函數(shù)的最大(最小)值

1、主講：陳剛主講：陳剛噴泉噴出的拋物線型水柱到達(dá)噴泉噴出的拋物線型水柱到達(dá)“最高點(diǎn)最高點(diǎn)”后便下落，后便下落，經(jīng)歷了先經(jīng)歷了先“增增”后后“減減”的過程，從中我們發(fā)現(xiàn)單的過程，從中我們發(fā)現(xiàn)單調(diào)性與函數(shù)的最值之間似乎有著某種調(diào)性與函數(shù)的最值之間似乎有著某種“聯(lián)系聯(lián)系”，讓，讓我們來研究我們來研究函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)的最大值與最小值. . 前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性，知道了在前面我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的單調(diào)性，知道了在函數(shù)定義域的某個(gè)區(qū)間上函數(shù)值的變化與自變函數(shù)定義域的某個(gè)區(qū)間上函數(shù)值的變化與自變量增大之間的關(guān)系，請(qǐng)大家看某市一天量增大之間的關(guān)系，請(qǐng)大家看某市一天24小時(shí)小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖內(nèi)的氣溫變化圖

2、. (1)說出氣溫隨說出氣溫隨時(shí)間變化的特點(diǎn)時(shí)間變化的特點(diǎn). 從圖象上看出從圖象上看出0時(shí)時(shí)4時(shí)之間氣溫下降時(shí)之間氣溫下降,4時(shí)時(shí)14時(shí)之間氣溫逐步上升時(shí)之間氣溫逐步上升,14時(shí)時(shí)24時(shí)氣溫逐漸下降時(shí)氣溫逐漸下降. (2)某市這一天何時(shí)的氣某市這一天何時(shí)的氣溫最高和何時(shí)的氣溫最低？溫最高和何時(shí)的氣溫最低？ 14時(shí)氣溫達(dá)到最高時(shí)氣溫達(dá)到最高,4時(shí)氣溫達(dá)到最低時(shí)氣溫達(dá)到最低. (3)從圖象上看出從圖象上看出14時(shí)的氣溫為全天的最時(shí)的氣溫為全天的最高氣溫高氣溫,它表示在它表示在024時(shí)之間時(shí)之間,氣溫于氣溫于14時(shí)達(dá)到時(shí)達(dá)到最大值最大值,從圖象上看出從圖象上看出,圖象在這一點(diǎn)的位置最圖象在這一點(diǎn)的位

3、置最高高.這就是本節(jié)課我們要研究函數(shù)最大、最小值這就是本節(jié)課我們要研究函數(shù)最大、最小值問題問題.觀察下列兩個(gè)函數(shù)的圖象：觀察下列兩個(gè)函數(shù)的圖象： yxox0圖圖2MB探究點(diǎn)探究點(diǎn)1 1 函數(shù)的最大值函數(shù)的最大值【解答解答】第一個(gè)函數(shù)圖象有最高點(diǎn)第一個(gè)函數(shù)圖象有最高點(diǎn)A A, ,第二個(gè)函數(shù)圖第二個(gè)函數(shù)圖象有最高點(diǎn)象有最高點(diǎn)B B, ,也就是說也就是說, ,這兩個(gè)函數(shù)的圖象都有最高這兩個(gè)函數(shù)的圖象都有最高點(diǎn)點(diǎn). .思考思考2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)y=f(x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為M,M,則則對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)任意自變量對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)任意自變量x,f(x)x,f(x)與與M

4、 M的大小關(guān)系如的大小關(guān)系如何何? ?【解答解答】 f(x)M f(x)M思考思考1 1 這兩個(gè)函數(shù)圖象有何共同特征？這兩個(gè)函數(shù)圖象有何共同特征？最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)即最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)即是函數(shù)的最大值！是函數(shù)的最大值！函數(shù)最大值定義函數(shù)最大值定義：一般地，設(shè)函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)y=f(x)的定義的定義域?yàn)橛驗(yàn)镮 I，如果存在實(shí)數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)M M滿足：滿足：（1 1）對(duì)于任意的）對(duì)于任意的xIxI，都有，都有_；（2 2）存在）存在x x0 0II，使得，使得_。那么，我們稱那么，我們稱M M是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)y=f(x)的最大值的最大值. .f(x)Mf(x)Mf(xf(x0 0

5、)=M)=M函數(shù)圖象在最高點(diǎn)處的函數(shù)值是函數(shù)在整個(gè)定義域上函數(shù)圖象在最高點(diǎn)處的函數(shù)值是函數(shù)在整個(gè)定義域上最大的值最大的值. .對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)f(x)=-xf(x)=-x2 2而言，即對(duì)于函數(shù)定義域而言，即對(duì)于函數(shù)定義域中任意的中任意的xRxR，都有，都有f(x)f(0)f(x)f(0)當(dāng)一個(gè)函數(shù)的圖象有最高點(diǎn)時(shí)，我們就說這個(gè)函數(shù)有最當(dāng)一個(gè)函數(shù)的圖象有最高點(diǎn)時(shí)，我們就說這個(gè)函數(shù)有最大值大值. .當(dāng)當(dāng)一個(gè)一個(gè)函數(shù)函數(shù)的的圖象無最高點(diǎn)時(shí)，我們就說這個(gè)函圖象無最高點(diǎn)時(shí)，我們就說這個(gè)函數(shù)沒有最大值數(shù)沒有最大值. .函數(shù)圖象最高點(diǎn)處的函數(shù)值的刻畫：函數(shù)圖象最高點(diǎn)處的函數(shù)值的刻畫：函數(shù)最大值的函數(shù)最大值的

