數(shù)學建模：投資收益和風險的地模型1

1、實用標準文案安徽建筑大學數(shù)學建模課程設(shè)計報告書院系數(shù)理學院專業(yè)信息與計算科學班級三班學號姓名題目投資的收益與風險指導教師歐劍精彩文檔實用標準文案，、設(shè)計目的過數(shù)學建模課程設(shè)計了解數(shù)學建模的步驟、方法，學會撰寫科技論文，通提高應(yīng)用數(shù)學的意識、興趣和能力。二、設(shè)計時間20-20學年第二學期第周三、設(shè)計地點理化樓數(shù)學建模實驗室四、設(shè)計內(nèi)容針對某一生產(chǎn)、生活實際問題，建立數(shù)學模型，通過數(shù)學模型的求解，解決這一問題。按數(shù)學建模競賽論文格式撰寫一篇完整的解決實際問題的數(shù)學建模論文。五、設(shè)計要求1 .靈活應(yīng)用各種數(shù)學知識解決各種實際問題。2 .了解問題，明確目的。在建模前，要對實際問題的背景有深刻的了解，進

2、行全面的、深入細致的觀察。3 .對問題進行簡化和假設(shè)。在明確目的、掌握資料的基礎(chǔ)上抓住主要矛盾，舍去一些次要因素，對問題進行適當?shù)睾喕秃侠淼募僭O(shè)。4 .在所作簡化和假設(shè)的基礎(chǔ)上，選擇適當?shù)臄?shù)學工具來亥劃、描述各種量之間的關(guān)系，用表格、圖形、公式等來確定數(shù)學結(jié)構(gòu)。5 .要對模型進行分析，即用解方程、圖解、計算機模擬、定理證明、穩(wěn)定性討論等數(shù)學的運算和證明，得到數(shù)量結(jié)果，將此結(jié)果與實際問題進行比較，以驗證模型的合理性，必要時進行修改，調(diào)整參數(shù)，或者改換數(shù)學方法。精彩文檔實用標準文案6 .用已建立的模型分析、解釋已有的現(xiàn)象，并預測未來的發(fā)展趨勢，以便給人們的決策提供參考。投資收益和風險的模型問題的

3、描述某公司有數(shù)額為M（較大）的資金，可用作一個時期的投資，市場上現(xiàn)有5種資產(chǎn)（S）（如債券、股票等）可以作為被選的投資項目，投資者對這五種資產(chǎn)進行評估，估算出在這一段時期內(nèi)購買§的期望收益率（%）、交易費率（p>風險損失率（qi）以及同期銀行存款利率ro（r0=3%）在投資的這一時期內(nèi)為定值如表1,不受意外因素影響，而凈收益和總體風險只受ri,pi,qi影響，不受其他因素干擾?，F(xiàn)要設(shè)計出一種投資組合方案，使凈收益盡可能大，風險盡可能小.表1投資項目Si期望收益率ri（%）風險損失率qi（%）交易費率Pi（%）存銀行So300Si272.41S2221.62S3255.24.5S

4、4232.26.5精彩文檔實用標準文案S5211.5其中i0,1,2,3,4,5.二問題假設(shè)及符號說明2.1 問題假設(shè)總體風險可用投資的這五種中最大的一個風險來度量；在投資中，不考慮通貨膨脹因素,因此所給的S的期望收益率L為實際的平均收益率；(3)不考慮系統(tǒng)風險，即整個資本市場整體性風險，它依賴于整個經(jīng)濟的運行情況，投資者無法分散這種風險，而只考慮非系統(tǒng)風險，即投資者通過投資種類的選擇使風險有所分散；不考慮投資者對于風險的心理承受能力。2.2 符號說明Xi:購買第i種資產(chǎn)的資金數(shù)額占資金總額的百分比;Mxo:存銀行的金額；R:凈收益；i：第i種投資的凈收益率MXi:購買第i種資產(chǎn)的資金數(shù)額;f

