命題教學(xué)一個(gè)案例介紹

1、 命題教學(xué)的一個(gè)案例介紹命題教學(xué)的一個(gè)案例介紹 -勾股定理的教學(xué)分析勾股定理的教學(xué)分析江蘇教育學(xué)院數(shù)學(xué)系江蘇教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 章飛章飛 一一 目標(biāo)確定目標(biāo)確定 二二 教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì) 三三 思考思考 一目標(biāo)確定一目標(biāo)確定 目標(biāo)確定一般需要進(jìn)行學(xué)情分析和學(xué)習(xí)任目標(biāo)確定一般需要進(jìn)行學(xué)情分析和學(xué)習(xí)任務(wù)分析務(wù)分析 學(xué)習(xí)任務(wù)分析首先需要了解學(xué)習(xí)任務(wù)的地位和作學(xué)習(xí)任務(wù)分析首先需要了解學(xué)習(xí)任務(wù)的地位和作用，這一般可以從數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)和歷史兩個(gè)視角用，這一般可以從數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)和歷史兩個(gè)視角進(jìn)行考察：進(jìn)行考察： 勾股定理是平面幾何有關(guān)度量的最基本定理勾股定理是平面幾何有關(guān)度量的最基本定理 勾股定理在數(shù)學(xué)內(nèi)部和現(xiàn)實(shí)生

2、活中都有廣泛的運(yùn)用勾股定理在數(shù)學(xué)內(nèi)部和現(xiàn)實(shí)生活中都有廣泛的運(yùn)用 方法多樣，能引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化、歷史的思考方法多樣，能引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化、歷史的思考( (方法的方法的收集與分析收集與分析) ) 發(fā)現(xiàn)、證明過(guò)程蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)探索活動(dòng)，這些都可以發(fā)現(xiàn)、證明過(guò)程蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)探索活動(dòng)，這些都可以成為豐富學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展學(xué)生探究能力的一個(gè)契成為豐富學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展學(xué)生探究能力的一個(gè)契機(jī)機(jī)圖圖2 2圖圖1 1 教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)目標(biāo)： 經(jīng)歷勾股定理的探索過(guò)程，了解勾股定理的各種經(jīng)歷勾股定理的探索過(guò)程，了解勾股定理的各種探究方法及其內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理探究方法及其內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)一步發(fā)展

3、學(xué)生的推理能力；能力； 掌握勾股定理，并能利用它們解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題；掌握勾股定理，并能利用它們解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題； 通過(guò)實(shí)例了解勾股定理的歷史與應(yīng)用，體會(huì)勾股通過(guò)實(shí)例了解勾股定理的歷史與應(yīng)用，體會(huì)勾股定理的文化價(jià)值。定理的文化價(jià)值。二二 教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì) 一般有這樣幾個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：一般有這樣幾個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)： 情景引入情景引入 探究結(jié)論探究結(jié)論 明晰結(jié)論明晰結(jié)論 應(yīng)用鞏固應(yīng)用鞏固 課堂小結(jié)課堂小結(jié) 課外練習(xí)課外練習(xí) 1 1 情景引入情景引入 激發(fā)興趣或者揭示學(xué)習(xí)的意義激發(fā)興趣或者揭示學(xué)習(xí)的意義（必要性）（必要性） 案例案例1 1：外星交流外星交流 案例案例2 2：畢氏傳說(shuō)畢氏傳說(shuō) 案例案例3 3：?jiǎn)栴}驅(qū)動(dòng)

4、問(wèn)題驅(qū)動(dòng) 2探究或驗(yàn)證探究或驗(yàn)證2自主探索自主探索 合作交流合作交流請(qǐng)你數(shù)一數(shù)圖中正方形請(qǐng)你數(shù)一數(shù)圖中正方形A A、B B、C C各占多少各占多少個(gè)小格子？完成表格，探究規(guī)律。個(gè)小格子？完成表格，探究規(guī)律。 A的面的面積積(單位單位面積面積)B的面積的面積(單位單位面積面積)C的面的面積積(單位單位面積面積)圖圖1圖圖2圖圖3 A、B、C 面積面積關(guān)系關(guān)系圖圖1 1圖圖2 2圖圖3 3直角三直角三角形三角形三邊數(shù)量邊數(shù)量關(guān)系關(guān)系你是怎樣得到上述的你是怎樣得到上述的結(jié)果的？與同伴交流結(jié)果的？與同伴交流交流。交流。圖圖2 2圖圖1 1你是怎樣得你是怎樣得到的？與同到的？與同伴交流交流。伴交流交流。

