導(dǎo)數(shù)壓軸題之隱零點(diǎn)問(wèn)題專輯含答案純版

1、本資料分享自千人教師QQ群323031380高中數(shù)學(xué)資源大全導(dǎo)數(shù)壓軸題之隱零點(diǎn)問(wèn)題導(dǎo)數(shù)壓軸題之隱零點(diǎn)問(wèn)題(共13題)1.已知函數(shù)f(x)=(aex-a-x)ex(a>0,e=2.718；e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),若f(x)>0對(duì)于xR包成立.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)證明：f(x)存在唯一極大值點(diǎn)刈，且(甌)得.【解答】(1)解：f(x)=ex(aexax)>0,因?yàn)閑x>0,所以aex-a-x>0包成立，即a(ex-1)x包成立，x=0時(shí)，顯然成立,x>0時(shí)，ex-1>0,故只需an,在(0,+8)恒成立,令h(x)=-,(x>0),ez-l<

2、;0,，/、(1-x)ez-lh(x)=t-故h(x)在(0,+8)遞減,而linr-y-=1inrr=1,故a>1,x<0時(shí)，ex-1<0,0)恒成立,故h(x)在(-oo,0)遞增,第1頁(yè)(共14頁(yè))本資料分享自千人教師QQ群323031380高中數(shù)學(xué)資源大全而I.：=|=1，故a01,綜上：a=1；(2)證明：由(1)f(x)=ex(exx1),故f(x)=ex(2exx2),令h(x)=2exx-2,h'(x)=21,所以h(x)在(-00ln、)單調(diào)遞減，在(l且，+00)單調(diào)遞增，22h(0)=0,h(lni)=2elnl-也-2=ln2-1<0,h

3、(-2)=2e-2-(-2)-2V>6.h(-2)h(l/)<0由零點(diǎn)存在定理及h(x)的單調(diào)性知，2方程h(x)=0在(-2,ln)有唯一根，設(shè)為x0且2ex0-x0-2=0,從而h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x0和0,所以f(x)在(-8,x0)單調(diào)遞增，在(x°,0)單調(diào)遞減，在(0,+8)單調(diào)遞增,從而f(x)存在唯一白極大值點(diǎn)x0即證,1,取等不成立，所以f(刈)得證,-x0-1)=7(-x0)(2+x0)又丁-2<x0<lg,f(x)在(-°0,x。)單調(diào)遞增所以f(x0)>f(2)=e2e2(2)-1=e-4+e2>e2>0得證,

4、從而0<f(x0)成立.2,已知函數(shù)f(x)=ax+xlnx(aR)(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間e,+oo)上為增函數(shù)，求a的取值范圍；(2)當(dāng)a=1且kCZ時(shí)，不等式k(x-1)<f(x)在xC(1,+oo)上恒成立,第2頁(yè)(共14頁(yè))本資料分享自千人教師QQ群323031380高中數(shù)學(xué)資源大全求k的最大值.【解答】解：(1);函數(shù)f(x)在區(qū)間e,+8)上為增函數(shù)，.f'(x)=a+lnx+10在區(qū)間e,+00)上包成立，；a>(Tnx-1)max=-2.a>-2.；a的取值范圍是-2,+8).(2)a=1時(shí)，f(x)=x+lnx,kCZ時(shí)，不等式k(x1)&

5、lt;f(x)在xC(1,+oo)上包成立，.k<沖lox),、v1'niui貝(Jg'(x)=-Ty,2(x>1).3>0,，h(x)在(1,+oo)上單增，令g(x)令h(x)則h'(x)=x-Inx一=1一.h(3)=1-ln3<0,h(4)=221n2>0,存在xoC(3,4),使h(x0)=0.即當(dāng)1<x<x。時(shí)h(x)<0即g'(x)<0x>x0時(shí)h(x)>0即g'(x)>0g(x)在(1,x0)上單減，在(x0+°°)上單增.令h(刈)=x01nx0

6、2=0,即1nx0=x02,xq(1+1hxo)x0g(x)min=g(x0)=x0C(3,4).soKo-1k<g(x)min=x0(3,4),且kZ,kmax=3.3.函數(shù)f(x)=a1nx-x2+x,g(x)=(x-2)ex-x2+m(其中e=2.71828).(1)當(dāng)a00時(shí)，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a=-1,x(0,1時(shí)，f(x)>g(x)恒成立，求正整數(shù)m的最大值.【解答】解：(1)函數(shù)f(x)定義域是(0,+00)，F(xiàn)3/1二當(dāng)了(i)當(dāng)時(shí)，1+8a&0,當(dāng)xC(0,+8)時(shí)f(x)<0,第3頁(yè)(共14頁(yè))本資料分享自千人教師QQ群323031

