探究線性微分方程解的存在唯一性

1、gi倏晶舞技大爭U曠SHAANXIUNIVERSITYOFSCIENCE&TECHNOLOGY常微分課程報告題目：探究線性微分方程解的存在唯一性組長：侯氏組員：白柳純報告日期：5.15目錄引言1一、引例2二、證明解的存在唯一性的步驟2三、一階線性微分方程解的存在唯一性2四、探究n階線性微分方程解的存在唯一性8五、用不動點定理證明一階線性微分方程解的存在唯一性.101、不動點定理的一些結(jié)論102、不動點定理證明一階線性微分方程解的存在唯一性12六、用不動點定理證明n階線性微分方程解的存在唯一性.16七、總結(jié)21引言從分析方法入手，來證明滿足初值條件下一階線形微分方程解的存在唯一性定理的證

2、明.我們學(xué)習(xí)了能用初等解法的一階方程的若干類型，但同時知道大量的一階方程是不能用初等解法求出它的通解，而實際問題中所需要的往往是要求滿足某種初始條件的解，因此對初值問題的研究被提到重要地位，自然要問：初值問題的解是否存在？如果存在是否唯一？Theanalysismethodofthatsatisfytheinitialconditionsthesolutionoflineardifferentialequationoffirstorderistheonlyproofofthetheoremof.Welearntouseseveraltypesofelementarysolutionoffirs

3、t-orderequations,butalsoknowalotoffirst-orderequationsisnotelementarysolutionforthegeneralsolutionsof,andpracticalproblemsneedisoftenrequiredtomeetsomeinitialconditionsthesolution.Therefore,studyfortheinitialvalueproblemismentionedanimportantposition,naturaltoask:theexistenceofsolutionsofinitialvalu

4、eproblems?Ifthereisonlyone?、引例dyP(x)ydxy(x。)V。Q(x)(2例：yyy(0)=0解：dx粵dxyii-xc通斛：yy=0yxc例：y'2.yy(0)=0解:_dy2,y2dxyxcy(xc)yx及y=0二、證明解的存在唯一性的步驟1、微分方程的初值問題等價于一個積分問題2、構(gòu)造一個合適的連續(xù)的逐步逼近序列3、證明此逐步逼近序列一致收斂4、證明此收斂的極限函數(shù)為所求初值問題的解5、證明唯一性三、一階線形微分方程dyP(x)yQ(x)解的存在唯一性dx首先，我們令f(x,y)P(x)yQ(x)這里f(x,y)是在帶形域R:xx0a上的連續(xù)函數(shù).函

5、數(shù)f(x,y)稱為在R上關(guān)于y滿足利普希茲(Lipsc川tz)條件，如果存在常數(shù)L>0使不等式f(x,yi)f(x,y2)Lyiv?對于所有的(x,Vi),(x,V2)R都成立,L稱為利普希茲常數(shù)卜面我們給出一階線性微分方程dyP(x)yQ(x)dx解的存在唯一性定理：如果在R上連續(xù)且關(guān)于y滿足利普希茲條件，則方程(1)存在唯一的解y(x),dyP(x)yQ(x)定義于區(qū)間xxoh上，連續(xù)且dx滿足初始條件：(xo)Vob這里hmin(a,),Mmaxf(x,y),(x,y)RM1下面我們分五個命題來證明。命題1設(shè)是的定義于區(qū)間xo(x)一階線性微分方程dyP(x)yQ(x)dxxoh上

6、的，且滿足初始條件(xo)y。的解，所以y(x)是積分方程xyyoP(x)yQ(x)dxxo的定義于xoxxoh上的連續(xù)解，反之亦然。證明：因為ydy(X)是dxP(x)yQ(x)的解所以d(x)dxP(x)(x)Q(x)(2)(3)兩邊從xo到所以y(x)是積分方程yyoxoP(x)yQ(x)dx定義于x。卜上的連續(xù)解。反之：xyyoP(x)yQ(x)dxy(x)是積分方程xo的連續(xù)解，則取積分得x(x)(x0)P(x)yQ(x)dxx又因為初始條件(xo)yoxyyoP(x)yQ(x)dxxox(x)yoP(x)(x)Q(x)dxX0微分得到d(x)dxP(x)(x)Q(x)將xx。代入x

