四旋轉體側面積補充ppt課件

1、四、四、 旋轉體的側面積旋轉體的側面積 (補充補充)三、知平行截面面積函數(shù)的三、知平行截面面積函數(shù)的 立體體積立體體積第二節(jié)一、一、 平面圖形的面積平面圖形的面積二、二、 平面曲線的弧長平面曲線的弧長 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定積分在幾何學上的運用 第六章 一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1. 直角坐標情形直角坐標情形設曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲那么xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 邊梯形面積為 A ,右以下圖所示圖形面積為 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAba

2、d)()(21xxxd例例1. 計算兩條拋物線計算兩條拋物線22,xyxy在第一象限所圍所圍圖形的面積 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由由xy 22xy 得交點) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xxy22oy4 xy例例2. 計算拋物線計算拋物線xy22與直線的面積 . 解解: 由由xy224 xy得交點)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所圍圖形)2,2(221yy442361y為簡便計算, 選取 y 作積分變量,那么有yyyd42A機動 目錄

3、上頁 下頁 前往 終了 abxoyx例例3. 求橢圓求橢圓12222byax解解: 利用對稱性利用對稱性 , xyAdd所圍圖形的面積 . 有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax運用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當 a = b 時得圓面積公式機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xxdoyxababoyx普通地 , 當曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程 )()(tytx給出時, 按順時針方向規(guī)定起點和終點的參數(shù)值21,tt那么曲邊梯形面積21d)()(tttttA機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 )(1axt對應)

4、(1bxt對應例例4. 求由擺線求由擺線)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20A機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xyoa22. 極坐標情形極坐標情形,0)(, ,)(C設求由曲線)(r及,射線圍成的曲邊扇形的面積 .)(r x d在區(qū)間,上任取小區(qū)間d,那么對應該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2A所求曲邊扇形的面積為d)(212A

5、機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 對應 從 0 變例例5. 計算阿基米德螺線計算阿基米德螺線解解:)0( aarxa 2o dd)(212a20A22a331022334a點擊圖片恣意處點擊圖片恣意處播放開場或暫停播放開場或暫停機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 前往前往 終了終了 到 2 所圍圖形面積 . ttadcos82042例例6. 計算心形線計算心形線所圍圖形的面積 . 解解:)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用對稱性)2t令28a43212223a心形線 目錄 上頁 下頁 前往 終了 oxya心形線心形線(外擺線的一

6、種外擺線的一種)2222yxaxayx即)cos1 ( ar點擊圖中恣意點動畫開場或暫停 尖點:)0,0( 面積:223a 弧長:a8參數(shù)的幾何意義2coscos21)2cos1 (21aa2oxyd)cos1 (2122a例例7. 計算心形線計算心形線與圓所圍圖形的面積 . 解解: 利用對稱性利用對稱性 ,)0()cos1 (aar2221aA22221aad)2cos21cos223(所求面積)243(2122aa22245aa ar 2機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 a2sin2a例例8. 求雙紐線求雙紐線所圍圖形面積 . 解解: 利用對稱性利用對稱性 ,2cos22ard2cos2

7、12a404A402a)2(d2cos0那么所求面積為42a思索思索: 用定積分表示該雙紐線與圓用定積分表示該雙紐線與圓sin2ar 所圍公共部分的面積 .2Adsin2026ad2cos21462a機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 yox44答案答案:二、平面曲線的弧長二、平面曲線的弧長定義定義: 假設在弧假設在弧 AB 上恣意作內接折上恣意作內接折線線 ,0M1iMiMnMAByox當折線段的最大邊長 0 時, 折線的長度趨向于一個確定的極限 ,此極限為曲線弧 AB 的弧長 , 即并稱此曲線弧為可求長的.iiMM1定理定理: 恣意光滑曲線弧都是可求長的恣意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略

8、)ni 10lims機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 那么稱sdyxabo(1) 曲線弧由直角坐標方程給出:)()(bxaxfy)(xfy 弧長元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧長xysbad12xxfbad)(12(P168)22)(d)(ddyxs機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 (2) 曲線弧由參數(shù)方程給出:)()()(ttytx弧長元素(弧微分) :因此所求弧長tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 (3) 曲線弧由極坐標方程給出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧長d)()(22rr

