物理實驗數(shù)據(jù)處理的基本方法

1、1 引言物理學(xué)的理論是通過觀察、實驗、抽象、假說等研究方法，并通過實驗建立起來的。所以，物理學(xué)從根本上講是一門實驗科學(xué)， 科學(xué)實驗在物理學(xué)的形成和發(fā)展中處于主導(dǎo)地位。 在物理學(xué)的發(fā)展中，人類積累了豐富的實驗方法， 創(chuàng)造出各種精密的儀器設(shè)備， 促進了物理實驗技術(shù)的提高。 物理實驗中的研究方法、 觀察與分析手段、 各種常規(guī)和精密的儀器設(shè)備在現(xiàn)代科學(xué)和工程實踐中均具有極大的普遍性、綜合性、多樣性和廣延性，促進了物理學(xué)的發(fā)展、自然科學(xué)的變革、以及工業(yè)技術(shù)的革命。物理實驗是人為地創(chuàng)造出一種條件，按照預(yù)定計劃， 以確定順序重現(xiàn)一系列物理過程或物理現(xiàn)象，其目的不僅要讓學(xué)生受到嚴格的、系統(tǒng)的物理實驗技能訓(xùn)練，

2、掌握物理科學(xué)實驗的基本知識、方法和技術(shù)， 更重要的是要培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)目茖W(xué)思維能力和創(chuàng)新精神，培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實際、 分析和解決問題的能力。科學(xué)實驗的目的是為了找出事物的內(nèi)在規(guī)律，或檢驗?zāi)撤N理論的正確性， 或準備作為以后實踐工作的依據(jù)。在物理實驗中， 我們要對一些物理量進行測量，得到與之相關(guān)的數(shù)據(jù)，而對實驗數(shù)據(jù)進行記錄、整理、計算、作圖和分析，去粗取精，去偽存真，得到最終結(jié)論和實驗規(guī)律的過程稱為數(shù)據(jù)處理。數(shù)據(jù)處理是否科學(xué)， 決定科學(xué)結(jié)論能否建立與推廣，它是物理實驗教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生實驗?zāi)芰退刭|(zhì)的重要環(huán)節(jié)。 數(shù)據(jù)處理的中心內(nèi)容是估算待測量的最佳值，估算測量結(jié)果的不確定度或?qū)で蠖鄠€待測量間的函數(shù)關(guān)系。

3、不會處理數(shù)據(jù)或數(shù)據(jù)處理方法不當，就得不到正確的實驗結(jié)果。由此可知，數(shù)據(jù)處理在整個實驗過程中有著舉足輕重的地位。在物理實驗中常用的數(shù)據(jù)處理方法有列表法、作圖法、圖解法、逐差法和最小二乘法 （直線擬合） 等，下面就各方法的內(nèi)容作詳細的介紹。2 列表法列表法的基本概述列表法就是將實驗中測量的數(shù)據(jù)、計算過程數(shù)據(jù)和最終結(jié)果等以一定的形式和順序列成表格。列表法是記錄和處理數(shù)據(jù)的基本方法， 也是其他數(shù)據(jù)處理方法的基礎(chǔ)， 一個好的數(shù)據(jù)處理表格， 往往就是一份簡明的實驗報告。 實驗數(shù)據(jù)既可以是同一個物理量的多次測量值及結(jié)果， 也可以是相關(guān)幾個量按一定格式有序排列的對應(yīng)的數(shù)值。 在實驗過程中， 對一個物理量進行多

4、次測量或研究幾個量之間的關(guān)系時， 我們往往借助的就是列表法進行數(shù)據(jù)處理。 然而，表格的格式需要按照不同的實驗事先設(shè)計，一般要求把各個自變量 ( 實驗中測量的量 ) 數(shù)據(jù)、計算過程數(shù)值、因變量數(shù)值、 最后結(jié)果按照一定的順序列成兩維表格。可以采用首行是符號欄，首列是序號欄，其余是數(shù)據(jù)欄的格式。根據(jù)需要還可以列出除原始數(shù)據(jù)以外的計算欄目和統(tǒng)計欄目等。列表法的優(yōu)點列表法簡單易行，結(jié)構(gòu)緊湊、條目清晰，既可以簡明地反映有關(guān)量之間的函數(shù)關(guān)系，便于及時檢查和發(fā)現(xiàn)實驗中存在的問題，判斷測量結(jié)果的合理性； 又有助于分析實驗結(jié)果， 找出有關(guān)物理量之間存在的規(guī)律性聯(lián)系，進而求出經(jīng)驗公式。不僅如此，列表還可以提高處理數(shù)