7、yyoP(x)yQ(x)dxxo怎付x1(x)yo(P()yoQ()dxo電P(x)yQ(x).因此y在xoxxoh上有定義、連續(xù)且有xi(x)yoP()y°Q()dXxP()yoQ()dxoM(xx°)Mh是dx的定義于x。x%h上且滿足初始條件(xo)yo的解。現(xiàn)在取o(x)yo,構(gòu)造皮卡逐步逼近函數(shù)序列如下o(x)yoxxoxxoh(n=1,2,)n(x)yof(,nl()dxo命題2對于所有的n,函數(shù)(x)在vxvhnxoxo上定義、連續(xù)且滿足不等式(x)vbn，yo證明當n=1時，x1(x)yo(P()yoQ()dxo即n=1時，命題2成立，下面我們用數(shù)學(xué)歸納法證

8、明假設(shè)當n=k時命題2成立，即k(x)V。bx一(x)VP()k()Q()dk10kXo由n=k時成立知道，k1(X)在XoxXoh上有定義、連續(xù)且有Xki(x)VoXoP()k()Q()dM(xXo)Mhb即n=k+1時命題2成立，即對所有n成立，即構(gòu)建連續(xù)逐步逼近的序列完畢。命題3函數(shù)序列n(x)在xoxxoh上是一致收斂的。證明我們考慮級數(shù)o(x)k(x)k1(x)XoxXoh(5)k1它的部分和為no(x)k(x)k1(X)=(x)k1因此，要證明序列n(x)在XoXXoh上一致收斂，只需證明級數(shù)(5)在xoXxoh上一致收斂.為此，我們進行如下估計.由(4)有X。)O(X)P()。(

9、)Q()dM(xXo)(6)1 owo人0Xo及X2(X)1(X)(P()1()Q()(P()o()Q()dXM(Xo)dM(xxo)2xo2!2 Xo1o利用利普希茲條件及(6)得到2(x)1(x)L；1()o()dxo設(shè)對于正整數(shù)n,不等式n(X)n1(x)n1MLn(xxo)n!成立，則有利普希茲條件，當x0XXoh時，有n1(X)n(x)xoxLxo(P()n()Q()(P()n1()Q()dn()nl()dnMLxn!xo3ML/、n1xo)d(xxo)(n1)!于是，由數(shù)學(xué)歸納法得知，對于所有的正整數(shù)k,有如下的估計k(x)ki(x)k1ML,(xk!kxo)xox°h從

10、而可知，當x0xx0k(x)ki(x)ML、k!(8)(8)的右端是正項收斂級數(shù)MLkk1hkk!h上一致收斂,因而序的一般項。由維爾斯特拉斯判別法級數(shù)(5)在x°xxo列n(x)也在xoxxoh上一致收斂，命題3證畢.命題4(x)是積分方程的定義于xoxxoh上的連續(xù)解.證明由利普希茲條件xn(x)YoP(x)n1(x)Q(x)dxxo以及n(x)在x0xx0h上一致收斂于(x),即知序列n(x)P(x)n(x)Q(x)在xoxXoh上一致收斂于伊能)(x)Q(x).因而對于兩邊取極限，得到0(x)y。xn(x)y。P()n1()Q(xq)dlimnn(x)yQnimxP()()n

11、1Q(xq)dlimnn(X)yxlimP()()nixqnQ()dn(x)xy。XP(xQ)()n1Q()d這就是說(x)是積分方程(2)的定義于x0xx0(9)h上的連續(xù)解.命題4證畢.命題5設(shè)(x)是積分方程(2)的定義于x0xx0h上的一個連續(xù)解,則(x)(x)x。xx。h證明我們首先證明(x)也是序列n(x)的一致收斂極限函數(shù).為此，從0(x)V。n(x)xy。xP()(x。)Q()d(n=1,2,)我們可以進行如下估計0(x)(x)(x)y。xf(x,(xq)dx。P()()Q()dM(xx。)i(x)(x)X0(p()。()Q()(P()()Q()d現(xiàn)設(shè)nl(x)(x)n1MLn

