橢圓的標準方程及性質(zhì)

1、橢圓的標準方程及性質(zhì)1橢圓的兩種定義：平面內(nèi)與兩定點F,f2的距離的和等于定長2dCFf2|)的點的軌跡，即點集M=P|PFj+|PF2|=2a,2a>|FF2|；(2a=|件Fj時為線段F&,2a<|FF|無軌跡)其中兩定點F，F(xiàn)2叫焦點，定點間的距離叫焦距(2)平面內(nèi)一動點到一個定點和一定直線的距離的比是小于1的正常數(shù)的點的軌跡，即點集M=P|JPF=e，0<e<1的常數(shù)Ld2標準方程：F2（c，0）.其中c=a2-b2x2y2(1)焦點在x軸上，中心在原點：一+=1(a>b>0)；焦點F(一c,0)，a2b2y2x2i'(2)焦點在y軸

2、上，中心在原點：+=1(a>b>0)；焦點F.(0,c),F2(0，c)其中c=a2b2a2b2123.橢圓一般方程兩種標準方程可用統(tǒng)一形式表示：Ax2+By2=1(A>0,B>0,A#B當A<B時，橢圓的焦點在x軸上，A>B時焦點在y軸上)，已知橢圓上的兩個點這種形式用起來更方便4共焦點的橢圓標準方程形式上的差異x2y2x2y2共焦點，則c相同。與橢圓+=l(a>b>0)共焦點的橢圓方程可設為+=1(m>b2)，此類a2b2a2+mb2+m問題常用待定系數(shù)法求解。x2y25.共離心率橢圓方程的橢圓標準方程共離心率，則e相同。與橢圓+=1(

3、a>b>0)共焦點的橢圓方程可設a2b2為，頂點(土a,0)，(0,±b)(0,±a)，(±b,0)軸長長軸長=2a，短軸長=2離心率e=-(0<e<1)a準線方程,a2x=±c,a2y=±c焦半徑PF=a+ex，PF=a一ex1020PF=a+ey，PF=a一ey1020x2y27-性質(zhì)：對于橢圓a2+b2二1（心心。）如下性質(zhì)必須熟練掌握:i范圍；對稱軸、對稱中心；頂點；焦點、焦距；準線方程；離心率.焦半徑PF=a+c,PF=a一cmaxmin*b22a2_b2盤2焦準距P=；兩準線間的距離=；通徑長2x半通徑.cc

4、a3最大角(ZFPF)12max=ZFBF1222.F齊加亠+HF一°壬.扶刑T學丟匸已代丄一-<.R.7nK,宀、兒X持.圧匚土：；科丨，Y,時I焦點在豈軸上°（三）肚點三陽駙的面枳梵式送證=b2tan圖&點P（x0，y0）與橢圓旦+芒=1（a>b>0）的位置關(guān)系：00a2b2當皀+21>1時，點P在橢圓外；當蘭+21>1時，點P在橢圓內(nèi)；當竺+21=1時，點P在橢圓上;a2b2a2b2a2b29.直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓相交oA>0；直線與橢圓相切oA=0；直線與橢圓相離O&<010.弦長公式CL)眩長公式

5、:號長公式:把AB所左亙線萬程廠1：汁“代幾橢圓方程牙亙線怔：yAx十2?呈橢圓研注方程:豈十務一1(a>b>0)0S<干兩.弓么佝加、F(也»x2y2Ix二acos011.對橢圓方程懇+厲=1作三角換元可得橢圓的參數(shù)方程：【y二bsin0，0為參數(shù)12有關(guān)圓錐曲線弦的中點和斜率問題可利用“點差法”及結(jié)論：r21?勢(出J1),甘g亠)是梯圓p-+-10>也>0)上不童合的兩點,坷+工2直線且召的斜率H遠，叫毛，九)是線抽中點坐標,如=2b2a&b2v_V+匕%-2匸廉圖標帶專稈：二+=1：方"，以磁(心坯為4七的號所匸言線的斜率a&q

6、uot;b“'雄圖標準方程：君十-l(a>b>.-/M(yQ)為中當菸弦所亡言趺的創(chuàng)率4屁財斜率為k的弦的中點軌跡方程;設弦PQ的端點為PI小QXW中點為Wy°L把P，Q的坐U標代入桐司力框后化差相£1用口點介式力斜魚公式丁得/&楠司人不皆端點出迭股：y2x2a2x13對橢圓：+二1，則kA=-0.a2b2ABb2y0第三章：直線與方程的知識點傾斜角與斜率1. 當直線l與X軸相交時，我們把X軸正方向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角當直線l與X軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0°則直線l的傾斜角«的范圍是0&l