9、sd)()(22yxd)()(22rr那么得sd弧長元素(弧微分) :(本人驗證)機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 )ch(cxccxccsh1例例9. 兩根電線桿之間的電線兩根電線桿之間的電線, 由于其本身的分量由于其本身的分量,)(chbxbcxcy成懸鏈線 .求這一段弧長 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(chx2shxxeex )(sh xxshxch機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 cxbboy下垂懸鏈線方程為例例10. 求延續(xù)曲線求延續(xù)曲線段段ttyxdcos2解解:,0cosx22xxy

10、sd1222的弧長.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例11. 計算擺線計算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧長 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xyoa2d222aa例例12. 求阿基米德螺線求阿基米德螺線相應于 02一段的弧長 . 解解:)0( aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad120

11、2as(P349 公式39)212a21ln2102)412ln(24122aa小結 目錄 上頁 下頁 前往 終了 三、知平行截面面積函數(shù)的立體體積三、知平行截面面積函數(shù)的立體體積設所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在那么對應于小區(qū)間d,xxx的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為xxAVbad)(機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xabxxxd)(xA上延續(xù),xyoabxyoab)(xfy 特別 , 當思索延續(xù)曲線段2)(xf軸旋轉一周圍成的立體體積時, 有軸繞xbxaxfy)()(xdbaV當思索延續(xù)曲線段)()(dycyx繞 y 軸旋轉一周圍成的立體體積

12、時,有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 ayxb例例13. 計算由橢圓計算由橢圓12222byax所圍圖形繞 x 軸旋轉而轉而成的橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直角坐標方程利用直角坐標方程)(22axaxaaby那么xxaabad)(220222(利用對稱性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 x方法方法2 利用橢圓參數(shù)方程利用橢圓參數(shù)方程tbytaxsincos那么xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特別當b = a 時, 就得半徑為a 的球體的體積

13、.343a機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xyoa2例例14. 計算擺線計算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉而成的立體體積 .解解: 繞繞 x 軸旋轉而成的體積為軸旋轉而成的體積為xyVaxd202利用對稱性利用對稱性2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 )2(tu 令xyoa2a繞 y 軸旋轉而成的體積為)cos1 ()sin(tayttax)0(

14、aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0留意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a注 目錄 上頁 下頁 前往 終了 )(1yxx 分部積分對稱關于2注注202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226a2柱殼體積闡明闡明: xxxdy也可按柱殼法求出yVyx2柱面面積xyxd2)cos1

15、()sin(tayttax機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02偶函數(shù)yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇函數(shù)奇函數(shù)336a機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 軸所圍圖及表示xtxxfytV)0(, )()(例例15. 設設)(xfy 在 x0 時為延續(xù)的非負函數(shù), 且 ,0)0(f形繞直線 xt 旋轉一周所成旋轉體體積 ,證明:. )(2)(tftV 證證:x)(x

16、fxoytxxd利用柱殼法xxfxtVd)()(2d那么xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 故例例16. 一平面經(jīng)過半徑為一平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底圓中心的圓柱體的底圓中心 ,并與底面交成 角,222Ryx解解: 如下圖取坐標系如下圖取坐標系,那么圓的方程為垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用對稱性計算該平面截圓柱體所

17、得立體的體積 .機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 oRxyxoRxy思索思索: 可否選擇可否選擇 y 作積分變量作積分變量 ?此時截面面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示體積 ?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 abzxyco垂直 x 軸的截面是橢圓1)1 ()1 (22222222axaxczby例例17. 計算由曲面計算由曲面1222222czbyax所圍立體(橢球體)解解:它的面積為)1 ()(22axbcxA因此橢球體體積為xbcaxd)1 (22bc20abca34特別當 a = b = c 時就

