曲線的曲率和Frenet標(biāo)架（課堂PPT）

1、1第二章第二章 曲曲 線線 論論 2.3 曲線的曲率和曲線的曲率和Frenet標(biāo)架標(biāo)架2一、曲線的曲率一、曲線的曲率.（一）、曲率的定義（一）、曲率的定義設(shè)曲線C的方程為( )rr s，其中s是曲線的弧長參數(shù)， 令( )( ).sr s(3.1)本段目標(biāo)：刻畫彎曲程度( )r s0s圖2-5O( ) ssL()ss()r ss()ss( ) s()( )sss 切入角度：運動觀點當(dāng)一點沿曲線以單位速率前進時，反映了曲線的彎曲程度.( ) s方向向量轉(zhuǎn)動的快慢 |( )|s3一、曲線的曲率一、曲線的曲率定理定理3.13.1 設(shè)( ) s是曲線( )rr s的單位切向量場，s是弧長參數(shù).0lim|

2、( ) |sss (3.2)證明證明01|( )|lim()( )sdssssdss 2002 sinlimlim.|ssss ( )r s0s圖2-5O( ) ss L()ss()r ss()ss( ) s()( )sss 表示向量()ss 與( ) s之間的夾角，則用4一、曲線的曲率一、曲線的曲率定義：定義：在稱函數(shù)( ): |( )|ss為曲線( )rr ss點處的曲率，把曲線C的單位切向量( ) s平移到原點，其端點所描出的曲線稱為曲線的切線象曲線的切線象，其方程是如圓柱螺線的切線象是單位球面上( ) s為該曲線的曲率向量.稱( ) s (3.3)的一個圓.實例：直線、圓實例：直線、圓

3、. .5一、曲線的曲率一、曲線的曲率（二）、曲率的幾何意義（二）、曲率的幾何意義當(dāng)然，s不一定是切線象的弧長參數(shù). 切線象( ) s的弧長為|( )|( )dssdss ds(3.4)所以dsds (3.5)即曲率曲率是切線象的弧長元素與曲線的是切線象的弧長元素與曲線的弧長元素之比弧長元素之比. . 定理定理3.23.2 曲線為直線的重要條件是其曲率為零. 6二、二、FrenetFrenet標(biāo)架標(biāo)架（一）、（一）、FrenentFrenent標(biāo)架的定義標(biāo)架的定義1.1.法向量場法向量場2.2.主法向量場主法向量場如果在一點s處( )0s，則向量11( )|( ) |( )( ) ( )ssss

4、s稱為曲線在該點的主法向量主法向量.于是在該點有由|( )| 1( )( )0,sss 所以曲率向量( ) s是曲線的一個法向量法向量場場. . ( )( ) ( ),sss(3.6)7二、二、FrenentFrenent標(biāo)架標(biāo)架3.3.次法向量場次法向量場在( )0s處 ，令( )( )( ),sss(3.7)它是曲線的第二個法向量場，稱為在該點的次法向量次法向量(副法向量).這樣，在正則曲線上( )0s的點，有一個完全確定的正交標(biāo)架( );( ),( ), ( )r ssss稱為曲線在該點的FrenetFrenet標(biāo)架，標(biāo)架，它的確定不受曲線的保持定向保持定向的參數(shù)變換的影響.8二、二、F

5、renentFrenent標(biāo)架標(biāo)架注意：注意：如果在一點0s處0()0s則一般來說無法定義在該點的Frenet標(biāo)架.1.若( )0,sC則是直線，可以定義它的Frenet標(biāo)架.0s0s2.若是的孤立零點，則在的兩側(cè)都有Frenet標(biāo)架 如果00()()ss0s，則可以將Frenet標(biāo)架延拓到點.3. 在其他的情況下將曲線分成若干段來考察.切線切線、主法線主法線和次法線次法線，法平面法平面、從切面從切面和密切面密切面的定義與的定義與方程方程：9二、二、FrenentFrenent標(biāo)架標(biāo)架切線：( )( )( );ur sus( ) ( )0;Xr ss 法平面：( ) ( )0.Xr ss 密切

6、面：密切平面法平面從切平面切線主法線次法線( ) s( ) s( ) s( )r s( )( )0;Xr ss 從切面：( )( )( );ur sus主法線：( )( )( );ur sus次法線：（二）、標(biāo)架相關(guān)的線面方程（二）、標(biāo)架相關(guān)的線面方程10三、曲率與三、曲率與FrenetFrenet標(biāo)架的計算標(biāo)架的計算3| ( )( )|( );| ( )|r tr ttr t; ( )( );| ( )( )|r tr tr tr t( );| ( )|r tr t( )|( )|.dss tr tdt證明證明( )ss t設(shè)為弧長參數(shù)，( )tt s為其反函數(shù). 則由(2.4)（一）、弧長

