完整版基于LabVIEW的正弦信號(hào)頻率與相位測量

1、基于LabVIEW勺正弦信號(hào)頻率與相位測量1 .前言信號(hào)頻率與相位的測量具有重要的實(shí)際意義。本文調(diào)研了頻率與相位的多種測量算法，并借助LabVIEW編程實(shí)現(xiàn)。在此基礎(chǔ)上，對各種算法進(jìn)行了比較研究，且提出了行之有效的改進(jìn)措施。2 .采樣定理與誤差分析2.1 采樣定理時(shí)域信號(hào)f(t)的頻譜若只占據(jù)有限頻率區(qū)間(-6m,切m),則信號(hào)可以用等間隔的采樣值唯一表示，而最低采樣頻率為23。采樣定理表明：信號(hào)最大變化速度決定了信號(hào)所包含的最高頻率分量，要使采樣信號(hào)能夠不失真地反映原信號(hào)，必須滿足在最高頻率分量的一個(gè)周期內(nèi)至少采樣兩個(gè)點(diǎn)。2.2 誤差分析對連續(xù)周期信號(hào)Xa(t)進(jìn)行采樣得離散序列Xd(n),

2、如果滿足采樣定理，則離散序列Xd(n)的傅里葉級數(shù)Xdg(k)是連續(xù)信號(hào)Xa(t)的傅里葉級數(shù)Xag(k6i)的周期延拓，否則會(huì)出現(xiàn)兩種形式的誤差。2.2.1 泄漏誤差在連續(xù)信號(hào)Xa(t)一個(gè)周期工內(nèi)采樣Ni個(gè)點(diǎn)，如果正好滿足NiTs=Ti(Ts為采樣間隔)，則是完整周期采樣，采樣結(jié)果xd(n)仍為周期序列，周期為N1O基于xd(n)一個(gè)周期2個(gè)點(diǎn)計(jì)算離散傅里葉級數(shù)Xdg(k),由Xdg(k)可以準(zhǔn)確得到連續(xù)信號(hào)Xa(t)的傅里葉級數(shù)Xag(k©1)o如果在連續(xù)信號(hào)Xa(t)的M個(gè)周期時(shí)間內(nèi)采樣整數(shù)Ni個(gè)點(diǎn)，即N1s=MTi,也是完整周期采樣。在此情況下，采樣結(jié)果xd(n)仍為周期序

3、列，周期為N1，但xd(n)的一個(gè)周期對應(yīng)于xa(t)的M個(gè)周期，由離散序列(n)仍然可以準(zhǔn)確得到連續(xù)信號(hào)xa(t)的頻譜。如果以上兩種情況都不滿足，則為不完整周期抽樣,Xd(n)也不再是周期序列。如果取Xd(n)近似周期的Ni個(gè)點(diǎn)計(jì)算傅立葉級數(shù)，則產(chǎn)生誤差，此誤差稱為泄漏誤差。圖1所示是對連續(xù)正弦信號(hào)進(jìn)行非完整周期抽樣的兩種情況，分別是N1Ts<T1和N1Ts>T1。iVj(ff),/Th/Th-圖1正弦信號(hào)非完整周期采樣序列的周期延拓2.2.2 混疊誤差如果信號(hào)頻率無限，則無論如何提高采樣頻率，都不能避免頻譜混疊；如果頻率有限，但采樣不滿足采樣定理，也會(huì)出現(xiàn)頻譜混疊，采樣信號(hào)的

4、離散傅里葉級數(shù)不再能準(zhǔn)確表示原來連續(xù)信號(hào)的傅里葉級數(shù)?；殳B誤差的本質(zhì)在于，如果對信號(hào)中高頻分量的采樣不滿足采樣定理，其采樣結(jié)果將表現(xiàn)為一低頻序列，它和信號(hào)中原有低頻分量的采樣結(jié)果混在一起，造成低頻分量頻譜的誤差。在信號(hào)頻率無限的情況下，混疊不可避免，但通過提高采樣頻率可以減小誤差；在頻率有限的情況下，只要滿足采樣定理，混疊誤差可以完全避免。3 .頻率與相位測量算法3.1 頻率測量算法3.1.1 三點(diǎn)法三點(diǎn)法是一種建立在三角函數(shù)變換基礎(chǔ)上的數(shù)據(jù)擬合方法。假設(shè)被測函數(shù)是正弦函數(shù)，在等間隔采樣的前提下可以利用相鄰3個(gè)數(shù)據(jù)樣本，導(dǎo)出求解信號(hào)頻率的線性方程，進(jìn)而擬合求解頻率1。設(shè)信號(hào)為u(t)=Umsi

