高等數(shù)學(xué)電子版

1、第一章極限與連續(xù)第一節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列極限的概念按照某一法則，對(duì)于每一個(gè)nN，對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的實(shí)數(shù)xn ，將這些實(shí)數(shù)按下標(biāo)n 從小到大排列，得到一個(gè)序列x1 , x2 , xn ,稱為數(shù)列，簡(jiǎn)記為數(shù)列 xn ， xn 稱為數(shù)列的一般項(xiàng)。例如：1,2,3,nn,23412,4,8, 2n,1,1,1,1 ,2482n1, 1,1, ( 1)n 1 ,2,1,4,3,6, n ( 1)n 1,2345n1 ， n(n 1一般項(xiàng)分別為nn， 2n ，1， (1) n1)12nn數(shù)列 xn 可看成自變量取正整數(shù)n 的函數(shù)，即 xnf (n) ， nN設(shè)數(shù)列 xnn(1) n1nn (，來(lái)說(shuō)明數(shù)列 xn

2、 以 1 為極限。為 使 | xn1 |1) n 1111， 只 需 要 n100，即從101 項(xiàng)以后各項(xiàng)都滿足| xn1nn1001|，1001|n(1) n1111，只需要 n100000，即從 100001為使 | xnnn項(xiàng)以后各項(xiàng)都滿足| xn1|1，100000100000n(1)n1111，即當(dāng) n1為使 | xn1|nn（是任意給定的小正數(shù)） ，只需要 n以后，各項(xiàng)都滿足 | xn1 |。令 N 1 ，當(dāng) nN 時(shí)，n1，因此有 | xn 1|，即任意給定小正數(shù)，總存在正整數(shù) N1 ，當(dāng) nN 時(shí)的一切 xn 都滿足 | xn1 |，則定義 ：設(shè) xn 為一數(shù)列，如果存在常數(shù)a

3、 ，對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。?，總存在正整數(shù)N ，使得當(dāng) nN 時(shí)的一切 xn 都滿足不等式| xna |則說(shuō)常數(shù) a 是數(shù)列 xn 的極限，或者說(shuō)數(shù)列 xn 收斂于 a ，記為lim xna或 xna (n)n如果不存在這樣的常數(shù)a ，則說(shuō)數(shù)列 xn 沒(méi)有極限，或者說(shuō)數(shù)列 xn 發(fā)散。數(shù)列 xn 以 a 為極限的幾何意義：任意給定的正數(shù)，總存在正整數(shù) N ，當(dāng) nN 時(shí)的一切 xn ，有| xn a |即axn a或 xn(a, a)也就是當(dāng) nN 的一切 xn 都落在 a的鄰域 U (a ,) 內(nèi)，在 U (a , ) 的外邊至多有N 項(xiàng)（圖）x1 xN ax N 1 axN 2

4、 a例 1 證明數(shù)列123n, ,234n 1的極限為1。| xna |n1，或 n證明：分析：為使n1，只需要n11證明：任意給定小正數(shù)，取 N 11 ，當(dāng) nN 時(shí)的一切 xn 滿足| xn1 |n11n11nn因此， lim1n1n(1) n例 2已知 xn，證明數(shù)列 xn 的極限是 0。分析：為使 | xn(n1)2 (1) n01a |2，只需要2，由于1(n 1)1( n1)(n故時(shí)，即n11，或 n時(shí)11n1。(n1) 2 11證明：任意給定小正數(shù)，取 N，當(dāng) nN 時(shí)的一切 xn 滿足| xn0 |(1) n0111)(n1) 2n 1(1)n( n因此， lim20n(n1)

5、11，即 n1111) 2(n1) 211 ，n1例 3 設(shè) | q |1 ，證明等比數(shù)列2n 11 , q , q, q,的極限是0。證明：任給0 （設(shè)0），由于| xn0 | | q n 10 | | q |n 1為使 | xn 0 |，只需| q n 10 | | q |n 1，解得(n 1) ln | q | ln ，或 n 1ln。故取ln ，當(dāng) nN 時(shí)，有l(wèi)n | q |N 1ln | q |0 | | q n 10 | | q |n 1| xn因此， lim q n 10。n二、收斂數(shù)列的性質(zhì)定理 1（極限的唯一性）如果數(shù)列 xn 收斂，則它的極限是唯一的。證明：反證法：如果x

