復變函數(shù)1-5 習題課

1、2一、重點與難點一、重點與難點重點：重點：難點：難點：1. 復數(shù)運算和各種表示法復數(shù)運算和各種表示法2. 復變函數(shù)以及映射的概念復變函數(shù)以及映射的概念1. 復數(shù)方程表示曲線以及不等式表示區(qū)域復數(shù)方程表示曲線以及不等式表示區(qū)域2. 映射的概念映射的概念3二、內(nèi)容提要二、內(nèi)容提要復數(shù)復數(shù)復變函數(shù)復變函數(shù)極限極限連續(xù)性連續(xù)性代數(shù)運算代數(shù)運算乘冪與方根乘冪與方根復數(shù)表示法復數(shù)表示法幾何表示法幾何表示法 向量表示法向量表示法三角及指數(shù)表示法三角及指數(shù)表示法復球面復球面復平面復平面擴充擴充曲線曲線與區(qū)域與區(qū)域判別定理判別定理極限極限的計算的計算4 1.1.復數(shù)的概念復數(shù)的概念. , 為復數(shù)為復數(shù)或或我們稱

2、我們稱對于任意兩實數(shù)對于任意兩實數(shù)iyxzyixzyx , , 的實部和虛部的實部和虛部分別稱為分別稱為其中其中zyx).Im(),Re( zyzx 記作記作 ; , 0 , 0 稱為純虛數(shù)稱為純虛數(shù)時時當當iyzyx . ,0 , 0 xixzy我們把它看作實數(shù)我們把它看作實數(shù)時時當當 . 0,0, 0 zyx 時時當當5, 222111iyxziyxz 設(shè)兩復數(shù)設(shè)兩復數(shù)1) 兩復數(shù)的和兩復數(shù)的和).()(212121yyixxzz 2) 兩復數(shù)的積兩復數(shù)的積).()(2112212121yxyxiyyxxzz 3)兩復數(shù)的商兩復數(shù)的商.222221122222212121yxyxyxiyx

3、yyxxzz 2. 復數(shù)的代數(shù)運算復數(shù)的代數(shù)運算64)共軛復數(shù)共軛復數(shù) , zz 共軛的復數(shù)記為共軛的復數(shù)記為與與. , iyxziyxz 則則若若 實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復數(shù)稱為共軛復數(shù)個復數(shù)稱為共軛復數(shù). .共軛復數(shù)的性質(zhì)共軛復數(shù)的性質(zhì);)1(2121zzzz ;2121zzzz ;2121zzzz ;)2(zz ;)Im()Re()3(22zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 7 3. 3.復數(shù)的其它表示法復數(shù)的其它表示法. . , , , . ),( 面面面叫復平面叫復平這種用來表示復數(shù)的平這種用來表示復數(shù)的平軸軸叫

4、虛軸或叫虛軸或縱軸縱軸軸軸通常把橫軸叫實軸或通常把橫軸叫實軸或用來表示復數(shù)用來表示復數(shù)的平面可以的平面可以一個建立了直角坐標系一個建立了直角坐標系因此因此對應對應成一一成一一與有序?qū)崝?shù)對與有序?qū)崝?shù)對復數(shù)復數(shù)yxyxiyxz . ),( 表示表示面上的點面上的點可以用復平可以用復平復數(shù)復數(shù)yxiyxz ),(yx xyxyoiyxz （1 1）幾何表示法）幾何表示法8（2 2）向量表示法）向量表示法., ,來表示來表示也可用向量也可用向量復數(shù)復數(shù)因此因此平面向量成一一對應平面向量成一一對應的的指向點指向點與從原點與從原點復數(shù)復數(shù)在復平面上在復平面上OPziyxzz ),(yxP xyxyoiyx

5、z rz 復數(shù)的模復數(shù)的模(或絕對值或絕對值) , 的?；蚪^對值的模或絕對值向量的長度稱為向量的長度稱為 z. 22yxrz 記為記為9 模的性質(zhì)模的性質(zhì), zx , zy ,yxz .22zzzz ;) 1 (2121zzzz .)2(2121zzzz 三角不等式三角不等式復數(shù)的輻角復數(shù)的輻角 ., 0,0而輻角不確定而輻角不確定時時當當 zz.0有無窮多個輻角有無窮多個輻角任何一個復數(shù)任何一個復數(shù) z , 1是其中一個輻角是其中一個輻角如果如果 的全部輻角為的全部輻角為那么那么z).( 2Arg1為任意整數(shù)為任意整數(shù)kkz . Arg , , , 0 zzOPzz記作記作的輻角的輻角稱為稱

