數(shù)值分析4.1 引言及Langrage插值法

1、第第4章章 插值法插值法 4.1 引言引言 4.2 Lagrange 插值插值 4.3 Newton 插值插值 4.4 Hermite 插值插值 4.5 分段多項式插值分段多項式插值 4.6 三次樣條插值三次樣條插值問題的提出問題的提出 在科學研究和工程計算中，經(jīng)常要研究變在科學研究和工程計算中，經(jīng)常要研究變量之間的函數(shù)關(guān)系，但是在很多情況下，又很量之間的函數(shù)關(guān)系，但是在很多情況下，又很難找到具體的解析表達式，往往只能通過測量難找到具體的解析表達式，往往只能通過測量或者觀察，獲得一張數(shù)據(jù)表，即或者觀察，獲得一張數(shù)據(jù)表，即x0 x1x2xnxy0y1y2yny4.1 引言引言 這種用表格形式給出

2、的函數(shù)，無法求出不在表這種用表格形式給出的函數(shù)，無法求出不在表中的點的函數(shù)值，也不能進一步研究函數(shù)的分析性中的點的函數(shù)值，也不能進一步研究函數(shù)的分析性質(zhì)，如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及積分等。為了解決這些問題，質(zhì)，如函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及積分等。為了解決這些問題，我們設(shè)法通過這張表格求出一個簡單的函數(shù)我們設(shè)法通過這張表格求出一個簡單的函數(shù)P(x)( )iiP xy(0,1, )in這種求這種求P(x)的方法稱為的方法稱為插值法。插值法。使使4.1.1 插值問題插值問題 設(shè)設(shè) y= f(x) 是區(qū)間是區(qū)間a , b 上的一個實函數(shù)上的一個實函數(shù), xi ( i=0, 1, . ,n)是是a,b上上n+1個互異實數(shù)個互異實

3、數(shù),已知已知 y=f(x) 在在 xi 的的值值 yi=f(xi) (i=0,1,.,n), 求一個求一個次數(shù)不超過次數(shù)不超過n的多項式的多項式Pn(x)使其滿足使其滿足Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n) (4-1)這就是這就是多項式插值問題多項式插值問題.4.1 引言引言其中其中Pn(x) 稱為稱為 f(x) 的的n次插值多項式次插值多項式, f(x) 稱為稱為被插函被插函數(shù)數(shù), xi(i=0,1, .,n)稱為稱為插值節(jié)點插值節(jié)點, (xi, yi) (i=0,1, ,n) 稱為稱為插值點插值點, a,b 稱為稱為插值區(qū)間插值區(qū)間, 式式(4-1)稱為稱為插值條件插值條件。 從

4、幾何意義來看從幾何意義來看,上上述問題就是要求一條多述問題就是要求一條多項式曲線項式曲線 y=Pn(x), 使它使它通過已知的通過已知的n+1個點個點(xi,yi) (i=0,1, ,n),并用并用Pn(x)近似表示近似表示f(x).即即 P(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn其中其中ai為實數(shù)，就稱為實數(shù)，就稱P(x) 為為 插值多項式插值多項式，相應(yīng)的插，相應(yīng)的插值法稱為值法稱為多項式插值多項式插值，若，若P(x)為分段的多項式，就為分段的多項式，就稱為稱為分段插值分段插值，若，若P(x)為三角多項式為三角多項式,就稱為就稱為三角插三角插值值，本章只討論插值多項式與分段插值。，本章

5、只討論插值多項式與分段插值。 本章主要研究如何本章主要研究如何求出求出插值多項式，分段插值插值多項式，分段插值函數(shù)，樣條插值函數(shù)函數(shù)，樣條插值函數(shù)；討論插值多項式；討論插值多項式P(x)的的存在存在唯一性、收斂性及誤差估計唯一性、收斂性及誤差估計等。等。定理定理1 設(shè)節(jié)點設(shè)節(jié)點 xi (i=0,1, ,n)互異互異, 則則滿足插值條件滿足插值條件 Pn(xi)=yi (i=0,1, ., n)的次數(shù)不超過的次數(shù)不超過n的多項的多項 式存在且唯一式存在且唯一.證證 設(shè)所求的插值多項式為設(shè)所求的插值多項式為 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+.+anxn (4-2)則由插值條件式則由插值條件式P

6、n(xi)=yi (i=0,1, ., n) 可得可得關(guān)于系數(shù)關(guān)于系數(shù)a0 ,a1 , ,an的線性代數(shù)方程組的線性代數(shù)方程組4.1.2 插值多項式的存在性和唯一性插值多項式的存在性和唯一性 nnnnnnnnnyxaxaayxaxaayxaxaa101111000010此方程組有此方程組有n+1個方程個方程, n+1個未知數(shù)個未知數(shù), 其系數(shù)行列式是其系數(shù)行列式是范德蒙范德蒙(Vandermonde)行列式：行列式：（4-3）20002111211()01nnjij innnnxxxxxxxxxxx 由克萊姆法則知方程組由克萊姆法則知方程組 (4-3) 的解存在唯一的解存在唯一. 證畢。證畢。

