九年級(jí)相似三角形學(xué)案(2017暑期學(xué)案)

1、 鍵入文字學(xué)習(xí)過(guò)程：一、問題情境引入1 、 已知 AB=3，CD=5 , 這兩條線段的比是多少？AB 3CD 5在使用同一個(gè)長(zhǎng)度單位的情況下，表示兩條線段長(zhǎng)度的數(shù)值的比，叫做這兩條線段的比。2 、如右圖，在ABC 中 D， E 分別為 AB 邊和 AC 邊上的點(diǎn)，AD=12 ，DB=6 ， AE=10 ， EC=5。（ 1 ）線段AD 與 AE 的比、DB與 EC的比、AB與 AC的比各是多少？它們相等嗎？（ 2）如果DE=14， BC=21，你還能找到線段比相等的的其他線段嗎？342二、合作交流：（ 1 ）四條線段a， b， c， d 中，如果a 與 b 的比等于c 與 d 的比，ac即：（

2、或 a b=c d ），bd那么這四條線段a， b， c， d 叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段其中 a,d 叫做外項(xiàng);b,c 叫做內(nèi)項(xiàng)。ab當(dāng)比例的兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)相等時(shí)，即（或a b=b c），b 叫a， c 的比例中項(xiàng)bc（ 2） 比例的基本性質(zhì):ac如果，那么 ad=bc 成立嗎？bdac反過(guò)來(lái)，如果ad = bc ，那么嗎？bd三、應(yīng)用遷移：例（ 1）設(shè)2y 3x 0（ y 0），則x y 的值是多少yyzx+y+z2x 鍵入文字四、鞏固練習(xí)：1. 判斷下列四條線段是否成比例（ 1 ）a=4,b=6,c=5,d=10（ 2）a=12,b=8,c=15,d=102. 判別下列各組數(shù)是否成比例，若成

3、比例，請(qǐng)寫出比例式：（1） 1,-2,3,-6;（2） 1,-2,-3,-63. 已知 a = 2 ， b = 3 ， c = 6 ，且 b ， a ， c， d 成比例，則d 為（ ）A 3 B 4 C 9 D 124. 設(shè) 3m=4n,則 2m n 的值是多少n相似圖形學(xué)習(xí)目標(biāo)：了解形狀相同的圖形是相似的圖形，能在諸多圖形中能找出相似圖形；學(xué)習(xí)重（難）點(diǎn):理解相似三角形、相似多邊形、相似比的概念。一、創(chuàng)設(shè)情境1 電影中的畫面是由放映機(jī)把底片上的畫面經(jīng)過(guò)放大后投射到屏幕上的，底片上的畫面與屏幕上的畫面形狀是否相同？2同一張底片洗出的不同尺寸的照片中，人物形狀改變了嗎？3用復(fù)印機(jī)把圖形按比例放

4、大或縮小，可以得到形狀相同的圖形嗎？二、探索活動(dòng) 鍵入文字29上面幾組圖形有何特點(diǎn)？2找形狀相同的圖形下列各組圖形中，相似圖形有（填序號(hào)）1）像這樣，是相似圖形。思考：全等圖形與相似圖形有何關(guān)系？全等圖形是相似圖形嗎？3探索（ 1 ）度量放大鏡中的三角形和原三角形的對(duì)應(yīng)的邊和角，你發(fā)現(xiàn)了什么？（ 2）放大鏡下的圖像與原來(lái)的圖形形狀相同嗎？它們相似嗎？4. 相似三角形從而得到定義：，叫做相似三角形叫做相似比符號(hào)語(yǔ)言：如圖 ,在 ABC 和 A B C 中 ,如果，=k,則ABC與A B C 相似，相似用符號(hào)“”表示，記作： ，讀作：，其中， k 叫做它們的。小麗和小明很愛動(dòng)腦筋！他們都有各自的思