5、(Xi):交易費用；Q:總體風險；三模型的分析與建立令交易費用f(Xi)MxR,X0,X00(i0,1，,5)則凈收益為5RM(1rjXiM精彩文檔實用標準文案總體風險為QmaxMxiqi約束條件為5f(Xi)i05MXiMi0可以簡化約束條件為5(1i0Pi)Xi1Pi）Xi代入，得5同時將MM(1i05M(1ri)xiMi0(1Pi)Xi5(riPi)Xi0略去M,原問題化為雙目標決策問題：maxR5x(rii0Pi)minQmaxxiqi(3.1)5(1Pi)Xi00,1,-J',5以下設(shè)riPio,否則不對該資產(chǎn)投資。四模型的求解4.1 固定R使Q最小的模型固定R使Q最小，將模

6、型（3.1）化為minQmaXqi,0i5精彩文檔實用標準文案此模型又可改寫為5(nPi)Xii05(1Pi)Xi0Xi0i0,1,，5R,(1)1,(2)(4.1)minyr°P0X0rP1xr5P54R1P0X01%X11P5X51s.t.XiQiyXi0,y0i0,1，5令i（riPi）/（1Pi）,i表示第i種投資的凈收益率，則i必大于0,否則,若10,則不對§投資，因為對該項目投資純收益率不如存銀行，而風險損失率又大于存銀行。將i從小到大排序，設(shè)k最大，則易見對模型（4.1）的可行解必有0.03Rk.當R0.03時，所有資金都存銀行，Q0;當Rk時，所有資金用于購

7、買S,Q工；當0.03Rk時，有如下結(jié)論7。1 Pk結(jié)論：若0.03<R<（Xo,Xi，久）是模型（3.2.2）的最優(yōu)解，則xQiX5q57。而對于固定收益使風險最小的模型來說，這結(jié)論也可換句話說：在前5項投資總額一定的前提下，各項投資的風險損失相等即xQiX2q2X5q5時，總體風險最小網(wǎng)。證：設(shè)y1，y2,，y5是滿足xqx?q2X5q5的一組解，即*yq1y2q2y5q5Q。精彩文檔實用標準文案.-顯然此時Q為總體風險。由于前5項投資總額M是一定的，只要改變其中一項的值，便會導致總體風一一,.*、險增加。（比如說將火的值增加為yi會使得yeQ，總體風險顯然增加；反之,若減小y

8、i的值，必然會導致另外一項或幾項的值，總體風險自然增加因此，當R（0.03,k）時，可按以下步驟求出最優(yōu)解：1）將（1）式和（2）式消去xo;2）將為Q代入解出Q;3）由xqi,1i5,xo1(1Pi)xqii1求出最優(yōu)解所以，我們算得如下結(jié)果(1)R0.03時，Xo1,XjX2X3X4X50,Q0;(2)R0.26/1.01時，x0x2x3x4X50,x11/1.01,Q0.024/1.01;(3)R(0.03,0.26/1.01)時，QR0.03R0.03R0.03,X1,X240.17210.96410.6428R0.03R0.03R0.03,X4,x52.08890.88380.602

9、6x011.01x,1.02x21.045x31.065x41.02x5。事實上應(yīng)用Lingo軟件可算得如下結(jié)果：表1最小風投資Si的資金百分比Xi（i0,1,2,3,4,5.）收益R險度QX。X1X2X3X4X0.03000.00001.00000.00000.00000.00000.00000.00000.04000.00020.93970.01040.01560.00480.01130.01660.05000.00050.87930.02070.03110.00960.02260.03320.06000.00070.81900.03110.04670.01440.03390.0498精彩

10、文檔實用標準文案0.07000.00100.75870.04150.06220.01910.04530.06640.08000.00120.69840.05190.07780.02390.05660.08300.09000.00150.63800.06220.09330.02870.06790.09960.10000.00170.57770.07260.10890.03350.07920.11620.11000.00200.51740.08300.12450.03830.09050.13280.12000.00220.45710.09330.14000.04310.10180.14940.13

11、000.00250.39670.10370.15560.04790.11310.16600.14000.00270.33640.11410.17110.05270.12450.18250.15000.00300.27610.12450.18670.05740.13580.19910.16000.00320.21580.13480.20230.06220.14710.21570.17000.00350.15540.14520.21780.06700.15840.23230.18000.00370.09510.15560.23340.07180.16970.24890.19000.00400.03