7、t;a<K.2. 傾斜角不是90°的直線的斜率，等于直線的傾斜角的正切值，即k=tan0.如果知道直線上兩點P(x,y),P(x,y)，1122則有斜率公式k=厶一斗.特別地是，當x=x，y豐y時，直線與x軸垂直，斜率k不存在；當x豐x，y=y時，x-x1212121221直線與y軸垂直，斜率k=0.注意：直線的傾斜角a=90°時，斜率不存在，即直線與y軸平行或者重合.當a=90°時，斜率k=0；當0。<<90。時,斜率k>0，隨著a的增大，斜率k也增大；當90°<a<180。時，斜率k<0，隨著a的增大，斜率k

8、也增大.這樣，可以求解傾斜角a的范圍與斜率k取值范圍的一些對應問題.兩條直線平行與垂直的判定1. 對于兩條不重合的直線l、l，其斜率分別為k、k，有：1212（1）llk二k；（2）l丄lkk=-1.121212122. 特例：兩條直線中一條斜率不存在時，另一條斜率也不存在時，則它們平行，都垂直于x軸；.直線的點斜式方程1. 點斜式：直線l過點P（x,y），且斜率為k,其方程為y-y=k（x-x）.000002. 斜截式：直線l的斜率為k,在y軸上截距為b,其方程為y=kx+b.3. 點斜式和斜截式不能表示垂直x軸直線.若直線l過點P（x,y）且與x軸垂直，此時它的傾斜角為90°，斜

9、率不存在，000它的方程不能用點斜式表示，這時的直線方程為x-x=0，或x=x.004. 注意：_人=k與y-y=k（x-x）是不同的方程，前者表示的直線上缺少一點P（x,y），后者才是整條直線.x-x00000直線的兩點式方程1. 兩點式：直線/經(jīng)過兩點P（x,y）,P（x,y），其方程為丄二茸=三二二，111222y-yx-x21212. 截距式：直線l在x、y軸上的截距分別為a、b,其方程為蘭+=1.ab3. 兩點式不能表示垂直x、y軸直線；截距式不能表示垂直x、y軸及過原點的直線.4. 線段PP中點坐標公式（2乂,厶y2）.1222直線的一般式方程1. 一般式：Ax+By+C=0，注意

10、A、B不同時為0.直線一般式方程Ax+By+C=0（B豐0）化為斜截式方程ACACy=-x-C，表示斜率為-，y軸上截距為-C的直線.BBBB2. 與直線l:Ax+By+C=0平行的直線，可設所求方程為Ax+By+C=0；與直線Ax+By+C=0垂直的直線，可設所1求方程為Bx-Ay+C=0.13.已知直線l,l的方程分別是：l:Ax+By+C=0（A,B不同時為0），l:Ax+By+C=0（A,B不同時為0），12111111222222則兩條直線的位置關(guān)系可以如下判別：(1)l丄loAA+BB=0121212（2）l/1oAB-AB=0,AC-AB豐0；1212211221（3）(4)l與

11、l相交oAB-AB豐0.121221l與l重合oAB-AB=0,AC-AB=0；1212211221ABC如果ABC豐0時，則l/1o1=1豐1；l與l22212ABC12重合o兩條直線的交點坐標ABC1=1=1ABC222ABl與l相交o-1豐r.12AB221. 一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得到二元一次方程組JA1x+B1y+C1=0.若方程組有惟一解，則IAx+By+C=0v222兩條直線相交，此解就是交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行；若方程組有無數(shù)解，則兩條直線有無數(shù)個公共點，此時兩條直線重合.2.方程九(Ax+By+C)+(Ax+By+C)=0為直線系，所有的直線恒過一個定點，其定點就是111222Ax+By+C=0與Ax+By+C=0的父點.111222兩點間的距離1.平面內(nèi)兩點P(x,y)，P(x,y)，則兩點間的距離為：IPP1=J(x-x)2+(y-y)2.11122212h1212特別地，當P,P所在直線與X軸平行時，IPP1=1x-xI；當P,P所在直線與y軸平行時，|PP1=1yy|；121212121212點到直線的距離及兩平行線距離1點P(x,y)到直線l:Ax+By+C=0的距離公式為d=1AV邑竺.00A