基本初等函數(shù)知識(shí)點(diǎn)及函數(shù)的基本性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)、指數(shù)與指數(shù)騫的運(yùn)算（一）根式的概念n是奇數(shù)時(shí),1、如果xn=a,awR,xwR,n>1,且nwN+,那么x叫做a的n次方根.當(dāng)?shù)膎次方根用符號(hào)n/a表示；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的正的n次方根用符號(hào)藥表示，負(fù)的n次方根用符號(hào)節(jié)表示；0的n次方根是0；負(fù)數(shù)a沒(méi)有n次方根.2、式子嗎叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù).當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a為任意實(shí)數(shù);當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a>0.(a-0)(a：二0)3、根式的性質(zhì)：（吩尸=a；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Van=a;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，|a|=a-a（二）分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的概念m1、正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的意義是：a=&m（a：>0,m,n

2、WN+且n>1）.0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥等于0._m1m2、正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)哥的意義是：an=（一）n=鐘（一）m（a>0,m,nwN+且n>1）.0的負(fù)aa分?jǐn)?shù)指數(shù)哥沒(méi)有意義.注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).3、a0=1（a月）a'=1/ap（a0；pWN沖）4、指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)aras=ars（a0,r,sR）（ar）s=ars（a0,r,sR）rrr_（ab）-ab（a0,b0,rR）5、0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)哥無(wú)意義。、指數(shù)函數(shù)的概念x是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.般地，函數(shù)y=ax（a>0,且a=1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中注意：0指數(shù)函數(shù)的定義

3、是一個(gè)形式定義；注意指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍不能是負(fù)數(shù)、零和1.三、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)名稱(chēng)指數(shù)函數(shù)定義函數(shù)y=ax（a>0且a*1）叫做指數(shù)函數(shù)圖象a>10<a<12.(0,1)X*|:(0,1)定義域R值域(0,+°°)過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)（0,1）,即當(dāng)x=0時(shí)，y=1.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況y>1(x>0),y=1(x=0),0<y<1(x<0)y>1(x<0),y=1(x=0),0<y<1(x>0)a變化對(duì)圖象影響在第一象限內(nèi)，a越大圖象越

4、局，越靠近y軸；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低，越靠近x軸.在第一象限內(nèi)，a越小圖象越局，越靠近y軸；在第二象限內(nèi)，a越小圖象越低，越靠近x軸.注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出:(1)在a,b上，f(x)=ax(a>0且a#1)值域是f(a),f(b)或f(b),f(a)(2)若x#0,則f(x)#1;f(x)取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)XWR(3)對(duì)于指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a>0且a=1)，總有f(l)=a(4)當(dāng)a>1時(shí)，若x1<x2,則f(x1)<f(x2)四、底數(shù)的平移對(duì)于任何一個(gè)有意義的指數(shù)函數(shù)：在指數(shù)上加上一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向左平移；減去一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向

5、右平移。在f（X）后加上一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向上平移；減去一個(gè)數(shù)，圖像會(huì)向下平移。即“上加下減，左加右減”五、哥的大小比較常用方法（1)(2)(3)比差（商）法函數(shù)單調(diào)性法中間值法:要比較A與B的大小，先找一個(gè)中間值C的大小，由不等式的傳遞性得到C,再比較A與CB與B之間的大小。注意：（1） 判斷。例如:（2）對(duì)于底數(shù)相同,指數(shù)不同的兩個(gè)騫的大小比較，可以利用y1=34,y2=35對(duì)于底數(shù)不同，指數(shù)相同的兩個(gè)騫的大小比較，可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)指數(shù)函數(shù)圖像的變化規(guī)律來(lái)判斷。例如：y1=（1/2）4,y2=34,（3）對(duì)于底數(shù)不同，且指數(shù)也不同的哥的大小比較，則可以利用對(duì)于三個(gè)（或三個(gè)以上）的數(shù)的

6、大小比較，則應(yīng)該先根據(jù)值的大小1的大小）進(jìn)行分組，再比較各組數(shù)的大小即可。在比較兩個(gè)哥的大小時(shí)，如果能充分利用T來(lái)搭“橋”“1”的大?。?，就可以快速的得到答案。由指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知中間值來(lái)比較（特別是與0、異小”。即當(dāng)?shù)讛?shù)時(shí)ax小于1.a和1與指數(shù)x與0之間的不等號(hào)同向時(shí),（即比較它們與“同大ax大于1,異向?qū)?shù)函數(shù)及其性質(zhì)-、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算（一）對(duì)數(shù)1 .對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果ax=N（aA0,a#1）,那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作:x=logaN（a底數(shù)，N真數(shù)，logaN一對(duì)數(shù)式）說(shuō)明：注意底數(shù)的限制a>0,且a#1;ax=N：=logaN=x；注意對(duì)數(shù)的書(shū)寫(xiě)格式.