12、480.16600.24890.07660.18100.26550.20000.00460.00000.18970.28460.08760.10970.30360.21000.00620.00000.25890.38840.11950.00000.21320.22000.00930.00000.38580.41600.17810.00000.00000.23000.01310.00000.54710.18000.25250.00000.00000.24000.01700.00000.70840.00000.27220.00000.00000.25000.02090.00000.87010.00

13、000.11600.00000.00000.26/1.00.02380.00000.99010.00000.00000.00000.00001精彩文檔實用標準文案0.030.0250.021*<r0.015/:0.010.005/*/0i00.050.10.150.2收益R0.250.3最小風險度Q隨收益R的變化趨勢圖Q度險風小最4.2固定Q使R最大的模型固定Q使R最大，將模型(3.2.1)化為5maxR(nPi)Xi,i0XiQiQ,5s.t.(1Pi)Xi1,i0Xi0,(i0,1，,5.)(3.2.3)對于每一個Q,用模型(3.2.3)都能求出R,由凈收益率i(ripR(1Pi),

14、直觀上想到i越大,X應(yīng)盡量大，這種想法是正確的，可將其寫為如下結(jié)論。結(jié)論7:設(shè)(X0,X1，,X5)是模型(3.2.3)的最優(yōu)解，若ij,Xj0,則XiQ/qi。證明：反證法。假設(shè)ij,Xj0,而為Q/q。選取充分小的正數(shù)，使得(Xi)qiQ,(1Pi)Xj(1Pj)o*令為x,XjXj(1Pi)/(1Pj),當ki,j時，令XkXk,則Xk0,且精彩文檔實用標準文案5*Xk(1Pk)Xk(1Pk)(X)(1Pi)Xj(1Pi)/(1Pj)(1Pj)1,k0ki,j55*.*.Xk(kPk)Xk(rkPk)(Xi)(riPi)Xj(1p)(1Pj)(rjPj)Xk(rkPk)k0ki,j-k0

15、。則(X0,X1，,X5)才是取優(yōu)解，因此(X0,X1,，X5)不是模型(3.2.3)的取優(yōu)解。此處矛盾，則結(jié)論成立，證畢。由此結(jié)論，我們可將i從大到小排序,使i最大的k應(yīng)盡量滿足XkqkQ,若還有多余資金，再投資i次大的，。對于不同的Q,會有不同的投資方案，我們可以算出Q的臨界值，從而確定各項目的投資值。因此，設(shè)123450,則可用下面的方法算出各臨界值G,C2,C3,C4,C5。只有一種投資時，C1(1P1)q1,c1q/(1P1)0.023762。當有兩種投資時，將X1C2/q1,X2Cz/q2,代入x1(1p1)X2(1P2)1,得C2q&/(1P1)q2(1P2)q0.009

16、449。同理可得：C3q1q2q3/(1P1)q2q3(1P2)q&(1P3)qq210.007941,C4q1q2q3q4.n1P1)q2q3q4(1P2)q03q4(1P3)q1q2q4(1P4)qq2q30.005736C5qq2q3q4q5(1Pjqzqsq,qs(1P2)qq3q4q5(1P3)qq2q4q5(1P4)qq2q3q5(1P5)qq2q3q40.004131于是得最優(yōu)解：當Q0.000000時，X01,xX2X3X4X50。當0Q0.004131時，精彩文檔實用標準文案5XiQ/q1，X2Q/q2,X3Q/q3,X4Q/qX5Q*5,x01(1Pi)x。1當0.

