同濟第3版-高數-(4.1) 第一節(jié) 不定積分的概念及性質

1、 研究物體運這動需知其位移函數。研究物體運這動需知其位移函數。實際問題中，確實際問題中，確定質點定質點位移位移函數常常是不便的，較方便的倒是測定質點函數常常是不便的，較方便的倒是測定質點運動的速度。因此，需研究如何由已知質點運動的速度運動的速度。因此，需研究如何由已知質點運動的速度函數函數 V( t )，去求質點運動的路程函數，去求質點運動的路程函數 S( t ). .抽象成一般問題就是：已知抽象成一般問題就是：已知 f ( x )求求 f( x ). 在船舶制造中，需根據船體表面受力情況選擇船體在船舶制造中，需根據船體表面受力情況選擇船體形狀形狀 y = f( x ). . 來自前方的阻力可

2、分解為沿船體表面法來自前方的阻力可分解為沿船體表面法線方向和切線方向的兩個分力。由于正壓力不阻礙船的線方向和切線方向的兩個分力。由于正壓力不阻礙船的前進，因此減小阻力關鍵在于減小沿切線方向的分力。前進，因此減小阻力關鍵在于減小沿切線方向的分力。 切線方向就是切線方向就是 f ( x )的方向，切線方的方向，切線方向阻力的大小取決于曲線向阻力的大小取決于曲線 y = f( x )的形狀，的形狀，若能根據流體力學原理確定沿若能根據流體力學原理確定沿 f ( x )方方向的阻力的大小，則可選擇船體形狀。向的阻力的大小，則可選擇船體形狀。 抽象成一般問題就是抽象成一般問題就是： 已知已知 f ( x

3、)求求 f( x ). . 水池有水池有 100100 L 溶有污染物的水溶液溶有污染物的水溶液，其中污染物為其中污染物為15kg. 15kg. 現(xiàn)準備用清水沖洗現(xiàn)準備用清水沖洗，計劃每分鐘注入清水計劃每分鐘注入清水 5 5 L，混合均勻溶液每分鐘流出混合均勻溶液每分鐘流出 4 4 L ，問問: : 1 1 小時后水池中的污小時后水池中的污染物還有多少染物還有多少？ 由于清水的不斷注入和由于清水的不斷注入和混混合溶液合溶液的不斷排出，的不斷排出，水池中的污水池中的污染物的量染物的量 W 及及和和混合溶液混合溶液的體積的體積V 都隨時間都隨時間 t 而不斷改變，即有而不斷改變，即有 W = W(

4、 t )，V = V( t ). .所求為：所求為：W( 60 )= ? 設時刻設時刻 t 水池中含污水池中含污染物染物的量為的量為W( t )( 單位單位: kg ), ,水池中的水池中的混合溶液混合溶液的體積為的體積為V( t )( 單位單位: L ). 由變化率概念，每分鐘排出的污由變化率概念，每分鐘排出的污染物染物 4W( t )/V( t ). . 由條件易求得由條件易求得混合溶液混合溶液排出的速度為排出的速度為 dV( t )/ /d t = 5 - - 4 = 1. 于是由導數運算的逆轉可求得于是由導數運算的逆轉可求得 V( t )= t + C ，其中，其中 C 為任意常數。為

5、任意常數。 由已知當由已知當 t = 0 時，時，V( 0 )= 1000 . . 因此求得：因此求得： V( t )= t + 1000 . 由導數概念可得由導數概念可得污染物的排出的速度為污染物的排出的速度為 dW( t )/ /d t = - - 4W( t )/V( t )= - - 4W( t )/( t + 1000 ). . 由微商概念，可對應地寫出在時間段由微商概念，可對應地寫出在時間段 t , ,t t + d t 內內污染物的排出量為污染物的排出量為 因此有因此有 由于上式兩邊都可看成是某個函數的微分，于是由于上式兩邊都可看成是某個函數的微分，于是由由微分微分運算的逆轉可求

6、得運算的逆轉可求得 dlnW( t )= d-4ln( t + 1000 )+ C . . 4dd1000WtW ttt. . d4d1000W ttWtt. . 由式子由式子 dlnW( t )= d-4ln( t + 1000 )+ C 可得可得 lnW( t )= - - 4ln( t + 1000 )+ C . 由已知當由已知當 t = 0 時，時，V( 0 )= 1000 ，W( 0 )= 15 . 代入上式有代入上式有 ln 15 = - - 4 ln 1000 + C ，解得，解得 C = ln( 15 1012 ).因此因此 lnW( t )= - - 4ln( t + 100