5、考。小麗：小明：如果k=1 ，這兩個(gè)三角形有怎樣的關(guān)系？友情提醒相似三角形的相似比是有順序的AB比如：若ABC A1B1C1，且2 , 則A1B1 ABC 與 A1B1C1 相似比是，A1 B1C1 與ABC的相似比是。相似三角形具有傳遞性，若ABC A1B1C1 , A1B1C1 A2B2C2 那么5相似多邊形類似地，那么這兩個(gè)多邊形相似。相似多邊形叫做相似比。三、例題學(xué)習(xí)例 1 ：如圖D、 E、 F 分別是ABC三邊的中點(diǎn)。DEF與ABC相似嗎？為什么？例 2：如圖，ABCA B C，求 、 的大小和A C的長(zhǎng)1、判斷下列兩個(gè)三角形是否相似?簡(jiǎn)單說(shuō)明理由，如果相似，寫出對(duì)應(yīng)邊的比例B 、兩

6、個(gè)等腰直角三角形D 、兩個(gè)正方形x 、 y 的長(zhǎng)度。3下列圖形不一定是相似圖形的是A 、兩個(gè)等邊三角形C、兩個(gè)長(zhǎng)方形4、如圖，ABC 與 DEF 相似，求未知邊5、如圖，四邊形ABCD 和 EFGH 相似，求 、的大小和EH 的長(zhǎng)度 x.五、拓展升華已知 A4 紙的寬度為21cm，如圖將其對(duì)折后，所得的矩形都和原來(lái)的矩形相似，求A4 紙的長(zhǎng)度。x A421cm相似三角形的判定一、引入（ 1 ）相似多邊形的主要特征是什么？（ 2）在相似多邊形中，最簡(jiǎn)單的就是相似三角形在 ABC 與 A B C中，AB BC CA如果 A= A , B= B , C= C , 且kAB BC CA我們就說(shuō)ABC

7、與 A B C相似， 記作 ABC A B C，k 就是它們的相似比反之如果ABC A B C，ABBCCA則有A= A , B= B , C= C , 且 AB BC CAABBC CA（ 3）問題：如果k=1 ，這兩個(gè)三角形有怎樣的關(guān)系？ 二、合作交流： 探究：任意畫一個(gè)三角形,再畫一條與底邊平行的直線,有成比例的線段嗎？平行線分三角形兩邊成比例定理：把這個(gè)定理應(yīng)用到三角形中，會(huì)出現(xiàn)下面兩種情況每幅圖中的兩三角形相似嗎?三角形相似的預(yù)備定理1. 平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似2. 平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交。所構(gòu)成的三角形與原

8、三角形相似。如圖：在ABC 中，點(diǎn) M 是 BC 上 任一點(diǎn)，MD AC， ME AB， 若BD 2AB 5求 ECAC例 1 求證：三角形的三條中位線所組成的三角形已知：如圖,DE,DF,EF 是 ABC 的中位線與原三角形相似。求證：ABC FED1 （選擇）下列各組三角形一定相似的是（）A 兩個(gè)直角三角形B 兩個(gè)鈍角三角形C兩個(gè)等腰三角形D 兩個(gè)等邊三角形2（選擇）如圖，DE BC，有（）EF AB ，則圖中相似三角形一共A 1 對(duì) B 2對(duì) C 3對(duì) D 4對(duì)3如圖，在 ABCD 中，EF AB ， DE:EA=2:3 ， EF=4，求CD 的長(zhǎng)五、練習(xí)1 如圖，ABC AED, 其中

9、 DE BC，寫出對(duì)應(yīng)邊的比例式2如圖，ABC AED ，其中ADE= B，寫出對(duì)應(yīng)邊的比例式3如圖，DE BC，（ 1 ）如果 AD=2 ， DB=3 ，求 DE:BC 的值；（ 2）如果AD=8 ， DB=12 ， AC=15 ， DE=7，求 AE 和 BC 的長(zhǎng)相似三角形的判定（1）一、復(fù)習(xí)引入：1 兩個(gè)矩形一定會(huì)相似嗎?為什么?2 如何判斷兩個(gè)三角形是否相似?根據(jù)定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例。3如圖ABC與B C會(huì)相似嗎?為什么?是否存在識(shí)別兩個(gè)三角形相似的簡(jiǎn)便方法 ?本節(jié)就是探索這方面的識(shí)別兩個(gè)三角形相似的方法。二、合作交流：同學(xué)們觀察你與你的同伴所用的三角尺，以及老師用的三角板