12、!n(x)(x)xLxQ0()()dxML(x0)dx。ML.一W(xX。)(xx0)n,則有x。xLxq(P()n/)Q()(P()()Q()d)()dNMLxn!xQML/、n1xo)d(xx。)(n1)!故有數(shù)學(xué)歸納法得知，對于所有的正整數(shù)n,有下面的估計式n(X)(X)M-(xx°)n1(n1)!(10)因止匕，在x0xx0h上有n(x)(MLn.n1(x)h(n1)!(11)Mln一Ahn1是收斂級數(shù)的公項，故n(n1)!時磊hn10因而n(x)在x°xx°h上一致收斂于(x)，根據(jù)極限的唯一性，即得(x)(x)x0xx0綜合1-5，即得到一階線性微分方

13、程dydxP(x)yQ(x)解的存在唯一定理的證明。四、探究n階線性微分方程解的存在唯一性n階線性微分方程的一般形式：dnxdtnn1叱嫉dtan1(t)當出an(t)xf(t)(1)初值條件為:y(t)c0,y'(t)c1,.y(n"(x。)Cn1有如下結(jié)論：定理1:(n階線性微分方程初值問題解的存在與唯一性)設(shè)ai(x)(i=1,2,.n)和F(x)均在區(qū)間I上連續(xù)，則對任一x0屬于I和任意n個常數(shù)C0,C1,-1,方程(1)包有且只有一個定義在整個區(qū)間I上且滿足條件(2)的解。問題的轉(zhuǎn)化：將n階線性微分方程的初值問題轉(zhuǎn)化成形如x'A(x)xf(x)，x(t0)c

14、的線性微分方程組的初值問題。研究初值問題x'A(x)xf(x),x(to)c的解的存在唯一性定理。定理2：(存在唯一性性定理)如果A是n*n矩陣，f是n維列向量,h(x),定義于整個區(qū)間它們都在區(qū)間atb上連續(xù)，則對于區(qū)間atb上的任何數(shù)t0及任一常數(shù)n維列向量c,方程組x'A(x)xf(x)，x(t0)c存在唯一解atb上，且滿足初值條件x(t0)co命題1:設(shè)yh(x)是方程組(3)的定義于區(qū)間atb上且滿足初值條件h(X0)c(4)一x(t)的解，則h(x)是積分方程tA(s)x(s)f(s)dst0b上的連續(xù)解,反之亦然。證明：因為yh(x)是方程兩邊從t°到

15、t取定積分得到(3)的解,tx(t)x(t。)A(s)x(s)f(s)dst0將(4)式代入上式，即有tx(t)cA(s)x(s)f(s)dst0，(5)命題2：對于所有的正整數(shù)k,向量hk在區(qū)間b上有定義且連續(xù)?，F(xiàn)取h(t)c,構(gòu)造皮卡逐步逼近向量函數(shù)序列如下:(x。)y°tf(s)x(t)(x0)A(s)x(s)t°命題3:向量函數(shù)序列h(t)在區(qū)間atb上是致收斂的。由利普希茲條件h(t)L(n0)以及n(x)在x0xx0h上一致收斂于(X)，即知序列fn(X)f(x,n(x)在x0xx0h上一致收斂于f(x,(x).因而對于兩邊取極限,得到xlimn(x)yolim

16、f(x,ni(x)dxnn/x=yolimf(,ni()dxon即x(x)yoxf(,()dxo命題4:h是積分方程(5)的定義在區(qū)間atb上的連續(xù)解。證明：由h在atb上一致收斂于h，以及A的連續(xù)性，推知序列A(s)hk(s)在區(qū)間asb上一致收斂于A(s)hk(s)0這就是說，h(t)是積分方程(5)的定義于atb上的連續(xù)解。命題5:設(shè)p(t)是積分方程(5)的定義于atb上的另一個連續(xù)解，則h(x)p(x)atb。A(t)f(t)yh。五、不動點定理證明一階線性微分方程解的存在唯一性(一)不動點定理的重點結(jié)論不動點，是一個函數(shù)術(shù)語，在數(shù)學(xué)中是指“被這個函數(shù)映射到其自身一個點”。定義1稱T