7、0 )+ ln(15 1012). 于是求得，當于是求得，當 t = 60 分時，分時， 12415 101000W tt . .即即 12415 106011.88 kg1060W. .f( x )f ( x )，要求，要求 f( x )， 或或f( x )， F ( x )f( x ) f ( x )d x，F(xiàn) ( x )d x f( x )d x 如果在區(qū)間如果在區(qū)間 I 上，可導函數上，可導函數 F( x )的導數為的導數為 f( x )，即對任一即對任一 x I 都有都有 F ( x )= f( x )或或 dF( x )= f( x )d x，那末那末 F( x )就稱為就稱為 f

8、( x )或或 f( x )d x 在區(qū)間在區(qū)間 I 上的原函數。上的原函數。 定義實際以雙重形式給出的，即若在區(qū)間定義實際以雙重形式給出的，即若在區(qū)間 I I 上有上有F ( x )= f( x )，則稱，則稱 F( x )為為 f( x )在在 I I 上的原函數。上的原函數。同時，若在區(qū)間同時，若在區(qū)間 I I 上有上有 dF( x )= f( x )d x，也稱，也稱 F( x )為為 f( x )在在 I I 上的原函數。上的原函數。 由定義，只有對某區(qū)間由定義，只有對某區(qū)間 I 內的每一點內的每一點 x 都有都有 F ( x )= f( x )或或 d F( x )= f( x )

9、d x ，才可說函數，才可說函數 F( x )是是 f( x )在區(qū)間在區(qū)間 I 內的原函數。因此，如果上述關系式內的原函數。因此，如果上述關系式僅對僅對 I 內的某些點成立，并不能稱內的某些點成立，并不能稱 F( x )是是 f( x )的原的原函數。函數。 從理論上講，對于所定義的原函數，為進行原函數從理論上講，對于所定義的原函數，為進行原函數的計算需進一步需考慮的問題是：的計算需進一步需考慮的問題是： 對任意給定的函數對任意給定的函數 f( x )： f( x )的原函數是否總存在？的原函數是否總存在？ 如果如果 f( x )的原函數存在，其原函數是否唯一？的原函數存在，其原函數是否唯一

10、？ 如果如果 f( x )不一定總存在原不一定總存在原 函數，那么函數，那么 f( x )在什么條在什么條 件下存在原函數？件下存在原函數？ 研究發(fā)現(xiàn)，并非任何函數總存在原函數。為說明這研究發(fā)現(xiàn)，并非任何函數總存在原函數。為說明這一結果，可考察如下的例：一結果，可考察如下的例：例例：討論符號函數討論符號函數 的原函數。的原函數。 從直觀考慮，符號函數在其定義域從直觀考慮，符號函數在其定義域 R 上的原函上的原函數似乎應是數似乎應是 F( x )= x . . 但由于但由于 F( x )= x 在點在點 x = 0處不可導，故它不可能是符號函數在處不可導，故它不可能是符號函數在 R 上的原函數。

11、上的原函數。 進一步研究還可發(fā)現(xiàn)，任何函數均不可能成為符號進一步研究還可發(fā)現(xiàn)，任何函數均不可能成為符號函數函數 y = sgn( x )在在 R 上的原函數。上的原函數。 10sgn0010 xyxxx,. 假設函數假設函數 y = G( x )是符號函數是符號函數 y = sgn( x )在在 R上上的原函數，則的原函數，則 G( x )在點在點 x = 0 處導數存在，即應有處導數存在，即應有 G - -( 0 )= G + +( 0 )= G ( 0 ). . 具體計算有具體計算有 0000limlim0hhGhGGGh 0lim sgn1h , 0000limlim0hhGhGGGh

12、0lim sgn1h . .即即 G ( 0 )不存在，這與假設函數不存在，這與假設函數 y = G( x )在在 x = 0 處可處可導矛盾。故任何函數均不可能成為符號函數導矛盾。故任何函數均不可能成為符號函數 sgn( x )在在 R 上的原函數。上的原函數。 由上例還可推得如下一般結果：由上例還可推得如下一般結果： 如果某函數如果某函數 y = f( x )在區(qū)間在區(qū)間 I 上有跳躍間斷點，則上有跳躍間斷點，則 f( x )在區(qū)間在區(qū)間 I 上不存在原函數。上不存在原函數。 由于并非任意函數總存在原函數，因此需考慮原函由于并非任意函數總存在原函數，因此需考慮原函數存在的條件問題。通過研究

13、，人們發(fā)現(xiàn)原函數存在性數存在的條件問題。通過研究，人們發(fā)現(xiàn)原函數存在性問題涉及到許多更深入的理論，對這些理論問題此處不問題涉及到許多更深入的理論，對這些理論問題此處不作更多的介紹，僅給出一個充分性結果。作更多的介紹，僅給出一個充分性結果。 原函數存在性定理原函數存在性定理： 如果某函數如果某函數 f( x )在區(qū)間在區(qū)間 I 上連續(xù)，則在上連續(xù)，則在 I 上存在上存在可導函數可導函數 F( x )，使得對一切，使得對一切 x I，都有，都有 F( x )= f( x ). . 由定義容易看出，若某函數由定義容易看出，若某函數 f( x )存在原函數，則存在原函數，則其原函數一定不是唯一的。因為