6、為為終邊的角的弧度數(shù)為終邊的角的弧度數(shù)的向量的向量以表示以表示以正實軸為始邊以正實軸為始邊的情況下的情況下在在10.arg , Arg , )0( 000zzz 記作記作的主值的主值稱為稱為的的把滿足把滿足的輻角中的輻角中在在 . 0, 0, 0, 0,arctan, 0, 0,2, 0,arctanargyxyxxyyxxxyz輻角的主值輻角的主值0 z)2arctan2( xy其中其中輻角的主值輻角的主值11 （3）三角表示法）三角表示法利用歐拉公式利用歐拉公式,sincos iei 復數(shù)可以表示成復數(shù)可以表示成 irez 稱為復數(shù)稱為復數(shù) z 的指數(shù)表示式的指數(shù)表示式.（4）指數(shù)表示法）

7、指數(shù)表示法利用直角坐標與極坐標的關(guān)系利用直角坐標與極坐標的關(guān)系 ,sin,cos ryrx復數(shù)可以表示成復數(shù)可以表示成)sin(cos irz 12 4.復數(shù)的乘冪與方根復數(shù)的乘冪與方根 1) 乘積與商乘積與商 兩個復數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積兩個復數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積; 兩個復數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和兩個復數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和.,sin(cos1111）若若 irz ,sin(cos2222） irz )sin()cos(21212121 irrzz.ArgArg)(Arg2121zzzz 則有則有13 幾何意義幾何意義復數(shù)相乘就是把模相乘復數(shù)相乘就是把模相乘, ,

8、 輻角相加輻角相加. . , 2倍倍再把它的模擴大到再把它的模擴大到 r從幾何上看從幾何上看, 兩復數(shù)對應的向量分別為兩復數(shù)對應的向量分別為 , ,21zz , 21 旋轉(zhuǎn)一個角旋轉(zhuǎn)一個角按逆時針方向按逆時針方向先把先把 z . 21zzz 就表示積就表示積所得向量所得向量 2 oxyr2r1r 2z1 1z z14 兩個復數(shù)的商的模等于它們的模的商兩個復數(shù)的商的模等于它們的模的商; 兩個兩個復數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差復數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.,1212zzzz .ArgArgArg1212zzzz 的指數(shù)形式分別為的指數(shù)形式分別為和和設(shè)復數(shù)設(shè)復數(shù)21zz,111

9、 ierz .)(121212 ierrzz則則,222 ierz ,sin(cos1111）若若 irz ,sin(cos2222） irz 則有則有15 2) 冪與根冪與根(a) n次冪次冪:, , nznzzn記作記作次冪次冪的的的乘積稱為的乘積稱為個相同復數(shù)個相同復數(shù). 個個nnzzzz . )sin(cos , ninrznnn 有有對于任何正整數(shù)對于任何正整數(shù).1 , nnzzn 有有為負整數(shù)時為負整數(shù)時.ArgArg,znzzznnn 因而有因而有16.sincos)sin(cos ninin . , (c)為已知復數(shù)為已知復數(shù)其中其中的根的根計算方程計算方程zwzwn nkin

10、krzwnn2sin2cos1 )1, 2 , 1 , 0( nk (b)(b)棣莫佛公式棣莫佛公式.,個頂點個頂點邊形的邊形的的圓的內(nèi)接正的圓的內(nèi)接正為半徑為半徑個值就是以原點為中心個值就是以原點為中心的的在幾何上在幾何上nnrnznn17 5.復球面與擴充復平面復球面與擴充復平面南極、北極的定義南極、北極的定義 , 0 的球面的球面點點取一個與復平面切于原取一個與復平面切于原 z , 與原點重合與原點重合球面上一點球面上一點 S , NS點點直線與球面相交于另一直線與球面相交于另一作垂直于復平面的作垂直于復平面的通過通過 . , 為南極為南極為北極為北極我們稱我們稱SNxyPNOS(1)