17、004131Q0.005736時，X1Q/q1，X2Q/q2,X3Q/q3,X4Q/q4,X51(1Pi)X/(1P5),x00。當0.005736Q0.007941時，X1Q.q,X2Q,q2,X3Qq3,X41(1Pi)X(1P4),X5x0。當0.007941Q0.009449時，X1Q,q1,X2Q,q2,X31(1Pi)Xi(1P3),X4X5x00。1當0.009449Q0.023762時，X1Qq1,X21(1P1)X1.(1P2),X3X4X5X00o當Q0.023762時，X11(1P1),X2X3X4X5X00。當然，我們也可以換個角度來考慮上面這個模型。為了能夠給不同風險

18、承受能力的投資者提供某種風險水平下的最優(yōu)投資組合的決策方案，我們必須確定最優(yōu)收益值R和最小風險度Q的值之間的對應(yīng)關(guān)系。因此，我們將模型(3.2.3)改寫成如下形式：maxRr°P0X。r1小”r5P5%,X01.01x11.02x21.045x31.065x41.02x51,0.024x1Q,0.016x2Q,st0.052X3Q,0.022x4Q,0.015x5Q,Xi0,(i0,1,2,3,4,5.)精彩文檔實用標準文案為此編寫MATLAB程序（見附錄），從風險度Q0開始，以每次增加0.001的風險度進行搜索5。根據(jù)附錄中程序一，最優(yōu)收益值R和最小風險度Q以及投資額分配之間的對應(yīng)

19、關(guān)系計算結(jié)果列表如下：風險度Q最優(yōu)收益投資Si的資金百分比X(i0,123,4,5.)RX0X1X2X3X4X500.03001.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00100.07020.75770.04170.06250.01920.04550.06670.00200.11030.51530.08330.12500.03850.09090.13330.00300.15050.27300.12500.18750.05770.13640.20000.00400.19070.03060.16670.25000.07690.18180.26670.00500.2

20、0440.00000.20830.31250.09620.02850.33330.00600.20920.00000.25000.37500.11540.00000.23960.00700.21300.00000.29170.43750.13460.00000.11620.00800.21670.00000.33330.49270.15380.00000.00000.00900.21930.00000.37500.43170.17310.00000.00000.01000.22190.00000.41670.37080.19230.00000.00000.01100.22450.00000.4

21、5830.52660.00000.00000.00000.01200.22710.00000.50000.24890.23080.00000.00000.01300.22970.00000.54170.18790.25000.00000.00000.01400.23220.00000.58330.12690.26920.00000.00000.01500.23480.00000.62500.06600.28850.00000.00000.01600.23740.00000.66670.00510.30770.00000.0000精彩文檔實用標準文案0.01700.24000.00000.708

22、30.00000.27230.00000.00000.01800.24260.00000.75000.00000.23210.00000.00000.01900.24510.00000.79170.00000.19180.00000.00000.02000.24770.00000.83330.00000.15150.00000.00000.02100.25030.00000.87500.00000.11120.00000.00000.02200.25290.00000.91670.00000.07100.00000.00000.02300.25550.00000.95830.00000.030

23、70.00000.00000.02400.25740.00000.99010.00000.00000.00000.00000.02500.25740.00000.99010.00000.00000.00000.00000.09900.25740.00000.99010.00000.00000.00000.0000從上表可以看出，風險越大，收益也越大，冒險的投資者可能會集中投資，而保守的投資著者則會盡量分散投資。但是，在風險度Q從0.0000增長到0.0080過程中，風險增加很少時，收益增加也很快，而風險度Q在0.0080之后，風險增加很大時而收益卻增加的很緩慢。由于在風險度Q從0.0240之后

24、，最優(yōu)收益R已經(jīng)達到最大，不再增加，所以對于一般投資者來說，選才¥Q0.0240,R0.2574時的安排才為最優(yōu)投資組合方案。精彩文檔實用標準文案0.5R益收優(yōu)最4+*11次*最優(yōu)收益R隨風險度Q的變化趨勢圖000.010.020.030.040.050.060.070.080.09風險度Q0.1545352403020ooO51JOO054.3.3 使R/Q最大或Q/R最小的模型按照收益一風險最大原則，可取模型maxRQ,5,(1Pi)Xi1,Sti0X0,(i0,1,：5.)由于q00,因而取1,XiX2X50時，maxR/Q=+°°。當然，也可取模型minQ