17、:(X,)(X,)是一個壓縮映射，如果存在01使得(Tx,Ty)(x,y),x,yX定理1.1壓縮映射原理(C.(C.-)e.皮卡(1890);S.Banach(1922):設(shè)X是一個完備的度量空間，映射？：X一X把每兩點的距離至少壓縮入倍，即d(?(x),?(y)&入d(x,y),這里人是一個小于1的常數(shù)，那么？必有而且只有一個不動點，而且從X的任何點xo出發(fā)作出序列八&3"fSG'這序列一定收斂到那個不動點。定理1.2布勞威爾不動點定理(1910):設(shè)X是歐氏空間中的緊凸集，那么X到自身的每個連續(xù)映射都至少有一個不動點。定理1.3萊夫謝茨不動點定理：設(shè)X是

18、緊多面體，？：X-X是映射，那么？的不動點代數(shù)個數(shù)等于？的萊夫謝茨數(shù)L(?),它是一個容易計算的同倫不變量.當L(?)w0時，與？同倫的每個映射都至少有一個不動點。這個定理發(fā)展了布勞威爾定理。定理1.4(Schauder不動點定理)：設(shè)M是Banach空間X的非空緊凸集，T:MM是連續(xù)映射，則T在M中有不動點。10(二)不動點定理證明一階線性微分方程解的存在唯一性定理1、Banach壓縮映射原理：對于一階線性微分方程的初值問題dyp(x)yQ(x)dxyxxoV。解的存在與唯一問題，有下面的Picard定理：設(shè)f(x,y)p(x)yQ(X)在矩形Dx,y|xx。a,yy。b關(guān)于y滿足Lipsc

19、hitz條件，即存在常數(shù)L0,x,y,x,y'D,有fx,yfx,y'Lyy(1)在區(qū)間Xo,Xo上有唯minb1a,，一,Mmaxfx,y.MLx,yD)證明首先，問題(1)等價于積分方程xVxVofx,yxdx.x。CyCxo,xoy,yomaxyxx)|yoMTyxVoxfx,vXoxdx,則C是Banach空間Cx。,Xo的閉子空間,故C也是完備的T:CC.事實上yc,Ty是x。,x。上的連續(xù)(D上連續(xù)，且,這里(2),而映射I數(shù)，即TyCx。,xo，且有Tyy。maxTyxxxIy。=,max|xx)|xfx,yxdx11maxMx儼x0=MX0故TyC,其次，yi,

20、y2C,TyiTy2maxTy1xTy,xXxo|2=maxfx,y1xfx,y2xdx|x5x0maxLy1xy2xdxxx0|1 xLdy*,maxlxx0lxxI=L2Vly2.因L1,故T是C上的壓縮映射.于是，由壓縮映射原理，存在唯一C,使T=，即積分方程有唯一解yx，也就是問題在區(qū)間x0,x0上有唯一解yx。例1(Volterra積分方程的解)設(shè)Kt,s是定義在atb,ast上的連續(xù)函數(shù)，則Volterra積分方程txtftKt,sxsds(3)a對任意的fCa,b以及任意常數(shù)存在唯一的解x°Ca,b.證明作Ca,b到其自身的映射T:tTxtftKt,sxsds,a用M表

21、示Kt,s在atb,ast上的最大值,d表示Ca,b中的距離.對于任意的x,yCa,b，則有tTxtTytKt,sxsysdsa12dsKt,saMtamaxxsysasb=Mtadx,y,下面用數(shù)學(xué)歸納法來證明TnxtTnytnMntan/n!dx,y.(4)當n=1時，不等式(4)已經(jīng)證明.現(xiàn)設(shè)n=k時，不等式(4)成立，則當n=k+1時，有kik1TxtTytKt,saTnysdstk1Mk1/k!sakdsdx,yak1a/k1!dx,y故不等式（4）Xtn=k+1也成立，于是對一切自然數(shù)n成立.由（4）dTnx,TnymaxTnxtTnytaatbnnnMba/n!dx,y.因為對任