7、參數(shù)下的計算公式（一）、弧長參數(shù)下的計算公式( ) |( )| |( )|;ssr s( )( );dr ssds( )( );|( )|r ssr s( )( )( ).|( )|r sr ssr s（二）、一般參數(shù)下的計算公式（二）、一般參數(shù)下的計算公式11三、曲率與三、曲率與FrenetFrenet標(biāo)架的計算標(biāo)架的計算t由曲率的定義，|0|.，可知主法向量滿足上式再對2.dddsrssssssdtds dt求導(dǎo)，得2333() ()|.rrsssssrrs于是33|( )( )|( )( )|( )|r tr tr tr tsr t( )( ).|( )( )|r tr tr tr t所

8、以代入公式得( ( )( )( )( )| ( )| ( ( ) ()( ),( ):( ( )| ( )|dr s tds tr tr tr ts tstts tdsdtr t故(3.12)12例例 3.13.1 求圓柱螺線( )( cos , sin ,), (0,)r tat at btatR的曲率和Frenet標(biāo)架.解：解：( )(sin , cos , )r tat at b ( )( cos , sin ,0)r tat at 22|( )|,r tab，22|.rra ab2(sin ,cos ,)( sin ,cos , )rrabtabt aa btbt a，所以322| (

9、)()|;| ()|r tr tar tab221( )(sin , cos , );tat at bab22( )( )1( sin ,cos , );|( )( )|r tr tbtbt ar tr tab( cos , sin ,0).tt 三、曲率與三、曲率與FrenetFrenet標(biāo)架的計算標(biāo)架的計算（三）、實例（三）、實例13三、曲率與三、曲率與FrenetFrenet標(biāo)架的計算標(biāo)架的計算222221,xyzxyx例例3.2 3.2 求維維安尼在(0,0,1)點處的曲率和Frenet標(biāo)架. (Viviani)曲線14.tR(0,0,1)2( )(cos,cos sin ,sin )

10、r ttttt解法解法1. 1. 將曲線寫成參數(shù)方程，點22tk對應(yīng)的參數(shù)為，其中k/ 2t為整數(shù).不妨設(shè)( )( 2cos2 , 2sin2 , sin )r tttt 22( )( 2sin cos ,cossin,cos )( sin2 ,cos2 ,cos )r ttttttttt ，于是當(dāng)/ 2t(0,0,1),(0, 1,0),(2,0, 1).rrr時，| 1,(1,0,2),rrr15(1,0,2),(0, 1,0),15(2,0, 1).15(1,0,2).15(2,0, 1);5所以在（0,0,1）點處的曲率(0,0,1);r (0, 1,0);，F(xiàn)renet標(biāo)架為三、曲率

11、與三、曲率與FrenetFrenet標(biāo)架的計算標(biāo)架的計算15解法解法2. 2. 設(shè)曲線的弧長參數(shù)方程為( ),( ),( ),xx syy szz s(, ).s 22222222( )( )( )1,(, ).( )( )( )0,( )( )( )1,x syszssx sysx sx syszs 以及（3.14）( ) ( )( ) ( )( ) ( )0,2 ( ) ( )2 ( ) ( )( )0,( ) ( )( ) ( )( ) ( )0.x s x sy s y sz s z sx s x sy s y sx sx s x sy s y sz s z s求導(dǎo)得（3.15）(0)

12、( (0), (0), (0)(0,0,1).rxyz(, ).s (0,0,1)點對應(yīng)的參數(shù)為則有（1）三、曲率與三、曲率與FrenetFrenet標(biāo)架的計算標(biāo)架的計算16(0)(0)0,xz(0)1.y 0s令，由(1)和上述方程組得到 通過改變曲線(0)1y的正方向，可設(shè)，于是(0)( (0), (0), (0)(0,1,0).xyz(3.16)對(3.15)前兩式再求導(dǎo)，利用(3.14)得22( ) ( )( ) ( )( ) ( )1,2 ( ) ( )2( )2 ( ) ( )2( )( )0.x s x sy s y sz s z sx s x sxsy s y sysx s (3.17)0s 令，由(3.15)和(3.16)得(0)0y，由(1)和(3.17)第1式得(0)1.z 再由(3.17)第2式得(0)2.x三、曲率與三、曲率與FrenetFrenet標(biāo)架的計算標(biāo)架的計算17(0)(0)( (0), (0), (0)(2,0, 1),