11、復球面復球面18 球面上的點球面上的點, 除去北極除去北極 N 外外, 與復平面內(nèi)與復平面內(nèi)的點之間存在著一一對應的關(guān)系的點之間存在著一一對應的關(guān)系. 我們可以用我們可以用球面上的點來表示復數(shù)球面上的點來表示復數(shù).我們規(guī)定我們規(guī)定: 復數(shù)中有一個唯一的復數(shù)中有一個唯一的“無窮大無窮大”與與復平面上的無窮遠點相對應復平面上的無窮遠點相對應, 記作記作. 因而球面上因而球面上的北極的北極 N 就是復數(shù)無窮大的幾何表示就是復數(shù)無窮大的幾何表示. 球面上的每一個點都有唯一的復數(shù)與之球面上的每一個點都有唯一的復數(shù)與之對應對應, 這樣的球面稱為這樣的球面稱為復球面復球面. 復球面的定義復球面的定義19包括

12、無窮遠點在內(nèi)的復平面稱為擴充復平面包括無窮遠點在內(nèi)的復平面稱為擴充復平面.不包括無窮遠點在內(nèi)的復平面稱為有限復平面不包括無窮遠點在內(nèi)的復平面稱為有限復平面, , 或簡稱復平面或簡稱復平面. .對于復數(shù)對于復數(shù)來說來說, 實部實部,虛部虛部,輻角等概念均無意輻角等概念均無意義義, 它的模規(guī)定為正無窮大它的模規(guī)定為正無窮大. : 的四則運算規(guī)定如下的四則運算規(guī)定如下關(guān)于關(guān)于 )(, : )( 加法加法a)(, : )( 減法減法b)0(, : )( 乘法乘法c)0( ,0),( , 0 : )( 除法除法d (2) (2) 擴充復平面的定義擴充復平面的定義20 6.曲線與區(qū)域曲線與區(qū)域（1 1）鄰

13、域）鄰域. : )( , 000的鄰域的鄰域內(nèi)部的點的集合稱為內(nèi)部的點的集合稱為的圓的圓為半徑為半徑任意的正數(shù)任意的正數(shù)為中心為中心平面上以平面上以zzzz . 0 00的去心鄰域的去心鄰域所確定的點的集合稱為所確定的點的集合稱為不等式不等式zzz （2 2）內(nèi)點）內(nèi)點. , , . , 000的內(nèi)點的內(nèi)點稱為稱為那末那末于于該鄰域內(nèi)的所有點都屬該鄰域內(nèi)的所有點都屬的一個鄰域的一個鄰域存在存在如果如果中任意一點中任意一點為為為一平面點集為一平面點集設(shè)設(shè)GzGzGzG21 如果如果 G 內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點, ,那末那末G 稱為稱為開集開集. .(4) (4) 區(qū)域區(qū)域 如果

14、平面點集如果平面點集D滿足以下兩個條件滿足以下兩個條件, , 則稱則稱它為一個區(qū)域它為一個區(qū)域. . (a) D是一個是一個開集開集； (b) D是是連通的連通的, ,即即D中任何兩點都可以用完全中任何兩點都可以用完全屬于屬于D的一條折線連結(jié)起來的一條折線連結(jié)起來.(3) (3) 開集開集22(5) (5) 邊界點、邊界邊界點、邊界 設(shè)設(shè)D是復平面內(nèi)的一個區(qū)域是復平面內(nèi)的一個區(qū)域, ,如果點如果點P P 不屬不屬于于D, 但在但在P P 的任意小的鄰域內(nèi)總有的任意小的鄰域內(nèi)總有D中的點中的點,這這樣的樣的P P點我們稱為點我們稱為D的的邊界點邊界點. (7) (7)有界區(qū)域和無界區(qū)域有界區(qū)域和

15、無界區(qū)域. , , 0, , 界的界的否則稱為無否則稱為無稱為有界的稱為有界的那末那末點都滿足點都滿足使區(qū)域的每一個使區(qū)域的每一個即存在即存在為中心的圓里面為中心的圓里面點點可以被包含在一個以原可以被包含在一個以原如果一個區(qū)域如果一個區(qū)域DMzMD D的所有邊界點組成的所有邊界點組成D的的邊界邊界. . (6) 區(qū)域區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域. 閉區(qū)域閉區(qū)域 23. )( )( , )()( :的起點和終點的起點和終點分別稱為分別稱為與與為一條連續(xù)曲線為一條連續(xù)曲線設(shè)設(shè)CbzazbtatzzC . )( , )()( , , 121212121的重點的重點稱為曲線稱

