數(shù)列極限說課稿修改稿

1、數(shù)列極限說課稿（修改稿）北大附中 李寧各位評(píng)委、老師們：你們好！我是北大附中的數(shù)學(xué)教師李寧。北大附中是北京市重點(diǎn)中學(xué)。有機(jī)會(huì)能參加這次教學(xué)研討活動(dòng)，向全國各省的數(shù)學(xué)老師們學(xué)習(xí)，我深感榮幸。這次我說課的內(nèi)容是高中代數(shù)課本（下冊(cè)）第六章第二部分6.4節(jié)數(shù)列極限的起始課。這部分內(nèi)容在課本第60頁至65頁。下面由我根據(jù)自己編寫的教案，把我對(duì)本節(jié)課的教學(xué)目的、過程、方法、工具等方面的簡單認(rèn)識(shí)作一個(gè)說明。希望專家們、老師們對(duì)我說課的內(nèi)容多提寶貴意見。一、關(guān)于教學(xué)目的的確定：眾所周知，對(duì)數(shù)列極限這個(gè)概念的理解可為今后高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，但由于學(xué)生對(duì)數(shù)列極限概念及其定義的數(shù)學(xué)語言表述的理解比較困難，這種理

2、解上的困難將影響學(xué)生對(duì)后繼知識(shí)的學(xué)習(xí)，因此，我從知識(shí)、能力、情感等方面確定了本次課的教學(xué)目標(biāo)。 1在知識(shí)上，使學(xué)生理解極限的概念，能初步利用極限定義確定某些簡單的數(shù)列極限； 2在能力上，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、概括的能力和在探索問題中的，由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)、由有限到無限的辨證觀點(diǎn)。體驗(yàn)“從具體到抽象，從特殊到一般再到特殊”的認(rèn)識(shí)過程； 3在情感上，通過介紹我國古代數(shù)學(xué)家劉徽的成就，激發(fā)學(xué)生的民族自尊心和愛國主義思想情感，并使他們對(duì)數(shù)列極限知識(shí)有一個(gè)形象化的了解。二、關(guān)于教學(xué)過程的設(shè)計(jì)：為了達(dá)到以上教學(xué)目的，根據(jù)北大附中教學(xué)傳統(tǒng)把這次課連排兩節(jié)。在具體教學(xué)中，根據(jù)“循序漸進(jìn)原則”，我把這次課分為三個(gè)階段：

3、“概念探索階段” ；“概念建立階段” ；“概念鞏固階段”。下面我將對(duì)每一階段教學(xué)中計(jì)劃解決的主要問題和教學(xué)步驟作出說明。（一） “概念探索階段”1. 這一階段要解決的主要問題在這一階段的教學(xué)中，由于注意到學(xué)生在開始接觸數(shù)列極限這個(gè)概念時(shí)，總是以靜止的觀點(diǎn)來理解這個(gè)描述變化過程的動(dòng)態(tài)概念，總覺得與以前知識(shí)相比，接受起來有困難，似乎這個(gè)概念是突然產(chǎn)生的，甚至于不明概念所云，故我在這一階段計(jì)劃主要解決這樣幾個(gè)問題： 使學(xué)生了解以研究函數(shù)值的變化趨勢(shì)的觀點(diǎn)研究無窮數(shù)列，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列極限的過程； 使學(xué)生形成對(duì)數(shù)列極限的初步認(rèn)識(shí)； 使學(xué)生了解學(xué)習(xí)數(shù)列極限概念的必要性。 2本階段教學(xué)安排 我采取溫故知新、推

