數(shù)學(xué)與邏輯學(xué)的關(guān)系

1、研究中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中邏輯思想與方法的必要性一直以來，不論是在邏輯史學(xué)界，還是在數(shù)學(xué)史學(xué)界，對于中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的邏輯思想與方法的研究沒有得到應(yīng)有的重視。但從下面我們簡單論述來看，加強(qiáng)這方面的研究卻具有顯明的必要性。一、從邏輯與數(shù)學(xué)的關(guān)系看數(shù)學(xué)與邏輯的研究對象雖各不相同，但它們的性質(zhì)、特點卻有很多共同和類似的地方，正因為如此，才使得它們關(guān)系十分密切，在內(nèi)容和方法上可以互相運用和相互滲透。一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門科學(xué)，邏輯是研究思維形式及其規(guī)律和方法的一門科學(xué)，但它們都完全撇開其內(nèi)容，僅僅從形式方面加以研究，因而均具有高度的抽象性，所以在分類上它們同屬于形式科學(xué)。同時，數(shù)學(xué)和邏輯的

2、應(yīng)用都十分廣泛，往往成為研究其它科學(xué)的工具，因此常常同被人們稱為工具性科學(xué)。圍繞邏輯與數(shù)學(xué)的關(guān)系討論下去，曾經(jīng)形成三種意見邏輯主義、形式主義和直覺主義。其中邏輯主義、直覺主義，過多強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)和邏輯的同一性，而忽視了數(shù)學(xué)與邏輯的差異性。因此，認(rèn)識數(shù)學(xué)和邏輯的關(guān)系，在于把握二者關(guān)系的辯證性同一、差異又互補。首先，肯定數(shù)學(xué)和邏輯的同一性。這是因為：(1) 數(shù)學(xué)和邏輯都是高度抽象的學(xué)科，數(shù)學(xué)是研究數(shù)量的形式結(jié)構(gòu)的，邏輯是研究思維的形式結(jié)構(gòu)的，形式結(jié)構(gòu)都是高度抽象的，是抽象結(jié)構(gòu)，它們的定義、定理、原理、法則等的正確性均不涉及各種事物具體內(nèi)容；(2) 數(shù)學(xué)和邏輯都講嚴(yán)格性，數(shù)學(xué)只有具有推理論證的嚴(yán)密性和結(jié)

3、論的確定性或可靠性才成其為科學(xué)，邏輯也只有當(dāng)它的推理論證嚴(yán)格而公理系統(tǒng)化時才形成科學(xué)；(3) 數(shù)學(xué)和邏輯都具有廣泛的應(yīng)用性，數(shù)學(xué)的應(yīng)用自不待言，對邏輯而言可以肯定地說哪里有思維哪里就要邏輯，一切科學(xué)都在應(yīng)用邏輯。其次，數(shù)學(xué)與邏輯的差異性也是明顯的。一方面，數(shù)學(xué)和邏輯的研究對象不同，數(shù)學(xué)的研究對象是一切事物的數(shù)與量的屬性，而邏輯學(xué)的研究對象是思維的形式及規(guī)律；另一方面，數(shù)學(xué)和邏輯的任務(wù)和目標(biāo)不相同，數(shù)學(xué)的主要目標(biāo)和任務(wù)是揭示客觀事物的量和數(shù)的規(guī)律性，而邏輯的主要目標(biāo)和任務(wù)卻是為了解決思維推理形式的有效性或真值性問題。最后，數(shù)學(xué)和邏輯二者有很強(qiáng)的互補性。一方面數(shù)學(xué)可能得益于邏輯。從數(shù)學(xué)或其某一分支

4、的產(chǎn)生和發(fā)展來看，它都是人對客觀世界中抽象出某一空間形式或數(shù)量關(guān)系進(jìn)行研究的成果。在其開始階段，需要有一個有關(guān)經(jīng)驗材料的積累過程；進(jìn)人提煉整理階段，需要有一個組織和演繹的過程，最后才形成一個系統(tǒng)。無疑，在整個過程中都需要運用邏輯(開始階段運用歸納邏輯多一些，在整理階段則應(yīng)用演繹邏輯多一些)，特別是由于數(shù)學(xué)是一門形式(或演繹)科學(xué)，它的結(jié)論的正確性不能建立在實驗之上，能依賴于邏輯的推理證明，這是因為邏輯也是一間形式科學(xué)，其規(guī)則是普遍有效的，所以在應(yīng)用中就能保證數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性。數(shù)學(xué)一旦形成一個系統(tǒng)時(運用公理化方法)，它就由兩部分構(gòu)成，一是原始概念與公理，另一是定義和推理的規(guī)則，然后由原始概念依