16、為曲線點點時時而有而有當當與與的的對于滿足對于滿足Ctztztzttttbtabta 沒有重點的曲線沒有重點的曲線 C 稱為簡單曲線稱為簡單曲線( (或若爾或若爾當曲線當曲線).). , )( )( , 為簡單閉曲線為簡單閉曲線那末稱那末稱即即的起點和終點重合的起點和終點重合如果簡單曲線如果簡單曲線CbzazC (8) (8) 簡單曲線簡單曲線24(9) (9) 光滑曲線光滑曲線.0, )( )( , , )( )( , 22稱這曲線為光滑的稱這曲線為光滑的那末那末有有的每一個值的每一個值且對于且對于都是連續(xù)的都是連續(xù)的和和上上如果在如果在 tytxttytxbta 由幾段依次相接的光滑曲線所

17、組成的曲線由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按段光滑曲線稱為按段光滑曲線. . 任意一條簡單閉曲線任意一條簡單閉曲線C將復平面唯一地分成將復平面唯一地分成三個互不相交的點集三個互不相交的點集.簡單閉曲線的性質(zhì)簡單閉曲線的性質(zhì)25(10) (10) 單連通域與多連通域單連通域與多連通域 復平面上的一個區(qū)域復平面上的一個區(qū)域B, 如果在其中任作一如果在其中任作一條簡單閉曲線條簡單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于而曲線的內(nèi)部總屬于B, 就稱為就稱為單連通域單連通域. 一個區(qū)域如果不是單連通域一個區(qū)域如果不是單連通域, 就稱為就稱為多連通域多連通域. 從幾何上看，單連通域就是無洞、無割痕從幾何上看，

18、單連通域就是無洞、無割痕的域的域.26 7. 復變函數(shù)的概念復變函數(shù)的概念(1)(1)復變函數(shù)的定義復變函數(shù)的定義).( ),( , , , , . zfwzwivuwzGiyxzG 記作記作復變函數(shù)復變函數(shù)簡稱簡稱的函數(shù)的函數(shù)是復變數(shù)是復變數(shù)那末稱復變數(shù)那末稱復變數(shù)之對應之對應與與就有一個或幾個復數(shù)就有一個或幾個復數(shù)每一個復數(shù)每一個復數(shù)中的中的對于集合對于集合按這個法則按這個法則個確定的法則存在個確定的法則存在如果有一如果有一的集合的集合是一個復數(shù)是一個復數(shù)設(shè)設(shè): )( 相當于兩個關(guān)系式相當于兩個關(guān)系式之間的關(guān)系之間的關(guān)系自變量自變量與與復變函數(shù)復變函數(shù)zfwzw ).,(),(yxvvyx

19、uu 27).()( * )( )( , , 或變換或變換的映射的映射函數(shù)值集合函數(shù)值集合平面上的一個點集平面上的一個點集變到變到定義集合定義集合一個點集一個點集平面上的平面上的把把在幾何上就可以看作是在幾何上就可以看作是數(shù)數(shù)那末函那末函的值的值平面上的點表示函數(shù)平面上的點表示函數(shù)另一個平面另一個平面而用而用的值的值平面上的點表示自變量平面上的點表示自變量如果用如果用GwGzzfwwwzz . , , , , 的點集之間的對應關(guān)系的點集之間的對應關(guān)系上上必須看成是兩個復平面必須看成是兩個復平面的幾何圖形表示出來的幾何圖形表示出來因而無法用同一平面內(nèi)因而無法用同一平面內(nèi)之間的對應關(guān)系之間的對應關(guān)

20、系和和由于它反映了兩對變量由于它反映了兩對變量對于復變函數(shù)對于復變函數(shù)yxvu(2) (2) 映射的定義映射的定義28函數(shù)極限的定義函數(shù)極限的定義. )( )( 0 , )0()( , 0 , , 0 )( 0000時的極限時的極限趨向于趨向于當當為為那末稱那末稱時有時有使得當使得當相應的必有一正數(shù)相應的必有一正數(shù)對于任意給定的對于任意給定的存在存在如果有一確定的數(shù)如果有一確定的數(shù)內(nèi)內(nèi)的去心鄰域的去心鄰域定義在定義在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)zzzfAAzfzzAzzzzfw )( .)(lim 00AzfAzfzzzz 或或記作記作注意注意: :.0的方式是任意的的方式是任意的定義中定義中 zz 8.8.