7、380高中數(shù)學(xué)資源大全函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+00)；(ii)當(dāng)l+8a>C,2x2+x+a=0的兩根分別是:8l-Vl+Ba當(dāng)xC(0,xi)時(shí)f(x)<0.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減.當(dāng)xC(xi,x2)時(shí)f(x)>0,函數(shù)f(x)的單調(diào)速遞增，當(dāng)xC(x2,+)時(shí)f(x)<0,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減；綜上所述，(i)當(dāng)時(shí)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+°°),8(2)當(dāng)a=1,x(0,1時(shí)，f(x)>g(x),即m<(x+2)ex-lnx+x,設(shè)h(x)=(-x+2)ex-lnx+x,x(0,1,h(必二函數(shù)h(x)在(0,

8、x0單調(diào)遞減，在x°,1)單調(diào)遞增，.一一，、二八：Sn一一八1-.2-：；一：匚-：L.：二'一，*0工口(0,1)遞減，出工/二-1十2+樂(lè)£4),xo二當(dāng)m03時(shí)，不等式m<(-x+2)ex-lnx+x對(duì)任意xC(0,1恒成立,正整數(shù)m的最大值是3.第4頁(yè)(共14頁(yè))本資料分享自千人教師QQ群323031380高中數(shù)學(xué)資源大全4.已知函數(shù)f(x)=ex+a-lnx(其中e=2.71828一；是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(I)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)a=0的圖象在(1,f(1)處的切線方程;(II)求證：當(dāng)方>1-工時(shí)，fe|【解答】(I)解：=a=0時(shí)，(x)&g

9、t;e+1.,f(x)-eX-lnx.FCx)-e*x-,f(1)=e,f'(1)=e-1,函數(shù)f(x)的圖象在(1,f(1)處的切線方程：y-e=(e-1)(x-1),即(e-1)x-y+1=0；(R)證明：F(x)二小力,I設(shè)g(x)=f'(x),則/G)=廠出k，。， ，-g(x)是增函數(shù)， ex+a>ea,.。由£>二工>” .當(dāng)x>e-a時(shí)，f'(x)>0；若0<x<1?ex+a<ea+1,由巳»1<工=>工<3一1,x.,當(dāng)0<x<min1,ea1時(shí)，f'

10、;(x)<0,故f'(x)=0僅有一解，記為x0,則當(dāng)0Vx<x0時(shí)，f'(x)<0,f(x)遞減;當(dāng)x>x0時(shí)，f'(x)>0,f(x)遞增；ht->>hQ)=e+l>e+1.110n=1.口+菖1口3口，本資料分享自千人教師QQ群323031380高中數(shù)學(xué)資源大全5 .已知函數(shù)f(x)=axeX-(a+1)(2x1).(1)若a=1,求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程;(2)當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f(x)>0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解答】解：(1)若a=1,貝Uf(x)=xex-2(2x-1

11、),當(dāng)x=0時(shí)，f(0)=2,f(x)=xex+ex-4,當(dāng)x=0時(shí)，f(0)=-3,所以所求切線方程為y=-3x+2.(3分)(2)由條件可得，首先f(wàn)(1)>0,得e-1而f(x)=a(x+1)ex-2(a+1),令其為h(x),h'(x)=a(x+2)ex恒為正數(shù)，所以h(x)即f(x)單調(diào)遞增，而f(0)=-2-a<0,f(1)=2ea-2a-2>0,所以f(x)存在口t一根xoC(0,1,所以函數(shù)f(x)的最小值為且函數(shù)f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減，在(x0+oo)上單調(diào)遞增,£(=口)=&富產(chǎn)°-(a+l)(2x0-l),只需

12、f(刈)>0即可，又X0滿足'號(hào)n代入上式可得(a+l)J十(口十1)(0,1,.-2702+x0+1>U,即：f(x0)>0包成立，所以(13分)6 .函數(shù)f(x)=xex-ax+b的圖象在x=0處的切線方程為：y=-x+1.(1)求a和b的值；(2)若f(x)滿足：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>lnx-x+m,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解答】解：(1)f(x)=xe<-ax+b,f'(x)=(x+1)ex-a,由函數(shù)f(x)的圖象在x=0處的切線方程為：y=-x+1,知：第6頁(yè)(共14頁(yè))本資料分享自千人教師QQ群323031380高中數(shù)學(xué)資源大全(

13、0)=1-3=1解得a=2,b=1.(2) .f(x)滿足:當(dāng)x>0時(shí),f(x)>lnx-x+m,m<xex-x-lnx+1,令g(x)=xex-x-lnx+1,x>0,則一二碗工上回",XK設(shè)g'(x。)=0,x0>0,貝已*口=,從而lnx0=-刈，支口g'。)=3(浮-l)<0,g'(1)=2(e-1)>0,&far由g'(g'(1)<0,知：為£*，1),當(dāng)xC(0,x0)時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)xC(x0,+oo)時(shí)，g，(x)>0,函數(shù)g(x)在(0

