121任意角的三角函數(shù)2016

1、1.2.11.2.1任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？sincostancacbba復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧OabMPcOabMPyx在直角坐標系中如何用坐標表示銳角三角函數(shù)？在直角坐標系中如何用坐標表示銳角三角函數(shù)？新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入22:OMxMPyOPrxy其中yx在直角坐標系中如何用坐標表示銳角三角函數(shù)？在直角坐標系中如何用坐標表示銳角三角函數(shù)？cosOMxOPrsinMPyOPrtanMPyOMx,P x yMo如果改變點在終邊上的位置，這三個比值會改如果改變點在終邊上的位置，這三個比值會改變嗎？變嗎？PMOPMPsinOP

2、OMcosOMMPtanOMPPMOPOPMPOOMMOPM誘思探究誘思探究MOyxP(x,y)OPMPsinOPOMcosOMMPtan，則若1 rOPyxyxyOP( , )x yx1M任意角的三角函數(shù)定義任意角的三角函數(shù)定義 設(shè)設(shè) 是一個任意角是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點它的終邊與單位圓交于點),(yxP 正弦正弦,余弦余弦,正切都是以正切都是以角為自角為自變量變量,以以單位圓單位圓上點的上點的坐標或坐標或坐標的比值坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)為函數(shù)值的函數(shù),我們將他們稱為我們將他們稱為三角函數(shù)三角函數(shù).(1) 叫做叫做 的正弦的正弦,記作記作 ,即即 ；ysinysin那么那么:(

3、2) 叫做叫做 的余弦的余弦,記作記作 ,即即 ；xcosxcos(3) 叫做叫做 的正切的正切,記作記作 ,即即 xytan)0(tanxxyy),(yxPyx)0 , 1 (AO),(yxP 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ry 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos設(shè)角設(shè)角 是一個任意角，是一個任意角， 是終邊上異于原點是終邊上異于原點的任意一點，點的任意一點，點 與原點的距離與原點的距離 022yxrP定義推廣定義推廣那么那么: : 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即xy0tanxxy任意角任意角 的三角函數(shù)的三角函數(shù)值僅與值僅與 有關(guān)，而

4、與有關(guān)，而與點點 在角的終邊上的在角的終邊上的位置無關(guān)位置無關(guān).P),(yxPyxOr任意角的三角函數(shù)的定義過程：任意角的三角函數(shù)的定義過程：直角三角形中定義銳角三角函數(shù)直角三角形中定義銳角三角函數(shù) 直角坐標系中定義銳角三角函數(shù)直角坐標系中定義銳角三角函數(shù) 單位圓中定義銳角三角函數(shù)單位圓中定義銳角三角函數(shù) 單位圓中定義任意角的三角函數(shù)單位圓中定義任意角的三角函數(shù) 一般圓中定義銳角三角函數(shù)一般圓中定義銳角三角函數(shù) 例例1.求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：解：在直角坐標系中，作在直角坐標系中，作 AOB，易知，易知 的終邊與單位圓的交點坐標為的終邊與單位圓的交點坐

5、標為 13( ,).22所以所以 53sin,32 51cos,325tan3.3 xyoAB355) 4() 3(220OP解解:由已知可得由已知可得設(shè)角設(shè)角 的終邊與單位圓交于的終邊與單位圓交于 ，),(yxP分別過點分別過點 、 作作 軸的垂線軸的垂線 、0PMPP00PMx400PM 于是，于是， ;54|1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxx34cossintanxy4, 30P0MOyxMyxP ,的正弦、余弦、正切值求角的終邊經(jīng)過點已知角例),4, 3(. 2PP 3 ,4aa aa變式.已知角 的終邊上一點R

6、且0 ，sin,cos,tan求角 的的值.3 ,4 ,xa ya解：由于223450raaa a所以 105 ,ara若則于是334433sin,cos,tan555544aaaaaa 205 ,ara 若則于是32sin ,cos ,tan.yx、已知角 的終邊在直線上，求角 的的值 1解： 當(dāng)角 的終邊在第一象限時，221,2125在角 的終邊上取點，則r=22 5152sin,cos,tan255155 2當(dāng)角 的終邊在第三象限時，221, 2125r 在角 的終邊上取點，則22 5152sin,cos,tan255155 變式1.根據(jù)三角函數(shù)的定義根據(jù)三角函數(shù)的定義,確定它們的定義域

7、確定它們的定義域 （弧度制）（弧度制）三角函數(shù)三角函數(shù)定義域定義域sincostanR)(2Zkk2.確定三角函數(shù)值在各象限的符號確定三角函數(shù)值在各象限的符號yxosinyxocosyxotan+（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）R+-+-+-+-三角函數(shù)定義域與取值符號三角函數(shù)定義域與取值符號 例例3 求證：當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時，求證：當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時， 角角 為第三象限角為第三象限角. 證明：證明： 因為因為式式 成立成立,所以所以 角的終邊可能位于第三角的終邊可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 軸的非正半軸上；軸的

8、非正半軸上；0sin 又因為又因為式式 成立，所以角成立，所以角 的終邊可能位于的終邊可能位于第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因為因為式都成立，所以角式都成立，所以角 的終邊只能位于第三象限的終邊只能位于第三象限.于是角于是角 為第三象限角為第三象限角.反過來請同學(xué)們自己證明反過來請同學(xué)們自己證明.如果兩個角的終邊相同，那么這兩個角的如果兩個角的終邊相同，那么這兩個角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？ 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）其中其中 例例4 確定下列三角函數(shù)值的符號：確定下列三角函數(shù)值的符號： （1） （2） （3）解：解：（1）因為）因為 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；2500250cos（2）因為）因為 = ， 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 ；)672tan(48tan)360248tan(0)672tan(48 （3）因為）因為 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 .404sin例例5 求下列三角函數(shù)值：求下列三角函數(shù)值： （1） （2） 解：（解：（1） （2）1. 內(nèi)容總結(jié)：內(nèi)容總結(jié)： 三角函數(shù)的概念三角函數(shù)的概念.三角函數(shù)的定義域及三角函數(shù)值在各象限的