21、復變函數(shù)的極限復變函數(shù)的極限29. ),( ),( , ),(),()( 的極限問題的極限問題和和函數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求兩個二元實變轉(zhuǎn)化為求兩個二元實變的極限問題的極限問題該定理將求復變函數(shù)該定理將求復變函數(shù)yxvyxuyxivyxuzf 極限計算的定理極限計算的定理.),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 000000000000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyxuzfyyxxyyxxzz 的充要條件是的充要條件是那末那末設(shè)設(shè)30).0()()(lim (3);)()(lim (2);)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 00000 BBAz

22、gzfABzgzfBAzgzfBzgAzfzzzzzzzzzz那么那么設(shè)設(shè)與實變函數(shù)的極限運算法則類似與實變函數(shù)的極限運算法則類似. 極限運算法則極限運算法則31（1 1）連續(xù)的定義）連續(xù)的定義 . )( , )( . )( ),()(lim 000內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在我們說我們說內(nèi)處處連續(xù)內(nèi)處處連續(xù)在區(qū)域在區(qū)域如果如果處連續(xù)處連續(xù)在在那么我們就說那么我們就說如果如果DzfDzfzzfzfzfzz . , )()(lim )( 000CzzfzfzCzfzz 處連續(xù)的意義是處連續(xù)的意義是上上在曲線在曲線函數(shù)函數(shù) 9.9.復變函數(shù)的連續(xù)性復變函數(shù)的連續(xù)性32.)()()(a)000處仍連續(xù)處仍連續(xù)在

23、在不為零不為零分母在分母在積、商積、商的和、差、的和、差、和和連續(xù)的兩個函數(shù)連續(xù)的兩個函數(shù)在在zzzgzfz . )( , )( )( , )( (b)0000連續(xù)連續(xù)處處在在那末復合函數(shù)那末復合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)連續(xù)連續(xù)在在如果函數(shù)如果函數(shù)zzgfwzghhfwzzgh .) ,( ),( ),( : ),(),()( 00000處連續(xù)處連續(xù)在在和和連續(xù)的充要條件是連續(xù)的充要條件是在在函數(shù)函數(shù)yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf 連續(xù)的充要條件連續(xù)的充要條件連續(xù)的性質(zhì)連續(xù)的性質(zhì)33,)(2210nnzazazaazPw 有理整函數(shù)有理整函數(shù)(多項式多項式) ; 都是連續(xù)的都是連續(xù)

24、的對復平面內(nèi)的所有點對復平面內(nèi)的所有點 z有理分式函數(shù)有理分式函數(shù),)()(zQzPw , )( )( 都是多項式都是多項式和和其中其中zQzP 特殊的特殊的:在復平面內(nèi)使分母不為零的點也是連續(xù)的在復平面內(nèi)使分母不為零的點也是連續(xù)的.34三、典型例題三、典型例題求證求證是兩個復數(shù)是兩個復數(shù)設(shè)設(shè),21zz例1例1.)2);Re(2)12121212221221zzzzzzzzzz )1證證)(2121221zzzzzz )(2121zzzz 21122211zzzzzzzz )(21212212zzzzzz ).Re(2212212zzzz 35),Re(2)1)2212221221zzzzzz

25、 知知由由2122212212zzzzzz 又又2122212zzzz ,2212221zzzz ),Re(2121zzzz 因為因為36)Re(2212221zzzz 所以所以.221221zzzz 即即.,2121zzzz 得得兩邊開方兩邊開方 其幾何意義是三角形任意一邊的長不小于其幾何意義是三角形任意一邊的長不小于其它兩邊邊長之差的絕對值其它兩邊邊長之差的絕對值.,2212221zzzz 37. 11, 1:, 1000 zzzzzz則則若若證明證明設(shè)設(shè)例2例2證證則則若若, 1 z,1)1(20202zzz 202zz 因為)Re(2020220z zzzzz 又又)Re(210202z zzz , 11200 zzzz所以所以. 1100 zzzz即即.1202zz ,120z z 38., 0137112的值的值求求已知已知xxxxx 例3例3解解),1)(1(123 xxxx因為因為, 012是一個三次單位根是一個三次單位根故故而而xxx 1,37211 xxxxx從而從而. 0123711 xxxxx所以所以39.1,112的值的值求求次單位根次單位根的的是任意一個不等于是任意一個不等于