4、陳出新的教學(xué)過程，分三個(gè)步驟進(jìn)行教學(xué)。 溫故知新由于研究數(shù)列極限首先應(yīng)對(duì)數(shù)列知識(shí)有一個(gè)清晰的了解，因此在具體教學(xué)中通過對(duì)教案中5個(gè)具體數(shù)列通項(xiàng)公式的思考讓學(xué)生對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式這個(gè)概念產(chǎn)生回憶，指出以前研究數(shù)列都是研究的有限項(xiàng)的問題，現(xiàn)在開始研究無限項(xiàng)的問題。 然后引導(dǎo)學(xué)生回憶數(shù)列是自變量為自然數(shù)的函數(shù)，通項(xiàng)公式就是以n為自變量的、定義域?yàn)樽匀粩?shù)集的函數(shù)的解析式。再引導(dǎo)學(xué)生回憶研究函數(shù)，實(shí)際上研究的就是自變量變化過程中，函數(shù)值變化的情況和變化的趨勢(shì)，并以第2的數(shù)列為例說明：當(dāng)n=2、3、4、5 時(shí)，對(duì)應(yīng)的、 就說明自變量由2增加到5時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值就由減小到這種變化情況。若問自然數(shù)n一直增加下去，

5、函數(shù)應(yīng)怎樣變化下去，這就是研究變化的趨勢(shì)。 這樣利用通項(xiàng)公式就可把數(shù)列變化趨勢(shì)問題與函數(shù)值變化趨勢(shì)問題有機(jī)地結(jié)合起來，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)值變化趨勢(shì)的角度來看待例題中五個(gè)數(shù)列的變換趨勢(shì)。通過這種討論，在對(duì)變化趨勢(shì)這個(gè)概念的理解上發(fā)揮心理學(xué)上所提“無意注意”的作用，使學(xué)生對(duì)進(jìn)一步討論的數(shù)列變換趨勢(shì)問題不至于太陌生。 推陳出新在對(duì)5個(gè)數(shù)列變化趨勢(shì)的分析過程中，通過引導(dǎo)，由學(xué)生討論得到數(shù)列（2）、（3）、（5）的共同特征，近而向?qū)W生說明：“具有類似于數(shù)列（2）、（3）、（5）共性的數(shù)列稱為有極限的數(shù)列，共性中的“趨近于一個(gè)確定的常數(shù)”稱它為有極限數(shù)列的極限”。并進(jìn)一步和學(xué)生討論如何給數(shù)列的極限下定義，此時(shí)

6、我根據(jù)學(xué)生情況給予提示，給出數(shù)列極限概念的描述性說明：當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增加時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)無限趨近于某一個(gè)確定的常數(shù)的數(shù)列稱為有極限的數(shù)列，這個(gè)確定的常數(shù)稱為數(shù)列極限。 劉徽及其割圓術(shù)的介紹學(xué)生對(duì)數(shù)列極限概念有了一定的認(rèn)識(shí)，為了使學(xué)生認(rèn)識(shí)到這個(gè)概念并不是突然產(chǎn)生的，是和他們已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)密切相關(guān)的，為此在第一階段我設(shè)計(jì)了這一部分教學(xué)。 我一方面介紹了我國古代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)列極限思想所做的貢獻(xiàn)，如“在世界數(shù)學(xué)史上，劉徽是最早運(yùn)用這種數(shù)列極限的思想解決數(shù)學(xué)問題的大數(shù)學(xué)家。用這種指導(dǎo)思想計(jì)算圓面積的方法，就稱為劉徽割圓術(shù).用類似劉徽割圓術(shù)的方法求出圓周率的近似值，雖然在公元前3世紀(jì)的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德也算出過，

7、但所用的方法卻比劉徽所用的方法繁雜的多?！?在另一方面重點(diǎn)結(jié)合計(jì)算機(jī)模擬劉徽割圓術(shù)，介紹這種算法的指導(dǎo)思想：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”。通過課件動(dòng)態(tài)演示，進(jìn)一步在“無意注意”作用的發(fā)揮上下文章，加深學(xué)生對(duì)“變化趨勢(shì)”、“趨近于”、“極限”等概念的認(rèn)識(shí)，為下一階段極限概念的教學(xué)提供對(duì)這個(gè)概念感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)。（二） “概念建立階段”1 這一階段要解決的任務(wù)由于數(shù)列極限概念及其定義的數(shù)學(xué)語言表述具有高度的概括性、抽象性，學(xué)生初次接觸很困難。具體講，在-N語言中，學(xué)生搞不清的兩重性絕對(duì)的任意性、相對(duì)的確定性；學(xué)生搞不清“N”，不太理解N的實(shí)質(zhì)是表示項(xiàng)數(shù)n無限