5、據(jù)的效率，減少和避免差錯。根據(jù)需要，把某些計算中間項列出來，不但有利于進行有效數(shù)字的簡化處理，避免不必要的重復(fù)計算； 還能隨時與原始數(shù)據(jù)進行核對，判斷運算是否有錯。所以，設(shè)計一個簡明醒目、合理美觀的數(shù)據(jù)表格，是每一位學(xué)生都要掌握的基本技能。列表法遵循的原則列表雖然沒有統(tǒng)一的格式，但所設(shè)計的表格要能充分反映上述優(yōu)點，應(yīng)遵循以下原則:1. 表的上方應(yīng)有表頭，寫明所列表格的名稱 ;2. 標題欄目要簡單明了、分類清楚，便于顯示有關(guān)物理量之間的關(guān)系;3. 各欄目 ( 縱或橫 ) 均應(yīng)注明所記錄的物理量的名稱及單位， 若名稱用自定義符號， 則應(yīng)加以說明;4. 欄目的順序應(yīng)充分注意數(shù)據(jù)間的聯(lián)系和計算順序，力

6、求簡明、齊全、有條理；5. 列表中的數(shù)據(jù)主要應(yīng)是原始測量， 數(shù)據(jù)不應(yīng)隨便涂改， 處理過程中的一些重要的中間計算結(jié)果也應(yīng)列入表中 ;6. 對數(shù)據(jù)的表格，應(yīng)提供必要的說明和參數(shù)，包括表格名稱、主要測量儀器的規(guī)格 ( 型號、量程、準確度級別或最大允許誤差等 ) 、有關(guān)環(huán)境參數(shù)等 ;7. 必要時附加說明?？偠灾?，列表的過程就是整理實驗思緒的過程，只有在清楚了解并通盤考慮實驗?zāi)康摹⒃?、方法、步驟以及誤差處理要求的基礎(chǔ)上，才能列出科學(xué)、合理、實用、方便的數(shù)據(jù)處理表格。例 測量電阻的伏安特性，記錄數(shù)據(jù)如下表：表測電阻伏安特性數(shù)據(jù)記錄表序234567811191號0V/ VI/ mA3. 作圖法作圖法的基

7、本概述物理實驗中測得的各物理量之間的關(guān)系， 可以用函數(shù)式表示， 也可以用各種圖線表示， 后者稱為實驗數(shù)據(jù)的圖線表示法。 實驗產(chǎn)生的大量數(shù)據(jù)其相互之間的關(guān)系不是很直觀， 僅僅通過這些數(shù)據(jù)的觀察是難以把握它們之中所蘊涵的科學(xué)內(nèi)涵的。 然而通過動手作圖能有效地幫助人們形象地， 有聯(lián)系地“看到”這些數(shù)據(jù)，從而更有效地進行處理分析與推理，這正是數(shù)據(jù)的可視化。它把形象思維和邏輯思維有機地聯(lián)系在一起， 從而達到啟迪思維、 促進科學(xué)創(chuàng)新的目的。 工程師和科學(xué)家一般對定量的圖線很感興趣， 因為定量圖線的形象直觀、 一目了然，不僅能簡明地顯示物理量之間的相互關(guān)系、變化趨勢，而且能方便地找出函數(shù)的極大值、極小值、轉(zhuǎn)

