襄樊學(xué)院專升本《高等數(shù)學(xué)》考試大綱和樣卷

1、襄樊學(xué)院專升本高等數(shù)學(xué)考試大綱一、基本要求：考生應(yīng)按本大綱的要求，了解或理解“高等數(shù)學(xué)”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學(xué)、無窮級數(shù)、常微分方程的基本概念與基本理論；學(xué)會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識的結(jié)構(gòu)及知識的內(nèi)在聯(lián)系；應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象能力；有運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準(zhǔn)確地計(jì)算；能綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析并解決簡單的實(shí)際問題。本大綱對內(nèi)容的要求由低到高，對概念和理論分為“了解”和“理解”兩個層次；對方法和運(yùn)算分為“會”、“掌握”和“熟練掌握”三個層

2、次。二、考試方法和時間：考試方法為閉卷考試，考試時間為150分鐘。三、考試題型大致比例：填空題：10% ；選擇題：10% ；計(jì)算題：60% ；應(yīng)用、證明題：20% ；試卷滿分：150分。四、考試內(nèi)容和要求：第一章 函數(shù)、極限和連續(xù)（一）函數(shù)考試內(nèi)容：（1）函數(shù)的概念：函數(shù)的定義函數(shù)的表示法分段函數(shù)；（2）函數(shù)的簡單性質(zhì)：單調(diào)性奇偶性有界性周期性；（3）反函數(shù)：反函數(shù)的定義反函數(shù)的圖象；（4）函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算；（5）基本初等函數(shù)：冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)；（6）初等函數(shù)?？荚囈螅海?）理解函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域、表達(dá)式及函數(shù)值。會求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值，并會做

3、出簡單的分段函數(shù)圖象；（2）理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性，會判斷所給函數(shù)的類別；（3）了解函數(shù)y=（x）與其反函數(shù)y=-1（x）之間的關(guān)系（定義域、值域、圖象），會求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)；（4）理解和掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算，熟練掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程；（5）掌握基本初等函數(shù)的簡單性質(zhì)及其圖像象；（6）了解初等函數(shù)的概念；（7）會建立簡單實(shí)際問題的函數(shù)關(guān)系式。（二）極限考試內(nèi)容：（1）數(shù)列極限的概念：數(shù)列數(shù)列極限的定義；（2）數(shù)列極限的性質(zhì)：唯一性有界性四則運(yùn)算定理夾逼定理單調(diào)有界數(shù)列極限存在定理；（3）函數(shù)極限的概念：函數(shù)在一點(diǎn)處極限的定義左、右極限及其與極限的關(guān)系x趨于無

4、窮（x，x+，x-）時函數(shù)的極限函數(shù)極限的幾何意義；（4）函數(shù)極限的定理：唯一性定理夾逼定理四則運(yùn)算定理；（5）無窮小量和無窮大量：無窮小量與無窮大量的定義無窮小量與無窮大量的關(guān)系無窮小量與無窮大量的性質(zhì)兩個無窮小量階的比較；（6）兩個重要極限基本要求：（1）理解極限的概念（對極限定義中“- N”、“- ”、“- M”的描述不作要求），能根據(jù)極限概念分析函數(shù)的變化趨勢。會求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件；（2）了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則；（3）理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系 會進(jìn)行無窮小量階的比較

5、（高階、低階、同階和等階） 會運(yùn)用等價無窮小量代換求極限；（4）熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。（三）連續(xù)考試內(nèi)容：（1）函數(shù)連續(xù)的概念：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義左連續(xù)和右連續(xù)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類；（2）函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)：連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性；（3）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性定理 最大值和最小值定理 介值定理（包括零點(diǎn)定理）；（4）初等函數(shù)的連續(xù)性?；疽螅海?）理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與間斷的概念，掌握判斷簡單函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點(diǎn)的連續(xù)性，理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與極限存在的關(guān)系；（2）會求函數(shù)的間斷點(diǎn)及確定其類型；（3）掌握在閉區(qū)

6、間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會運(yùn)用介值定理推證一些簡單命題；（4）理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，并會利用連續(xù)性求極限。第二章 一元函數(shù)微分學(xué)（一）導(dǎo)數(shù)與微分考試內(nèi)容：（1）導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)的定義左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；（2）求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的基本公式；（3）求導(dǎo)方法：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法隱函數(shù)的求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（4）高階導(dǎo)數(shù)的概念：高階導(dǎo)數(shù)的定義高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；（5）微分：微分的定義微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系微分法則一階微分形式不變性?；疽螅海?）理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的

7、關(guān)系，會用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；（2）會求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程；（3）熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法，會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（4）掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法、對數(shù)求導(dǎo)法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（5）理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)；（6）理解函數(shù)的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導(dǎo)的關(guān)系，會求函數(shù)的一階微分。（二）中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用考試內(nèi)容：（1）中值定理：羅爾（Rolle）中值定理拉格朗日（Lagrange）中值定理；（2）洛必達(dá)（LHospital）法則；（3）函數(shù)增減性的判定法；（4）函數(shù)極值與極值點(diǎn)最大值