7、 考慮最簡單、最基本的插值問題考慮最簡單、最基本的插值問題.求求n次插值多項式次插值多項式 l i(x) (i=0,1, ,n),使其滿足使其滿足插值條件插值條件0,()(0,1, )1,ijjil xjnji 4.2.1 基函數(shù)基函數(shù)可知可知, 除除 xi點外點外, 其余都是其余都是 li(x)的零點的零點, 故可設(shè)故可設(shè)0( )()()inl xA xxxx 11()()iixxxx 4.2 Lagrange(拉格朗日拉格朗日)插值插值其中其中A為常數(shù)為常數(shù), 由由li(xi)=1可得可得)()()(1110niiiiiixxxxxxxxA 稱之為稱之為拉格朗日基函數(shù)拉格朗日基函數(shù), 都是

8、都是n次多項式次多項式 。00()()( )()()(0,1, )niiinxxxxl xxxxxin 11()()iixxxx 11()()iiiixxxx 0( )()()inl xA xxxx 11()()iixxxx nijjjijxxxx0 n=1時的時的一次基函數(shù)一次基函數(shù)為為: 0 x1xy1 O x)(0 xl y 10 x1x)(1xlO x.)(,)(01011010 xxxxxlxxxxxl 如果已知函數(shù)如果已知函數(shù) f(x)在點在點x0和和x1點的函數(shù)值點的函數(shù)值 y0=f(x0)，y1=f(x1).求線性函數(shù)求線性函數(shù) L(x)=a0+ a1x使?jié)M足條件：使?jié)M足條件：

9、L(x0)=y0 , L(x1)=y1. .)()(001010 xxxxyyyxL 或用或用直線的兩點式表示為：直線的兩點式表示為：0011()()lxxlxx則則 稱稱 ： 叫叫 做做 點點的的 一一 次次 插插 值值 基基 函函 數(shù)數(shù) , ,為為 點點的的 一一 次次 插插 值值 基基 函函 數(shù)數(shù) . .插值基函數(shù)的特點插值基函數(shù)的特點： x0 0 x1 1l0 01 10 0l1 10 01 11x0 x1l0 0l1 1.)(,)(01011010 xxxxxlxxxxxl 記記.)(010110101xxxxyxxxxyxL 1200102()()( ),()()xxxxlxxxx

10、x n=2時的時的二次基函數(shù)二次基函數(shù)為為 : 0211012()()( ),()()xxxxlxxxxx 0122021()()( ).()()xxxxlxxxxx 0 01 10( )( )( )( )( )nnn ni iiLxy lxy l xy lxy l x 可知其滿足可知其滿足4.2.2 拉格朗日插值多項式拉格朗日插值多項式利用拉格朗日基函數(shù)利用拉格朗日基函數(shù)l i(x), 構(gòu)造次數(shù)構(gòu)造次數(shù)不超過不超過n的多項式的多項式njyxLjjn, 1 , 0)( )()(xLxPnn 稱為稱為拉格朗日插值多項式拉格朗日插值多項式,再再由插值多項式的唯一性由插值多項式的唯一性,得得 特別地

11、特別地, 當當 n =1時又叫時又叫線性插值線性插值,其幾何意義為其幾何意義為過兩點的直線過兩點的直線. 當當 n =2時又叫時又叫拋物（線）插值拋物（線）插值, 其幾其幾何意義為過三點的拋物線何意義為過三點的拋物線.1)(0 niixl注意注意 :對于插值節(jié)點對于插值節(jié)點,只要求它們只要求它們互異互異,與大小次序無關(guān)與大小次序無關(guān); 以以 xi (i=0,1,n)為插值節(jié)點為插值節(jié)點, 函數(shù)函數(shù) f(x) 1作插值多作插值多項式項式, 由插值多項式的唯一性即得由插值多項式的唯一性即得基函數(shù)的一個性質(zhì)基函數(shù)的一個性質(zhì)(2) 插值基函數(shù)插值基函數(shù)l i(x) 僅由插值節(jié)點僅由插值節(jié)點xi (i=