7、logaN兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)lgN;自然對(duì)數(shù)：以無(wú)理數(shù)e=2.71828為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)lnN.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化嘉值真數(shù)a=NulogaN=btf底數(shù)指數(shù)對(duì)數(shù)（二）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0,且a#1,M>0,N>0,那么:loga(M-N)=logaM+logaN；Qloga一=logaMlogaN；N1 M logaM=nlogaM(nWR).logn=-logaanbb loga=ba=b loga1=0logaa=1alogaN=Nlogaab=b注意：換底公式.logcb,10gab=(a>0,且a=1；ca0,且c=1；b>0)

8、.logca推論(利用換底公式)nn._.1logamb=logab；logab=.mlogba二、對(duì)數(shù)函數(shù)1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)y=logax(a>0,且a=1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)y=2log2x,的定義域是（0,+8）.注意：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類(lèi)似，都是形式定義，注意辨別。如:V_lccx都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱(chēng)其為對(duì)數(shù)型函數(shù).y10g575對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制：（a>0,且a=1）.三、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì):函數(shù)名稱(chēng)對(duì)數(shù)函數(shù)定義函數(shù)y=logax（aa0且a=1）叫做對(duì)數(shù)函數(shù)圖象a>10<a<1XxTr1yog,xKLxVy1yTog

9、ax(。)一1M（1，0）x1nv定義域（0,依）值域R過(guò)定點(diǎn)圖象過(guò)定點(diǎn)（1,0）,即當(dāng)x=1時(shí)，y=0.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在(0,y)上是增函數(shù)在(0,Tpc)上是減函數(shù)函數(shù)值的變化情況logax>0(x>1)logax=0(x=1)logax<0(0<x<1)logax<0(x>1)logax=0(x=1)logax>0(0<x<1)a變化對(duì)圖象影響在井象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高.在井象限內(nèi)，a越大，圖象越靠近x軸在第四象限內(nèi)，a越大，圖象越靠近y軸在井象限內(nèi)，a越小，圖象越靠近x軸在第四象限內(nèi)，a

10、越小，圖象越靠近y軸四、對(duì)數(shù)的平移、大小比較與指數(shù)函數(shù)類(lèi)似反函數(shù)一、反函數(shù)定義設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,從式子y=f(x)中解出x,得式子x=5(y).如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)式子x=(y),x在A中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式子x=中(y)表示x是y的函數(shù)，函數(shù)x=(y)叫做函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，記作11x=f一(y),習(xí)慣上改寫(xiě)成y=f-(x).二、反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式y(tǒng)=f(x)中反解出x=f，(y);將x=f九y)改寫(xiě)成y=f,(x),并注明反函數(shù)的定義域.三、反函數(shù)的性質(zhì)原函數(shù)y=f(x)與反函數(shù)y=f,(x)的

11、圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng).函數(shù)y=f(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)y=f,(x)的值域、定義域.若P(a,b)在原函數(shù)y=f(x)的圖象上，則P'(b,a)在反函數(shù)y=f,(x)的圖象上.一般地，函數(shù)y=f(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù).哥函數(shù)及其性質(zhì)、哥函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y=x值叫做哥函數(shù)，其中x為自變量，a是常數(shù).、哥函數(shù)的圖象z數(shù)y=x2y=x3y=x1y=x"2y=x定義域RRR0,代)x|xr0值域R0,收)R0,收)y|yr0單調(diào)性增xW0,十工1)增x文d0減增增xE(0,十叫增xw(q,0)減所過(guò)定點(diǎn)(1,1)(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)

12、(0,0)(1,1)(0,0)(1,1)三、騫函數(shù)的性質(zhì)1、圖象分布：哥函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無(wú)圖象.哥函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限（圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)）；哥函數(shù)是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）；哥函數(shù)是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限.2、過(guò)定點(diǎn)：所有的哥函數(shù)在（0,也）都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn)（1,1）.3、單調(diào)性：如果a>0,則募函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在0,十無(wú)）上為增函數(shù).如果a<0,則哥函數(shù)的圖象在（0,）上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限接近x軸與y軸.4、奇偶性：當(dāng)口為奇數(shù)時(shí)，哥函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，哥函數(shù)為

13、偶函數(shù).p和qwZ）,qy=xp是奇函數(shù)，qy=xp是偶函數(shù)，qy=xp是非奇非偶函數(shù).當(dāng)值=9_（其中p,q互質(zhì)，P若p為奇數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則若p為奇數(shù)q為偶數(shù)時(shí)，則若p為偶數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則5、圖象特征:哥函數(shù)y=xa,x（0,+=c）,當(dāng)a>1時(shí)，若0cx<1,其圖象在直線y=x下方,若x>1,其圖象在直線y=x上方，當(dāng)ot<1時(shí)，若0<x<1,其圖象在直線y=x上方,若x>1,其圖象在直線y=x下方.函數(shù)基本性質(zhì)一一奇偶性知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典例題、函數(shù)奇偶性的概念:設(shè)函數(shù)y=f(X)的定義域?yàn)镈,如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x,都有xwD,且f(-x)=-f(x5

14、則這個(gè)函數(shù)叫奇函數(shù)。(如果已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)函數(shù)的定義域中有0時(shí)，我們可以得出f(0)=0)設(shè)函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)镈,如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x,都有xwD,若g(-x)=g(x),則這個(gè)函數(shù)叫偶函數(shù)。從定義我們可以看出，討論一個(gè)函數(shù)的奇、偶性應(yīng)先對(duì)函數(shù)的定義域進(jìn)行判斷，看其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。也就是說(shuō)當(dāng)x在其定義域內(nèi)時(shí)，-x也應(yīng)在其定義域內(nèi)有意義。圖像特征如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)之這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。如果一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)u這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。復(fù)合函數(shù)的奇偶性：同偶異奇。對(duì)概念的理解：(1)必要條件：定義域關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)。(2)f(x)與f(-x)的關(guān)系:當(dāng)f(-x)=f(x)或f(x)-f(x)=0或T»=1時(shí)為偶函數(shù)；f(x)當(dāng)f(-x)=-f(x)或f(x)+