8、與最小值；（5）曲線的凹凸性、拐點(diǎn)；（6）曲線的水平漸近線與垂直漸近線?？荚囈螅海?）了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。會用羅爾中值定理證明方程根的存在性。會用拉格朗日中值定理證明簡單的不等式；（2）熟練掌握洛必達(dá)法則求“0/0”、“/ ”、“0”、“-”、“1”、“00”和“0”型未定式的極限方法；（3）掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法，會利用函數(shù)的增減性證明簡單的不等式；（4）理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值和最大（?。┲档姆椒?，并且會解簡單的應(yīng)用問題；（5）會判定曲線的凹凸性，會求曲線的拐點(diǎn)；（6）會求曲線的水平漸近線與垂直漸近線；（7）

9、會作出簡單函數(shù)的圖形。第三章 一元函數(shù)積分學(xué)（一）不定積分考試內(nèi)容：（1）不定積分的概念：原函數(shù)與不定積分的定義原函數(shù)存在定理不定積分的性質(zhì)；（2）基本積分公式；（3）換元積分法：第一換元法（湊微分法）第二換元法；（4）分部積分法；（5）一些簡單有理函數(shù)的積分?；疽螅海?）理解原函數(shù)與不定積分概念及其關(guān)系，掌握不定積分性質(zhì)，了解原函數(shù)存在定理；（2）熟練掌握不定積分的基本公式；（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（限于三角代換與簡單的根式代換）；（4）熟練掌握不定積分的分部積分法；（5）會求簡單有理函數(shù)的不定積分。（二）定積分考試內(nèi)容：（1）定積分的概念：定積分的定義及其幾何意

10、義可積條件；（2）定積分的性質(zhì)；（3）定積分的計(jì)算：變上限的定積分牛頓一萊布尼茨（Newton - Leibniz）公式換元積分法分部積分法；（4）無窮區(qū)間的廣義積分；（5）定積分的應(yīng)用：平面圖形的面積旋轉(zhuǎn)體的體積物體沿直線運(yùn)動時變力所作的功?；疽螅海?）理解定積分的概念與幾何意義，了解可積的條件；（2）掌握定積分的基本性質(zhì)；（3）理解變上限的定積分是變上限的函數(shù)，掌握對變上限定積分求導(dǎo)數(shù)的方法；（4）掌握牛頓萊布尼茨公式；（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法；（6）理解無窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法；（7）掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生

11、成的旋轉(zhuǎn)體體積；會用定積分求沿直線運(yùn)動時變力所作的功。第四章 向量代數(shù)與空間解析幾何（一）向量代數(shù)考試內(nèi)容：（1）向量的概念：向量的定義向量的模單位向量向量在坐標(biāo)軸上的投影 向量的坐標(biāo)表示法向量的方向余弦；（2）向量的線性運(yùn)算：向量的加法向量的減法向量的數(shù)乘；（3）向量的數(shù)量積二向量的夾角二向量垂直的充分必要條件；（4）二向量的向量積二向量平行的充分必要條件?；疽螅海?）理解向量的概念，掌握向量的坐標(biāo)表示法，會求單位向量、方向余弦、向量在坐標(biāo)軸上的投影；（2）掌握向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積與向量積的計(jì)算方法；（3）掌握二向量平行、垂直的條件。（二）平面與直線考試內(nèi)容：（1）常見的平面方程

12、：點(diǎn)法式方程一般式方程；（2）兩平面平行的條件兩平面垂直的條件點(diǎn)到平面的距離；（3）空間直線方程：標(biāo)準(zhǔn)式方程（又稱對稱式方程或點(diǎn)向方程）一般式方程參數(shù)式方程；（4）兩直線平行的條件兩直線垂直的條件直線在平面上的條件?；疽螅海?）會求平面的點(diǎn)法式方程、一般式方程。會判定兩平面的垂直、平行；（2）會求點(diǎn)到平面的距離；（3）了解直線的一般式方程，會求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程、參數(shù)式方程會判定兩直線平行、垂直；（4）會判定直線與平面間的關(guān)系（垂直、平行、直線在平面上）。（三）簡單的二次曲面考試內(nèi)容：球面母線平行于坐標(biāo)軸的柱面旋轉(zhuǎn)拋物面圓錐面橢球面；基本要求：了解球面、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、旋轉(zhuǎn)拋物面、圓

13、錐面和橢球面的方程及其圖形。第五章 多元函數(shù)微積分（一）多元函數(shù)微分學(xué)考試內(nèi)容：（1）多元函數(shù)：多元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義域二元函數(shù)的幾何意義二元函數(shù)極限與連續(xù)的概念；（2）偏導(dǎo)數(shù)與全微分：偏導(dǎo)數(shù)全微分二階偏導(dǎo)數(shù)；（3）復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；（4）隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；（5）二元函數(shù)的無條件極值及條件極值?；疽螅海?）了解多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義及二元函數(shù)的極值與連續(xù)概念（對計(jì)算不作要求）。會求二元函數(shù)的定義域；（2）理解偏導(dǎo)數(shù)概念，了解全微分概念，知道全微分存在的必要條件與充分條件；（3）掌握二元函數(shù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法；（4）掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法；（5）會求二元函數(shù)的全微