5、據(jù)定義規(guī)則逐次建立起其它的概念(所謂派生概念)，及由公理出發(fā)，借助于邏輯推理逐次得到進(jìn)一步的結(jié)論(定理)，最后組成一個有機(jī)的整體。這里運用邏輯的規(guī)則和方法是它顯著的特點，體現(xiàn)著它的結(jié)論的確定性和邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性。由此可以看出，邏輯對于數(shù)學(xué)來說確是十分重要的，如果離開了邏輯，就將成為一些經(jīng)驗材料的堆砌，也不可能成為一門科學(xué)。數(shù)學(xué)是高度抽象的學(xué)科，它的公式，定理、法則、原則等的正確性不可能由具體實驗和經(jīng)驗實踐來證明，只能從邏輯上加以嚴(yán)格演繹論證才被確認(rèn)。如果沒有邏輯，數(shù)學(xué)的大廈就無法建造，至少以說不能建構(gòu)系統(tǒng)的公理化的演繹的數(shù)學(xué)科學(xué)，即現(xiàn)今意義上的數(shù)學(xué)是根本不可能存在的。另一方面，邏輯的發(fā)展也要依靠數(shù)

6、學(xué)的推動。很明顯數(shù)理邏輯的誕生和發(fā)展是離不開數(shù)學(xué)方法應(yīng)用的，當(dāng)今邏輯學(xué)的發(fā)展更是需要站在相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)之上，離開了數(shù)學(xué)方法，當(dāng)今邏輯學(xué)的最先發(fā)展就不可能實現(xiàn)，如果說傳統(tǒng)形式邏輯向數(shù)理邏輯發(fā)展依靠的是數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，那么當(dāng)今或今后邏輯學(xué)的發(fā)展與進(jìn)步也必須以廣泛的數(shù)學(xué)方法應(yīng)用為基礎(chǔ)?？傊?，數(shù)學(xué)與邏輯的發(fā)展是密切相關(guān)的，它們相互影響互相推進(jìn)，數(shù)學(xué)發(fā)展影響和推進(jìn)了邏輯的前進(jìn)，反過來邏輯發(fā)展又影響和推動了數(shù)學(xué)的進(jìn)步。當(dāng)然，上面的論述，并不是說我們對于歷史文化的演進(jìn)過程中邏輯與數(shù)學(xué)或者數(shù)學(xué)與邏輯的關(guān)系就是十分明晰的了，相反，我們對于歷史的邏輯與歷史的數(shù)學(xué)之間的關(guān)系一直沒有清晰的認(rèn)識，甚至于是十分模糊的，特

7、別在我國的情況。因此，挖掘和梳理中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中邏輯內(nèi)容，達(dá)到厘清中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)與中國古代邏輯的關(guān)系具有十分重要的理論意義和指導(dǎo)現(xiàn)實的意義。二、從我國邏輯史研究看現(xiàn)今“邏輯學(xué)”一詞是一個舶來品，不外是英文“Logic”的音譯。對于它的不同理解則可能對中國古代文化中邏輯內(nèi)容有不同程度的理解。說“中國古代無邏輯學(xué)”是可以理解的，說“中國古代有邏輯學(xué)”也是可以理解的，不同僅僅在于人們對于“邏輯學(xué)”概念的不同理解。事實上，“邏輯學(xué)”或“邏輯”的具體表現(xiàn)就是：在歷史文化中存在有脫離了具體論述內(nèi)容專注于對思維形式、思維方法、思維過程進(jìn)行敘述的語言文字。當(dāng)然，這樣的語言文字可能是亞里士多德式的系統(tǒng)長篇，也可能是