8、增大過程中的某一時(shí)刻，從這一時(shí)刻起，所有an(n>N)，都聚集在以極限值A(chǔ)為中心，為半徑的鄰域中，N是否存在是證明數(shù)列極限存在的關(guān)鍵。因此在這一階段的教學(xué)中，我采取“啟發(fā)式談話法”與“啟發(fā)式講解法”， 注意不“一次到位”，這樣在本階段我設(shè)計(jì)解決的幾個(gè)主要問題是：建立、理解數(shù)列極限的定義；認(rèn)識(shí)定義中反映出的靜與動(dòng)的辨證關(guān)系；初步學(xué)習(xí)論證數(shù)列極限的方法。2 本階段教學(xué)安排本階段教學(xué)安排分三個(gè)步驟進(jìn)行。 問題的提出在教學(xué)安排上，我根據(jù)學(xué)生形成對(duì)數(shù)列極限的初步認(rèn)識(shí)，以數(shù)列“”為例，提出一個(gè)學(xué)生形成極限概念時(shí)不好回答的問題：根據(jù)數(shù)列極限定義直觀描述，這個(gè)數(shù)列的極限是1，即當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，這個(gè)數(shù)

9、列的項(xiàng)無限地趨近于1，問題是為什么不說這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)無限地趨近于1.1，從而使學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題在于自己已獲得的數(shù)列極限概念中“無限趨近于”這一描述，這種描述比較含混，感到有必要對(duì)極限定義做進(jìn)一步精確描述。 問題的解決具體講，由于數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離及其解析表示對(duì)學(xué)生來說是很熟悉的，故我在教學(xué)中利用數(shù)軸引導(dǎo)學(xué)生先得出結(jié)論：“趨近于”是距離概念，距離的解析表示是絕對(duì)值，“無限趨近于”就可用距離要多小有多小來表示。即數(shù)列項(xiàng)與確定常數(shù)差的絕對(duì)值要多小有多小。 然后讓學(xué)生通過具體計(jì)算如：“思考已知數(shù)列中是否有到1.1的距離為0.01的項(xiàng)？”使學(xué)生知道已知數(shù)列的項(xiàng)不能與1.1的距離要多小有多小，即1.1不是已知數(shù)列

10、的極限，從而使學(xué)生對(duì)“要多小有多小”這一概念有了進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，并為量化|an-1|當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增加時(shí)要多小有多小打下基礎(chǔ)。 數(shù)列極限定義的得出 在“檢驗(yàn)1是否滿足：已知數(shù)列的項(xiàng)與1的差的絕對(duì)值是否要多小有多小”的教學(xué)過程中，我采取“給距離找項(xiàng)數(shù)”的方法。具體講讓學(xué)生考慮已知數(shù)列中有哪些項(xiàng)與1的差的絕對(duì)值小于0.1、0.05、0.0011、0.0001，讓學(xué)生把用計(jì)算器計(jì)算的結(jié)果在黑板上列表寫出并解釋所得的結(jié)果，如提示學(xué)生得出結(jié)論：“已知數(shù)列中第908項(xiàng)以后各項(xiàng)與1的差的絕對(duì)值小于0.0011?！边@種討論的目的是使學(xué)生感受到“N”是項(xiàng)數(shù)n 無限增大的過程中的一個(gè)標(biāo)志，進(jìn)而說明對(duì)于給定的每一個(gè)正數(shù)，可