5、n(t+中)，若81+審=口,則(1)u(t)=Umsin二若設(shè)日=二=2其中Fs為采樣頻率，則有FsFsf二2相鄰的3個(gè)數(shù)據(jù)樣本可表示為U=Umsin;一U1=Umsin(:口)Ui.2"Umsin(：/2口)由三角變換有ui-ui2=2ui1cos所以cosl-U-U22ui1令x(n)=2u+,y(n)=ui+ui.2,則得到y(tǒng)(n)=x(n)cos二f=Earccosi2式*就是所需要的線性方程。用最小二乘法擬合可以得到一個(gè)較準(zhǔn)確的斜率而求出頻率。(2)(3)(4)(5)(6)cosB,進(jìn)3.1.2多周期平均計(jì)數(shù)法多周期平均計(jì)數(shù)方法是通過對多個(gè)周期的采樣信號(hào)進(jìn)行計(jì)數(shù)，然后以其

6、平均值作為頻率測量值。假定采樣頻率為Fs,共采集m個(gè)周期的信號(hào)，用計(jì)數(shù)的方法找到各個(gè)周期的樣本數(shù)，分別為Ni,N2,一，Nm,那么對應(yīng)于各個(gè)周期的頻率值分別為考慮m個(gè)周期的頻率的均值，有f=&上+,+川+工m<NiN2NmJFsFsFs一,NiN2Nm(7)實(shí)際上，在非整周期采樣的條件下，式(3-1)中N的取值只有兩種情況，即多一個(gè)或少一個(gè)樣本。假定分別是n1和ni+1,與它們對應(yīng)的周期數(shù)分別是門和m2,則式(3-1)可以改寫為fFsm,f=m2mgn1+11rr=一(m1flm2f2)m(8)其中f1=Fs和f2=工分別對應(yīng)于被測信號(hào)頻率的最大偏差值和最小偏差值。n1ni13.

7、1.3能量矩平衡法圖2是能量矩平衡法2的示意圖，用pi表示第i個(gè)譜線的幅值，Xi是Pi的橫坐標(biāo)，借助力學(xué)概念，設(shè)想第i個(gè)譜線對原點(diǎn)形成了一個(gè)轉(zhuǎn)矩（不妨稱之為能量矩），其大小為pixi,N圖2能量矩平衡法示意圖對全部N個(gè)譜線，總的能量矩為£pixi,設(shè)想在x軸上存在i1一個(gè)重心在Xo處，反方向施加給全部信號(hào)的能量P0,在不考慮頻率泄漏的情況下，令X軸上的能量矩平衡，即NPoXo=£PiXi(9)NNNN-PiXi由于Po可表示為Po=£Pi，所以有X0ZPi=£PiXi,從而得到Xo=-LJNyyy、Pii1后將橫坐標(biāo)乘以，f=縣，得到所求頻率:NPiXi

8、凸-N“Pii=1FsN(1。)式中，F(xiàn)s為采樣率，N為樣本數(shù)。3.1.4比例法圖3表示采樣信號(hào)的頻譜，其中顯示的是主瓣內(nèi)的譜線yk和yk書，其譜線序號(hào)分別為Xk和xk.，而頻率的準(zhǔn)確值位于橫坐標(biāo)x0處。可以利用yk和yk卅這兩條譜線的幅值對間隔xk書-xk,即Af進(jìn)行細(xì)分。在矩形窗的情況下，可以直觀的視x0處為重心，則有圖3比例法的示意圖于是所以yk_xk1-過yk1x0xk(11)ykyk1_xki-x0x0-xk_xk1-xk1yk1x0-xkx0_xkx0-xk(12)用Hanning窗，可以導(dǎo)出3.2相位測量算法3.2.1過零法過零法的基本原理如圖4所示。_yk1x0=xkyyk1=

9、Af，x0=：Yt+xkflyk+yk書Jx。二生qxkyk-yk1f=向由_yk+xkdfVYk+Yk+J判斷兩信號(hào)過零點(diǎn)時(shí)刻t1與t2的時(shí)間間隔At,將時(shí)間差轉(zhuǎn)化為相位差，計(jì)算公式為,2二t2二nphase=TT(15)其中，飛為兩信號(hào)過零點(diǎn)時(shí)刻3與12的時(shí)間間隔，T為信號(hào)周期，七為信號(hào)采樣周期，n為兩信號(hào)過零點(diǎn)時(shí)刻t1與t2間的采樣點(diǎn)數(shù)。(13)(14)圖4過零法的原理圖設(shè)A/D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)為N,最大模擬輸入量為UDm,則幅值的采樣分辨率為UDm/2N,如圖5所示。在過零點(diǎn)附近,電壓u滿足1UDm2尸Dm(16)圖5過零點(diǎn)的取值故采樣點(diǎn)Pn的數(shù)值大于零，采樣點(diǎn)Pn¥的數(shù)值小于零

