固體物理第三章第三節(jié)

1、3-3 一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學(xué)波和光學(xué)波聲學(xué)波和光學(xué)波 一維復(fù)式格子的情形一維復(fù)式格子的情形 一維無限長(zhǎng)鏈一維無限長(zhǎng)鏈 兩種原子兩種原子m和和M _( M m) _ 構(gòu)成一維復(fù)式格子構(gòu)成一維復(fù)式格子 M原子位于原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 m原子位于原子位于2n， 2n+2， 2n+4 系統(tǒng)有系統(tǒng)有N個(gè)原胞個(gè)原胞 同種原子間的距同種原子間的距離離2a_晶格常數(shù)晶格常數(shù)2121222(2)nnnnM (2) (21)221itna qitnaqnnAeandBe N個(gè)原胞，有個(gè)原胞，有2N個(gè)獨(dú)立的方程個(gè)獨(dú)立的方程 兩種原子振兩種原子振動(dòng)的振幅動(dòng)的振幅A和和B一一般來說是不同的

2、般來說是不同的 第第2n+1個(gè)個(gè)M原子的方程原子的方程222121(2)nnnnm 第第2n個(gè)個(gè)m原子的方程原子的方程方程解的形式方程解的形式)12(12)2(2aqntinqnatinBeAe22(2)(2cos)0(2cos)(2)0mAaq Baq AMB A、B有非零的解，系數(shù)行列式為零有非零的解，系數(shù)行列式為零2121222222121(2)(2)nnnnnnnnMm 第第2n+1個(gè)個(gè)M原子原子 第第2n個(gè)個(gè)m原子原子方程的解方程的解02cos2cos2222Maqaqm221/22()411sin()mMmMaqmMmM 一維復(fù)式晶格中存在一維復(fù)式晶格中存在兩種獨(dú)立的格波兩種獨(dú)立的

3、格波221/22()411sin()mMmMaqmMmM221/22()41 1sin()mMmMaqmMmM221/22()411sin()mMmMaqmMmM221/22()41 1sin()mMmMaqmMmM 與與q之間存在著兩之間存在著兩 種不同的色散關(guān)系種不同的色散關(guān)系 一維復(fù)式格子存在一維復(fù)式格子存在 兩種獨(dú)立的格波兩種獨(dú)立的格波 光學(xué)波光學(xué)波 聲學(xué)波聲學(xué)波兩種格波的振幅兩種格波的振幅0)2()cos2(0)cos2()2(22BMAaqBaqAmaqmABcos22)(2aqmABcos22)(2221/22()411sin()mMmMaqmMmM 光學(xué)波光學(xué)波 聲學(xué)波聲學(xué)波相

4、鄰原胞相位差相鄰原胞相位差 aq2)12(12)2(2aqntinqnatinBeAeM和和m原子方程原子方程q的取值的取值波矢波矢q的值的值aqa22 第一布里淵區(qū)第一布里淵區(qū) 布里淵區(qū)大小布里淵區(qū)大小周期性邊界條件周期性邊界條件nnNhaqN2)2(22aNhq a2aq22aNhq Naq h為整數(shù)為整數(shù)每個(gè)波矢在第一布里淵區(qū)占的線度每個(gè)波矢在第一布里淵區(qū)占的線度第一布里淵區(qū)允許的第一布里淵區(qū)允許的q值的數(shù)目值的數(shù)目NNaa/ 晶體中的原胞數(shù)目晶體中的原胞數(shù)目 對(duì)應(yīng)一個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)q有兩支格波：一支聲學(xué)波和一支光學(xué)波有兩支格波：一支聲學(xué)波和一支光學(xué)波 總的格波數(shù)目為總的格波數(shù)目為2N ： 原

5、子的數(shù)目原子的數(shù)目: 2Nq的取值的取值色散關(guān)系的特點(diǎn)色散關(guān)系的特點(diǎn) 短波極限短波極限2qa 兩種格波的頻率兩種格波的頻率1/21/21/2max1/21/21/2min2()()()()()2()()()()()mMMmmMMmMMmmMm因?yàn)橐驗(yàn)?Mmmaxmin)()(maxmin)()(maxmin)()( 不存在格波不存在格波 頻率間隙頻率間隙 一維雙原子晶格一維雙原子晶格 叫做帶通濾波器叫做帶通濾波器10/28 兩種格波中兩種格波中m和和M原子振動(dòng)振幅之比原子振動(dòng)振幅之比aqmABcos22)(2aqmABcos22)(2 光學(xué)波光學(xué)波 聲學(xué)波聲學(xué)波 m原子靜止不動(dòng)，相鄰原子振動(dòng)的

6、相位相反原子靜止不動(dòng)，相鄰原子振動(dòng)的相位相反22()2cosBmAaq cos ()02aa()BA BA2qa 時(shí)時(shí)m和和M原子振動(dòng)的振幅原子振動(dòng)的振幅 聲學(xué)波聲學(xué)波 光學(xué)波光學(xué)波22()2cosBmAaq cos ()02aa1/2min2()()m()0BA M原子靜止不動(dòng)，相鄰原子振動(dòng)的相位相反原子靜止不動(dòng)，相鄰原子振動(dòng)的相位相反 BA長(zhǎng)波極限長(zhǎng)波極限0q聲學(xué)波聲學(xué)波221/22()41 1sin()mMmMaqmMmM1)(sin)(422aqMmmM)sin(2qaMm2()aqmM 聲學(xué)波的色散關(guān)系與一聲學(xué)波的色散關(guān)系與一 維布喇菲格子形式相同維布喇菲格子形式相同 長(zhǎng)聲學(xué)波中相鄰