8、折點、周期和其他奇異性，特別是對那些尚未找到適當解析函數(shù)表達式的實驗結(jié)果， 可以從圖示法所畫出的圖線中去尋找相應(yīng)的經(jīng)驗公式，從而提出物理量之間的變化規(guī)律。作圖法的優(yōu)點利用作圖分析物理量之間的關(guān)系有以下優(yōu)點：作圖法具有簡明、直觀、形象地顯示物理量之間關(guān)系的特點。尤其是對多條圖線進行比較時，比列表法更形象?？梢愿鶕?jù)圖線的形狀和變化趨勢分析研究物理量之間的變化規(guī)律，找出相互對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，甚至外推某些規(guī)律或得到所求的參量?？梢宰鞒鰞x器的校準曲線。曲線改值。在用圖像法處理實驗數(shù)據(jù)時，物理量之間可能存在各種各樣的函數(shù)關(guān)系。如果通過適當?shù)淖鴺俗儞Q，將物理量之間的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)關(guān)系，則圖像將由曲線

9、轉(zhuǎn)化為直線。這樣物理量之間的關(guān)系會變得更加直觀，研究問題的分析也會更加簡便。作圖法所遵循的規(guī)則作圖并不復(fù)雜，但對于許多學(xué)生來說，卻是一種困難的科學(xué)技巧，這是由于他們?nèi)狈镜挠?xùn)練，而在思想上對作圖又沒有足夠的重視所致。只要認真對待， 并遵循一定的作圖的一般規(guī)則進行一段時間的訓(xùn)練，是能夠繪制出相當好的圖線的。制作一副完整的、正確的圖線，其基本步驟包括：圖紙的選擇，坐標的分度和標記，標出每個實驗點，作出一條與許多實驗點基本符合的圖線，以及注解和說明等。圖紙的選擇作圖必須用坐標紙。 當決定了作圖的參量以后， 根據(jù)情況選擇直角坐標紙( 毫米方格紙 ) 、極坐標紙或其他坐標紙。直線是最容易繪制的圖線，

10、也便于使用， 所以在已知函數(shù)關(guān)系的情況下，作兩個變量之間的關(guān)系圖線時，最好通過適當?shù)淖儞Q將某種函數(shù)關(guān)系的曲線改為線性函數(shù)的直線。例如： yaxb ， y 與 x 為線性函數(shù)關(guān)系，所以選用直角坐標系就可以得直線。ya 1bu1x, 若令x ，則得 y au b ， y與 u 為線性函數(shù)關(guān)系，以 y、 u 作坐標時，在線性直角坐標紙上也是一條直線。 yax b ，取對數(shù) , 則 lg y lg a b lg x,lg y與 lg x 為線性函數(shù)關(guān)系，應(yīng)選用對數(shù)坐標紙，不必對 x、 y 作對數(shù)計算，就能得到一條直線。 yaebx ，取自然對數(shù)，則 ln y ln a bx ， ln y與 x 為線性

11、函數(shù)關(guān)系，應(yīng)選用半對數(shù)坐標紙。圖紙大小的選擇，原則上以不損失實驗數(shù)據(jù)的有效位數(shù)為原則并能包括所有實驗點作為選取圖紙大小的最低限度，即圖上的最小分格至少應(yīng)與實驗數(shù)據(jù)中最后一位準確數(shù)字相當。坐標的分度及標記對于直角坐標系，要以自變量為橫軸，以因變量為縱軸。用粗實線在坐標紙上描出坐標軸，標明其所代表的物理量（或符號）及單位，在軸上每隔一定間距標明該物理量的數(shù)值。坐標紙的大小及坐標軸的比例， 要根據(jù)測得值的有效數(shù)字和結(jié)果的需要來定。 原則上講，數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖中應(yīng)為可靠的， 而最后一位的估讀數(shù)在圖中亦是估計的， 即不能因作圖而引進額外的誤差。在坐標軸上每隔一定間距應(yīng)均勻地標出分度值，標記所有有效數(shù)

12、字位數(shù)應(yīng)與原始數(shù)字的有效位數(shù)相同，單位應(yīng)與坐標軸的單位一致。坐標的分度應(yīng)以不用計算便能確定各點的坐標為原則，為便于讀圖通常只用 1、 2、 5、 10 等進行分度，而不用 3、7 等進行分度。為了充分利用坐標紙并使圖線布局合理， 坐標分度不一定從零開始， 可以用低于原始數(shù)據(jù)的某一整數(shù)作為坐標分度的起點，高于測量所得最高值的某一整數(shù)作為終點，這樣的圖線就能充滿所選用的整個圖紙。（4）標實驗點用要根據(jù)所測得的數(shù)據(jù)， 用明確的符號準確地表明實驗點， 要做到不錯不漏。 常用的符號表示有“+”“×”“”“”等符號標出。若在同一圖紙上畫不同圖線， 標點應(yīng)該用不同符號， 以便區(qū)分。 同時應(yīng)在不同的