10、,在R與Pn書之間必然有一個(gè)真實(shí)的過零點(diǎn)P0,一般取為P()=(Pn+Pn中)/2。具體算法過程如下：(1)獲取兩路數(shù)字信號(hào)值數(shù)組；(2)尋找數(shù)組中正、負(fù)值變換點(diǎn)，即PNPN*<0；(3)根據(jù)正、負(fù)值點(diǎn)計(jì)算過零點(diǎn)，同時(shí)計(jì)算周期；(4)根據(jù)兩過零點(diǎn)計(jì)算時(shí)間差，并轉(zhuǎn)換為相位；(5)結(jié)果與誤差顯示。3.2.2相關(guān)分析法相關(guān)法利用兩個(gè)同頻正弦信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)零時(shí)刻值與其相位差的余弦值成正比的原理獲得相位差冏。由于噪聲信號(hào)與有效信號(hào)的相關(guān)性很小，因而該方法有很好的抑制噪聲能力。假設(shè)兩個(gè)同頻信號(hào)表達(dá)式如下：x=Asin(0:0)Nx(t)y(t)=Bsin(00+中0)+Ny(t)(17)其中，A、

11、B分別為x(t)和y(t)的幅值，Nx(t)、Ny(t)分別為噪聲信號(hào)。對x(t)和y(t)進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，有1T1TR<y(T)=-0x(t)y(t+)dt=-i0AsinC%t+?)+Nx(t)Bsin80(t+T)+%)+Ny(t+T)dt(18)當(dāng)T=0時(shí)1TRxy(0)=0Asin(80t+Q)+Nx(t)LBsin(00(t)+Q)+Ny(t)dt(19)由于噪聲和信號(hào)、噪聲和噪聲不相關(guān)，積分后可得Rxy(0)=ABcos(1-0)Q-%=arccos(2Rxy(0)(20)AB其中，AiJ2Rx(0),B=.2Ry(0)。實(shí)際處理的信號(hào)為采樣后的離散點(diǎn)序列，相應(yīng)的離散計(jì)算公式

12、為1kRxy(0)x(n)y(n)knq1k1Rx(0)=-Hx(n)2(21)kn1"2Ry(0)=丁'y(n)kn=0式中k為采樣點(diǎn)。通過信號(hào)x(t)和y(t)的自相關(guān)與互相關(guān)函數(shù)的計(jì)算，可求得它們的相位差。3.2.3互功率譜法該方法首先對兩路正弦信號(hào)進(jìn)行采樣得到兩組離散數(shù)據(jù)，然后利用互相關(guān)原理求出兩組數(shù)據(jù)互相關(guān)函數(shù)的幅度譜和相位譜。因?yàn)閮尚盘?hào)為同頻信號(hào)，它們具有最大的相關(guān)性。故在幅度譜中存在最大幅度值，在相位譜中與幅度譜最大值對應(yīng)的相位信息即為兩信號(hào)的相位差4?；スβ首V的計(jì)算是通過先求兩待測信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)再進(jìn)行離散傅里葉變換來實(shí)現(xiàn)的。設(shè)x(t)、y(t)分別為兩待測同

13、頻正弦信號(hào)，中為x(t)和y(t)的相位差，T為采樣時(shí)間，七為互相關(guān)函數(shù)的變量，則互相關(guān)函數(shù)計(jì)算公式為1TRxy(T)=Tim7f0x(t)y(t+T)dt(22)一T采樣獲得的離散時(shí)間序列信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)表達(dá)式為_1?，一Rxy(i)=-Zx(k)y(k+i)(23)Nk4當(dāng)兩路信號(hào)為時(shí)不變信號(hào)時(shí)，它們的互功率譜密度同互相關(guān)函數(shù)是Z變換關(guān)系，即qQSxy(Z)=fRxy(k)Z”(24)k*3對求得的互功率譜密度函數(shù)進(jìn)行極坐標(biāo)變換，即可得到兩正弦信號(hào)的幅度譜與相位譜，進(jìn)而求出相位差5。4. LabVIEW程序4.1 信號(hào)的產(chǎn)生與采集雙路正弦信號(hào)產(chǎn)生程序的前面板如圖6、7所示。其中，信號(hào)1與信

