權(quán)的價(jià)值與這個(gè)組合的價(jià)值相同，為$17.50. (C = 17.5) 如果期權(quán)的交易價(jià)格為$18.50 ，情況如何？此時(shí)，將出現(xiàn)套利機(jī)會。構(gòu)造下列組合：賣出一份看漲期權(quán)： 買入由0.5份股票和$12.50現(xiàn)金組成的組合（由股票和債券的組合復(fù)制看漲期權(quán)）。在T時(shí)刻，兩個(gè)組合的收益相同，在時(shí)間t，投資者的凈收益為$1.00（18.5-17.5）問題：如果期權(quán)目前的交易價(jià)為$16.50 ，那么，你的套利組

10、合應(yīng)如何構(gòu)建？假設(shè) 份股票+ L 現(xiàn)金可以復(fù)制看漲期權(quán)當(dāng)股票價(jià)格上升到90 $，則： 90 + 1.2 L = 30 當(dāng)股票價(jià)格下降到30 $，則： 30 + 1.2 L = 0 這樣： = 0.5， L= -12.5 組合與看漲期權(quán)對股票價(jià)格的敏感性相同。這個(gè)敏感性稱為套期保值比率或稱為看漲期權(quán)的系數(shù)： = C/S = (30-0) / (90-30) = 0.5 復(fù)制組合應(yīng)包括份股票、借入 L 現(xiàn)金在實(shí)際中，股票的價(jià)格不僅是兩個(gè)值，可能有多個(gè)值。我們可以通過縮短每一步的時(shí)間周期，采取多步驟的方法，構(gòu)造二叉樹模型的方法來模擬股票的多個(gè)值。為求解多階段的二叉樹模型，我們只要重復(fù)求解單階段的二叉

11、樹模型即可，因此，我們首先要得出一般的單階段二叉樹模型。l符號設(shè)： S：標(biāo)的物現(xiàn)行價(jià)格u：標(biāo)的物價(jià)格可能上漲倍率（u 1）d：標(biāo)的物價(jià)格可能下降倍率（d 1） R = 1 +單周期的無風(fēng)險(xiǎn)利率為了防止出現(xiàn)套利機(jī)會，要求：d R u 當(dāng)股票價(jià)格上升時(shí)， Su = u S ； 當(dāng)股票價(jià)格下降時(shí)， Sd = d S 在到期日，期權(quán)的盈虧為：如果股票價(jià)格上升：Cu = max (us-k),o如果股票價(jià)格下降： Cd = max (ds-k),o l構(gòu)造下列組合：買入 份股票+ 以無風(fēng)險(xiǎn)利率借入L 現(xiàn)金以復(fù)制看漲期權(quán)，則： u S + R L = Cu d S + R L = Cd 解之，得： = (

12、Cu - Cd)/ (u S - d S)L = - (dCu - u Cd) / R (u-d) 注意：對看漲期權(quán)來說，L 總是負(fù)值（總是借入資金）。問題：導(dǎo)出復(fù)制看跌期權(quán)組合的計(jì)算公式。記：記： C = S + L C = 1/R (q Cu + (1-q) Cd) 如果q是股票價(jià)格上漲的概率，則看漲期權(quán)的價(jià)格是期權(quán)未來價(jià)值的期望值的貼現(xiàn)值。l 衍生證券的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià) 如果每個(gè)人都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，股票的期望收益率將等于無風(fēng)險(xiǎn)收益率R. 在風(fēng)險(xiǎn)中性的世界中，股票上升的概率為q（注意在實(shí)際中，股票上升的概率為p，投資者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的 ）看漲期權(quán)的價(jià)格是期權(quán)未來價(jià)值的期望值的貼現(xiàn)值： C = 1/R

13、 q Cu + (1-q) Cd 一般公式為：Derivative Price = EQ(1/R)(T-t) Payoff 此公式說明衍生證券的價(jià)格是其盈虧貼現(xiàn)值的期望值 (風(fēng)險(xiǎn)中風(fēng)險(xiǎn)中性的世界中性的世界中) dudRqduRuq1SSuSdSu2SudSd2CdCCuCu2Cd2Cud根據(jù)單階段模型： Cu = (q Cuu + (1-q) Cud) / R Cd = (q Cud + (1-q) Cdd) / R 當(dāng)?shù)玫紺u 、 Cd ，再使用單階段模型，得：C = 1/R2 q2 Cuu + 2 (1- q) q Cud +(1-q)2 Cdd 同樣，這也是一般模型的特例：Derivat

