數(shù)學(xué)物理方法-131三類數(shù)理方程推導(dǎo)

1、數(shù)學(xué)物理方程 1、基本方程的推導(dǎo)及基本概念(1周) 2、分離變量法(2周) 3、線性偏微分方程的分類與化簡(1周) 4、行波法(1周) 5、格林函數(shù)法(1周) 6、積分變換法(1周)數(shù)理方程是指在數(shù)理方程是指在物理學(xué)、力學(xué)、工程技術(shù)物理學(xué)、力學(xué)、工程技術(shù)等問題中等問題中經(jīng)過一些經(jīng)過一些簡化后簡化后所得到的、反映客觀世界物理量之所得到的、反映客觀世界物理量之間關(guān)系的一些間關(guān)系的一些偏微分方程偏微分方程。數(shù)量方程數(shù)量方程之概述之概述 常微分方程（組）常微分方程（組）描述的是孤立質(zhì)點(diǎn)(系)的運(yùn)動(dòng)或演變規(guī)律。 連續(xù)體的變化規(guī)律如何描述？ 含有某未知多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的方程稱為偏偏微分方程微分

2、方程。 表示物理量在空間或時(shí)間中空間或時(shí)間中變化規(guī)律的偏微分方程稱為數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程。 數(shù)量方程數(shù)量方程之基本任務(wù)之基本任務(wù) 數(shù)物方程數(shù)物方程的基本的基本任務(wù)任務(wù) 以物理學(xué)、力學(xué)及工程技術(shù)中的具體問題為研究對象，基本任務(wù)有：（1）建立描繪某類物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，并提供這些問題的求解方法；（2）通過理論分析，研究客觀問題變化發(fā)展的一般規(guī)律。 數(shù)量方程數(shù)量方程之特點(diǎn)之特點(diǎn) 數(shù)學(xué)物理方程的顯著數(shù)學(xué)物理方程的顯著特點(diǎn)特點(diǎn)（1）廣泛運(yùn)用了數(shù)學(xué)諸多領(lǐng)域的成果。研究的問題也是復(fù)雜的、多樣的要應(yīng)用不同的數(shù)學(xué)工具來解決性質(zhì)不同的問題。（2）數(shù)學(xué)物理方程源于工程實(shí)際問題自然現(xiàn)象所蘊(yùn)含的規(guī)律，對求解思路有著

3、重要的啟迪許多求解方法，都可在自然現(xiàn)象中找到來源。 問題描述和分析問題描述和分析 如果空間某物體G內(nèi)各點(diǎn)處的溫度不同，則熱量就會(huì)從溫度較高的點(diǎn)向溫度較低的點(diǎn)流動(dòng)，這種現(xiàn)象就叫做熱傳導(dǎo)。 熱量傳遞如何用數(shù)學(xué)語言表示：由于熱量的傳導(dǎo)過程總是表現(xiàn)為溫度隨時(shí)間和空間的變化，因此，熱傳導(dǎo)問題求解本質(zhì)上是求溫度溫度的分布的分布。 若用u(x, y, z, t)表示物體G內(nèi)一點(diǎn)(x, y, z)在t時(shí)刻的溫度, 記為u(M, t), 點(diǎn)M(x, y, z) 熱傳導(dǎo)問題的建模既是熱傳導(dǎo)問題的建模既是建立溫度函數(shù)建立溫度函數(shù)u(x, y, z, t)所所滿足滿足的的偏微分方程！偏微分方程！熱傳導(dǎo)（擴(kuò)散）方程的推

4、導(dǎo)熱傳導(dǎo)（擴(kuò)散）方程的推導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)建模采用的等量關(guān)系建模采用的等量關(guān)系熱量守恒熱量守恒：任意時(shí)段內(nèi)t1,t2，溫度變化所需的熱量Q2 +流出區(qū)域的熱量Q1 區(qū)域自身產(chǎn)生的熱量Q3。建模采用的方法建模采用的方法微（單）元體方法，考慮任意一個(gè)區(qū)域，其表面是S。流出熱量流出熱量：根據(jù)Fourier定律表示溫度變化所需的熱量溫度變化所需的熱量：與物體的比熱有關(guān)自身產(chǎn)生的熱量自身產(chǎn)生的熱量： 本身是熱源Q2 +Q1 Q3熱傳導(dǎo)方程：熱傳導(dǎo)方程：溫度變化與熱量的關(guān)系溫度變化與熱量的關(guān)系溫度變化需要的熱量溫度變化需要的熱量Q2熱量（吸收或釋放）溫度差密度比熱從t到t+dt時(shí)間內(nèi)，點(diǎn)(