8、隱含在其它歷史文獻(xiàn)中的只言片語。也就是說，在一種歷史文化中是否存在著“邏輯”，就要看這種歷史的文化文獻(xiàn)中是否存在過或存在著專門了論述我們現(xiàn)今稱之為邏輯的文字。如果有，即使是只言片語，我們也可以說這種文化文獻(xiàn)或歷史典籍中存在“邏輯”。當(dāng)然，存在的“邏輯”是系統(tǒng)的或可以獨立成章的，那么，我們就可以說“存在的邏輯”文字可以構(gòu)成“邏輯學(xué)”。例如，亞里士多德工具論中許多章節(jié)就構(gòu)成“亞里士多德邏輯學(xué)”。當(dāng)然，比較起工具論而言，盡管中國先秦的墨經(jīng)存在我們上面所界定的“邏輯”文字，但顯然不如工具論系統(tǒng)而獨立，墨經(jīng)中“存在的邏輯”還是只言片語，因此，稱墨經(jīng)中存在的邏輯為“墨經(jīng)邏輯學(xué)”有些抬高的成分，倒不如說“墨

9、家的邏輯研究”。也就是說，墨經(jīng)中有Mohisms Logic-study而沒有Mohism Logic或Mohist Logic。借用現(xiàn)今的政治用語，如果說墨經(jīng)中存在的邏輯文字是“邏輯學(xué)”的話，那也只是“初級階段的邏輯學(xué)”。是不是這種“初級階段的邏輯學(xué)”在墨家中絕之后，就沒有發(fā)展和進(jìn)步的？或者說，這種“初級階段的邏輯學(xué)”在墨家中絕之后命運如何了？是隨墨家中絕而中絕了，還是蘊涵在其它文化中保留下來，甚至發(fā)展進(jìn)步了并形成具有亞里士多德邏輯豐富內(nèi)容的“中國古代邏輯學(xué)”。這些問題，在中國邏輯史研究中，一直得到足夠的重視，一直未得出令人信服的回答。而要回答這些問題，我們認(rèn)為，首先就要從那些與邏輯學(xué)聯(lián)系緊

10、密的學(xué)科歷史文獻(xiàn)中搜尋，盡管我國許多學(xué)者對那些論辯、言說、政治之類歷史文獻(xiàn)中的“邏輯”文字或“名家”文字，作過了系統(tǒng)的厘清與分析，這也許是人們普遍認(rèn)為：不論是西方邏輯(以亞里士多德邏輯為主線)、印度邏輯，還是墨家的邏輯，其直接產(chǎn)生背景多少與當(dāng)時的言說論辯之社會思潮有關(guān)。但事實上，人們一直忽視了這樣基本問題：一個學(xué)科的理論之發(fā)展與進(jìn)步，在很大程度上得益于與其學(xué)理相通的學(xué)科之刺激、促進(jìn)和影響。顯然，與邏輯學(xué)學(xué)理相通的學(xué)科，首先就是數(shù)學(xué)。而我國從事邏輯史研究的學(xué)者，實在是對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)關(guān)注得太少了。因此，從研究中國邏輯史的角度看，對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中是否存在“邏輯”的文字論述或邏輯的內(nèi)容進(jìn)行整理與分

11、析，也是十分必要的?；蛟S，通過我們的努力，從中找出許多有關(guān)“邏輯”的文字和內(nèi)容，以支持或支撐“中國古代邏輯學(xué)”之存在；或許，我們找不到豐富的內(nèi)容，即使這樣，也確證了“中國古代邏輯學(xué)”也只能是一種“初級階段的邏輯學(xué)”?？傊?，不論從那方面講，加強(qiáng)對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的邏輯內(nèi)容之挖掘、整理與分析，都具有十分重要的學(xué)術(shù)意義和理論意義。三、從中國數(shù)學(xué)史研究看可以說，從西方數(shù)學(xué)傳入中國之不久，中國數(shù)學(xué)史的研究就開始了。明清時代的籌算家與其說是數(shù)學(xué)家，不如說是數(shù)學(xué)史家，因為他們中的大多數(shù)人之工作或者他們的大多數(shù)工作對于當(dāng)時數(shù)學(xué)(不論是中國還是世界)都不是理論的創(chuàng)新和進(jìn)步，只不過使用中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的方法(其中主要就是