14、若其原函數一定不是唯一的。因為若 F( x )是是 f( x )在區(qū)在區(qū)間間 I 上的一個原函數，則上的一個原函數，則 F( x )+ C 也是也是 f( x )在區(qū)間在區(qū)間 I上的原函數。因此，若函數上的原函數。因此，若函數 f( x )的原函數如果存在，的原函數如果存在，就必定有無窮多個。就必定有無窮多個。 盡管原函數不具有唯一性，但如果盡管原函數不具有唯一性，但如果 f( x )在區(qū)間在區(qū)間 I上的原函數都具有形如上的原函數都具有形如 F( x )+ C 的形式，則也可認為的形式，則也可認為原函數具有一種原函數具有一種“廣義的廣義的”唯一性。唯一性。 接下來的問題是接下來的問題是 f(

15、x )除了具有除了具有形如形如 F( x )+ C 的原的原函數外，是否還存在其它形式的原函數？函數外，是否還存在其它形式的原函數？ 由上分析原函數的唯一性問題歸結為如下命題：由上分析原函數的唯一性問題歸結為如下命題： 因為顯然有因為顯然有 左集合左集合 右集合右集合 ，故只需證，故只需證 左集合左集合 右集合右集合. 設設 ( x) 左集合左集合 是是 f( x )在在 I 上的任一原函數，上的任一原函數，則有則有 ( x)= f( x ). . 由于由于 F( x )是是 f( x )在在 I 上的一個原函數，故有上的一個原函數，故有 ( x)- - F( x )= ( x)- - F (

16、 x )= f( x )- - f( x )= 0 . 由拉格朗日中值定理推論由拉格朗日中值定理推論 ( x)- - F( x )= C , , 即有即有 ( x)= F( x )+ C . 因此知因此知 ( x) 右集合右集合 ，于是證得，于是證得 左集合左集合 = 右集合右集合.即即 f( x )在在 I 上的任一原函數上的任一原函數都都具有具有 F( x )+ C 的形式的形式C. P. U. Math. Dept 楊訪楊訪 在區(qū)間在區(qū)間 I 上，函數上，函數 f( x )帶有任意常數項的原函數帶有任意常數項的原函數稱為稱為 f( x ) 或或 f( x )d x 在區(qū)間在區(qū)間 I 上的

17、不定積分，記作上的不定積分，記作 f( x )d x 其中，記號其中，記號稱為不定積稱為不定積分號，分號，f( x )稱為被積函數稱為被積函數，f( x )d x 稱為被積表達式，稱為被積表達式，x 稱為積分變量。稱為積分變量。 不定積分定義為帶有任意常數不定積分定義為帶有任意常數 C 的原函數，因而的原函數，因而它它實際表示某函數實際表示某函數 f( x )的原函數的全體，即有的原函數的全體，即有 f( x )d x = F( x )+ C 不定積分概念不僅給出了函數的全體原函數的一種不定積分概念不僅給出了函數的全體原函數的一種表示法，實際也定義了一種關于函數的運算。因為式子表示法，實際也定

18、義了一種關于函數的運算。因為式子 f( x )d x = F( x )+ C 可理解為函數可理解為函數 f( x )或或 f( x )d x 經經不定積分不定積分“運算運算”后得到函數簇后得到函數簇 F( x )+ C 容易看出，不定積分的這種運算，實際是導數運算容易看出，不定積分的這種運算，實際是導數運算或微分運算的一種逆運算?；蛭⒎诌\算的一種逆運算。 例如，對于函數例如，對于函數 f( x )= x ，由導數運算公式有，由導數運算公式有 當當 = - -1 時，時，f( x )= x 的一個原函數。于是由不定積分概念有的一個原函數。于是由不定積分概念有 上式可理解為，函數上式可理解為，函數

19、 f( x )= x 或或 x d x 經不定積經不定積分運算后得到一個函數簇分運算后得到一個函數簇 1111xxxFx 即即 是是,1 d.1xxxC 1 .1xF xC 不定積分與導數或微分運算的關系可歸結為如下形式不定積分與導數或微分運算的關系可歸結為如下形式 dddffxxxx dddfxfxxx dFxFCxx dFFCxx 原函數簇原函數簇 F( x )+ C 表示表示 I 上的一簇上的一簇“平行曲線平行曲線”, , 即這些曲線在同一點即這些曲線在同一點 x 處的切線相互平行。處的切線相互平行。 dfxFCxx FxfxxyO yFCx tanFfxx x 從運算角度講，不定積分并