14、ive Price = EQ(1/R)(T-t) Payoff 在二叉樹模型中，確定u, d, and q是關(guān)鍵，這里應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法估計(jì)這些數(shù)值。在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中：l所有可交易證券的期望收益都是無風(fēng)險(xiǎn)利率；l未來現(xiàn)金流可以用期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)假設(shè)股票的價(jià)格遵從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，記：r為連續(xù)復(fù)利的無風(fēng)險(xiǎn)收益率，S為期初的證券價(jià)格，則在很小小 t末證券價(jià)格的期望值為 ：對一個(gè)價(jià)格遵從幾何布朗運(yùn)動(dòng)的股票來說，在t 內(nèi)證券價(jià)格變化的方差為 （ ）為股票價(jià)格以年計(jì)的波動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)方差的定義，有：trSeSdqqSuSetr)1 ( tS22),(ttSS 假設(shè)d=1/u（Cox, Ross, Ru

15、binstein的條件），解上面的三式，得u, d, and q的估計(jì)值為： teu t-ed dudRqdudetr222222222)1 ()1 (dqquSdSquqStS)1 (dutrfqqfef看漲期權(quán)的價(jià)格是收益貼現(xiàn)值的期望，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的易變性增加時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格出現(xiàn)極端值的概率增加，那么看漲期權(quán)處于實(shí)值或虛值的可能性增加，因此，波動(dòng)性越高，盈虧貼現(xiàn)的期望值就越高，看漲期權(quán)的價(jià)格就越高。 What about a put option? l有紅利資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià)支付連續(xù)紅利率資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià) 記標(biāo)的資產(chǎn)支付連續(xù)紅利率為i, 在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，可以用r- i 替代上面公式中r即可，其他

16、不變。 這時(shí)，對于期貨期權(quán)，可以將期貨看成支付連續(xù)紅利率為r的證券，則 dudRqdudeti)-(rdud1ql支付已知紅利率資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)若標(biāo)的資產(chǎn)在未來某一確定時(shí)間將支付已知紅利率 （紅利與資產(chǎn)價(jià)格之比），我們可以通過調(diào)整各節(jié)點(diǎn)上的證券價(jià)格，計(jì)算期權(quán)價(jià)格，調(diào)整方法為：如果時(shí)刻 在除權(quán)日之前，則各結(jié)點(diǎn)處的證券價(jià)格不變，為：如果時(shí)刻 在除權(quán)日之后，則各結(jié)點(diǎn)處的證券價(jià)格為tiijdSujii, 2 , 1,tiijduSjii, 2 , 1,)1 ( 在二叉樹模型的中，假定無風(fēng)險(xiǎn)利率是常數(shù)，這顯然與實(shí)際不符。合理的假設(shè)是 ，即在時(shí)刻t的結(jié)點(diǎn)上，其應(yīng)用的利率等于t到 之間的的遠(yuǎn)期利率。其他條件不

17、變，這樣，資產(chǎn)價(jià)格上升的概率為：tt)(tfr dudetf(t)qlq=0.5的二叉樹圖 如果在上面分析中，不假定d=1/u，而令q=0.5，則當(dāng) 的高階小量可以忽略時(shí)，得：tttirttiredeu2222)2/()2/(基本原理： 期權(quán)A和期權(quán)B的性質(zhì)相似（如其他條件相同的歐式和美式期權(quán)），我們可以得到期權(quán)B的解析定價(jià)公式，而只能得到期權(quán)A的數(shù)值方法解。記 為期權(quán)B的真實(shí)價(jià)值（解析解）， 為期權(quán)A的較優(yōu)估計(jì)值， 分別表示用同一種方法計(jì)算出的期權(quán)估計(jì)值。假設(shè)用數(shù)值計(jì)算出的期權(quán)B的誤差等于期權(quán)A的誤差，即：可以證明，當(dāng) 與 之間相關(guān)系數(shù)較大時(shí)，這說明這個(gè)方法減少了期權(quán)A的價(jià)值估計(jì)的方差，我們