12、籌算)驗證了業(yè)已存在、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的理論和方法之正確性而已。進(jìn)入20世紀(jì)，出于對中國文化之認(rèn)同，我國科學(xué)技術(shù)史學(xué)者開始了系統(tǒng)的中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)史研究，得到非常豐富的研究成果。與此同時，隨著當(dāng)時中國文化的西傳，西方學(xué)者也開始關(guān)注中國古代之?dāng)?shù)學(xué)，出現(xiàn)了李約瑟這樣的中國科技史研究大師。一句話，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)史之研究，從時間上看可謂不短、不斷，從成果上看可謂成果豐富、成就斐然，從研究者看可謂中外有人、代有輩出。但從內(nèi)容上看，還存在較大不足，且不說對于一些新近發(fā)現(xiàn)或發(fā)掘出的典籍、文獻(xiàn)、史料重視不夠，僅就對與數(shù)學(xué)緊密聯(lián)系的學(xué)科對中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)之影響重視不夠，就是一個嚴(yán)重不足。如前文所述，學(xué)理上邏輯學(xué)與數(shù)學(xué)是最為聯(lián)系

13、緊密的。但是，總觀中國數(shù)學(xué)史研究，關(guān)注“中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)與邏輯”這一問題之學(xué)者的確不多，正如我國著名數(shù)學(xué)史專家郭書春教授所說“關(guān)于這個問題的全面研究尚未見到有見地的工作”。中國科學(xué)技術(shù)曾經(jīng)有過很長時間的輝煌，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)也是如此，但到了近代跟不上世界科學(xué)技術(shù)發(fā)展的步伐了。為什么出現(xiàn)這樣的情況的？這個問題一直困惑著許多人，包括像李約瑟這樣的中國科學(xué)技術(shù)史研究的權(quán)威學(xué)者。當(dāng)然，也有很多的人對此作出了這樣或那樣的回答，但都沒有得出令人們或?qū)W界普遍認(rèn)同的結(jié)論和解釋，例如，李約瑟博士的解釋是：中國古代邏輯的不發(fā)達(dá)，中國古代數(shù)學(xué)家缺乏系統(tǒng)的邏輯理論與方法的指導(dǎo)，就是中國古代數(shù)學(xué)輝煌而近代落后的原因。即使這樣的

14、回答，李約瑟博士也沒有進(jìn)行系統(tǒng)的研究，姑且我們贊成李約瑟博士的觀點，系統(tǒng)就這一回答進(jìn)行全面的注釋、詮釋和解釋，也是十分必要的。這就像解開一個謎一樣。當(dāng)然，說“中國古代邏輯的不發(fā)達(dá)”，這里的“不發(fā)達(dá)”是相對于以亞里士多德邏輯為主線的西方邏輯傳統(tǒng)呢，還是其它邏輯傳統(tǒng)，因為，在邏輯史研究者普遍看來，邏輯學(xué)在歷史的發(fā)展進(jìn)程中，存在受社會、文化等因素之影響而形成不同傳統(tǒng)的情況。就是說，歷史的邏輯學(xué)不僅存在共同性和共通性，而且也深具特殊性和獨立性，不同傳統(tǒng)社會和歷史文化形成了不同傳統(tǒng)的邏輯。正如前文所述，數(shù)學(xué)的發(fā)展與進(jìn)步，從學(xué)理上看最可能受到邏輯學(xué)的影響。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的輝煌而中國近代數(shù)學(xué)的落伍，是否存在這樣的原因：中國邏輯傳統(tǒng)的特殊性和獨立性之缺陷沒有能給與數(shù)學(xué)創(chuàng)新足夠的支持；而不僅僅是中國古代邏輯學(xué)之不發(fā)達(dá)。因此，把數(shù)學(xué)史的研究與邏輯史的研究聯(lián)系起來，從中得出某些結(jié)論，從學(xué)術(shù)上很可能為揭開李約瑟之謎或者否絕李約瑟之謎提供一種支持，在實踐上很可能為今日我國數(shù)學(xué)研究與發(fā)展提供借鑒。事實上，從我國著名數(shù)學(xué)家、中科院院士吳文俊教授的工作看，