18、是球體體積 .)(axaaV02x233axx機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 的體積.ox1 2yBC3A例例18. 求曲線求曲線132xy與 x 軸圍成的封鎖圖形繞直線 y3 旋轉得的旋轉體體積.(94 考研)解解: 利用對稱性利用對稱性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋轉體體積為V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xxd)4(322122xyoab四、旋轉體的側面積四、旋轉體的側面積 (補充補充)設平面光滑曲線, ,)(1baCxfy求上的圓臺的側面

19、積位于d,xxxsySd2d積分后得旋轉體的側面積xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它繞 x 軸旋轉一周所得到的旋轉曲面的側面積 .取側面積元素:)(2xfxxfd)(12機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 xyoab)(xfy abxxyo)(xfy abxsySd2d側面積元素xyd2sdxdxyd2因為的線性主部 .假設光滑曲線由參數(shù)方程)()()(ttytx給出, 那么它繞 x 軸旋轉一周所得旋轉體的不是薄片側面積S 的 )(2ttttd)()(22S機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 留意留意:側面積為xRyo例例19. 計算圓計算圓上繞在,21222RRxxxRyxx

20、軸旋轉一周所得的球臺的側面積 S .解解: 對曲線弧對曲線弧,2122xxxxRy運用公式得212xxS22xR 2 122xRxxd21d2xxxR)(212xxR當球臺高 h2R 時, 得球的外表積公式24RS機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 1x2xozyx例例20. 求由星形線求由星形線一周所得的旋轉體的外表積 S .解解: 利用對稱性利用對稱性2022Sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32繞 x 軸旋轉 星形線 目錄 上頁 下頁 前往 終了 taytax33sin,cos星形線星形線

21、taytax33sin,cosa星形線是內擺線的一種.t點擊圖片恣意處點擊圖片恣意處播放開場或暫停播放開場或暫停大圓半徑 Ra小圓半徑4ar 參數(shù)的幾何意義(當小圓在圓內沿圓周滾動時, 小圓上的定點的軌跡為是內擺線)內容小結內容小結1. 平面圖形的面積邊境方程參數(shù)方程極坐標方程2. 平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程方程極坐標方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐標方程上下限按順時針方向確定直角坐標方程留意留意: 求弧長時積分上求弧長時積分上下限必需上大下小下限必需上大下小21d)()(tttttAd)(212A機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 3. 知平行截面面面積函

22、數(shù)的立體體積baxxAVd)(旋轉體的體積2)(yxA繞 x 軸 :4. 旋轉體的側面積sySd2d側面積元素為(留意在不同坐標系下 ds 的表達式)yxxA2)(繞 y 軸 :(柱殼法)(xyy ,)(軸旋轉繞xxyy 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 思索與練習思索與練習1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 A 及邊境長 s .提示提示: 交點為交點為, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032 yxyxo13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧線段部分直線段部分)52ln()376ln(4155373s機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 以 x 為

23、積分變量 , 那么要分兩段積分, 故以 y 為積分變量. 2. 試用定積分求圓)()(222bRRbyx繞 x 軸oxyRbR上上半圓為22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(xRbRV02xdbR222求體積 :提示提示:方法方法1 利用對稱性利用對稱性機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 旋轉而成的環(huán)體體積 V 及外表積 S .方法方法2 用柱殼法用柱殼法RbRVdy2x2ydRbRbV4oxyybyRyd)(22ybR222闡明闡明: 上式可變形為上式可變形為2RVb2d2bR 20機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 上上半圓為,22xRby下下 y22xRx此式反映了環(huán)體

24、微元的另一種取法(如下圖). dd2bRV求側面積求側面積 :oxyRbRR02)(222xRbxyd12R02)(222xRbxyd12相同二者2yRb08xyd12bR24利用對稱性RS2b2S機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 上式也可寫成d2bR20上上半圓為,22xRby下下 y22xRx它也反映了環(huán)面微元的另一種取法. 作業(yè)作業(yè) P279 2 (1) , (3) ; 3; 4; 5 (2) , (3) ; 8 (2) ; 9; 10; 22; 25; 27 ; 30 第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 前往 終了 面積及弧長部分：面積及弧長部分： 體積及外表積部分：體積及外表積部分：P279 13; 14 ; 15 (1), (4);