6、“形形”的定義：的定義： 而只有而只有(2)(2)沒有沒有(1),(1),M M不一定是函數(shù)不一定是函數(shù)y y= =f f( (x x) )的的 最大值最大值. .注意啦！注意啦！定義中的兩個(gè)條件缺一不可定義中的兩個(gè)條件缺一不可, ,只有只有(1)(1)沒有沒有(2)(2)不存在最大值點(diǎn)不存在最大值點(diǎn), ,圖圖1yox0 xmxyox0圖圖2m觀察下列兩個(gè)函數(shù)的圖象：觀察下列兩個(gè)函數(shù)的圖象：探究點(diǎn)探究點(diǎn)2 2 函數(shù)的最小值函數(shù)的最小值思考思考1:1:這兩個(gè)函數(shù)圖象各有一個(gè)最低點(diǎn)，函數(shù)圖象這兩個(gè)函數(shù)圖象各有一個(gè)最低點(diǎn)，函數(shù)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫什么名稱？上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫什么名稱？提示：提示：函

7、數(shù)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是所有函數(shù)值中函數(shù)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是所有函數(shù)值中的最小值的最小值, ,即函數(shù)的最小值即函數(shù)的最小值. .函數(shù)最小值的定義：函數(shù)最小值的定義：一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)y=f(x)的定的定義域?yàn)榱x域?yàn)镮 I，如果存在實(shí)數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)N N滿足：滿足：（1 1）對(duì)任意的）對(duì)任意的 ，都有，都有_；（2 2）存在）存在 ，使得，使得_._.那么，我們就稱那么，我們就稱N N是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)y=f(x)的最小值的最小值. .xI0 xIf(x)Nf(x)Nf(xf(x0 0)=N)=N函數(shù)圖象在最低點(diǎn)處的函數(shù)值是函數(shù)在整個(gè)定義域函數(shù)圖象在最低點(diǎn)處的函數(shù)

8、值是函數(shù)在整個(gè)定義域上最小的值上最小的值. .對(duì)于函數(shù)對(duì)于函數(shù)f(x)=xf(x)=x2 2而言，即對(duì)于函數(shù)定義而言，即對(duì)于函數(shù)定義域中任意的域中任意的xRxR，都有，都有f(x)f(0).f(x)f(0).函數(shù)圖象最低點(diǎn)處的函數(shù)值的刻畫：函數(shù)圖象最低點(diǎn)處的函數(shù)值的刻畫：最小值的最小值的“形形”的定義：的定義：當(dāng)一個(gè)函數(shù)的圖象有最低點(diǎn)時(shí)，我們就說這個(gè)函數(shù)有最當(dāng)一個(gè)函數(shù)的圖象有最低點(diǎn)時(shí)，我們就說這個(gè)函數(shù)有最小值小值. .當(dāng)一個(gè)函數(shù)的圖象沒有最低點(diǎn)時(shí)，我們就說這個(gè)函當(dāng)一個(gè)函數(shù)的圖象沒有最低點(diǎn)時(shí)，我們就說這個(gè)函數(shù)沒有最小值數(shù)沒有最小值. .(1)( )1;f xx 2(2)( );f xx 請(qǐng)大家思

9、考請(qǐng)大家思考, 是否每個(gè)函數(shù)都有最大值是否每個(gè)函數(shù)都有最大值,最最小值？舉例說明小值？舉例說明.一個(gè)一個(gè) 函數(shù)不一定有最值函數(shù)不一定有最值. 有的函數(shù)可能只有一個(gè)最大有的函數(shù)可能只有一個(gè)最大(或小或小)值值. 如果一個(gè)函數(shù)存在最值，那么函數(shù)的最如果一個(gè)函數(shù)存在最值，那么函數(shù)的最值都是唯一的值都是唯一的,但取最值時(shí)的自變量可以有但取最值時(shí)的自變量可以有多個(gè)多個(gè). 2(3)( )21,0,3)f xxxx 【1】求函數(shù)求函數(shù)y=x2- -2x- -1的值域和最值的值域和最值. . (1) x0, 3 (2) x(2, 4 (3) x- -2, - -1 ymin=f(1)=- -2,ymax=f(

10、3)=2.值域值域- -2,2ymax=f(4)=7.值域值域(- -1,7ymax=f(- -2)=7.值域值域2,7ymin=f(- -1)=2, 例例2. .求函數(shù)求函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間2，6上的最上的最大值和最小值大值和最小值 21yx 解解:設(shè)設(shè)x1, x2是區(qū)間是區(qū)間2,6上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且且x1x2,則則2211(21)(1).()xxxx 由由2x1x20,(x1- -1)(x2- -1)0,12()()0,f xf x121222()()11f xf xxx 21212(1)(1)(1)(1)xxxx 于是于是 因此因此,函數(shù)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間2,6上的兩個(gè)端

11、點(diǎn)上的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最大值和最小值上分別取得最大值和最小值.12()().f xf x 所以所以,函數(shù)函數(shù) 是區(qū)間是區(qū)間2,6上的減函數(shù)上的減函數(shù).21yx 當(dāng)當(dāng)x=2時(shí)取最大值時(shí)取最大值21yx max2(2)2;21yf 當(dāng)當(dāng)x=6時(shí)取最小值時(shí)取最小值min22(6).615yf 即即xyo1 23 4561321. .函數(shù)的最大函數(shù)的最大( (小小) )值的定義及幾何意義值的定義及幾何意義 2. .三類函數(shù)的最值的求法三類函數(shù)的最值的求法 利用二次函數(shù)的性質(zhì)利用二次函數(shù)的性質(zhì)( (配方法配方法) )求函數(shù)的求函數(shù)的最大最大( (小小) )值值.利用圖象求函數(shù)的最大利用圖象求函數(shù)的最大( (小小) )值值.利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最大利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最大( (小小) )值值 如果函數(shù)如果函數(shù)