完整版閻守勝答案

1、固體物理基礎習題解答第一章金屬自由電子氣體模型思考題1 .如何理解電子分布函數f(E)的物理意義是：能量為E的一個量子態(tài)被電子所占據的平均幾率？解答金屬中的價電子遵從費密-狄拉克統(tǒng)計分布,溫度為T時，分布在能級E上的電子數目n=一e(E-Ef)/KbT1,g為簡并度，即能級E包含的量子態(tài)數目.顯然，電子分布函數f(E)=e(E_Ef)/KbT是溫度T時，能級E的一個量子態(tài)上平均分布的電子數一1.因為一個量子態(tài)最多由一個電子所占據，所以f(E)的物理意義又可表述為：能量為E的一個量子態(tài)被電子所占據的平均幾率.2 .絕對零度時，價電子與晶格是否交換能量？解答晶格的振動形成格波，價電子與晶格交換能量

2、，實際是價電子與格波交換能量.格波的能量子稱為聲子，價電子與格波交換能量可視為價電子與聲子交換能量.頻率為期的格波的聲子數1ni=evn.從上式可以看出，絕對零度時，任何頻率的格波的聲子全都消失.因此，絕對零度時，價電子與晶格不再交換能量.3 .你是如何理解絕對零度時和常溫下電子的平均動能十分相近這一點的？解答自由電子論只考慮電子的動能.在絕對零度時，金屬中白自由(價)電子，分布在費密能級及其以下的能級上，即分布在一個費密球內.在常溫下，費密球內部離費密面遠的狀態(tài)全被電子占據，這些電子從格波獲取的能量不足以使其躍遷到費密面附近或以外的空狀態(tài)上，能夠發(fā)生能態(tài)躍遷的僅是費密面附近的少數電子，而絕大

3、多數電子的能態(tài)不會改變.也就是說，常溫下電子的平均動能與絕對零度時的平均動能一定十分相近4 .晶體膨脹時，費密能級如何變化？解答費密能級-202.2/3Ef二一(3n)2m,其中n是單位體積內的價電子數目.晶體膨脹時，體積變大，電子數目不變，n變小，費密能級降低.5 .為什么溫度升高，費密能反而降低？解答當T#0時，有一半量子態(tài)被電子所占據的能級即是費密能級.溫度升高，費密面附近的電子從格波獲取的能量就越大，躍遷到費密面以外的電子就越多，原來有一半量子態(tài)被電子所占據的能級上的電子就少于一半，有一半量子態(tài)被電子所占據的能級必定降低也就是說，溫度升高，費密能反而降低.6 .為什么價電子的濃度越大，

4、價電子的平均動能就越大？解答我們討論絕對零度時電子的平均動由于絕對零度時和常溫下電子的平均動能十分相近,能與電子濃度的關系.價電子的濃度越大價電子的平均動能就越大，這是金屬中的價電子遵從費密-狄拉克統(tǒng)計分布的必然結果.在絕對零度時，電子不可能都處于最低能級上，而是在費密球中均勻分布.由(6.4)式k0價電子的濃度越大費密球的半徑就越大這一點從（6.5）密能又正比與電子濃度和(6.3)2/3n-式看得更清楚2、1/3=（3n二），高能量的電子就越多，價電子的平均動能就0.電子的平均動能E正比與費密能EF,而費所以價電子的濃度越大E0一23n2m3222/3H110m22/33n二,價電子的平均動

5、能就越大7 .對比熱和電導有貢獻的僅是費密面附近的電子，二者有何本質上的聯系？解答對比熱有貢獻的電子是其能態(tài)可以變化的電子.能態(tài)能夠發(fā)生變化的電子僅是費密面附近的電子.因為，在常溫下，費密球內部離費密面遠的狀態(tài)全被電子占據，這些電子從格波獲取的能量不足以使其躍遷到費密面附近或以外的空狀態(tài)上，能夠發(fā)生能態(tài)躍遷的僅是費密面附近的電子，這些電子吸收聲子后能躍遷到費密面附近或以外的空狀態(tài)上對電導有貢獻的電子，即是對電流有貢獻的電子，它們是能態(tài)能夠發(fā)生變化的電子由（6.79）式f=f0e（v；）二E可知，加電場后，電子分布發(fā)生了偏移.正是這偏移e(v；)部分才對電流和電導有貢獻.這偏移部分是能態(tài)發(fā)生變化