14、,xO)上單調(diào)遞減，在(x0,+00)上單調(diào)遞增.g(x)min=g(x0)=Knc0_x0-lnx0=Xnex0lnx0=x0?x0+xd=1.u“上口m&xexxlnx+1恒成立？m<g(x)min,實(shí)數(shù)m的取值范圍是：(-8,1.本資料分享自千人教師QQ群323031380高中數(shù)學(xué)資源大全7.已知函數(shù)f(x)=3ex+x2,g(x)=9x-1.(1)求函數(shù)小(x)=xex+4x-f(x)的單調(diào)區(qū)問(wèn)；(2)比較f(x)與g(x)的大小，并加以證明.【解答】解：(1)(T(x)=(x-2)(ex-2),令|x)=0,得x1=ln2,x2=2;令小x)>0,得x<ln

15、2或x>2;令小x)<0,得ln2Vx<2.故小(x)在(-8,帖2)上單調(diào)遞增，在(ln2,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增.(2)f(x)>g(x).第7頁(yè)（共14頁(yè)）本資料分享自千人教師QQ群323031380高中數(shù)學(xué)資源大全證明如下：設(shè)h(x)=f(x)g(x)=3ex+x2-9x+1,=h'(x)=3ex+2x-9為增函數(shù)， 可設(shè)h'(x0)=0,.h'(0)=-6<0,h'(1)=3e-7>0,.xoC(0,1).當(dāng)x>xo時(shí)，h'(x)>0;當(dāng)x<x0時(shí)，h'(x)<

16、;0. h(x)min=h(x°)=3°十+1，又尺廣實(shí)0，篁口+9，；卜45=-2勺+9+工口2-95+1=2Th0+10=(xoT)(x0T0), MC(0,1),(x。1)(x。10)>0,:h(x)min>0,.f(x)>g(x).8,已知函數(shù)f(x)=lnx+a(x1)2(a>0).(1)討論f(x)的單調(diào)性；_3_(2)若f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)x0,證明：eCCe12【解答】解：(1)F(耳產(chǎn)工"+1X當(dāng)0<a02時(shí)，f(x)>0,y=f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，當(dāng)a>2時(shí)，設(shè)2aW-2

17、ax+1=0的兩個(gè)根為工工£(0<工<方工工)，且_a-Va2-2a屋-加叼2自，為%，y=f(x)在(0,x1),(x2,+OO)單調(diào)遞增，在(x1,x2)單調(diào)遞減.(2)證明：依題可知f(1)=0,若f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)x0,由(1)可知a>2,且和二盯E(0,y).于是：l門工口+a*口-l>2二023工口心-22又0+:0由得LnxnT一二九設(shè)式k)二D),OK11則屋(由二且苫，因此g(x)在9,5)上單調(diào)遞減，2k上第8頁(yè)(共14頁(yè))本資料分享自千人教師QQ群323031380高中數(shù)學(xué)資源大全J.y-i又晨已之)三亍工°

18、'式屋|)露片<口_2根據(jù)零點(diǎn)存在定理，故e<SQ<e-1.9.已知函數(shù)f(x)=1n工o,其中a為常數(shù).產(chǎn)(1)若a=0,求函數(shù)f(x)的極值；(2)若函數(shù)f(x)在(0,-a)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；2.(3)若a=-1,設(shè)函數(shù)f(x)在(0,1)上的極值點(diǎn)為X0,求證：f(x0)<-【解答】解：(1)f(x)且舁的定義域是(0,+oo),f，(x)上駕產(chǎn)，KX令f'(x)>0,解得0Vx(加，令f'(x)<0,解得：x>AK，則f(x)在(0,正)遞增，在(血，+°°)遞減，故f(x)極大值=f

19、d),無(wú)極小值；(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x>0且xw-a.-Cx+a)-lnzC2x+2a)味2bllcCi+a)4要使函數(shù)f(x)在(0,-a)上單調(diào)遞增，則a<0,又xC(0,一a)時(shí)，a<x+a<0,只需1+2-2lnx00在(0,-a)上包成立,IIPa>2xlnx-x在(0,一a)上恒成立，由y=2xlnx-x的導(dǎo)數(shù)為y'=21+lnx)-1=1+2lnx,當(dāng)xF時(shí)，函數(shù)y遞增，0<x<時(shí)，函數(shù)y遞減,當(dāng)一a即-a<a<°時(shí)，函數(shù)遞減，可得a”矛盾不成立;當(dāng)a>即a<I時(shí),Ve函數(shù)y在(0,)