25、/R,5,(1Pi)Xi1,Sti0X0,(i0,1，,5.)同上，由于q°0,因而取Xo1,XiX2X50時，minQ/R=0,從而可知,全部錢存銀行是最優(yōu)解。對于此問題，其他投資的收益與風險損失率都不影響該最優(yōu)解，故這種模型不夠好。4.3.4 偏好系數(shù)模型由偏好系數(shù)法，我們選取偏好系數(shù)(01),建立模型精彩文檔實用標準文案max(1)Ry,5x(1p)1,i0Stxqiy,x0,(i0,1,2,3,4,5.)具體數(shù)據(jù)可應(yīng)用參數(shù)規(guī)劃法進行計算。權(quán)重r最小風投資Si的資金百分比Xi(i0,123,4,5)險度QXoXiX2X3X4X50,0.72000.02380.00000.990

26、10.00000.00000.00000.00000.7210,0.79200.00790.00000.33090.49630.15270.00000.00000.7930,0.90700.00520.00000.21490.32230.09920.00000.34380.9090,0.97500.00410.00000.17190.25790.07940.18760.27510.9760,10.00001.00000.00000.00000.00000.00000.0000精彩文檔實用標準文案附錄一模型一Lingo語句minyr°P0xorip1X1%P5X5R1PoXo1PiXi

27、1P5X51叼yXi0,y0,(i0,1，,5.)精彩文檔min=y;實用標準文案0.03*x0+(0.27-0.01)*x1+(0.22-0.02)*x2+(0.25-0.045)*x3+(0.23-0.065)*x4+(0.21-0.02)*x5=0.03;x0+1.01*x1+1.02*x2+1.045*x3+1.065*x4+1.02*x5=1;0.024*x1<=y;0.016*x2<=y;0.052*x3<=y;0.022*x4<=y;0.015*x5<=y;模型一Matlab程序>>R=0.03>>whileR<0.26

28、/1.01;C=0000001;A=00.0240000-1;000.016000-1;0000.05200-1;00000.0220-1;000000.015-1;B=0;0;0;0;0;Aeq=0.030.260.20.2050.1650.190;11.011.021.0451.0651.020;Beq=R;1;Vlb=0;0;0;0;0;0;0;%orVlb=zeros(7,1);Vub=;精彩文檔實用標準文案x,fval=linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub);RQ=fvalx=x'plot(R,Q,'m.')axis(00.300.03)

29、xlabel('收益R')ylabel('最小風險度Q')title('最小風險度Q隨收益R的變化趨勢圖)holdonR=R+0.01;gridonendR=0.26/1.01;C=0000001;A=00.0240000-1;000.016000-1;0000.05200-1;00000.0220-1;000000.015-1;B=0;0;0;0;0;Aeq=0.030.260.20.2050.1650.190;11.011.021.0451.0651.020;Beq=R;1;Vlb=0;0;0;0;0;0;0;%orVlb=zeros(7,1);精彩

30、文檔實用標準文案Vub=;x,fval=linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub)程序二模型二Matlab程序>>Q=0>>while(1.1-Q)>1%orQ<0.1;C=-0.03-0.26-0.20-0.205-0.165-0.19;A=00.0240000;000.016000；0000.05200;00000.0220;000000.015;B=Q;Q;Q;Q;Q;Aeq=11.011.021.0451.0651.02;Beq=1;Vlb=0;0;0;0;0;0;%orVlb=zeros(5,1);Vub=;x,fval=linp

31、rog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub);QR=-fvalx=x'plot(Q,R,'m.')axis(00.100.5)xlabel('風險度Q')精彩文檔實用標準文案ylabel('最優(yōu)收益R,)title('最優(yōu)收益R隨風險度Q的變化趨勢圖')holdonQ=Q+0.001;gridonenda=0;while(1.1-a)>1C=-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185;Aeq=11.011.021.0451.065;beq=1;A=00.025000;000.01500;0000.0550;00000.026;b=a;a;a;a;vlb=0,0,0,0,0;vub=;x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.')axis(00.100.5)精彩文檔實用標準文案holdona=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q')模型三Lingo語句max(1)Ry,5x(1Pi)1,i0stXiqiy,X0,(i0,1,2,3,4,5.)max=(1-0