6、的電子產生的.而能態(tài)能夠發(fā)生變化的電子僅是費密面附近的電子，這些電子能從外場中獲取能量，躍遷到費密面附近或以外的空狀態(tài)上.而費密球內部離費密面遠的狀態(tài)全被電子占拒，這些電子從外.對電流和電導有貢獻的場中獲取的能量不足以使其躍遷到費密面附近或以外的空狀態(tài)上電子僅是費密面附近電子的結論從（6.83）式fVxdS2eJx-24和立方結構金屬的電導率2eEF2,接觸平衡后電勢分別為V1和V2.則兩金屬接觸后,金屬1中能量高于Efi-eV|的電子將跑到金屬2中.由于V1大于0,所以在常溫下,兩金屬接觸后,從金屬1跑到金屬2的電子，其能量只小于等于金屬1的費密能.9 .兩塊同種金屬，溫度不同，接觸后，溫度

7、未達到相等前，是否存在電勢差？為什么？解答兩塊同種金屬，溫度分別為T1和T2,且T1T2.在這種#況下，溫度為T1的金屬高00于EF的電子數目，多于溫度為T2的金屬高于EF的電子數目.兩塊金屬接觸后，系統(tǒng)的能量要取最小值，溫度為T1的金屬高于E0的部分電子將流向溫度為T2的金屬.溫度未達到相等前，這種流動一直持續(xù).期間，溫度為T1的金屬失去電子，帶正電；溫度為T2的金屬得到電子，帶負電，二者出現電勢差.10 .如果不存在碰撞機制，在外電場下，金屬中電子的分布函數如何變化？解答如果不存在碰撞機制，當有外電場8后，電子波矢的時間變化率dk_上dt一上式說明，不論電子的波矢取何值，所有價電子在波矢空

8、間的漂移速度都相同.如果沒有外電場總時，電子的分布是一個費密球，當有外電場名后，費密球將沿與電場相反的方向勻速剛性漂移，電子分布函數永遠達不到一個穩(wěn)定分布.11 .為什么價電子的濃度越高，電導率越高？解答電導仃是金屬通流能力的量度.通流能力取決于單位時間內通過截面積的電子數(參見思考題18).但并不是所有價電子對導電都有貢獻，對導電有貢獻的是費密面附近的電子.費密球越大，對導電有貢獻的電子數目就越多.費密球的大小取決于費密半徑kF=(3n二2)1/3.可見電子濃度n越高，費密球越大，對導電有貢獻的電子數目就越多，該金屬的電導率就越tWj.12 .電子散射幾率與聲子濃度有何關系？電子的平均散射角

9、與聲子的平均動量有何關系？解答設波矢為k的電子在單位時間內與聲子的碰撞幾率為(k,k,9),則0(k,k,9)即為電子在單位時間內與聲子的碰撞次數.如果把電子和聲子分別看成單原子氣體，按照經典統(tǒng)計理論，單位時間內一個電子與聲子的碰撞次數正比與聲子的濃度若只考慮正常散射過程，電子的平均散射角谷與聲子的平均波矢q的關系為在常溫下,由于qksin三二工22kF上式可化成由上式可見，在常溫下，電子的平均散射角與聲子的平均動量13 .低溫下，固體比熱與T3成正比，電阻率與T5成正比，T-mD()d,n=J70，用FiT-VceB-1之差是彳S原因？解答按照德拜模型，由(3.133)式可知，在甚低溫下，固