18、利用 和 的信息改進(jìn)了對期權(quán)A的價(jià)值的估計(jì)。BfAfAfBfAABBffffAfBf)var()var(AAffBfBf當(dāng)二項(xiàng)式模型的區(qū)間長度很小，區(qū)間個(gè)數(shù)達(dá)到無窮時(shí)，二項(xiàng)式模型收斂于Black-Scholes模型1、假設(shè)條件l期權(quán)的標(biāo)的物為一風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，允許賣空，并且完全可分l在期權(quán)到期日前，標(biāo)的資產(chǎn)無任何收益和支付。l標(biāo)的資產(chǎn)的交易是連續(xù)的，其價(jià)格的變動(dòng)也是連續(xù)的，均勻的，既無跳空上漲，又無跳空下跌。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)性為一已知常數(shù)。l存在著一個(gè)固定不變的無風(fēng)險(xiǎn)利率，交易者可以按此利率無限制地借入或貸出。l期權(quán)是歐式的，到期日前不執(zhí)行，不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會l標(biāo)的物的價(jià)格服從于對數(shù)正態(tài)分布，股

19、票的收益率服從正態(tài)分布。 （1）Ito過程與Ito引理lIto過程lIto引理 若變量x遵從Ito過程，則變量x與t的函數(shù)G將遵從下列過程dztxbdttxadx),(),(bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222dtdzl證券價(jià)格的變化過程l衍生證券價(jià)格的變化過程 l證券價(jià)格自然對數(shù)變化過程 令G=lnS,代入上式得：SdzSdtdSSdzSGdtSSGtGSSGdG)21(2222dzdtdG)21(2l推導(dǎo)： 由上面的公式得：構(gòu)造如下組合：該組合在 后必定沒有風(fēng)險(xiǎn)，因此，該組合在 中的瞬時(shí)收益率一定等于 的無風(fēng)險(xiǎn)收益率。zStSSzSSftSSftfSSff)21(2222SSf

20、ftSSftfSSff)21(2222ttt這樣有：將有關(guān)式子代入得：化簡得：邊界條件：C(T) = max0,S(T)-KtrtSSffrtSSftf)()21(2222rfSSfSfrStf222221假設(shè)每個(gè)投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的，利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)模型， Derivative Price = EQ(1/R)(T-t) Payoff 歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為： 假設(shè)標(biāo)的物的價(jià)格服從于對數(shù)正態(tài)分布，股票的收益率服從正態(tài)分布， 我們得到Black-Scholes 定價(jià)公式為： )0 ,max()(KSEeCTtTr),)(2(lnln2tTtTrSST)N(dK)SN(dC2)(1tTret-T21

21、t-Tt)-r(T)KSln(d1t-Tdd12r ：The annualized riskless interest rate from today until expiration. T：Time to expiration, in years (for example, 3 months = 0.25). e = 2.7183. = The instantaneous standard deviation of the assets return, annualized. The volatility annualized. The terms N(d1) and N(d2 ) are

22、the cumulative standard normal distributions of d1 and d2.（see picture） 應(yīng)用平價(jià)公式，可得到無收益股票歐式看跌期權(quán)定價(jià)模型無收益股票歐式看跌期權(quán)定價(jià)模型:)SN(-d-)N(-dK)N(d-S1-)N(d-1KP12)(12)(tTrtTreel當(dāng)標(biāo)的證券有現(xiàn)值為I的收益時(shí)，用（S-I)替代S即可；當(dāng)標(biāo)的證券的收益率為di時(shí)，用 替代S即可。例如， 記di為年紅利率（from today until expiration） 應(yīng)用平價(jià)公式，得有收益率的股票歐式看跌期權(quán)定價(jià)模型: )N(dK)N(dSC2)(1)(tTrtTd

23、ieet-T21t-Tt)-di)(T-r ()KSln(d1t-Tdd12)N(-dS-)N(-dK)N(d-1S-)N(d-1KP1)(2)(1)(2)(tTditTrtTditTreeee)(tTdiSe 應(yīng)用平價(jià)公式，得期貨歐式看跌期權(quán)定價(jià)模型:)N(dK)N(dFC2)(1)(tTrtTreet-T21t-T)KFln(d1t-Tdd12)N(-dF-)N(-dK)N(d-1F-)N(d-1KP1)(2)(1)(2)(tTrtTrtTrtTreeee當(dāng)標(biāo)的證券為時(shí)，用 替代S即可。)(tTrFe使用model對期權(quán)定價(jià)存在兩類風(fēng)險(xiǎn) l模型特有風(fēng)險(xiǎn) 當(dāng)股票價(jià)格偏離模型分布假設(shè)（對數(shù)正態(tài)