10、，如有一個(gè)角是30 °的直角三角尺，它們的大小不一樣。這些三角形是相似的，我們就從平常所用的三角尺入手探索。（1） 是45°角的三角尺，是等腰直角三角形會(huì)相似。（2） 是30°的三角尺，那么另一個(gè)銳角為60 °，有一個(gè)直角，因此它們的三個(gè)角都相等，同學(xué)們量一量它們的對(duì)應(yīng)邊，是否成比例呢?這樣，從直觀上看，一個(gè)三角形的三個(gè)角分別與另一個(gè)三角形三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，它們 好像就會(huì)“相似”。1畫兩個(gè)三角形，使它們的三個(gè)角分別相等。畫 ABC與DEF，使AD、BE，CF，在實(shí)際畫圖過(guò)程中，同學(xué)們畫幾個(gè)角相等?為什么?2 用刻度尺量一量各邊長(zhǎng)，它們的對(duì)應(yīng)邊是否會(huì)成比例?

11、3 發(fā)現(xiàn)什么現(xiàn)象：發(fā)現(xiàn) 。4 兩個(gè)矩形的四個(gè)角也都分別相等，它們?yōu)槭裁床粫?huì)相似呢?這是由于三角形具有它特殊的性質(zhì)。三角形有穩(wěn)定性，而四邊形有不穩(wěn)定性。于是 :如果一個(gè)三角形的兩角分別與另一個(gè)三角形的兩角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似，簡(jiǎn)單地說(shuō)：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。三、應(yīng)用遷移：1如圖兩個(gè)直角三角形ABC和ABC中，CC90°，AA，判斷這兩個(gè)三角形是否相似。2在ABC與ABC中, AA50°，B70°，B60°，這兩個(gè)三角形相似嗎?3如圖，ABC中，DE BC， EF AB，試說(shuō)明ADEEFC。1 ABC中，ACB 90°，CD AB于

12、 D，找出圖中所有的相似三角形。2 ABC中，D是 AB的邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) D作一直線與AC相交于E， 要使ADE與ABC會(huì)相似，你怎樣畫這條直線，并說(shuō)明理由。和你的同伴交流作法是否一樣五、鞏固練習(xí):1 已知：如圖，1= 2= 3，求證：ABC ADE 2下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由( 1 )有一個(gè)銳角相等的兩直角三角形是相似三角形；( 2)有一個(gè)角相等的兩等腰三角形是相似三角形相似三角形的判定(2)一、復(fù)習(xí)引入1 現(xiàn)在要判斷兩個(gè)三角形相似有哪幾種方法?有兩種方法，(1) 是根據(jù)定義；(2) 是有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。2如圖ABC中，D、E是AB、AC上三等分點(diǎn)(即AD1AB，AE1

13、AC) ，那么ADE與33 ABC相似嗎?你用的是哪一種方法?由于沒有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，同學(xué)們可以動(dòng)手量一量，量什么數(shù)量后可以判斷它們能否相似 ?二、合作交流： ADE的兩條邊AD、 AE與ABC的兩條邊AB、 AC會(huì)對(duì)應(yīng)成比例，它們的夾角又相等，符合這樣條件的兩個(gè)三角形也會(huì)相似嗎?于是有識(shí)別兩個(gè)三角形相似的第二種簡(jiǎn)便方法：如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)單地說(shuō)；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。注意 : 對(duì)應(yīng)相等的角必須是成比例的邊的夾角，如果不是夾角，它們不一定會(huì)相似。你能畫出有兩邊會(huì)對(duì)應(yīng)成比例，有一個(gè)角相等，但它們不相似的

14、兩個(gè)三角形嗎?( 提示：畫頂角與底角相等的兩個(gè)等腰三角形) BB，ABA BACA C1 如圖ABC中， D、E 是 AB、AC上點(diǎn)， AB7.8， AD 3， AC 6， CE2.1 ，試判斷 ADE與ABC是否會(huì)相似，小張同學(xué)的判斷理由是這樣的：解：因?yàn)锳C AE+CE，而AC 6，CE2.1 ，故 AE 6-2.1 3.9AD AE由于AB AC所以ADE與ABC不會(huì)相似。你同意小張同學(xué)的判斷嗎?請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)理由。小張同學(xué)的判斷是錯(cuò)誤的。AD3AE3.91ADAE因?yàn)椋砸驗(yàn)锳C6，AB7.8 2所以ACAB而 A 是公共角，AA，所以ADEACB請(qǐng)同學(xué)再做一次實(shí)驗(yàn)，看看如果兩個(gè)三角形的三

