D85隱函數(shù)求導(dǎo)64729PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1D85隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)647290 )( (, ,( (xfxF兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)0 xyyFxFd dd dyxFFxy d dd d0 yF, ,) ), ,( () )( (所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)為方程為方程設(shè)設(shè)0 yxFxfy在在) ), ,( (00yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)則則第1頁/共18頁若若F (x, y )的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù), , 22xyd dd d2yxxyyxxFFFFF 3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFF yxFF ) )( (yxFFy ) )( (yxyxyyyyxFFFFFFF 2) )( (yxFFx

2、 xyxxyd dd d則還有則還有第2頁/共18頁01 yxeyxsi nsi n在點在點(0,0)某鄰域某鄰域可確定一個單值可導(dǎo)隱函數(shù)可確定一個單值可導(dǎo)隱函數(shù), ,) )( (xfy 0d0dd22 xxyxxyd d, ,解解: :令令, ,si nsi n) ), ,( (1 yxeyyxFx, ,) ), ,( (000 F, ,yeFxx 連續(xù)連續(xù), ,由定理由定理1 1可知可知, ,100 ) ), ,( (yF0 , ,) )( (xfy 導(dǎo)的隱函數(shù)導(dǎo)的隱函數(shù) 則則xyFy coscos在在x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且且并求并求第3頁/共18頁

3、0dd xxy0 xFFyx 1 xy coscosyex 00 yx, ,022 xxyd dd d) )coscos( (d dd dxyyexx 2 ) )coscos( (xy 3 100 yyx) )( (yex ) )( (c co os sxy ) )( (yex ) )si nsi n( (1 yy100 yyx, , ,第4頁/共18頁0 xy30dd22 xxy) )( (, ,si nsi nxyyyxeyx 01yy coscos兩邊對兩邊對x 求導(dǎo)求導(dǎo)1 兩邊再對兩邊再對x 求求導(dǎo)導(dǎo)yyyy coscos) )( (si nsi n2令令x = 0,注意此時注意此時1

4、0 yy, ,0 yxyyexxe y 0 yx) ), ,( (coscos00 xyyex 利用隱函數(shù)求導(dǎo)利用隱函數(shù)求導(dǎo)第5頁/共18頁若函數(shù)若函數(shù) ) ), , ,( (000zyxP) ), , ,( (zyxFzyzxFFyzFFxz , ,的某鄰域內(nèi)具有的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , ,則方程則方程0 ) ), , ,( (zyxF在點在點) ), ,( (00yx并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ,) ), ,( (000yxfz 定一個單值連續(xù)函數(shù)定一個單值連續(xù)函數(shù)z = f (x, y), 定理證明從略定理證明從略, , 滿足滿足0000 ) ), , ,( (zyxF

5、0000 ) ), , ,( (zyxFz在點在點滿足滿足: :某一鄰域內(nèi)可唯一確某一鄰域內(nèi)可唯一確第6頁/共18頁, ,04222 zzyx解法解法1 1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)利用隱函數(shù)求導(dǎo)0422 xzxzzxzxz 2 22zxxz 2 222) )( (xz 222xzz 0422 xz21) )( (xz 32222) )( () )( (zxz . .22xz 求求再對再對 x 求導(dǎo)求導(dǎo)第7頁/共18頁設(shè)設(shè)zzyxzyxF4222 ) ), , ,( (則則, ,xFx2 zxFFxz 兩邊對兩邊對x 求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)) )( (zxxxz 222222) )( () )( (zxzxz 3

6、2222) )( () )( (zxz 2 zxzx 242 zFz第8頁/共18頁zxFFxz xz設(shè)設(shè)F (x, y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), , ,) ), ,( (0 zyzxF. .d dz求求解法解法1 1 利用偏導(dǎo)數(shù)公式利用偏導(dǎo)數(shù)公式. .是由方程是由方程設(shè)設(shè)) ), ,( (yxfz 0 ) ), ,( (zyzxF yz212FyFxFz 211FyFxFz yyzxxzzd dd dd d zF11 1F) )( (2zx 2F) )( (2zy zF12 確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù), ,) )d dd d( (yFxFFyFxz2121 則則) )( () )( (2

7、221zyzxFF 已知方程已知方程故故第9頁/共18頁對方程兩邊求微分對方程兩邊求微分: : 1F) )d dd d( (d dyFxFFyFxzz2121 ) )d dd d( (2zzxxz zzFyFxd d221 zyFxFd dd d21 解法解法2 2 微分法微分法. .0 ) ), ,( (zyzxF) )d dd d( (2zzyyz ) )( (d dzx 2F0 ) )( (d dzy 1F 2F0 第10頁/共18頁隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形. . 00) ), , , ,( () ), , , ,( (vuyxGvuy

8、xF ) ), ,( () ), ,( (yxvvyxuu由由F、G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式vuvuGGFFvuGFJ ) ), ,( () ), ,( (稱為稱為F、G 的的雅可比雅可比(Jacobi)行列式行列式. .以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例 , ,即即第11頁/共18頁, ,) ), , , ,( (00000 vuyxF的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)) ), , , ,( (0000vuyxP) ), , , ,( (, ,) ), , , ,( (vuyxGvuyxF則方程組則方程組00 ) ),

9、 , , ,( (, ,) ), , , ,( (vuyxGvuyxF) ), ,( (00yx在點在點的的單值連續(xù)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)),), ,( (, ,) ), ,( (yxvvyxuu 且有偏導(dǎo)數(shù)公式且有偏導(dǎo)數(shù)公式: :在點在點的某一鄰域內(nèi)可的某一鄰域內(nèi)可唯一唯一確定一組滿足條件確定一組滿足條件滿足滿足: :0 PvuGFPJ) ), ,( () ), ,( (; ;) ), , , ,( (00000 vuyxG導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)；, ,) ), ,( (000yxuu ) ), ,( (000yxvv 第12頁/共18頁) ), ,( () ), ,( (vxGFJxu 1) ), ,( (

10、) ), ,( (vyGFJyu 1) ), ,( () ), ,( (xuGFJxv 1) ), ,( () ), ,( (yuGFJyv 1vvvuvuGFGGFF1 vvvuvuGFGGFF1 uuvuvuGFGGFF1 uuvuvuGFGGFF1 (P34-P35)(P34-P35)xxGFyyGFxxGFyyGF第13頁/共18頁, , ,10 vxuyvyux. ., , , ,yvxvyuxu 解解: :xyyxJ Jxu1 22yxvxuyyu 方程組兩邊對方程組兩邊對x 求導(dǎo)，并移項得求導(dǎo)，并移項得求求vxvxxuy xvyu 22yxvyux vyux Jxv1 22yxu

11、yvx 練習(xí)練習(xí): :求求yvyu , ,uxvyxux 022 yx22yxvyuxyv 答案答案: :由題設(shè)由題設(shè)故有故有第14頁/共18頁1.1.隱函數(shù)隱函數(shù)( (組組) )存在定理存在定理2.2.隱函數(shù)隱函數(shù)( (組組) )求導(dǎo)方法求導(dǎo)方法方法方法1.1.利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計算利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計算; ;方法方法2.2.利用微分形式不變性利用微分形式不變性; ;方法方法3.3.代公式代公式思考與練習(xí)思考與練習(xí)設(shè)設(shè), ,) ), ,( (zyxzyxfz 求求. ., , ,yxzxxz 第15頁/共18頁zx ) ), ,( (zyxzyxfz xz1f xz 12f xzyxzy xz 21fzyf 211fyxf 11f 1 zx2f yxzxzy 211fyxf 21fzyf yx 01f 1 yx2f zxy