5、x, y, z)處的溫度自u(píng)(x, y, z, t)變?yōu)閡(x, y, z, t+dt)，在t, t+dt微元時(shí)間段，溫差如何表示?t, t+dt時(shí)間內(nèi)，區(qū)域溫度變化所需熱量為在在t1, t2時(shí)間內(nèi)，溫度變化時(shí)間內(nèi)，溫度變化所需要的熱量為所需要的熱量為TCQdttutzyxudttzyxu),(),(dvdttuCdvtzyxudttzyxuC),(),( 212ttdvdttuCQ熱傳導(dǎo)方程：熱傳導(dǎo)方程：流進(jìn)（出）流進(jìn)（出）的熱量的熱量Q1比例系數(shù)k0稱為導(dǎo)熱率，與材料有關(guān)，一般視為常數(shù)符號(hào)表示熱流方向和溫度增大的方向相反。傅立葉定律傅立葉定律溫度梯度的定義：熱流強(qiáng)度矢量：q（單位時(shí)間流經(jīng)單

6、位面積的熱量）計(jì)算t到t+dt時(shí)間內(nèi)，在點(diǎn)(x, y, z)流經(jīng)微元面積dS的熱量其中，n為微元面積dS的外法線向量。t1至t2時(shí)間內(nèi)流出S的熱量為兩處dS的區(qū)別，前者是微元面積，后者向量zyxuuuu,ukqdSdtnukdQ1211ttSdukdtQS軸的夾角與是微元面積外法向向量zyxdSndSd,cos,cos,cosS熱傳導(dǎo)方程：熱傳導(dǎo)方程：自身產(chǎn)生熱量自身產(chǎn)生熱量Q3假設(shè)在單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的熱量F(x, y, z, t),則時(shí)間段t1, t2內(nèi)、在中所產(chǎn)生的熱量為建模采用的等量關(guān)系：Q1+Q2=Q3曲面積分和體積分的關(guān)系曲面積分和體積分的關(guān)系（奧高公式），將曲面積分Q1化為

7、體積積分 dtdvtzyxFQtt 21),(3dtudvkdukdtQttttS 212121SCka/2其中，參數(shù)為),(22tzyxfuatuCtzyxFtzyxf/ ),(),(最終導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程（擴(kuò)散方程）211ttSdukdtQS 212ttdvdttuCQLaplace方程、位勢方程方程、位勢方程0222222zuyuxu考慮無熱源的熱傳導(dǎo)問題，經(jīng)過了相當(dāng)長時(shí)間后，溫度趨于穩(wěn)定，則熱傳導(dǎo)方程變?yōu)榉Q為Laplace方程，或位勢方程，記為方程，或位勢方程，記為0tu002uu或波動(dòng)方程（弦的橫振動(dòng)方程）波動(dòng)方程（弦的橫振動(dòng)方程） 弦的微小橫振動(dòng)方程 問題設(shè)有一根理想化的細(xì)弦，其橫截面

8、的直徑與弦的長度相比非常小。研究弦作微小橫向振動(dòng)的規(guī)律。弦的振動(dòng)方程弦的振動(dòng)方程 弦振動(dòng)如何描述 弦是連續(xù)的而非離散的質(zhì)點(diǎn)組， 弦是橫向振動(dòng)的，在時(shí)刻t，弦的形狀是曲線u(x, t) 它的運(yùn)動(dòng)應(yīng)符合牛頓運(yùn)動(dòng)定律，簡化假設(shè)如下：設(shè)弦在未受擾動(dòng)時(shí)平衡位置是x軸；兩端分別固定在x=0及x=l處，而其上各點(diǎn)均以該點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示；輕，忽略重力輕，忽略重力；質(zhì)量均勻分布；柔軟，張力方向與弦相切；無內(nèi)力抵抗彎曲變形 受力受力分析分析 水平方向（x軸） 豎直豎直方向（方向（u軸，牛頓第二定律）軸，牛頓第二定律）0coscos2211TTFxdstxFTTFAAu21),(sinsin1122弦的振動(dòng)方程弦的振

9、動(dòng)方程線密度外力，方向和u一致張力的方向和弧的切線一致dstuAA2122 應(yīng)用模型假設(shè)得到的結(jié)論：21TTTxtxu),(tansin11xtdxxu),(tansin22弦的振動(dòng)方程弦的振動(dòng)方程經(jīng)化簡：|sinsin121122xxxxxuxuTTTdxdxxuds2)(1dstudstxFTTFAAAAu2121221122),(sinsin0coscos2211TTFx平平衡衡方方程程2122xxdxxuT 最后的結(jié)論： 進(jìn)一步假設(shè)： 弦的橫弦的橫振動(dòng)振動(dòng)方程方程 ),(2222txFtuxuTTa2),(22222txfxuatu弦的振動(dòng)方程弦的振動(dòng)方程TtxFtxf/ ),(),( 一維：一維： 二維二維： 三維三維： 自由振動(dòng) 強(qiáng)迫振動(dòng)22222xuatu),(22222txfxuatu2222222yuxuatu),(2222222tyxfyuxuatu222222222zuyuxuatu),(222222222tzyxfzuyuxuatu波動(dòng)方程波動(dòng)方程uatu2222波動(dòng)方程：0222222zuyuxu位勢方程：三類典型的數(shù)理方程三類典型的數(shù)理方程),(22tzyxfu