20、不是一種獨立的計算，從運算角度講，不定積分并不是一種獨立的計算，其計算過程實際是將導數公式反過來加以應用，但反過其計算過程實際是將導數公式反過來加以應用，但反過來應用導數公式就大大增加了計算的難度和復雜性，而來應用導數公式就大大增加了計算的難度和復雜性，而這正是不定積分計算的特點。因此，為進行不定積分的這正是不定積分計算的特點。因此，為進行不定積分的計算必需熟練掌握導數的計算公式。計算必需熟練掌握導數的計算公式。 將導數公式將導數公式“反過來反過來”書寫就書寫就成了積分公式，常用的積分公式可成了積分公式，常用的積分公式可列表如下：列表如下： 11 xx 0k 1lnxx1d1xxxC dk x

21、kxC1dlnxxCx 21arcsin1xx 2darcsin1xxCxsincosxx cos dsinx xxCcossinxx sin dcosx xxC 2tansecxx 22dsecdtancosxx xxCx2cotcscxx 22dcscdcotsinxx xxCx secsectanxxx sectan dsecxx xxCcsccsccotxxx csccot dcscxx xxC eexx e dexxxClnxxaaa dlnxxaaxCashchxx ch dshx xxCchshxx sh dchx xxC 基本積分表提供了一些最基本的積分結果，它是計基本積分表提

22、供了一些最基本的積分結果，它是計算各類積分的基礎。由于初等函數形式是無窮盡無的，算各類積分的基礎。由于初等函數形式是無窮盡無的，不可能將所有函數的積分都用列表形式表出。所謂計算不可能將所有函數的積分都用列表形式表出。所謂計算函數的積分，實際是對給定積分作相應變形和轉換，使函數的積分，實際是對給定積分作相應變形和轉換，使其轉化為基本積分表上形式，再由基本積分求出積分。其轉化為基本積分表上形式，再由基本積分求出積分。 因此，基本積分實際只是提供了因此，基本積分實際只是提供了進行積分變形和化簡的方向。熟練進行積分變形和化簡的方向。熟練掌握基本積分的意義就在于它可為掌握基本積分的意義就在于它可為各類積

23、分計算提供積極的思路。各類積分計算提供積極的思路。 例如，通過基本積分表可作如下計算：例如，通過基本積分表可作如下計算： 由此積分可見，直接應用基本積分表僅能求出一些由此積分可見，直接應用基本積分表僅能求出一些簡單函數的不定積分，如果被積分函數稍稍復雜一點，簡單函數的不定積分，如果被積分函數稍稍復雜一點，按基本積分表就難以求出積分了。因此必需考慮對給定按基本積分表就難以求出積分了。因此必需考慮對給定積分作變形和轉換，使其化為基本積分表上的形式。為積分作變形和轉換，使其化為基本積分表上的形式。為對給定積分作各種所需的變形，需先研究積分的性質。對給定積分作各種所需的變形，需先研究積分的性質。 44

24、13333d13d.413xxxxCCxxx eee dd.elnln1exxxxxxaaaxxCCaaa sinecos d?xx x 不定積分運算是由導數運算定義的，它可看成是導不定積分運算是由導數運算定義的，它可看成是導數或微分運算的逆運算，因此其性質和計算規(guī)則和導數數或微分運算的逆運算，因此其性質和計算規(guī)則和導數運算有著密切的聯(lián)系。運算有著密切的聯(lián)系。 對于不定積分性質的討論，對于不定積分性質的討論，可考慮通過導數運算性質和可考慮通過導數運算性質和規(guī)則導出不定積分相應的規(guī)則導出不定積分相應的性質及運算規(guī)則。性質及運算規(guī)則。 C. P. U. Math. Dept. 楊訪楊訪 不定積分運

25、算是由導數運算定義的，它可看成是導不定積分運算是由導數運算定義的，它可看成是導數或微分運算的逆運算，其性質和計算規(guī)則和導數運算數或微分運算的逆運算，其性質和計算規(guī)則和導數運算有著密切的聯(lián)系。因此，可考慮通過導數運算性質和規(guī)有著密切的聯(lián)系。因此，可考慮通過導數運算性質和規(guī)則導出不定積分相應的性質及運算規(guī)則。則導出不定積分相應的性質及運算規(guī)則。 ddd.xfxgxfgxxxx dd .kfxkfxxx 由不定積分定義，不定積分等式就是原函數等式，由不定積分定義，不定積分等式就是原函數等式，因此只需證明等式兩邊的導數相等。因此只需證明等式兩邊的導數相等。 分別計算等式兩邊的導數分別計算等式兩邊的導數因此有因此有 dxfgfgxx