2.1曲面與空間曲線qumianjikognjianquxianppt課件

1、6 曲面與空間曲線例1：求與A(2,3,1)和B(4,5,6)等距離的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)跡。解： 設(shè)M(x,y,z)為動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的條件是 |AM|=|BM|由距離公式得一.曲面及其方程： 1.曲面方程的一般概念：而滿足此方程的點(diǎn)都在曲面上，則稱此方程為該曲面的方程，而曲面稱為此方程的圖形。定義：若曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y,z) 都滿足方程F(x,y,z)=0，222222(2) (3) ( 1 )(4) (5) (6)xyzxyz 整理得 4410630 xyz此即所求點(diǎn)的規(guī)跡方程，為一平面方程。 2.坐標(biāo)面及與坐標(biāo)面平行的平面方程： 坐標(biāo)平面xOy的方程：z=0 過(guò)點(diǎn)a,b,c)且與xO

2、y面平行的平面方程：z=c 坐標(biāo)面yOz、坐標(biāo)面zOx以及過(guò)a,b,c)點(diǎn)且分別與之平行的平面方程：x=0; y=0; x=a; y=b 3. 球面方程： 球面的標(biāo)準(zhǔn)方程：以M0(x0,y0,z0)為球心，R為半徑 的球面方程為 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2例例2：求：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面表示的曲面解：整理得：解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22 故此為一個(gè)球心在（故此為一個(gè)球心在（-1,1,0)，半徑為，半徑為2的球。的球。球面方程的特點(diǎn)：平方項(xiàng)系數(shù)相同；沒(méi)有交叉項(xiàng)。 球面的一般方程： x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D

3、=0 一般我們將動(dòng)直線l沿定曲線c平行移動(dòng)所形成的軌跡稱為柱面。其中直線l稱為柱面的母線，定曲線c稱為柱面的準(zhǔn)線。本章中我們只研究母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。此時(shí)有以下結(jié)論： 分析：母線平行于坐標(biāo)軸的柱面的特點(diǎn)為：平行于某軸，則在其方程中無(wú)此坐標(biāo)項(xiàng)。其幾何意義為：無(wú)論z取何值，只要滿足F(x,y)=0，則總在柱面上。 若柱面的母線平行于z軸，準(zhǔn)線c是xOy面上的一條曲線，其方程為F(x,y)=0，則該柱面的方程為F(x,y)=0; 同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空間中分別表示母線平行于y軸和x軸的柱面。4.母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程：222xya圓柱面；22221xyab橢圓柱面；

4、22221xyab雙曲柱面；22xpy拋物柱面。以上所舉例均為母線平行于z軸的情況，其他情況類似。幾種常見(jiàn)柱面：x+y=a 平面；4.旋轉(zhuǎn)曲面： 一般情況下我們將一平面曲線c繞同一平面內(nèi)的定直線l旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。其中c稱為母線，l稱為其軸。本章中我們只研究繞坐標(biāo)軸放置的曲面。此時(shí)有以下結(jié)論： 設(shè)yOz平面上有一已知曲線c 其方程為f(y,z)=0，將c繞 z軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的以z軸 為軸的放置曲面的方程為：22(, ) 0fxy z同理，曲線c繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面方程為：22( ,) 0f yxz同理,以xOy面上曲線f(x,y)=0為母線繞x軸得曲面22( ,)0f xyz繞

5、y軸為22(, ) 0fx z y以xOz面上曲線f(x,z)=0為母線繞x軸得曲面22( ,) 0f xyz繞z 軸得曲面22(, ) 0fxy z例例3 求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為z軸，軸， 半頂角為半頂角為a的圓錐面方程。的圓錐面方程。解：將解：將yOz面上的直線面上的直線z=yctg 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)一周即得圓錐曲面軸旋轉(zhuǎn)一周即得圓錐曲面22zx yctg整理后得：2222()za xy其中a=ctg二.空間曲線及其方程： 1.空間曲線的一般方程： 空間曲線一般可看作兩個(gè)曲面的交線，若兩個(gè)曲面的方程分別為F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，則易知其交線c的方程為(