24、）時(shí)，期權(quán)定價(jià)模型就存在誤差；特別是：n Jump risk.（跳躍風(fēng)險(xiǎn)） (The Black Scholes model does not allow for sudden big changes in stock prices.)n Volatility may not be constant over time. l估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)：估計(jì)風(fēng)險(xiǎn)： 我們僅僅能得到的是易變性的估計(jì)值。我們僅僅能得到的是易變性的估計(jì)值。所以，必須記住，所有基于所以，必須記住，所有基于期權(quán)定價(jià)模型計(jì)算的價(jià)格和無風(fēng)險(xiǎn)交易策略都僅是一個(gè)估計(jì)值。 問題：問題：當(dāng)股票價(jià)格不服從對數(shù)正態(tài)分布時(shí)，期權(quán)如何定價(jià)？應(yīng)用期權(quán)定價(jià)應(yīng)用期權(quán)

25、定價(jià)模型對我國證券市場的權(quán)證定價(jià)，并分析產(chǎn)生誤差的原因？在 Black-Scholes 和其他的期權(quán)定價(jià)模型中，易變性是最難確定的一個(gè)輸入變量，因?yàn)橐鬃冃圆荒鼙挥^測到，而且必須進(jìn)行估計(jì)，其他輸入變量則能被觀測到，相對容易確定。有三類易變性:n 期權(quán)有效期內(nèi)未來易變性： The input required in option models to calculate the options theoretical price.n 歷史易變性：給定樣本基礎(chǔ)上計(jì)算的過去收益率的樣本標(biāo)準(zhǔn)差 n 隱含易變性：當(dāng)期權(quán)市場價(jià)格等于特定模型（如Black-Scholes model 或the binomial

26、 model ）的理論價(jià)格時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差 對未來易變性的確定沒有一種完全正確的方法。一般可以應(yīng)用多種方法進(jìn)行估計(jì)，如應(yīng)用隱含易變性作為未來易變性的估計(jì)值，或應(yīng)用歷史易變性作為未來易變性的估計(jì)值，也有人應(yīng)用GARCH 統(tǒng)計(jì)模型，估計(jì)未來易變性 什么是GARCH模型？如何應(yīng)用GARCH估計(jì)未來易變性？如何判斷估計(jì)的精度？（1）波動(dòng)率微笑與波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu) 在現(xiàn)實(shí)世界中，波動(dòng)率為常數(shù)的假設(shè)是不成立的。人們通過研究發(fā)現(xiàn)，應(yīng)用期權(quán)市場價(jià)格和BS公式計(jì)算出來的隱含波動(dòng)率具有以下兩方面的變動(dòng)規(guī)律：l隱含波動(dòng)率會隨期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格不同而不同，這個(gè)規(guī)律被稱為“波動(dòng)率微笑”；l隱含波動(dòng)率會隨期權(quán)到期時(shí)間不同而不同，這個(gè)規(guī)

27、律被稱為“波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)”；l波動(dòng)率微笑產(chǎn)生的原因： 市場分布與BS假設(shè)分布（對數(shù)正態(tài)分布）存在差異。而且還與標(biāo)的資產(chǎn)有關(guān)；l貨幣期權(quán)的波動(dòng)率微笑及隱含分布隱含波動(dòng)率呈u形，平價(jià)時(shí)波動(dòng)率最低、實(shí)值或虛值時(shí)波動(dòng)率會上升，且兩邊對稱（深度虛值、實(shí)值看跌、看漲期權(quán)價(jià)格均較高（相對于BS公式計(jì)算 ）（隱含波動(dòng)率高）匯率的極端變化要比對數(shù)正態(tài)分布所描述的更經(jīng)常出現(xiàn)（跳躍）價(jià)格的跳躍和波動(dòng)率的隨機(jī)性對波動(dòng)率的影響會隨時(shí)間而改變l股票期權(quán)的波動(dòng)率微笑及隱含分布隱含波動(dòng)率呈右偏斜狀，波動(dòng)率隨執(zhí)行價(jià)格的上升而下降，且不對稱；說明深度虛值看跌期權(quán)價(jià)格或深度實(shí)值看漲期權(quán)價(jià)格（執(zhí)行價(jià)低）會相對較低（隱含波動(dòng)率低）；深