10、體的比熱CV12二4NkB)3而聲子的濃度2.3-md；.【C23.0，用TT2二vpeB-1作變量變換運x=kBT得到甚低溫下-AkB-”-023：3T2二Vnp其中二x2dxA=0e-1可見在甚低溫下，固體的比熱與聲子的濃度成正比按照6.7純金屬電阻率的統(tǒng)計模型可知，純金屬的電阻率與聲子的濃度和聲子平均動352量的平方成正比.可見，固體比熱與T3成正比，電阻率與T5成正比，T2之差是出自聲子平均動量的平方上.這一點可由(6.90)式得到證明.由(6.90)可得聲子平均動量的平方其中2一qx3dxex一1x2dx_xe1。14 .霍耳電場與洛倫茲力有何關系解答霍耳電場是導電電子在洛倫茲力作用

11、下產生的.設金屬的長度方向為x軸，電場名沿x方向，磁場B沿z軸方向，金屬的寬度方向為y軸方向.在此情況下，運動的電子將受到洛倫茲力F=-e(vB)的作用.該作用力指向負y方向，使電子在運動過程中向負y方向偏轉，致使負y側面的電子濃度增大，正y側面的電子濃度減小.其結果，如下圖所示，使得導體的寬度方向產生了一個附加電場y,即霍耳電場.15 .如何通過實驗來測定載流子是電子還是空穴？解答由(6.109)可以看出，電子導電材料的霍耳系數是一負值.通過實驗測定出材料的霍耳系數，若霍耳系數是負值，則可斷定載流子是電子，若霍耳系數是正值，則可斷定載流子是空穴.16 .磁場與電場，哪一種場對電子分布函數的影

12、響大？為什么？解答磁場與電場相比較，電場對電子分布函數的影響大.因為磁場對電子的作用是洛倫茲力，洛倫茲力只改變電子運動方向，并不對電子做功.也就是說，當只有磁場情況下，非磁性金屬中價電子的分布函數不會改變.但在磁場與電場同時存在的情況下，由于產生了附加霍耳電場，磁場對非磁性金屬電子的分布函數的影響就顯現出來.但與電場相比，磁場對電子分布函數的影響要弱得多.17 .為什么在開路狀態(tài)下，傳導電子能傳輸熱流？解答在開路斗態(tài)下，溫差引起的傳導電流為0,說明單位時間內由溫度高的區(qū)域穿過金屬橫截面流向溫度低白區(qū)域的電子數，等于由溫度低的區(qū)域穿過該橫截面流向溫度高的區(qū)域的電子數.但由溫度高的區(qū)域穿過金屬橫截

13、面流向溫度低的區(qū)域的電子攜帶的熱能，高于由溫度低的區(qū)域穿過該橫截面流向溫度高的區(qū)域的電子所攜帶的熱能.也就是說，盡管在開路狀態(tài)下，溫差引起的傳導電流為0,但仍有熱能由溫度高的區(qū)域傳輸到溫度低的區(qū)域.18 .電導大的金屬熱導系數也大，其本質聯系是什么？解答以立方晶系金屬為例，電導與電流的關系是jx=Cx電流密度jx就大.電導6成為金屬通流能力的量度可見，電場強度“一定，電導仃大,熱導系數與熱能流密度的關系是,dTqx=-kdx.可見，溫度梯度一定，熱導系數k大,流能力的量度.熱能流密度qx就大.熱導系數k成為金屬傳輸熱能通流能力取決于單位時間內通過截面積的電子數,而傳輸熱能流能力取決于單位時間內

14、通過截面積的電子數目.也就是說，二者傳輸能量的機制是相同的.因此，電導大的金屬熱導系數也大.另外，由(6.126)可知，金屬的熱導系數.22_kB二nfT.22/2kBnTnetf*3m2-3322m；2d；(D2m(2)k3(3)綜合(1)、(2)、(3)可得23ki3二2N0二一N-52mV一2(4)所以壓強為寸N=(2/3)(0/V)(5)3e2對于立方晶系金屬來說2nef可見立方晶系金屬的熱導率與電導率成正比，自然電導大的金屬熱導系數也大1.1對于體積V內N個電子的自由電子氣體，證明(1)電子氣體的壓強p=(2/3)m(/V),其中即為電子氣體的基態(tài)能量。(2)體積彈性模量K=7(印/

15、卬)為10%/%。證明：(1)電子氣體的基態(tài)能量(即絕對零度時的內能)(2)對于自由電子氣體(6)；o12kF5V一二210m而費米波矢kF與體積V的關系為2M工MfnkF3=N(7)8二33所以1.22二，(小3二210mV代入模量表達式得(8)2日2152：1:K=-V(?p/?V)=-V(-(-)(3r：N)3(-)33二210m3V10方213h2NJ10/-2()一9二210mV9V(9)3He原子是具有自旋1/2的費米子，在絕對零度附近，液體3He的密度為0.081gcm-3。計算費米能量不和費米溫度TF03He原子的質量為m咫x10-24g解：3He原子密度為：7m0.081,.