6、na ， xnb ，不妨設(shè) ab 。取ba。由于 xna ，存在 N1 ，當(dāng) nba2N1 時(shí)， | xna |；2又由于 xnb ，存在 N 2 ，當(dāng) nN 2 時(shí)， | xnb |ba。取 Nmax N 1 , N 2 ，則當(dāng) nN 時(shí)，| xna | b a ， | xnb | b a ，22aa2baab由 | xna |bb| xn，矛盾，故必須 ab 。2得 xn2，由b |得 xn22例 4 證明數(shù)列 xn( 1) n 1（ n1 , 2 ,）是發(fā)散的。對(duì)于數(shù)列 xn ，如果存在正數(shù)M ，使得對(duì)于一切xn ，有 | xn|M，則說(shuō)數(shù)列 xn 是有界的； 否則，則說(shuō)數(shù)列 xn 是無(wú)

7、界的。定理 2（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列 xn 有極限，則數(shù)列 xn 一定有界。證明：注意到 | xn | xnaa | xna | a | ，可證明定理 2。定理 3（收斂數(shù)列的保號(hào)性）如果lim xn a ，且 a0 （或 a0），則存在正整數(shù)N ，當(dāng) nN 時(shí)n的一切 xn ，有 xn0 （或 xn0 ）。a證明：取即可證明定理。2推論如果數(shù)列 xn 從某項(xiàng)起有xn0 （或 xn0 ），且 lim xna ，則 a0 （或 a0）。n對(duì)于數(shù)列 xn ，從中抽取xn1 ， xn2 ， xnk ，稱為數(shù)列 xn 的一個(gè)子數(shù)列。定理 4 如果數(shù)列 xn 收斂于 a ，則數(shù)列 xn 的任何子數(shù)

8、列都收斂，且收斂于a 。第二節(jié)函數(shù)的極限一、函數(shù)極限的定義1自變量趨向于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限數(shù) 列 是特 殊的 函數(shù)， 如 xnn， n1 , 2 , ， 且 n時(shí) ， xn1，考慮函數(shù)f (n)yf (x)xxn1，是否有時(shí)， f (x)1 ？x 1x11任 意 給 定 小 正 數(shù) ， 為 使 | f ( x) 1 | |，只要|， 即 | x 1 |1|。 由 于| x1 | | x | 1 ，即 | x |1x 1x 11即可。任給0 ，存在正數(shù)11 ，當(dāng) | x |X 時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f ( x) 滿足X| f ( x) 1| |x1|x1即當(dāng) x時(shí)， f ( x) 以 1 為極限。定義

9、 1 設(shè)函數(shù) f ( x) 當(dāng) | x | 大于某一正數(shù)時(shí)有定義。如果存在常數(shù)A ，對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。?，總存在正數(shù)X ，使得 x 滿足不等式 | x |X 時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值f (x) 滿足| f ( x)A |則說(shuō)常數(shù) A 為函數(shù) f ( x) 當(dāng) x時(shí)的極限，記為limf (x)A 或f ( x)A （當(dāng) x）xlimf ( x)A ：0 ，X0，當(dāng) | x | X 時(shí)， | f ( x)A |。x例 1 證明 lim 30 。x3x3 |，即 33分析：為使 |0 |，只要 |，或 | x |。xx| x |證明：0， X3，當(dāng) | x |X時(shí)，|30 |3，因此lim 30

10、 。x| x |xxlim f ( x)A 的幾何解釋：0 ，X0 ，當(dāng) | x |X 時(shí)，x| f ( x)A |即f ( x)A或Af ( x)A如圖所示：如果0 ，X0 ，當(dāng) xX 時(shí)， | f ( x)A |，則說(shuō) x時(shí)，limf ( x)A ；x如果0 ，X0 ，當(dāng) xX 時(shí)， | f ( x)A |，則說(shuō) x時(shí)，limf ( x)Ax顯然， lim f (x)Alim f ( x)A， lim f ( x)Axxx例如：| x |1 ， lim f ( x)1。f ( x)，有 lim f ( x)xxx2自變量趨向于有限值時(shí)函數(shù)的極限f ( x)A ，記為f ( x)A ，記為例

11、 1， f ( x) 2x1， x2 時(shí)， f ( x)5 ；x21，定義域?yàn)?x 1 ，但 x1時(shí)， f ( x)2 ；例 2： f ( x)1x任意給定小正數(shù)， 為 使 | f ( x)A | | 2x 15 | | 2x 4 |， 只 要 2 | x 2 |， 即| x 2 |即可。2任意給定小正數(shù)，為使| f ( x)A | | x212 | | (x 1)( x 1)2 |x1x1只要 | x 1 |，即 0| x1|即可。定義 2設(shè)函數(shù) f ( x) 在點(diǎn) x0 的某一去心鄰域內(nèi)有定義。如果存在常數(shù)A ，對(duì)于任意給定的正數(shù)（不論它多么小），總存在正數(shù)，使得 x 滿足不等式 0| x