20、遞減，在(,a)遞增,可得y<2aln(a)+a,可得a>2aln(a)+a,解彳4-10a<0,則a的范圍是-1,0);第9頁(yè)(共14頁(yè))本資料分享自千人教師QQ群323031380高中數(shù)學(xué)資源大全設(shè)函數(shù)f（x）在（0,1）上的極值點(diǎn)為X0,(JC-1)2可得1-2lnx0-L=0,xo即有21nx0=1一一一.一1七支口要證f（X。）2,即上方+20,底口一）=且。-”.2了0HqT)2。一1)由于X0C(0,1),且x0±,21nx0=1-工一不成立,2配,1nM口則.+2<0,注1)2故f（刈）-2成立.10.已知函數(shù)f(x)=1nx-x+1,函數(shù)g(

21、x)=ax?3-4x,其中a為大于零的常數(shù).(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)求證：g(x)2f(x)>2(Ina-1n2).解答解：(I)(2分)X2£x(0,1)時(shí)，f(x)>0,y=f(x)單增；x(1,+oo)時(shí)，f(x)<0,y=f(x)單減.(4分)(H)證明：令h(x)=axe<-4x-21nx+2x2=ax02x-21nx-2(a>0,x>0):一(5分)h'+xeK)-2-=aeK(x+1)Z第10頁(yè)（共14頁(yè)）本資料分享自千人教師QQ群323031380高中數(shù)學(xué)資源大全故hj(x)二(工+1)gl.(7分)令h

22、9;(x)=0即已一。二2,町兩邊求對(duì)數(shù)得：lna+xo=ln2-Inxo即lnxo+xo=ln2-lna.3分)hn1111Mh(翼口)二日入口己"-2x021nx0-2=-2x-21nx0二一2(ln2-lna)，h(x)>2lna-2ln2(12分)11.已知函數(shù)f(x)=W-(a-2)x-alnx(aR).(I)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；(H)當(dāng)a=1時(shí)，證明：對(duì)任意的x>0,f(x)+ex>x2+x+2.【解答】解：(I)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+8),f'(x)=2x-(a-2)-且-工+1)(L(2分)III;工I當(dāng)a00時(shí)，f'

23、;(x)>0對(duì)任意xC(0,+8)包成立，所以，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+oo)單調(diào)遞增；(4分)當(dāng)a>0時(shí)，由f'(x)>0得x>后,由f'(x)<0,得0Vx<2，22所以，函數(shù)在區(qū)間(+8)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,年)上單調(diào)遞減;(H)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x2+x-lnx,要證明f(x)+ex>x2+x+2,只需證明exlnx2>0,設(shè)g(x)=ex-lnx-2,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意的x>0,g(x)>0,令g，(x)=ex-十=0,彳3ex=,容易知道該方程有唯一解，不妨設(shè)為x0,貝Ux0滿足ex01Ho(

24、x0,00遞增當(dāng)x變化時(shí)，g'(x)和g(x)變化情況如下表x(0,x0)x0g'(x)-0g(x)遞減g(x)min=g(x0)=ex0-lnx。2=+x0-2,第11頁(yè)(共14頁(yè))本資料分享自千人教師QQ群323031380高中數(shù)學(xué)資源大全因?yàn)閄0>0,且X0W1,所以g(x)min>2/y2=0,因此不等式得證.本資料分享自千人教師QQ群323031380高中數(shù)學(xué)資源大全12.已知函數(shù)Fa)二111K7x(I)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程；(ii)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)若1<a<2,求證：f(x)<-

25、1.【解答】解：(I)當(dāng)a=2時(shí)，£32他一12工,定義域?yàn)?0,+00),2s,2-lm-FxNxfj-2=2，x工f'(1)=-1-2=-3,f(1)=2-2=0;所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-3),切線斜率為0所以切線方程為y=-3；(ii)令g(x)=2-lnx-2x2,屋二所以g(x)在(0,+00)上單調(diào)遞減，且g(1)=0所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)>0即f(x)>0所以當(dāng)x(1,+oo)時(shí)，g(x)<0即f(x)<0綜上所述，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,+8).(II)證明：f(x)<-1,即1口冥1a,Xd

26、11角v2-1設(shè)小(x)=ax2lnx+2'&)=一23乂=<Qe工所以小x)在(0,+°°)小于零包成立即h'(x)在(0,+00)上單調(diào)遞減因?yàn)?<a<2,所以h'(1)=2-a>0,h'(e2)=-a<0,第12頁(yè)(共14頁(yè))本資料分享自千人教師QQ群323031380高中數(shù)學(xué)資源大全所以在(1,e2)上必存在一個(gè)2+O父Ln20-1X2OXao=0即1門又口二一日君+2，所以當(dāng)x(0,xo)時(shí)，h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,當(dāng)xC(x0,+oo)時(shí)，h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，二一