16、*2J3n=24=1.6210cmm510電子密度和費米波矢的關系為:,32kF=3二n(2)所以費米波矢為kF=3.3二2n=7.72107cmJ(3)費米能量為1.32m(6.581046eVs)2(7.72107cm-242510g=4.2010eV費米溫度為Tf=，F/kB4.2010“eV_-58.61710eVK低溫下金屬4)24=4.86K(4)(5)鉀的摩爾電子熱容量的實驗測量結果為Ce=2.08TmJmol，K,，在自由電子氣體模型下估算鉀的費米溫度Tf及費米面上的態(tài)密度g(r)。解：電子熱容量與費米溫度關系為Cv=-CeNankBT-TF(1)鉀的電子密度為n=1.4010

17、22cm4(2)所以費米溫度為二2TTf=NaKb2Ce1.3810JKTK2.08T(mJmofK)(3)2二一231一6.0210mol2=1.97104K電子熱容量與費米面上的態(tài)密度的關系為八ncCvFCekBg(年)T(4)所以費米面上態(tài)密度為nCeg(；f)=y2一NaKbT312222.08T(mJmolK)1.4010cm2(5)_232_231T(1.3810JK)26.0210mol_40_3_211_3=7.7210Jcm=6.2010eVcmcmo計算1.4銅的密度為Pm=8.95g/cm3,室溫下的電阻率為=1.55父10*0(D(2)導電電子濃度;弛豫時間；(3)費米

18、能量“，費米速度v(4)費米面上的電子平均自由程If。解：(1)導電電子濃度為:m2n=NAA(D8.95g/cm,6.021023mol”163.5gmol_22-3=8.481022cm(2)電導率與弛豫時間關系是CT(2)由此可得，弛豫時間為ne2P(3)9.1108g8.481022cm，(1.61019C)21.5510?cm一.14=2.7010s(3)費米波矢和電子密度之間關系為(4)k3=3二2n由此可得銅的費米波矢為kF=312n二3；3父，2父8.28父1022cm.(5)=1.35108cm費米能量為2kF2c2k2嚀T2m2mc(197nmeV)2(1.35108cm)

19、2=6(6)20.51110eV=6.92eV費米速度為vF=2F/m=J2M6.92eV/(9.1-108g)(7)=1.56108cms4(4)費米面上的平均自由程為lF=vF=1.561082.701044(8)=41.2nm8.5 考慮一在球形區(qū)域內密度均勻的自由電子氣體，電子系統(tǒng)相對于等量均勻正電荷背景有一小的整體位移，證明在這一位移下系統(tǒng)是穩(wěn)定的，并給出這一小振動問題的特征頻率。解：8.6 在什么波長下，對于電磁波輻照，金屬Al是透明的？解：金屬Al的電子密度223n=18.1父10cm(1)對應的特征頻率nep：om_118.1-1022cm.m(1.6m10,9C)2一丫8.8

20、5父10,七2Nim/父9.1父10,9=2.401016rads相應波長2二c2二3.0108ms-“-0p2.40m1016s(3)=78.5nm當滿足6Asp(4)時，金屬Al是透明的。此時波長應小于78.5nm。8.7 對于自由電子氣體，證明電阻率張量的對角元在外加磁場時不發(fā)生變化，即橫向磁阻為零。解：8.8 對于表面在2=0和2=1之間的金屬平板，假定表面相當于一無窮高的勢壘(1)證明單電子波函數比例于sinkzzexpi(kxxkyy)(2)證明在金屬內r處的電荷密度為：(r)=：01-3j1(u)/u其中u=2kpZ,P0是波函數比例于expi(kxx+kyy+kzZ)時的電荷密