13、曲線旁邊上文字標注，以便識別。還可用不同顏色對不同的曲線加以區(qū)分。（5）連接實驗圖線把實驗點連接成圖線。由于每個實驗數(shù)據(jù)都有一定的誤差， 所以圖線不一定要通過每個實驗點。應(yīng)該按照實驗點的總趨勢，把實驗點連成光滑的曲線（儀表的校正曲線不在此列） ，使大多數(shù)的實驗點落在圖線上， 其他的點在圖線兩側(cè)均勻分布， 這相當于在數(shù)據(jù)處理中取平均值。 對于個別偏離圖線很遠的點，要重新審核，進行分析后決定是否應(yīng)剔除。在確信兩物理量之間的關(guān)系是線性的， 或所有的實驗點都在某一直線附近時， 將實驗點連成一直線。（6）注解和說明作完圖后，在圖的明顯位置上標明圖名、作者和作圖日期， 有時還要附上簡單的說明，如實驗條件等

14、，使讀者能一目了然，最后要將圖粘貼在實驗報告上。圖為銅絲電阻與溫度之間的關(guān)系曲線。圖 銅絲的電阻與溫度的關(guān)系曲線4 圖解法圖解法的概述利用已作好的圖線， 定量地求得待測量或得出經(jīng)驗公式，稱為圖解法。例如， 可以通過圖中直線的斜率或截距求得待測量的值； 可以通過內(nèi)插或外推求得待測量的值； 還可以通過圖線的漸近線，以及通過圖線的疊加、相減、相乘、求導(dǎo)、積分、求極值等來得出某些待測量的值。這里主要介紹直線圖解法求出斜率或截距，進而得出完整的直線方程，以及插值法求待測量的值。圖解法的步驟圖解法就是根據(jù)實驗數(shù)據(jù)作好的圖線，用解析法找出相應(yīng)的函數(shù)形式。實驗中經(jīng)常遇到的圖線是直線、拋物線、雙曲線、指數(shù)曲線、

15、對數(shù)曲線。特別是當圖線是直線時，采用此方法更為方便。一般步驟如下：（1）選點在直線上選兩點 A(x1,y1) 和 B(x2,y2) ，A、B 兩點一般不為實驗點。為了減小誤差， A、B 兩點應(yīng)相隔遠一些。 如果兩點太靠近， 計算斜率時會使結(jié)果的有效數(shù)字減少； 但也不能超出實驗數(shù)據(jù)的范圍以外，因為選這樣的點無實驗依據(jù)。用與表示實驗點不同的符號將 A、B 兩點在直線上標出，并在旁邊標明其坐標值。求斜率將 A、B 兩點的坐標值分別代入直線方程y kx b ，可解得斜率y2y1kx1x2（41）求截距如果橫坐標的起點為零， 則直線的截距可從圖中直接讀出；如果橫坐標的起點不為零，則可用下式計算直線的截距

16、：x2 y1x1 y2bx1x2（42）將求得的 k、b 的數(shù)值代入方程 ykx b 中，就得到經(jīng)驗公式。下面介紹用圖解法求2 個物理量線性的關(guān)系， 并用直角坐標紙作圖驗證歐姆定律。給定電阻為R=500，所得數(shù)據(jù)見表1-2 和圖 1-1 。表 1-1 驗證歐姆定律數(shù)據(jù)表次序次2345678119序0U/VI/mA求直線斜率和截距而得出經(jīng)驗公式時，應(yīng)注意以下兩點。第一，計算點只能從直線上取，不能選用實驗點的數(shù)據(jù)。從圖中不難看出， 如用實驗點 a、b來計算斜率，所得結(jié)果必然小于直線的斜率。 第二，在直線上選取計算點時，應(yīng)盡量從直線兩端取， 不應(yīng)選用兩個靠得很近的點。圖 0-2 中如選 c、d 兩點