14、號(hào)2的頻率、幅值、相位可以單獨(dú)設(shè)置，并且兩個(gè)正弦信號(hào)均可疊加任意大小的諧波與白噪聲。波形生產(chǎn)程序中，緩沖區(qū)內(nèi)的波形數(shù)據(jù)被循環(huán)輸出只模擬輸出端0、1;波形采集程序中，模擬輸出信號(hào)接至模擬輸入端子并被采集，其中采樣率與采樣數(shù)可調(diào)。輸出正弦波參數(shù)袖也女段帝友做mn.盧博凌?采集信號(hào)波形采樣數(shù)血口采樣率圖6波形輸出程序前面板圖7波形采集程序前面板4.2 頻率測量程序按照前述頻率測量算法編制的LabVIEW程序見圖811。各程序首先采集數(shù)據(jù)并得到頻率計(jì)算值，然后與實(shí)際頻率值進(jìn)行比較計(jì)算相對誤差。圖8三點(diǎn)法測頻程序圖9多周期平均計(jì)數(shù)法測頻程序圖10能量矩平衡法測頻程序圖11比例法測頻程序4.3相位測量程序

15、按照前述相位測量算法編制的LabVIEW程序見圖1214。各程序首先采集數(shù)據(jù)并得到兩路正弦信號(hào)相位差計(jì)算值，然后與實(shí)際相位差值進(jìn)行比較得到相對誤差。圖12過零法測量相位程序14尚號(hào)»7叫二.'圖13相關(guān)分析法測量相位程序圖14互功率譜法測量相位程序5.實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析5.1各種算法的誤差比較5.1.1頻率測量實(shí)驗(yàn)1采用仿真信號(hào)，無諧波、噪聲，信號(hào)幅值為1V,信號(hào)頻率設(shè)定為53.31Hz,采樣頻率Fs=1000,樣本個(gè)數(shù)#s=1000o實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表1所示。實(shí)驗(yàn)2在實(shí)驗(yàn)1的基礎(chǔ)上，增加白噪聲0.1V,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。帽相網(wǎng)洋車哥依2'引.表1四種方法測量頻率的相對誤差測頻

16、方法相對誤差/%多周期的平均計(jì)數(shù)法0.0069三點(diǎn)法0能量矩平衡（Hanning）0.0043比例法（Hanning）0.0730表2疊加白噪聲后的相對誤差測頻方法相對誤差/%多周期的平均計(jì)數(shù)法0.0830三點(diǎn)法5.3808能量矩平衡（Hanning）0.0212比例法（Hanning）0.0679實(shí)驗(yàn)3在實(shí)驗(yàn)1的基礎(chǔ)上，增加3次諧波0.1V,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示。實(shí)驗(yàn)4采用實(shí)際采集信號(hào)，無諧波、噪聲，信號(hào)幅值為1V,信號(hào)頻率設(shè)定為53.31Hz,采樣頻率Fs=l000,樣本個(gè)數(shù)#s=1000。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4所示。實(shí)驗(yàn)5在實(shí)驗(yàn)1的基礎(chǔ)上，提高樣本個(gè)數(shù)#s=2000,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表5所示。表3疊加3

17、次諧波后的相對誤差測頻方法相對誤差/%多周期的平均計(jì)數(shù)法0.2560三點(diǎn)法3.8240能量矩平衡（Hanning）0.0037比例法（Hanning）0.0716表4采用實(shí)際采集信號(hào)后的相對誤差測頻方法相對誤差/%多周期的平均計(jì)數(shù)法0.0986三點(diǎn)法1.3957能量矩平衡（Hanning）0.0401比例法（Hanning窗）0.0437表5提高樣本個(gè)數(shù)后的相對誤差測頻方法相對誤差/%多周期的平均計(jì)數(shù)法0.0855三點(diǎn)法1.3957能量矩平衡（Hanning）0.0546比例法（Hanning）0.0438由以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以得到如下結(jié)論：（1） 由實(shí)驗(yàn)1和4知，各種方法對各種實(shí)際采集信號(hào)頻率的