28、度虛值看漲期權(quán)價(jià)格或深度實(shí)值看跌期權(quán)價(jià)格會較高（隱含波動(dòng)率高。相對于BS公式）可能的解釋：與股市崩盤有關(guān)，這使得價(jià)格下跌的可能性遠(yuǎn)大于上升的可能性。l含義：隱含波動(dòng)率隨到期日不同所表現(xiàn)出來的變化規(guī)律；l期限結(jié)構(gòu)：從長期來看，波動(dòng)率具有均值回復(fù)的特征。即到期日越近，隱含波動(dòng)率變化越大，隨著到期日的延長，隱含波動(dòng)率將逐步向歷史波動(dòng)率的平均值靠攏；波動(dòng)率微笑的形狀也受期權(quán)到期日時(shí)間的影響。到期日時(shí)間越近，波動(dòng)率微笑越顯著，到期日時(shí)間越長，不同價(jià)格的隱含波動(dòng)率差異越小。l波動(dòng)率矩陣（波動(dòng)率微笑與期限結(jié)構(gòu)的結(jié)合）有效期 執(zhí)行價(jià)格 0.9 0.95 1.00 1.05 1.10一個(gè)月三個(gè)月六個(gè)月一年兩年五

29、年 14.2 13.0 12.0 13.1 14.5 14.0 13.0 12.0 13.1 14.2 14.1 13.3 12.5 13.4 14.3 14.7 14.0 13.5 14.0 14.8 15.0 14.4 14.0 14.5 15.1 14.8 14.6 14.4 14.7 15.0024681012141612345系列1系列2系列3系列4系列5系列6在BS公式中，假定無風(fēng)險(xiǎn)利率、波動(dòng)率以及紅利收益率都是常數(shù)，但實(shí)際上這些都是變化的。 對于這些不確定的參數(shù)值,Avellaneda, Levy等人提出了解決的基本思路，即假設(shè)我們知道這些參數(shù)位于某一特定的區(qū)間內(nèi)，之后考慮最悲觀

30、的情況下，我們的期權(quán)至少值多少。這樣，我們不會計(jì)算出期權(quán)的某一特定價(jià)值，而是計(jì)算期權(quán)的價(jià)值區(qū)間。l不確定波動(dòng)率 假設(shè) ，我們沿用BS模型的無套利組合方法，構(gòu)造下列組合： 根據(jù)Ito引理和證券收益率正態(tài)分布的假設(shè)，有SSffdtSSftfd)21(2222由于我們只知道波動(dòng)率的范圍，所以我們可以計(jì)算出最糟糕情況下的期權(quán)價(jià)值，其方法為：在給定的波動(dòng)率范圍內(nèi)取組合價(jià)值的最小值，并使其等于無風(fēng)險(xiǎn)收益，這樣，可以計(jì)算出期權(quán)的最小值。其公式為：令要實(shí)現(xiàn)左邊最小，當(dāng) 為正時(shí)，應(yīng)取 ，當(dāng) 為負(fù)時(shí)，應(yīng)取期權(quán)下限應(yīng)滿足：也就是說，當(dāng) 為正時(shí)，我們用 代替BS公式中的 ， 可直接求出期權(quán)的最小值；當(dāng) 為負(fù)時(shí)，可用

31、代替BS公式中的 求解。dtSSffrdtSSftf)()21(min222222Sf0)(212222rfrSSfSSftf其中，當(dāng)然，也可以算出上限，即：也就是說，當(dāng) 為正時(shí)，應(yīng)取 ，當(dāng) 為負(fù)時(shí)，應(yīng)取 ，代入到BS公式中，求出期權(quán)的最大值。22Sf0,0,)(0)(212222rfrSSfSSftf22Sf0,0,)( 假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率位于 ，與上面相同的方法，構(gòu)造下列組合： 并得到 由上式可知，求出期權(quán)的最小、最大值的利率取決于 的符號。如果在最差的情況下， 為正，則利率應(yīng)取最大值， 負(fù)時(shí)，利率應(yīng)取最小值。其原因是，當(dāng)組合為正時(shí)，我們在期權(quán)上有正的投資（賣空資產(chǎn)的收入不足于支付期權(quán)多頭的價(jià)格），此時(shí)，利率越高越不利。相應(yīng)的方程為： 其中，dtSSffrdtSSftf)()21(22220)(212222fSSfrSSftfrrrSSffSSff0,0,)(rrr也就是說，當(dāng) 為正時(shí)，我們用 代替BS公式中的 ， 可直接求出期權(quán)的最小值；當(dāng) 為負(fù)時(shí)，可用 代替BS公式中的 求解。rrrr 支付連續(xù)紅利率的股票衍生證券所滿足的微分方程。與上面相同的方法，構(gòu)造下列組合： 并得到 在 內(nèi)，證券組合的投資者獲得資本利得 ，以及紅利為：則在 內(nèi)，證券組合的投資者的財(cái)富變化為由于組合是瞬態(tài)無風(fēng)險(xiǎn)的，則有：tSSftf)21(2222tSfqSSSftfW)21(2222ttSfqSt