21、度,j1是一級球貝塞爾函數。第二章晶體的結構2.1 證明對于六角密堆積結構，理想的c/a比為(8/3)1/2定1.633.又：金屬Na在273K因馬氏體相變從體心立方轉變?yōu)榱敲芏逊e結構，假定相變時金屬的密度維持不變，已知立方相的品格常數a=0.423nm,設六角密堆積結構相的c/a維持理想值，試求其品格常數。解：理想的六角米堆積構成的六角棱柱如右圖所示其中每4個不共面的近鄰原子構成一個邊長為a的正四面體，而c正好是正四面體高的兩倍，可以求得正四面體的高為萍a,所以c/au831.633體心立方每個單胞的體積為Vbcc=a3cc=(0.4233=0.07569nm3每個單胞中含有兩個原子，所以

22、原子密度為20,07569=26.42nm_3六角密堆積的單胞體積為1,39QVhcp=6ac=3,2ap22每個單胞里有6個原子，所以原子密度為6/（3.2a3）要求密度相等，相當于原子密度不變.2a,，=26.42六角密堆積的晶格常數a=0.377nm,c=0,615nm2.2 證明簡單六角布拉維格子的倒格子仍為簡單六角布拉維格子，并給出其倒格子的品格常數。解：簡單六角的基矢可以選為a1=ax-a.3a2二一xay22KiI?a3=cz單胞體積為.、-.:32=a1a2a3ac2倒格基矢應為2：二2二3:4.3-：，31xy=（一x-y）a3a3a22b2b32二a3a1_4.3二J一3a

23、2二aa22二/Ji符合簡單六角基矢特點，所以到給仍為簡單六角，晶格常數分別為任一和3a2二0c2.3 畫出體心立方和面心立方品格結構的金屬在（100）,（110）和（111）面上原子排列。解：2.4 指出立方晶格（111）面與（110）面，（111）面與（100）的交線的晶向。解：明：（1）對于體心立方格子,ni的和為偶數。2.5 如將布拉維格子的格點位置在直角坐標系中用一組數（%，1,%）表示，證Q全部為偶數或奇數；（2）對于面心立方格子，解：(1)體心立方格子基矢a.a1=-(yz-x)2一a,a2=(zx-y)2a,a3=2(xy-z)任意格矢可寫為Rm=m1a1m2a2m3a3代入具

24、體的基矢Rm=(m2m3一m1)x(m3m1一m2)y(m1m2-m3)z222ani=m2m3-min2=m3n3二m1m1-m2m2-m3當m1，m2,m3為全奇或一奇二偶時，n1，n2,飛全為奇數；當m1，m2，m3為全偶或二奇一偶時，“，n2,n3全為偶數。(2)體心立方格子基矢-aa1=-(yz)2aa2=-(zx)2-aa3=-(xy)2任意格矢可寫為m2a2m3a3Rm=mai代入具體的基矢Rm=-(m2m3)x(m3mi)y(m1m2)z222an1=m2m3n2=m3ml%=mm2三數之和n1n2n3=2(m1m2m3)2.6 可在面心立方晶體中摻入外來院子，摻雜原子填入四面

25、體或八面體為止，即摻雜原子周圍的品格原子分別處于正四面體和正八面體的頂點位置上。試給出這些間隙位置的所在。解：2.7 算出圖2.1所示二維蜂房格子的幾何結構因子。解：A原子和B原子不等效，看作一個基元，原胞中包含這兩個原子，取基矢如右圖，并定為ai=ax-a3a2x1ay22根據2科=2兀樂得bi-b2-2二2.3xa3a4-3：.二43,:331-y=(x-y)3a22倒格矢可寫為iGh=h1b1h2b2=h12二2.3二x(2h2-h1)y3a原胞中兩原子位矢d1=0,a-、/3d2=-xay26幾何結構因子一Gd；S-fje=f1(1e2-(h1%)二3)2.8 已知三斜品系的晶體中，三