18、測量誤差均大于仿真信號(hào)的測量誤差；（2） 由實(shí)驗(yàn)1和2、3知，多周期平均計(jì)數(shù)法和能量矩平衡法沒有比例法抗干擾能力強(qiáng);（3） 三點(diǎn)法由于理論固有原因，在信號(hào)非標(biāo)準(zhǔn)正弦時(shí)誤差很大；（4） 多周期法在偶數(shù)次諧波的作用下過零點(diǎn)發(fā)生變化，誤差增大；（5） 由實(shí)驗(yàn)1和5知，提高樣本個(gè)數(shù)對時(shí)域測量方法而言可以明顯提高測量精度，而對頻域方法效果不明顯。5.1.2相位測量實(shí)驗(yàn)1采用仿真信號(hào)，無諧波、噪聲，信號(hào)幅值為1V,信號(hào)頻率設(shè)定為53.31Hz,相位差90°,采樣頻率Fs=1000,樣本個(gè)數(shù)#s=1000。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表6所示。實(shí)驗(yàn)2在實(shí)驗(yàn)1的基礎(chǔ)上，增加白噪聲0.1V,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表7所示。表6四種

19、方法測量仿真信號(hào)相位的相對誤差測相位方法相對誤差/%過零法0.5780相關(guān)分析法（Hanning）0.5147互功率譜法（Hanning）0.3779表7疊加白噪聲后的相對誤差測相位方法相對誤差/%過零法1.1541相關(guān)分析法（Hanning）1.7476互功率譜法（Hanning）0.5349實(shí)驗(yàn)3在實(shí)驗(yàn)1的基礎(chǔ)上，增加3次諧波0.1V,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表8所示。表8疊加3次諧波后的相對誤差測相位方法相對誤差/%過零法0.5780相關(guān)分析法（Hanning）0.2427互功率譜法（Hanning）0.3882實(shí)驗(yàn)4采用實(shí)際采集信號(hào)，無諧波、噪聲，信號(hào)幅值為1V,信號(hào)頻率設(shè)定為53.31Hz,相位差

20、90°,采樣頻率Fs=1000,樣本個(gè)數(shù)#s=1000o實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表9所示：表9采用實(shí)際采集信號(hào)后的相對誤差測相位方法相對誤差/%過零法1.2945相關(guān)分析法（Hanning）1.1457互功率譜法（Hanning）0.6438實(shí)驗(yàn)5在實(shí)驗(yàn)1的基礎(chǔ)上，提高樣本個(gè)數(shù)#s=20000,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表10所示:表10提高樣本個(gè)數(shù)后的相對誤差測相位方法相對誤差/%過零法0.2446相關(guān)分析法（Hanning）0.0001互功率譜法（Hanning）0.3476由以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以得到如下結(jié)論：(6) 由實(shí)驗(yàn)1和4知，各種方法對各種實(shí)際采集信號(hào)頻率的測量誤差均大于仿真信號(hào)的測量誤差；(7) 由實(shí)驗(yàn)

21、1和2、3知，噪聲給結(jié)果帶來較大誤差，但高次諧波幾乎無影響；(8) 互功率譜法比過零法與相關(guān)分析法抗干擾能力強(qiáng)；(9) 由實(shí)驗(yàn)1和5知，提高樣本個(gè)數(shù)對時(shí)域測量方法而言可以明顯提高測量精度，而對頻域方法效果不明顯。5.2算法的研究與改進(jìn)5.2.1 頻率測量算法的改進(jìn)頻率測量的準(zhǔn)確度會(huì)進(jìn)一步影響相位的測量，因而具有重要的意義?？紤]之前的各種頻率測量算法，均測量一次結(jié)果即輸出。現(xiàn)對所有算法做如下循環(huán)迭代的改進(jìn)6:(1)設(shè)定頻率初值f0和兩次測量允許誤差值A(chǔ)f；(2)對信號(hào)采樣；(3)計(jì)算得到頻率f1；(4)如果f1-fo>Af,則返回步驟(2),以力為初值，調(diào)整采樣頻率為力的10倍，進(jìn)行重新采樣，計(jì)算f2，余類推;(5)如果f1-fo<&f,循環(huán)結(jié)束，輸出頻率測量結(jié)果和迭代次數(shù)。對多周期平均計(jì)數(shù)法按以上步驟進(jìn)行循環(huán)迭代，程序框圖如下。號(hào)時(shí)網(wǎng);該并“-f周明11|二碗ml遇I圖15多周期平均計(jì)數(shù)法迭代測量頻率的程序框圖取正弦信號(hào)幅值1V,頻率53.31Hz,采樣頻率Fs=1000,樣本個(gè)數(shù)#s=1000時(shí)，迭代前頻率測量誤差為0.0069%。迭代后，取允許測量誤差為0.001%,程序迭代執(zhí)行兩次即可