一維振動方程（課堂PPT）

1、II 數(shù)學物理方法第一章 數(shù)理方程的導出 1.1、一維振動方程 1.2、擴散方程 1.3、二維薄膜振動方程 1.4、電報方程第二章偏微分方程的定解問題 2.1、定解條件 2.2、定解問題的適定性 2.3、偏微分方程的分類第三章 分離變量法求解偏微分方程 3.1、奇次方程的分離變量法 3.2、高元偏微分方程的分離變量法 3.3、非奇次邊界條件問題 3.4、非奇次偏微分方程的定解問題 3.5、正交曲面坐標系 3.6、區(qū)域穩(wěn)定性問題第四章、球函數(shù) 4.1、Legendre方程及Legendre多項式 4.2、Legendre多項式的母函數(shù) 4.3、按Legendre多項式展開 4.4、連帶Legen

2、dre多項式 4.5、球形區(qū)域的Dirichlet問題的解第五章、柱函數(shù)，Bessel函數(shù)5.1、Bessel函數(shù)5.2、Bessel函數(shù)的母函數(shù)5.3、半奇數(shù)Bessel函數(shù)5.4、按Bessel函數(shù)展開5.5、第二、三類Bessel函數(shù)5.6、球Bessel函數(shù)5.7、虛宗量Bessel函數(shù)5.8、Bessel函數(shù)的漸近式第一章、數(shù)學物理方程導出第一章、數(shù)學物理方程導出 數(shù)學物理方程，是指從物理學或其他自然學科中所給出的偏微分方程、積分方程、微分方程和常微分方程。例如在物理學中常碰到的： 1、靜電勢或引力勢滿足的Laplace及Poisson方程。 2、波在空間傳輸所滿足的Helmhotz

3、波動方程。 3、熱傳導所滿足的熱傳導方程。 4、電磁波所滿足的Maxwell方程。 5、微觀系統(tǒng)所滿足的 方程以及相對論量子力 學中的Klein-Gordon方程和Dirac方程。shrodinger本課程的目的就是介紹一些求解這類數(shù)學物理方程的常用方法和技巧。1 1、一維振動方程、一維振動方程 考慮一條輕質(zhì)柔軟的均勻弦，當輕微地撥動這條弦后,弦會在某一平面上作微小振動。 令u(x,t)為位移量，x為弦上的位置，弦的端點坐標為0、l，T1、T2 為弦張力，這里忽略剪切力的作用以及縱向運動。1 1、一維弦的橫振動、一維弦的橫振動根據(jù)受力情況，可以寫出運動方程：2211222112coscos0(

4、 , )sinsinTTu x tTTmt sin( )tan( )sin( )cos( )22()cos()( )cos( )0( , )()sin()( )sin( )T xxxxT xxu x tT xxxxT xxdxt對于微小振動，有u(x,t) x, 由此可近似得： 則： tan( )uxsinux所以： cos( )1所以有： 所以在微小振動下有：由橫向受力方程近似得：()( )0T xdxT x( , )( )T x tT t22sinsinxxxuxTt所以：22220uuxTxtx 最后得：xxxuuTxx22uTxx若弦在同時受到外加橫向力F(x,t) 的作用，則橫向受力

5、方程為：2222( , )uuxTxF x ttx 222220uuktx所以一維弦振動方程為：這里： ，為弦振動傳播的速度.Tk整理得受外力弦振動方程為：22222( , )uuf x tktx說明：說明：22sxxuxxx 所以，在小振動時，總弦長變化可以忽略，所以：( , )( )T x tT t由于： 211ux212ux 考慮一均勻細桿，桿縱向存在輕微振動。 由于桿縱向振動，桿內(nèi)部存在彈性應(yīng)力作用，令彈性應(yīng)力密度為P(x,t)，令u(x,t)為桿沿縱向的位移量，x為桿上的位置。2、均勻桿的縱向振動、均勻桿的縱向振動根據(jù)受力情況，可寫出運動方程：22( , )(, )( , )u x

6、tS xP xx tP x tSt則：22( , )( , )u x tP x ttx若桿為彈性形變，根據(jù)Hooke定律：( , )( , )uu x tP x txx令：( , )( , )u x tP x tYx則：2222( , )( , )0u x tu x tYtx( , )P x txSx整理得桿縱向振動方程為：22222( , )( , )0u x tu x ttx這里： ，為桿振動傳播的速度.Y若桿上同時受到外加縱向力F(x,t) 的作用，則縱向受力方程為：2222( , )( , )( , )u x tu x txSY xSF x ttx整理得受外力弦振動方程為：22222( , )uuf x tktx這里f(x,t)為力密度：( , )( , )F x tf x txS總 結(jié) 根據(jù)前兩講的內(nèi)容，我們可以得到結(jié)論，雖然兩種機械振動的機理并不相同，但兩者的運動方程都為波動方程，對于一般的三維振動，波動方程可以推廣為：22( , )( , )0ttu x tu x t這里 為Laplace算子。2222222xyz 對于不同的物理過程，描寫其力學行為的動力學方程有可能是相同的，通過對一種微分方程求解，往往可以從物