7、原子的振動(dòng)長(zhǎng)聲學(xué)波中相鄰原子的振動(dòng)0, 0qaqmABcos22)(21)(AB 原胞中的兩個(gè)原子振動(dòng)的振幅相同，振動(dòng)方向一致原胞中的兩個(gè)原子振動(dòng)的振幅相同，振動(dòng)方向一致 代表原胞質(zhì)心的振動(dòng)代表原胞質(zhì)心的振動(dòng)2()aqmM15/28光學(xué)波光學(xué)波 長(zhǎng)波極限長(zhǎng)波極限0q221/22()411sin()mMmMaqmMmM1)(sin)(422aqMmmM2,mMmM2,mMmMaqmABcos22)(2MmAB)( 長(zhǎng)光學(xué)波同種原子振動(dòng)相位一致，相鄰原子振動(dòng)相反長(zhǎng)光學(xué)波同種原子振動(dòng)相位一致，相鄰原子振動(dòng)相反 原胞質(zhì)心保持不變的振動(dòng)，原胞中原子之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)原胞質(zhì)心保持不變的振動(dòng)，原胞中原子之間相對(duì)運(yùn)

8、動(dòng) 兩種格波中兩種格波中m和和M原子振動(dòng)振幅之比原子振動(dòng)振幅之比131402()1010 /s 長(zhǎng)光學(xué)波與電磁波的作用長(zhǎng)光學(xué)波與電磁波的作用 在長(zhǎng)波極限下，對(duì)于典型的在長(zhǎng)波極限下，對(duì)于典型的 和和 值值 對(duì)應(yīng)于遠(yuǎn)紅外的光波對(duì)應(yīng)于遠(yuǎn)紅外的光波 遠(yuǎn)紅外光波激發(fā)離子遠(yuǎn)紅外光波激發(fā)離子 晶體，可引起晶體中晶體，可引起晶體中 長(zhǎng)光學(xué)波的共振吸收長(zhǎng)光學(xué)波的共振吸收光波的頻率光波的頻率0c q 波矢遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于一般格波的波矢，只有波矢遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于一般格波的波矢，只有 的長(zhǎng)光學(xué)的長(zhǎng)光學(xué) 波可以與遠(yuǎn)紅外的光波發(fā)生共振吸收波可以與遠(yuǎn)紅外的光波發(fā)生共振吸收0q 將可以與光波作將可以與光波作 用的長(zhǎng)光學(xué)波聲用的長(zhǎng)光學(xué)波聲 子

9、稱為電磁聲子子稱為電磁聲子20/28 例題例題 一維復(fù)式格子中，如果一維復(fù)式格子中，如果計(jì)算計(jì)算1) 光學(xué)波頻率的最大值光學(xué)波頻率的最大值 和最小值和最小值 ，聲學(xué)波頻率，聲學(xué)波頻率 的最大值的最大值 ；2) 相應(yīng)聲子的能量相應(yīng)聲子的能量 , 和和 ；3) 在在 下，三種聲子數(shù)目各為多少？下，三種聲子數(shù)目各為多少？4) 如果用電磁波激發(fā)光學(xué)波，要激發(fā)的聲子所用的電磁波如果用電磁波激發(fā)光學(xué)波，要激發(fā)的聲子所用的電磁波 波長(zhǎng)在什么波段？波長(zhǎng)在什么波段？ g1067. 1527km4mMmN /15OminAmaxOmaxKT300OEmaxOEminAEmax 1) 聲學(xué)波的最大頻率聲學(xué)波的最大頻

10、率MA2maxsradA/10314max光學(xué)波的最大頻率光學(xué)波的最大頻率2maxOMMmmM2 . 01max46.7 1025/OMrad s光學(xué)波的最小頻率光學(xué)波的最小頻率min2Om146 10/rad s4mMmN /15OOEmaxmaxeVEO442. 0maxOOEminmineVEO396. 0minAAEmaxmaxeVEA198. 0max2）相應(yīng)聲子的能量）相應(yīng)聲子的能量MA2max2maxOmO2min3) 某一特定諧振子具有激發(fā)能某一特定諧振子具有激發(fā)能的幾率的幾率)21( nnTknBnCeP/1/nTknnBnCePnTkTknBnBneeP/nTkBneC/1

11、nTknTknnBBeeP/根據(jù)歸一化條件根據(jù)歸一化條件歸一化常數(shù)歸一化常數(shù)(1)BBnk Tk TnPeennnP1()2nnnP(1)2BBnk Tk Tnene1)1 (xxnnnTknTknnBBeeP/頻率為頻率為 諧振子的平均能量諧振子的平均能量2)1 (xxnxnn)2111(/TkBe/Bk Txe/Bk Txe25/28)2111(/TkBe)(21)(qqnii頻率為頻率為 諧振子的能量諧振子的能量11)(/TkiBieqn第第i個(gè)個(gè)q態(tài)的平均數(shù)聲子態(tài)的平均數(shù)聲子頻率為頻率為 諧振子的平均能量諧振子的平均能量KT300光學(xué)波頻率的聲子數(shù)目光學(xué)波頻率的聲子數(shù)目11)(/maxmaxmaxTkOOBOeneVTkB026. 0max0.442OEeV-8maxmax1014. 4)(OOn11)(/minminminTkOOBOen-7minmin1042. 2)(OOneVEO396. 0min聲學(xué)波頻率的聲子數(shù)目聲學(xué)波頻率的聲子數(shù)目11)(/maxmaxmaxTkAABAen-4maxmax1093. 4)(AAneVEA198. 0maxeVEO