6、 , , )0( , , )0F x y zG x y z稱此方程組為曲線c的一般方程。 例例4：方程組：方程組22252xyzz表示怎樣的曲線？解：平面解：平面z=2上以上以(0,0,2)為圓心的單位圓。為圓心的單位圓。表示母線平行于Z 軸，準(zhǔn)線在xoy面上半徑為1的上半球面例 方程 表示怎樣曲線222222()()22Zaxyaaxy22zxy解： 表示中心在原點(diǎn)，222()( )22aaxy半徑為1的圓柱面 它們的交線是xoy面上的一個(gè)圓，其圓心在 ，半徑為(,0)2a2a2.空間曲線的參數(shù)方程： 方程組( )( )( )xx tyy tzz t稱為空間中曲線的參數(shù)方程。設(shè)空間曲線方程如

7、果選定一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù) x=xx代入上述方程組并有它解出y=（x），Z=Zx得例 如果空間一點(diǎn)M在圓柱面 x2 +y2 =a2 上以等角速度 繞z周旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，以等速度v沿平行于Z軸的正方向 挪動(dòng)，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的軌跡叫螺旋線，求其參數(shù)方程M NvtztMNcossinxatytzvtcossinxayzR螺旋線有一個(gè)重要性質(zhì)，當(dāng) 從 變到 時(shí)，Z由 變到 這說(shuō)明當(dāng) 轉(zhuǎn)過(guò)角 時(shí)， 點(diǎn)沿螺旋線升了高度 ，即上升的高度與 轉(zhuǎn)過(guò)角度成正比。000b0bboMMboM 三.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影：( , , )0( , , )0F x y zG x y z在該方程組中消去z得H(x,y)=0，此為一個(gè)通過(guò)

8、曲線L母線平行于z軸的柱面，稱為曲線c關(guān)于xOy面的投影柱面。此投影柱面與xOy平面的交線即為c在xOy平面上的投影曲線，簡(jiǎn)稱投影，其方程為( , )00H x yz同理可得L在yOz面及xOz面上投影方程為( , )00T x zy( , )00R y zx和解 消去Z得1-y2=3x2+y2投影柱面方程為3x2+2y2=1例 求曲線L： 在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線22231xyzzy 22310 xyz投影曲線方程2321 10 xzy 投影曲線方程消去x得Z=1-y2210zyx 投影曲線方程消去y得3x2+1-2Z=0投影柱面方程為3x2-2Z-1=0投影柱面方程為Z=1-y2的交線是一

9、條空間曲線例 兩個(gè)柱面 和 222xza222xya 例5：求曲線2222221(1 ) ( 1 ) 1xyzxyz 在xOy面上的投影方程。 解：上式減下式得z=1-y，代回上式得投影柱面方程為22220 xyy從而曲線在xOy面上的投影方程為222200 xyyz四 二次曲面通過(guò)截痕法，了解二次曲面的全貌1.橢球面2222221xyzabc與三個(gè)坐標(biāo)面的交線均為橢圓222210 xyabz222210 xzacy222210zyabx若a=b,那么 旋轉(zhuǎn)橢球面2222221xyzaac2 單葉雙曲面2222221 ( , ,xyzabcabc為 正 數(shù) ）Z=h 截,截痕為一橢圓。2222

10、22221(1)(1)xyhhabccz h 222222221(1)(1)yzhhbcaax h x=h ，或y=h截,截痕為一雙曲線。222222221(1)(1)xzhhacbby h 2當(dāng) 時(shí)，截痕為一對(duì)直線bb1當(dāng) 時(shí)，曲線為雙曲線，實(shí)軸平行與x軸，虛軸平行與z軸，當(dāng) 由零增大到b時(shí)，曲線的兩半軸縮小至零。bbb3當(dāng) 時(shí)，曲線仍為雙曲線，但實(shí)軸平行于z軸，虛軸平行與x軸，當(dāng) 由 b增大時(shí)，曲線的兩半軸也增大。bbb同樣用平行于yoz的平面相截時(shí)截痕也是雙曲線，可用同樣的方法討論。這是單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面。當(dāng)a=b時(shí)，方程變?yōu)?22221xyzac3 雙葉雙曲面2222221 ( , ,xyza b cabc為正數(shù)）雙葉雙曲面對(duì)稱于坐標(biāo)原點(diǎn)及三個(gè)坐標(biāo)面Z=h截，截痕為22222