15、條邊都成比例，那么這兩個(gè)三角形是否相似 ?通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似簡(jiǎn)單說(shuō)成：三邊成比例兩三角形相似。例 2: ABC和ABC中，AB6cm，BC8cm，ACl0cm，AB18cm，BC24cm， A C30cm，試判定它們是否相似，并說(shuō)明理由。例 3 已知：如圖，在四邊形ABCD 中，B= ACD，AB=6 ， BC=4， AC=5 ， CD= 7 1 ，求 AD 的長(zhǎng)21 如果在ABC 中 B=30 °， AB=5 ， AC=4 ， 在A1B1C1 中， B1=30° A1B1=10A1 C1=8 ，這兩個(gè)

16、三角形一定相似嗎？試著畫一畫、看一看？2 如圖， ABC 中， 點(diǎn) D、 E、 F 分別是 AB、 BC、 CA的中點(diǎn)，求證： ABC DEF相似三角形的性質(zhì)引入：1 識(shí)別兩個(gè)三角形相似的簡(jiǎn)便方法有哪些?2在ABC與ABC中，ABl0cm，AC6cm，BC8cm，AB5cm，A C3cm， B C4cm，這兩個(gè)三角形相似嗎?說(shuō)明理由。如果相似，它們的相似比是多少二、合作交流上述兩個(gè)三角形是相似的，它們對(duì)應(yīng)邊的比就是相似比，ABCA B C，相似AC 2 。AC相似的兩個(gè)三角形，它們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊會(huì)成比例，除此之外，還會(huì)得出什么結(jié)果呢 ?一個(gè)三角形內(nèi)有三條主要線段；高、中線、角平分線。如果

17、兩個(gè)三角形相似，那么這些對(duì)應(yīng)的線段有什么關(guān)系呢?我們先探索一下它們的對(duì)應(yīng)高之間的關(guān)系。AB 和 A B邊上的高，用刻度尺量一量CD與C D的長(zhǎng)，CD 等于多少呢?與它們的相似比相等嗎?得出結(jié)論：C D相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比。我們能否用說(shuō)理的方法來(lái)說(shuō)明這個(gè)結(jié)論呢相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比；相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線的比等于相似比。兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)比會(huì)等于相似比嗎兩個(gè)相似三角形的面積之間有什么關(guān)系呢看如圖的三個(gè)三角形，三角形(2) 的各邊長(zhǎng)分別是(1) 的 2 倍， (3) 的各邊長(zhǎng)分別是(1)3 倍，所以它們都是相似的，填空：(2)與 (1)(2) 與 (1) 的面積比為()，(3

18、)與 (1)(3) 與 (1) 的面積比為(3)與 (2)(3) 與 (2) 的面積比為(K 時(shí)， 面積比為K2。 對(duì)于一般相似的三角形都具有這種關(guān)系，可以得出結(jié)論：相似三角形的面積比等于相似比的平方。三、應(yīng)用遷移:例 1、如圖：三角形ABC 是一快銳角三角形余料，邊BC 120mm,高 AD 80mm,要把它加工成正方形零件，是正方形的一邊在BC 上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB 、 AC 上，這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？例 2、如圖所示,正方形ABCD 中 ,AB=2,E 是 BC 的中點(diǎn) ,DF AE 于 F.(1) 試說(shuō)明ABE DFA；(2) 求 DFA 的面積S1 和四邊形CDFE 的面積S2.1 . ABCA B C，相似比為3:2 ，則對(duì)應(yīng)中線的比等于( )。2 相似三角形對(duì)應(yīng)角平分線比為0.2 ，則相似比為() ，周長(zhǎng)比為() ，面積()3ABCABc，相似比為1 ，已知ABC的面積為18cm2，那么 ABC3()。FG4.已知：如圖：FGHI 為矩形，AD BC 于 D，GH5,BC 36cm,AD 12cm 。求： 93.4 相似三角形的應(yīng)用復(fù)習(xí)如圖，B、C、E、F 是在同一直線