5、ABC圖圖1-3ABC圖圖1-4分割成若干個(gè)直角邊為分割成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形整數(shù)的三角形b ba ac cC CA AB B勾勾股股弦弦周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)勾勾 廣廣 三三股股 修修 四四徑徑 隅隅 五五3 3明晰結(jié)論明晰結(jié)論直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如果用如果用a a、b b、c c分別表示直角三角形的兩直角分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么邊和斜邊，那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2。 4 4應(yīng)用鞏固應(yīng)用鞏固 5 5課堂小結(jié)課堂小結(jié)1 1、你這節(jié)課的主要收獲是什么？、你這節(jié)課的主要收獲是什么？2 2、該定理揭示了

6、哪一類三角形中的什么元素之間的關(guān)系？、該定理揭示了哪一類三角形中的什么元素之間的關(guān)系？3 3、在探索和驗(yàn)證定理的過(guò)程中，我們運(yùn)用了哪些方法？、在探索和驗(yàn)證定理的過(guò)程中，我們運(yùn)用了哪些方法？4 4、你最有興趣的是什么？你有沒(méi)有感到困難的地方？、你最有興趣的是什么？你有沒(méi)有感到困難的地方？ 6 6課外練習(xí)課外練習(xí) 案例：勾股定理探究后的課后習(xí)題案例：勾股定理探究后的課后習(xí)題 教學(xué)設(shè)計(jì)中幾個(gè)環(huán)節(jié)的思考：教學(xué)設(shè)計(jì)中幾個(gè)環(huán)節(jié)的思考： （1 1）探究到什么程度？）探究到什么程度？ 這主要決定于學(xué)生的學(xué)力水平。這主要決定于學(xué)生的學(xué)力水平。 一般狀況；一般狀況； 可以適當(dāng)發(fā)展的；可以適當(dāng)發(fā)展的； 學(xué)生基礎(chǔ)很好

7、的；學(xué)生基礎(chǔ)很好的；案例：青朱出入圖案例：青朱出入圖 （2 2）假如力圖多個(gè)角度感受勾股定理的發(fā)）假如力圖多個(gè)角度感受勾股定理的發(fā)現(xiàn)或證明方法，如何組織？現(xiàn)或證明方法，如何組織？ 一氣呵成還是分步呈現(xiàn)？一氣呵成還是分步呈現(xiàn)？ 如何處理各種方法，既讓學(xué)生感受到其立體豐富，如何處理各種方法，既讓學(xué)生感受到其立體豐富，又保證一定的層次？又保證一定的層次？案例案例 （3 3）如何設(shè)計(jì)有關(guān)運(yùn)用問(wèn)題）如何設(shè)計(jì)有關(guān)運(yùn)用問(wèn)題 基本層次：直角三角形是現(xiàn)成的，正反運(yùn)用基本層次：直角三角形是現(xiàn)成的，正反運(yùn)用 拓展的方向拓展的方向1 1：沒(méi)有直角三角形，需要構(gòu)建直角三：沒(méi)有直角三角形，需要構(gòu)建直角三角形角形 拓展的方

8、向拓展的方向2 2：向三維空間拓展向三維空間拓展 三三 一些思考一些思考 教學(xué)需要預(yù)先設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)在于你的準(zhǔn)備。教學(xué)需要預(yù)先設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)在于你的準(zhǔn)備。 教無(wú)定法，在于得法。得法的關(guān)鍵在于適應(yīng)你的學(xué)生。教無(wú)定法，在于得法。得法的關(guān)鍵在于適應(yīng)你的學(xué)生。 教學(xué)對(duì)象不是整齊劃一的，需要關(guān)注不同學(xué)生的發(fā)展。某教學(xué)對(duì)象不是整齊劃一的，需要關(guān)注不同學(xué)生的發(fā)展。某種教學(xué)設(shè)計(jì)，都是基于總體狀況作出的一個(gè)選擇。如何設(shè)種教學(xué)設(shè)計(jì)，都是基于總體狀況作出的一個(gè)選擇。如何設(shè)法給不同的學(xué)生以空間，是我們需要關(guān)注的問(wèn)題。法給不同的學(xué)生以空間，是我們需要關(guān)注的問(wèn)題。謝謝 謝謝 ！三國(guó)時(shí)期吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽在為三國(guó)時(shí)期吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽在為