17、，則因 c、d靠得很近， (I -I ) 及 (U -U ) 的有效數(shù)字位數(shù)會比圖 0-2電流與電壓關(guān)系實測得的數(shù)據(jù)少很多，這樣會使斜率k 的計算結(jié)果不精確。因此必須用直線兩端的A、B 兩點來計算，以保證較多的有效位數(shù)和盡可能高的精確度。計算公式為I AI B19.942.12 mAkU B =斜率U A10.001.00 V17.82 mA3=9.00 V=1.98101不難看出，將 UA-UB取為整數(shù)值可使斜率的計算方便得多。5 逐差法逐差法又稱逐差計算法， 是對等間隔測量的數(shù)據(jù)進行逐項或隔項相減來獲得實驗結(jié)果的數(shù)據(jù)處理方法。它計算簡便，既可以驗證函數(shù)的表達形式，又可以充分利用測量數(shù)據(jù)，及

18、時發(fā)現(xiàn)錯誤、總結(jié)規(guī)律，起到減小隨機誤差的作用。當兩個變量之間存在線性關(guān)系， 且自變量為等差級數(shù)變化的情況下， 常采用逐差法處理一元線性擬合問題。逐差法不像作圖法擬合直線那樣具有較大的隨意性， 且比最小二乘法計算簡單而結(jié)果相近，在物理實驗中是常用的數(shù)據(jù)處理方法。逐項逐差逐項逐差可以驗證線性函數(shù)。方法是：將對應(yīng)于各個自變量x i 的函數(shù)值 y i 逐項相減，如果相應(yīng)的各函數(shù)值逐項相減一次都得一常量，即說明y 是 x 的函數(shù)。對線性函數(shù)的驗證如下所述。當y ax b時，測得( xi , yi )，令xi x0i x，有對以上各方程逐差一次，得以上各式中的x 是自變量每次的增量，但由于x 是等間隔變化

19、的，所以 b x 為一恒量。因此，當各函數(shù)值的一次逐差結(jié)果都是恒量時，則函數(shù)是線性函數(shù)。隔項逐差隔項逐差是物理實驗中經(jīng)常采用的數(shù)據(jù)處理方法之一，該方法一般用于等間隔線性變化的測量中。根據(jù)誤差處理， 我們知道多次測量的算術(shù)平均值是測量的最佳值，為了減小隨機誤差， 在實驗過程中測量次數(shù)應(yīng)盡量多。 但在等間隔線性變化測量中， 如果仍用一般的求平均值的方法， 結(jié)果將發(fā)現(xiàn)只有第一次和最后一次測量值有用， 其中間值全部抵消了， 這樣就無法反映出多次測量能減小隨機誤差的優(yōu)點。為保持多次測量的優(yōu)點，應(yīng)采用隔項逐差的方法。該方法是： 將測得的數(shù)據(jù)按次序等分為前后兩組， 將后一組的第一項與前一組的第一項相減， 后

20、一組的第二項與前一組的第二項相減，再利用各項減項的差值求出被測量的算術(shù)平均值。一次逐差和二次逐差對多項式實施一次逐差處理， 即逐差一次，稱為一次逐差。在對多項式進行一次逐差之后， 再接著進行第二次逐差處理， 即逐差二次，二次逐差要在一次逐差的基礎(chǔ)上進行。 一次逐差用于線性函數(shù)的驗證與求值，二次逐差用于二次多項式的驗證與求值?，F(xiàn)僅對二次逐差作一簡單介紹。當y a bx cx2時，測得( xi , y i )，則可以推到其中 yiyi 1 yi 為一次逐差結(jié)果，x 為自變量每次變化值（為恒定值） ，故若發(fā)現(xiàn)二次逐差量為定值時，可說明y 是 x 的二次多項式。關(guān)于逐差法的說明(1) 在驗證函數(shù)表達式