26、個基矢為堤力2和a3,現測知該晶體的某一晶面法線與三基矢夾角為a,P和。試求該晶面的面指數。解：2.9 證明六角晶體的介電常數張量為&_L0解：對于六角晶體，繞六重軸的轉動操作可寫為0ncos331一sin-3此操作為對稱操作，可使得ij=、mnim-jn-mn*/00由上式得00_L00L2.10 對于一個三主軸方向周期分別為a,b和c的正交簡單晶格，當入射X射線與100方向（其重復周期為a）一致時，試確定在哪些方向上會出現衍射極大?什么樣的X射線波長才能觀察到極大？2.11 對一雙原子線，設AB鍵長為a/2,取ABAB-AB排列，原子A,B的形狀因子分別是fA,fB,入射X射線束垂直于原子

27、線(1)證明干涉條件為nZ=acose,其中曰為衍射束與原子線的夾角；(2)倒格矢G=hb,h為整數，證明h為奇數時衍射束的強度正比于22fA-fb|,h為偶數時衍射束的強度正比于|fA+fb；(3)說明fA=fB時會出現什么現象。解：(1)第三章能帶論IVx=T-12一m2I3.1電子在周期場中的勢能函數b2-(x-na)na-bxna+b0,n-1ab_x_na-b其中a=4b,&為常數(1)畫出此勢能曲線，并求其平均值；(2)用近自由電子近似模型求出晶體的第一個及第二個近代的寬度解：(1)畫出勢能曲線如下圖勢能為周期函數，平均勢能可以是在一個周期求平均得到的結果一x2dx_12b1b12

28、2VV(x)dxmb4bs4b2m24b|L2213bxx312.2=-mb(2)晶體的第一個禁帶寬度鳥g=2M,第二個禁帶寬度82g=2V2,其中Vi,V2分別是勢能函數V(x)的傅立葉展開系數12b-i.x1b1-ixV1=Vxeadxm(b-x)eadx42.2=mb12bV2=汨2bVxe.4二-i-xa4b2b4b21b1222-i-xdxm(b-x)eadx4b2禁帶寬度分別為82.2為mb3L3.2設有二維正方晶格，其晶格勢場為V(x,y)-4Ucos(2二x/a)cos(2二y/a)按弱周期場近似，求出布里淵區(qū)角處(n/a,n/a)的能隙解：品格勢場可以變形為乏x/二:xiy，

29、沁V(x,y)=-U(eaea)(eaea)將上式展開得222-2i(xy)i-(x_y)i(/.y)i(/_y)V(x,y)=-U(eaeaeaea)在二維品格空間中r=xi?y?倒格矢2ITccG=J(hi?+b2?)bib為整數a勢能函數的泰勒展開式為V=VGeiGrG和前面得到的勢能形式對比，可知V二VGeiGl,irVGeiGlHVG丁/VGGi,iGi,1G1,iG_L工其他倒格矢對應的項都為零，只有Gii=(?+?),Gi_i=(?-?),a，aGAi=-(-i?+?,G=(-i?-?)對應的項存在，a，aVG=VG=VG=VG-UGi,iGi,iGjjG_Li所以在布里淵區(qū)角處

30、(n/a,n/a)的能隙為%=2Vg：i=2U3.4考慮品格常數為a和c的三維簡單六角晶體的第一布里淵區(qū)。令Gc為平行于晶格c軸的最短倒格矢。(D證明對于六角密堆積結構，晶體勢場V(r)的傅里葉分量V(Gc)為零。(2)V(2Gc)是否也為零？(3)為什么二價原子構成的簡單六角晶格在原則上有可能是絕緣體？(4)為什么不可能得到由單價原子六角密堆積形成的絕緣體？解：(i)簡單六角的基矢為一一a_.3a.a=a及，a2=一父+P,a3=c?22六角密堆積每個基元中有2個原子，坐標分別為(0,0,0)和(JJ),222而Gc：212,V(GJ=Vj(Gc)eGcdj,這兩個原子的Vj(GJ相cj同，