12、0,1, ,n)確定確定, 與被插函數(shù)與被插函數(shù) f(x)無關(guān)無關(guān);1)(0 niixl這是因為若取這是因為若取 (x)=xk (k=0,1,n),由插值多項式的唯由插值多項式的唯一性有一性有0( ),0,1,nkkiiil x xxkn 特別當特別當 k=0 k=0 時時, ,就得到就得到所以所以019141( )(9), ( )(4)495945xxlxxlxx 10 01 111( )( )( )2(9)3(4)55L xy lxy lxxx 1137(7)2.65L01,4,9,yx xx 7例例1 已知已知 用線性插值用線性插值(即一次插即一次插值多項式值多項式)求求 的近似值。的近

13、似值。012,3,yy 基函數(shù)分別為基函數(shù)分別為:解解插值多項式為插值多項式為23(9)(4)55xx 1(6)5x( )4, 3, 1, 13210 xxxx)4)(3)(1(401)41)(31)(11()4)(3)(1()(0 xxxxxxxl)4)(3)(1(121)41)(31)(11()4)(3)(1()(1 xxxxxxxl)4)(1)(1(81)43)(13)(13()4)(1)(1()(2 xxxxxxxl)3)(1)(1(151)34)(14)(14()3)(1)(1()(3 xxxxxxxl例例2 求過點求過點(- -1,- -2), (1,0), (3,- -6), (

14、4,3)的拋物線插值的拋物線插值(即即三次插值多項式三次插值多項式).解解 以以以為節(jié)點的基函數(shù)以為節(jié)點的基函數(shù)分別為分別為:)()()()()(332211003xlyxlyxlyxlyxL ) 3)(1)(1(1513)4)(1)(1(81)6()4)(3)(1(1210)4)(3)(1(401) 2( xxxxxxxxxxxx)3)(1)(1(51)4)(1)(1(43)4)(3)(1(201 xxxxxxxxx3423 xx()則拉格朗日則拉格朗日的三次插值多項式為的三次插值多項式為 截斷誤差截斷誤差Rn(x)=f (x) Ln(x)也稱為也稱為n n次次Lagrange插插值多項式的

15、余項值多項式的余項。以下為。以下為拉格朗日余項定理拉格朗日余項定理。 定理定理2 設(shè)設(shè) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a ,b上存在上存在 n+1 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), xi a, b (i=0,1, , n) 為為 n+1個互異節(jié)點個互異節(jié)點, 則對任何則對任何x a ,b, 有有(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn 4.2.3 插值余項插值余項( , )a b 且與且與x有關(guān)有關(guān))10( )()nniixxx 其其中中證證 由插值條件和由插值條件和 n+1(x) 的定義的定義, 當當x=xk 時時 , 式子顯式子顯然成立然成立, 并且有并且有 n+1(xk)

16、=0 ( k=0,1,n ), 這表明這表明x0 , x1, , xn 都是函數(shù)都是函數(shù)Rn(x)的零點的零點, 從而從而 Rn(x)可表示為可表示為 1( )( )( )( )( )nntf tL tK xt (1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn 1( )( )( )( )( )nnnRxf xLxK xx 其中其中K(x)是是待定函數(shù)待定函數(shù)。 對于對于任意固定的任意固定的x a,b, x xk ,構(gòu)造自變量構(gòu)造自變量 t 的輔的輔助函數(shù)助函數(shù)1( )( )( )( )( )nntf tL tK xt 由式由式 n+1(xk)=0 和式和式 Ln(

17、xk)=yk ( k=0,1,n ),以及以及1( )( )( )( )( )nnnRxf xLxK xx 可知：可知：x0 , x1, , xn 和和 x 是是 (t) 在區(qū)間在區(qū)間a,b上的上的 n+2個個互異零點互異零點, 因此根據(jù)羅爾因此根據(jù)羅爾 (Rolle) 定理定理, 至少存在一點至少存在一點 = (x) (a,b),使使 (1)( )0n (1)( )( )(1)!nfK xn 即即(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnfR xf xL xxn 所以所以估計誤差式：估計誤差式：),(, )()!1()(01baxxxnMxRniinn 或或),(, )(max)

18、!1()(01baxxxnMxRniibxann 。其中：其中：)(max)1(1xfMnbxan niinnnxxnfxLxfxR0) 1()()!1()()()()( 25. 0)4(, 4 . 0)5 . 2(, 5 . 0)2(210 fyfyfy)45 . 2)(25 . 2()4)(2(4 . 0)42)(5 . 22()4)(5 . 2(5 . 0)(2 xxxxxL)5 . 24)(24()5 . 2)(2(25. 0 xx15. 1425. 005. 02 xx,1)(xxf ，節(jié)節(jié)點點4, 5 . 2, 2210 xxx)(xf求求的拋物插值多項式的拋物插值多項式,且計算且計算f (3)的近似值并估計誤差。的近似值并估計誤差。例例3 設(shè)設(shè)解解 插值多項式為插值多項式為,6)(4xxf