9、周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)作注解時(shí)，創(chuàng)制了一幅作注解時(shí)，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖勾股圓方圖”，也稱為，也稱為“弦圖弦圖”，這是我國(guó)對(duì)勾股定理最早的證，這是我國(guó)對(duì)勾股定理最早的證明。明。 2002年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開，這屆大會(huì)會(huì)標(biāo)的中央圖案正年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開，這屆大會(huì)會(huì)標(biāo)的中央圖案正是經(jīng)過(guò)藝術(shù)處理的是經(jīng)過(guò)藝術(shù)處理的“弦圖弦圖”，標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)成就。，標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)成就。 收集收集:方法一方法一約公元約公元 263 年，三國(guó)時(shí)代魏國(guó)的數(shù)學(xué)家年，三國(guó)時(shí)代魏國(guó)的數(shù)學(xué)家劉徽為古籍劉徽為古籍九章算術(shù)九章算術(shù)作注釋時(shí)，用作注釋時(shí)，用“出入相補(bǔ)法出入相補(bǔ)法”證明了勾股定理。證明了勾股定理。 方法二

10、方法二希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid，公元前，公元前330公元前公元前275）在巨著）在巨著幾何原本幾何原本給出一個(gè)公理化的證明。給出一個(gè)公理化的證明。 1955年希臘為了紀(jì)念二千五百年前古希臘在勾股定理上的貢獻(xiàn)，發(fā)年希臘為了紀(jì)念二千五百年前古希臘在勾股定理上的貢獻(xiàn)，發(fā)行了一張郵票，圖案是由三個(gè)棋盤排列而成。行了一張郵票，圖案是由三個(gè)棋盤排列而成。 方法三方法三 據(jù)傳是當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時(shí)做出的證明。據(jù)傳是當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時(shí)做出的證明。 將將4個(gè)全等的直角三角形拼成邊長(zhǎng)為個(gè)全等的直角三角形拼成邊長(zhǎng)為(ab)的正方的正方形形ABCD，使中間留下邊長(zhǎng)，使中間

11、留下邊長(zhǎng)c的一個(gè)正方形洞畫出正的一個(gè)正方形洞畫出正方形方形ABCD移動(dòng)三角形至圖移動(dòng)三角形至圖2所示的位置中，于是留所示的位置中，于是留下了邊長(zhǎng)分別為下了邊長(zhǎng)分別為a與與b的兩個(gè)正方形洞則圖的兩個(gè)正方形洞則圖1和圖和圖2中中的白色部分面積必定相等，所以的白色部分面積必定相等，所以c2=a2+b2圖圖1圖圖2方法四方法四在印度、在阿拉伯世界和歐洲出現(xiàn)的一種拼圖證明。在印度、在阿拉伯世界和歐洲出現(xiàn)的一種拼圖證明。 做法是將一條垂直線和一條水平線，將較大直角做法是將一條垂直線和一條水平線，將較大直角邊的正方形分成邊的正方形分成 4 分。之后依照?qǐng)D七中的顏色，將兩分。之后依照?qǐng)D七中的顏色，將兩個(gè)直角邊

12、的正方形填入斜邊正方形之中，便可完成定個(gè)直角邊的正方形填入斜邊正方形之中，便可完成定理的證明理的證明方法五方法五方法六方法六aabbcc 美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法，被稱為美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法，被稱為“總統(tǒng)證法總統(tǒng)證法”。 如圖，梯形由三個(gè)直角三角形組合而成，利用面積如圖，梯形由三個(gè)直角三角形組合而成，利用面積公式，列出代數(shù)關(guān)系式得：公式，列出代數(shù)關(guān)系式得：221212)(21cababba化簡(jiǎn)為：化簡(jiǎn)為：222cba方法七方法七意大利著名畫家達(dá)意大利著名畫家達(dá)芬奇的證法：芬奇的證法： 分析分析 運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？ 體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想

13、方法？ 如何進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸類？相互之間有什么樣如何進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸類？相互之間有什么樣的關(guān)系？如果選用，如何恰當(dāng)?shù)亟⒙?lián)系？的關(guān)系？如果選用，如何恰當(dāng)?shù)亟⒙?lián)系？對(duì)某一驗(yàn)證方法對(duì)某一驗(yàn)證方法三種類型：三種類型：第一種類型：算兩次第一種類型：算兩次(用兩種不同的方法得到同一個(gè)幾用兩種不同的方法得到同一個(gè)幾何圖形的面積何圖形的面積) ) 以趙爽的以趙爽的“弦圖弦圖”為代表，用幾何圖形的截、割、為代表，用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)，來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系。拼、補(bǔ)，來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系。cb a22)(214ababc22222aabbabc222bac由面積計(jì)算得由面積計(jì)算得 展開得展開得化簡(jiǎn)得化