31、所以-4(2)(-3a)?324c2).一V(Gc)=Vi(Gc)iec442=Gc)ie，=0(2)六角密堆積中一一i4L2(.3a*.一?：2)V(2GJ=Vi(2GJ1ec442=2VK2GJ=0(3)對于處于簡單六角點陣上的二價原子，每個初基晶胞中一個二價原子，這樣N個初基晶胞中共有2N個價電子，剛好可以填滿第一布里淵區(qū)的一個能帶。故原則上可以成為絕緣體。(4)對于處于六角密堆積點陣上的單價原子，每個初基晶胞中有兩個單價原子，這樣N個初基晶胞中共有2N個價電子，而第一布里淵區(qū)的一個能帶可以填4N個電子，不可能成為絕緣體。第四章能帶論II4.1一維晶體的電子能帶可以寫成；k=(2/ma2

32、)7/8-coka(1/8)co2ka其中a為品格常數，試求(1)能帶寬度；(2)電子速度(3)能帶底部和頂部電子的有效質量。解：(1)k=0是能帶具有最小值武0)=022k=n/a時，能帶具有最大值(k)=Jma所以能帶寬度為2ma(2)(3)電子在波矢k狀態(tài)時的速度為1d；(k).1vk=(sikasii2ka)dkma4電子的有效質量的倒數為211d；(k)1,1=-22-=(coka一一coska)m*2dk2m2k=0時，有效質量m*=2m2k=n/a時，有效質重m*=m34.3在金屬鈿的倒帶底，有效質量張量有如下形式xx000%y%z0aauzyzz/且ayz=4y,試求有效質量張

33、量的各元素。解：設有效質量張量為*、mxxmxymxz*myxmyymyz*EzxmzymzzJ可以得m.,xx*lyx*Izxxy*yy*bym.xz、*xx*0yy工zyyz工zz0、0*即mxx.lxx=1，*mxy-Iyymxz工zy*二0mmxy-yzmxz-zz=0,*mvx：xx=0,yxxx*myy：-yy*myz：zy=1，myy：yzmyz：z=0一一*mzx-xx=0,*mzy：yy仃：zy=0,4ky：yz仃：zz=1由此可以解得*mxx1*一，mxy-：xx*=mxz=myx=mzx=0,*azzmyy二2,、yy-zz，、1yz*mzzyy2-，-yy-Jzz-yz

34、*myz*二mzyyzototyyzz2yz即有效質量張量為、xx二zz:yy：.zz-Otyz:yy:zz-2二yz:yz2OtOt-Otyyzzyzotyy:yy:zz-二2z第五章5.2從有關一維雙原子鏈晶格振動的結果晶格振動2:mM0+=P一mM1-1-4mM2IimM_2sin，qaZ!j1二cos2qa說明當兩原子質量m=M時,結果回到一維單原子鏈情形解：當m=M時5.3一維雙原子鏈的晶格振動，鏈上最近鄰原子間的力常數交替的等于c和10c令原子質量相同，且最近鄰距為a/2,試求在q=0和q=冗/a處的s(q)。解：一維雙原子鏈示意圖如下c10c_._c10ccn-1,1n-1,2n

35、,1n,2n+1,1n+1,2只考慮最近鄰作用，此雙原子鏈的運動方程為mun,i=10C(Un,2Un,i)C(Un,2-少)mUn,2=C(Un,1-Un,2)10C(Un1,1-Un,2)取其解的形式為Um=Aei(qna),1代入運動方程可得(m-2-11c)Ac(110eJqa)B=0c(110eiqa)A(m2-11c)B=0有解條件是下列行列式為零mw2-11cc(1+10eJqa)八ha9=0c(1+10e)mcc-11c由此可以解得-2=-11一121-40sin2(1qa)一m2q=0時有22cq=n/a時有20c5.7考慮一個全同原子組成的平面方格子，用Ul,m記第1歹I，第m行的原子垂直于格平面的位移，每個原子質量為M,最近鄰原子的力常數為P0(1)證明運動方程為M(d2Ul,m/dt2)(Ul1,mUl,m-2Ul,m)(Ul,m1Ul,m-2Ul,m)(2)設解的形式為Ul,m=u(0)expi(lqxa+mqya-cot),這