22、意常數(shù)有，limnMnban/n!0,這樣我們始終可以選取足夠n大的自然數(shù)n使得，nMnban/n!1.因此，Tn是壓縮映射，故方程（3）在Ca,b上有唯一的解。2、Schauder不動點定理的應(yīng)用皿ft,xtdt其中f:GRn,GRRn若給定（Rn）則對于方程求一個函數(shù)（t）滿足dxtdtft,xt的問題稱為方程（5）的Cauchy問題，而(5)G,(R,(6)稱為Cauchy問題(6)的一13個解.定理3.1(Peano解的存在性定理)設(shè)函數(shù)fx,t在RRn中的閉區(qū)b上連續(xù)，則Cauchy初值問題(5)至少在區(qū)間I:th上有解存在，這里,Mmaxft,xt,xGbhmina,m證明顯然,(

23、6)等價于積分方程x(t)f(s,x(s)ds的求解.令F:Ch,hCh,h表示如下:tF(x)(t)f(s,x(s)ds易證F是連續(xù)映象，令一X|x|Mh,當xCh,ht|F(x)Imaxf(s,x(s)dsIMhmaxMt1tIhMht1又F(x)(t1)F(x)(t2)f(s,x(s)dst2M|t2t1(t2t1)MFc是相對緊的，故F是全連續(xù)映象，且F(一)一,據(jù)一般的Schauder定理，F(xiàn)在有不動點，即Cauchy問題問題(6)有解.例2設(shè)g:0,bRRR是連續(xù)，有界的，則兩點邊值問題d2udt7g(t,u,u(t)(°tb)有解.u(0)u(b)0證明令C'0

24、,bxx1(t)在0,b連續(xù)在C0,b上定義|x|maxx(t),x'(t)則C0,b是Banach空間.'_1_>設(shè)g(t,u(t),u(t)M,止義F：C0,bC0,b如下(0s,tb)bsF(u)(t)g(v,u(v),u(v)dvdsf(u)t()00這里f:C0,bRbs一、1,、,f(u)-g(v,u(v),u(v)dvdsb001cc顯然f是連續(xù)?之函，且If(u)1Mb2Mb2.現(xiàn)來證明F是全連續(xù)映象，由于f是連續(xù)的，易證F是連續(xù)的，再者，任取maxf(u)(t)tsmaxMdvdst0,b00Mb2Mb22Mb2f(u)bmaxF'(u)tmab

25、xg(v,u(v),u(v)dvf(u)|，0MbMb2Mb.令還有max2Mb2,2Mb，即|F(u)|tsF(u)(t1)F(u)(t2)|MdvdsMbt1t2002Mbt1t2F(u)(t1)F(u)(t2)Mt1t215min，一，即F(C1)是相對緊集，故F是全連續(xù)映像。2MbM如令，顯然有F(一),故存在u,使uF(u).由(*),顯然有u(0)u(b)2o,求兩次導(dǎo)就得到sdyg(tu(t)u)即兩點邊值問題有解。dt2''六、用不動點定理證明n階線性微分方程解的存在唯一性1、對N階線性微分方程:dnydxnn1dyx-dxanxyFx(1)初值條件:則有xxx

26、oyxo.n2dykxdtxxn3dydxn31X-x2!xodnCo，yxondydxnCi,ynxoCn1(2)dxn1X0XotduxotdtCn1xodttdtcn1ducnxxoCn2tdtxodtCn1xxottdtCn11Cn2!xocnxocn2duCn3X0Cn3Cn1xoCn2xn2XoCixXoCon1adyaZdxn1帶入原方程:n2dya2Lanydn2x進一步整理:xxkx,ttdtfxx0注釋：kx,ta1a2xt1aax2!ann1!aiCn1a2Cn1xxoCn21a3Cn1x2!2xoCn2xxoCn312Cn2xx°Cn3xx02!Cn413a4-Cn1xx03!an-Cn1xxon1!Gx%Co(5)很顯然kx,t在矩形區(qū)域a&x&b,a&t&x上是連續(xù)的引理：方程（5）與方程（1）,（2）等價，也就是如果yx是初值問題（1）（2）的解,n則yx（其中xd-）是積分方（5）dnx的解；如果y是方程（5）的解，則yx（其中ndxxdxn）是初值問題（1）（2）的解。證明：若yx是初值問題（1）（2）的解，設(shè)dxn由上述過程可知:dxn1xotdtCn1dxnxutdtCn1duCn2xoxodxn3xxxoxxoxxotdtCn1xtdtxoCn1xCn2xoCn2duCn32xotdt1