14、分；（6）掌握由方程F（x，y，z）=0所確定的隱函數(shù)z=z（x，y）的一階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法；（7）會求二元函數(shù)的無條件極值及條件極值。（二）二重積分考試內(nèi)容：（1）二重積分的概念：二重積分的定義二重積分的幾何意義；（2）二重積分的性質(zhì)；（3）二重積分的計(jì)算；（4）二重積分的應(yīng)用?；疽螅海?）理解二重積分的概念及其性質(zhì)；（2）掌握二重積分在直角坐標(biāo)系及極坐標(biāo)系下的計(jì)算方法；（3）會用二重積分解決簡單的應(yīng)用問題（限于空間封閉曲面所圍成的有界區(qū)域的體積、平面薄板質(zhì)量）。（三）第一類曲線積分與第二類曲線積分考試內(nèi)容：第一類曲線積分與第二類曲線積分的概念及其計(jì)算方法；格林（Green）公式；平面曲

15、線積分與路徑無關(guān)條件。基本要求：（1）理解第一類曲線積分與第二類曲線積分的概念及其性質(zhì)；（2）掌握第一類曲線積分與第二類曲線積分的計(jì)算方法；（3）掌握格林（Green）公式；（4）掌握平面曲線積分與路徑無關(guān)條件。第六章 無窮級數(shù)（一）數(shù)項(xiàng)級數(shù)考試內(nèi)容：（1）數(shù)項(xiàng)級數(shù)：數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念級數(shù)的收斂與發(fā)散級數(shù)的基本性質(zhì)級數(shù)收斂的必要條件；（2）正項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別法：比較判別法比值判別法；（3）任意項(xiàng)級數(shù)：交錯級數(shù)絕對收斂條件收斂萊布尼茨判別法。考試要求：（1）理解級數(shù)收斂、發(fā)散的概念。掌握級數(shù)收斂的必要條件，了解級數(shù)的基本性質(zhì)；（2）掌握正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法。會用正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法；（3）掌握幾何

16、級數(shù)、調(diào)和級數(shù)與級數(shù)的收斂性；（4）了解級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，會使用萊布尼茨判別法。（二）冪級數(shù)考試內(nèi)容：（1）冪級數(shù)的概念：收斂半徑收斂區(qū)間；（2）冪級數(shù)的基本性質(zhì)；（3）將簡單的初等函數(shù)展開為冪級數(shù)?？荚囈螅海?）了解冪級數(shù)的概念；（2）了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和、差、逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分）；（3）掌握求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間（不要求討論端點(diǎn)）的方法；（4）會運(yùn)用，的麥克勞林（Maclaurin）公式，將一些簡單的初等函數(shù)展開為或的冪級數(shù)。第七章 常微分方程（一）一階微分方程考試內(nèi)容：（1）微分方程的概念：微分方程的定義階解通解初始條件特解；（2）可分離變量的方程；

17、（3）一階線性方程?？荚囈螅海?）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解；（2）掌握可分離變量方程的解法；（3）掌握一階線性方程的解法。（二）可降價方程考試內(nèi)容：（1）型方程（2）型方程 考試要求：（1）會用降價法解型方程（2）會用降價法解型方程（三）二階線性微分方程考試內(nèi)容：（1）二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（2）二階常系數(shù)齊次線性微分方程（3）二階常系數(shù)非齊交線性微分方程考試要求：（1）了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。（2）掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。（3）掌握二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法（自由項(xiàng)限定為，其中為的次多項(xiàng)式。為實(shí)常數(shù)；+，其中、A、B為實(shí)常

18、數(shù)）。參考書目：1、高等數(shù)學(xué)（第四、五版） 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編 高等教育出版社2、高等數(shù)學(xué)（本科少學(xué)時類型）同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編 高等教育出版社3、高等數(shù)學(xué) 上海市高等?？茖W(xué)校高等數(shù)學(xué)編寫組上?？茖W(xué)技術(shù)出版社襄樊學(xué)院專升本高等數(shù)學(xué)考試樣卷一、選擇題（單選題，3×5=15分）1、設(shè)是一個常數(shù)，且，則函數(shù)在點(diǎn)處（ ）A、 可以有定義，也可無定義B、 一定有定義C、 一定無定義D、 有定義，且2、當(dāng)時，與比較是（ ）無窮小量A、等價的 B、同階的 C、較高階的 D、較低階的3、下列函數(shù)中在區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件的是（ ）A、 B、C、 D、4、下列等式中成立的是（ ）A、 B、C、 D、5、若，是某個二階齊次線性方程的解，則（、）是方程的（ ）A、通解 B、特解 C、解 D、全部解二、填空題（3×5=15分）1、函數(shù)的定義域?yàn)?2、設(shè)函數(shù)，如果在處連續(xù)，則.3、設(shè)函數(shù)，則曲線的拐點(diǎn)為.4、改變二次積分的積分次序，.5、函數(shù)展開成的冪級數(shù)為