21、的形式時， 要用逐項逐差， 不用隔項逐差， 這些可以檢驗每個數(shù)據(jù)點之間的變化是不是符合規(guī)律。(2) 在求某一物理量的算術(shù)平均值時， 要用隔項逐差， 不用逐項逐差； 否則只有首位兩項數(shù)據(jù)起作用，中間數(shù)據(jù)會相互消去而白白浪費。(3) 一次逐差用于線性函數(shù)，二次逐差用于二次多項式。(4) 在工科物理教學(xué)實驗中所用到的逐差法， 大多為線性函數(shù)的求值問題， 因此，對一次隔項逐差求算術(shù)平均值的方法，應(yīng)當牢固掌握、熟練運用。(5) 逐差法只適用于自變量 x 為等間隔變化而函數(shù) y 為線性函數(shù)或多項式形式的函數(shù)。 后者需用多次逐差，一般用來驗證多項式形式的函數(shù)關(guān)系逐差法的局限性逐差法有其局限性，如非線性函數(shù)線

22、性化以后，如果原來各個數(shù)據(jù)是等精度的，經(jīng)過函數(shù)變換以后可能成為非等精度的，此時用逐差法處理數(shù)據(jù)就是要考慮這個問題；其次，用逐差法求多項式的系數(shù)時， 是先得求出最高次項系數(shù)， 再逐步推其低次項系數(shù)， 而高次項系數(shù)是經(jīng)n 次逐差而得到的，在某些情況下可以較準確，而在許多情況下往往是不太準確的。由于誤差的傳遞， 低次項系數(shù)的精確度就更差了。因此，逐差法處理數(shù)據(jù)除一次項逐差法外，較少求低次項系數(shù)。但是，由于逐差法只是需要用簡單的代數(shù)運算就可以進行計算，其處理方法的物理內(nèi)涵明確，方法簡單易懂。 因此，作為基本的實驗數(shù)據(jù)處理方法的訓(xùn)練內(nèi)容，在基礎(chǔ)物理實驗中還是一種良好的處理方法。在拉伸法測量鋼絲的楊氏彈性

23、模量實驗中，已知望遠鏡中標尺讀數(shù)x 和加砝碼質(zhì)量 m之間滿足線性關(guān)系 m=kx，式中 k 為比例常數(shù)，現(xiàn)要求計算k 的數(shù)值，見表 1-2表 1-2次12序345678910m/kgx/cm如果用逐項相減，然后再計算每增加砝碼標尺讀數(shù)變化的平均值xi，即nxixi = i 1nx2x1x3 x2x10 x9=9x10x121.4715.95=9=9=(cm)于是比例系數(shù)xik= m =(cm/kg)= × 10 2(m/kg)這樣中間測量值 x9 ， x8， x2全部未用，僅用到了始末 2 次測量值 x10和 x1 ，它與一次增加 9 個砝碼的單次測量等價。 若改用多項間隔逐差， 即將

24、上述數(shù)據(jù)分成后組 ( x10，x9 ，x8 ，x7 ，x6 ) 和前組 ( x5， x4， x3， x2， x1) ，然后對應(yīng)項相減求平均值，即x10x5x9 x4x8x3x7 x2x6 x1x5 =511= 5 5 （） =(cm)于是，x53.06k= 5m = 50.500 =(cm/kg)= × 10 2 (m/kg)x5 是每增加5 個砝碼，標尺讀數(shù)變化的平均值。這樣全部數(shù)據(jù)都用上，相當于重復(fù)測量了5次。應(yīng)該說，這個計算結(jié)果比前面的計算結(jié)果要準確些，它保持了多次測量的優(yōu)點，減少了測量誤差。5 最小二乘法 ( 線性回歸 )由一組實驗數(shù)據(jù)擬合出一條最佳直線，常用的方法是最小二乘法。設(shè)物理量y 和 x 之間的滿足線性關(guān)系，則函數(shù)形式為最小二乘法就是要用實驗數(shù)據(jù)來確定方程中的待定常數(shù)a 和 b ，即直線的斜率和截距。我們討論最簡單的情況， 即每個測量值都+是等精度的，且假定 x 和 y 值中只有 y 有明顯的測量隨機誤差。如果 x 和 y均有誤差，只要把誤差相對較小的變量作為x+即可。由實驗測量得到一組數(shù)據(jù)為( xi , yi ;i1,2,n) ，其中+xxi 時對應(yīng)的yyi 。由于測量總是有誤差的，我們將這些+誤差歸結(jié)為yi的測量偏差，并記為1 ， 2，n ，見圖+5-1 。這樣，將實驗數(shù)據(jù) (xi , yi ) 代入方程 ya b