11、找到N，當(dāng)n>N時(shí)，|an-1|小于這個(gè)正數(shù)。進(jìn)而讓學(xué)生注意無論表示距離的正數(shù)取的多么小，也不能說成“要多小有多小”，而把具體值改為后即可解決這個(gè)問題。 這樣通過討論，在我的引導(dǎo)下，使學(xué)生得到結(jié)論：“數(shù)列： 當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí)，它的項(xiàng)越來越趨近于1”，也就是數(shù)列： 的極限為1，并進(jìn)一步讓學(xué)生總結(jié)出一般數(shù)列的極限的準(zhǔn)確定義。 （三）“概念鞏固階段” 1 本階段的教學(xué)計(jì)劃在這一階段的教學(xué)中我計(jì)劃做兩件事情：說明N、|an-A |<在討論數(shù)列極限時(shí)所起的作用;是習(xí)題訓(xùn)練。2 本階段的教學(xué)過程根據(jù)上述說明，這一階段分為兩個(gè)步驟。 定義說明除了對(duì)極限概念予以說明外為了加深學(xué)生對(duì)數(shù)列極限概念中N

12、、|an-A |<的認(rèn)識(shí)，我讓學(xué)生討論問題“任意有極限的無窮數(shù)列能否使極限值為數(shù)列中的項(xiàng)”及“常數(shù)列是否有極限”，當(dāng)學(xué)生有困難時(shí)，可通過舉數(shù)列 “”并提示其根據(jù)定義考慮問題。這樣使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)由特殊到一般再到特殊的認(rèn)識(shí)規(guī)律。 習(xí)題訓(xùn)練在學(xué)生對(duì)數(shù)列極限定義的初步掌握的基礎(chǔ)上，為鞏固學(xué)生所學(xué)，我讓學(xué)生作課本例1，練習(xí)這道題目的在于總結(jié)上一階段得到數(shù)列極限的過程，同時(shí)讓學(xué)生熟悉數(shù)列極限定義的應(yīng)用步驟；在此基礎(chǔ)上結(jié)合北大附中學(xué)生的特點(diǎn)我安排了例2，讓學(xué)生作這道題目的在于通過對(duì)這道題的證明與討論可讓學(xué)生對(duì)等比數(shù)列1，q，q2，qn，收斂、發(fā)散性有一個(gè)清楚的了解。在例2的處理手法上我讓學(xué)生先各抒己

13、見，然后采用幾何畫板演示，驗(yàn)證同學(xué)猜想，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲望。由于1，q，q2，qn，和是今后學(xué)習(xí)過程中的常用數(shù)列，因此我覺得學(xué)生對(duì)例1、例2的掌握的好壞將對(duì)后面的學(xué)習(xí)產(chǎn)生直接影響。 補(bǔ)充說明對(duì)于較好的班級(jí)，還可考慮用直角坐標(biāo)系來代替數(shù)軸。由于數(shù)列是以自然數(shù)集子集為定義域的特殊函數(shù)，其圖象是離散的點(diǎn).這使得數(shù)列的項(xiàng)與點(diǎn)(n,f(n)，即點(diǎn)(n,an)對(duì)應(yīng)起來.當(dāng)數(shù)列an有極限A時(shí)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)的幾何意義為：任給正數(shù)，存在一個(gè)以直線y=A+和y=A-為邊界的條形區(qū)域，存在一個(gè)N，當(dāng)n>N時(shí)，所有的點(diǎn)（n, an）都落在這個(gè)條形區(qū)域內(nèi)。換句話說數(shù)列的項(xiàng)在坐標(biāo)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，只有有限個(gè)點(diǎn)落在條形區(qū)域外。利用這種方式教授這節(jié)課，形象直觀，并為今后函數(shù)極限的教學(xué)打下基礎(chǔ)。三、關(guān)于教學(xué)用具的說明： 這節(jié)課的教學(xué)目的之一是使學(xué)生通過對(duì)極限概念形成過程的了解，較為自然地接受極限的定義，以利于加深對(duì)概念的理解和掌握。因此在本節(jié)課中主要使用的是計(jì)算器和計(jì)算機(jī)課件演示。計(jì)算器的作用在于使學(xué)生理解 “”和“N”內(nèi)在關(guān)系；計(jì)算機(jī)課件演示目的有三：其一是通過史料的簡單介紹對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國主義教育；其二是在概念形成階段，為學(xué)生提供感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)；其三可對(duì)學(xué)生所得的結(jié)論驗(yàn)證、完善，加深對(duì)問題的理解，鞏固所學(xué)的概念?？傊扒‘?dāng)使用現(xiàn)代