14、簡(jiǎn)得畢達(dá)哥拉斯的證明。畢達(dá)哥拉斯的證明。 圖圖1圖圖2aabbcc美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法，被稱為美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法，被稱為“總統(tǒng)證法總統(tǒng)證法”。 如圖，梯形由三個(gè)直角三角形組合而成，利用面積如圖，梯形由三個(gè)直角三角形組合而成，利用面積公式，列出代數(shù)關(guān)系式得：公式，列出代數(shù)關(guān)系式得：221212)(21cababba化簡(jiǎn)為：化簡(jiǎn)為：222cba意大利著名畫家達(dá)意大利著名畫家達(dá)芬奇的證法：芬奇的證法： 這種類型這種類型,體現(xiàn)了以形助數(shù)、數(shù)形統(tǒng)一的思體現(xiàn)了以形助數(shù)、數(shù)形統(tǒng)一的思想想,有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)。有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí)。 意大利著名畫家達(dá)意大利著名畫家達(dá)芬奇

15、的證法：芬奇的證法： 第二種類型：以劉徽的第二種類型：以劉徽的“青朱出入圖青朱出入圖”為代表，證明不需用為代表，證明不需用任何數(shù)學(xué)符號(hào)和文字，更不需進(jìn)行運(yùn)算，隱含在圖中的勾股任何數(shù)學(xué)符號(hào)和文字，更不需進(jìn)行運(yùn)算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現(xiàn)，整個(gè)證明單靠移動(dòng)幾塊圖形而得出，被定理便清晰地呈現(xiàn)，整個(gè)證明單靠移動(dòng)幾塊圖形而得出，被稱為稱為“無(wú)字證明無(wú)字證明”。 印度、阿拉伯的無(wú)字證明。印度、阿拉伯的無(wú)字證明。 第三種類型：以歐幾里得的證明方法為代表，運(yùn)用歐氏幾第三種類型：以歐幾里得的證明方法為代表，運(yùn)用歐氏幾何的基本定理進(jìn)行證明，反映了勾股定理的幾何意義。何的基本定理進(jìn)行證明，反映了勾股定理的幾

16、何意義。返回返回畢達(dá)哥拉斯（公元前畢達(dá)哥拉斯（公元前572前前497年），古希臘著名的哲學(xué)年），古希臘著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家. .（一）聽故事，想問(wèn)題（一）聽故事，想問(wèn)題黑白相間的地磚黑白相間的地磚相傳兩千多年前，古希臘著名的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉相傳兩千多年前，古希臘著名的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他的賓客都在盡斯去朋友家做客。在宴席上，其他的賓客都在盡情歡樂(lè)，只有畢達(dá)哥拉斯卻看著朋友家的方磚地情歡樂(lè)，只有畢達(dá)哥拉斯卻看著朋友家的方磚地發(fā)起呆來(lái)。原來(lái)，朋友家的地面是由許多直角三發(fā)起呆來(lái)。原來(lái)，朋友家的地面是由許多直角三角形組成的圖案，黑白相間，非常美觀大方

17、。主角形組成的圖案，黑白相間，非常美觀大方。主人看到畢達(dá)哥拉斯的樣子非常奇怪，就想過(guò)去問(wèn)人看到畢達(dá)哥拉斯的樣子非常奇怪，就想過(guò)去問(wèn)他，誰(shuí)知，畢達(dá)哥拉斯突然恍然大悟的樣子，站他，誰(shuí)知，畢達(dá)哥拉斯突然恍然大悟的樣子，站起來(lái)，大笑著跑回家去了。原來(lái)，他發(fā)現(xiàn)了起來(lái)，大笑著跑回家去了。原來(lái)，他發(fā)現(xiàn)了地磚上的三個(gè)正方形存在某種數(shù)學(xué)關(guān)系。地磚上的三個(gè)正方形存在某種數(shù)學(xué)關(guān)系。數(shù)學(xué)小故事數(shù)學(xué)小故事 A AB BA AB BC CC C 從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題引入，引出探究勾股定理的必要性：從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題引入，引出探究勾股定理的必要性： 情境情境a a：一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中，一根旗桿在離地面：一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中，一根旗桿在離地面9 9米處折斷倒下，米處折斷倒下，旗桿頂部落在離旗桿底部旗桿頂部落在離旗桿底部1212米處。旗桿折斷之前有多高？米處。旗桿折斷之前有多高？ 情境情境b b：某隧道的截面是一個(gè)半徑為：某隧道的截面是一個(gè)半徑為3.63.6米的半圓形，一輛米的半圓形，一輛高高2.42.4米、寬米、寬3 3米的卡車能順利通過(guò)該隧道嗎？米的卡車能順利通過(guò)該隧道嗎？ 情境情境c c：如圖（圖略），圓柱高：如圖（圖略），圓柱高3030厘米，底面直徑厘米，底面直徑1010厘米，厘米，一只螞蟻沿著圓柱側(cè)面從下底面的一只螞蟻沿著圓柱側(cè)面從下底面的A A處爬到上底面的處爬到上底面的B B處，處，它怎么爬最近，最近距