12、x0 |時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值 f (x) 滿足| f ( x)A |則說(shuō)常數(shù) A 為函數(shù) f ( x) 當(dāng) xx0 時(shí)的極限，記為limf (x) A 或f ( x)A（當(dāng) xx0 ）xx0limf ( x)A：0，0 ，當(dāng) 0 | xx0 |時(shí)， | f ( x)A |。xx0lim (31)8例 2證明。x3x分析：為使| (3x1)8 | 3x9 |，只要 3 | x3 |，即 | x3 |。3證 明 ：0 ， 取3， 當(dāng)0 | x 3 |時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值滿足| f ( x) 8 | | (3x 1) 8 | 3 | x 3 |因此， lim (3x1)8 。x3limf ( x)A的幾何解釋：

13、0 ，0，當(dāng) 0| xx0|時(shí)，xx0| f ( x)A |即f ( x)A或 Af (x)A0即x U ( x0 ,) 時(shí)， f (x) U (A , )如圖所示：如果0 ，0，當(dāng) xx0時(shí)， | f ( x)A |，則說(shuō) x 從 x0的右側(cè)趨向于x0 （記為xx0 ）時(shí)， f ( x)A，記為 limf (x)A ，或 f ( x0)A ；xx0如果0 ，0，當(dāng) x0x時(shí)， | f ( x)A |，則說(shuō) x 從 x0的左側(cè)趨向于x0 （記為xx0 ）時(shí)， f ( x)A，記為 limf (x)A ，或 f ( x0)A ；xx0顯然， limf ( x)Alimf ( x)A ， limf

14、 (x)Ax x0xx0x x0例 3設(shè)函數(shù)x1 ,x0f ( x)0 ,x0當(dāng) xx1 ,x00 時(shí)， f (x) 的極限不存在。例 4證明lim ccxx0例 5證明lim xx0xx0x 24例 6證明lim4x2x2例 7證明limsin x0xx二、函數(shù)極限的性質(zhì)定理 1（函數(shù)極限的唯一性）如果lim()存在，則極限是唯一的。x x0fx定理 2（函數(shù)極限的局部有界性）如果 limf (x) A，則存在正數(shù) M 和，使得當(dāng) 0 | x x0 |xx0時(shí)，有 | f (x) |M 。證明：|f ( x) |f (x) AA | |f ( x)A | A | A |定理 3（函數(shù)極限的局

15、部保號(hào)性）如果limf(xA，且 A0 （或 A 0 ），則存在常數(shù)0 ，)使得當(dāng) 0 | xx|x x0時(shí)，有f ( x)0（或f ( x)0）。00limf ( x)AA0（或推論 如果在x0的某去心鄰域U ( x0 ,)內(nèi)，f (x)（或f (x)0），且，則0A 0）。x x0定理 4 （函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系）如果極限 lim f ( x)A ， xn 為函數(shù) f (x) 定義域內(nèi)一收斂 x0xx0的數(shù)列，且 xnx0 （ nN），則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列 f ( xn ) 也收斂，且 lim f ( xn ) lim f (x)A 。nxx0證明：由于limfxA，則0，0，當(dāng) 0|x

16、x0|時(shí)，有| f ( x)A |；( )xx0又由于 lim xnx0，故對(duì)于上面的0， N ，當(dāng) nN 時(shí)，有 | xnx0 |，當(dāng)然有 0 | xnx0 | ；n因此，0 ，N ，當(dāng) nN時(shí)，有0| xnx0|，故 | f ( xn ) A |，即 lim f ( xn )A 。n第三節(jié)無(wú)窮小與無(wú)窮大一、無(wú)窮小定義1 如果函數(shù)f ( x) 當(dāng) xx0 （或 x）時(shí)的極限為零，則函數(shù)f ( x) 稱為當(dāng) xx0 （或x ）時(shí)的無(wú)窮小。例如：lim ( x 1)0，因此 ( x1) 為x1lim0，因此 1為 x時(shí)的無(wú)窮小。時(shí)的無(wú)窮小；1n 1nxxf ( x)為 xx0 時(shí) 的 無(wú) 窮 小

17、lim f (x)00 ，0，當(dāng)0| xx0 |時(shí) ，nx0| f ( x) |；f ( x) 為 x時(shí)的無(wú)窮小lim f ( x)00 ， X0 ，當(dāng) | x |X 時(shí)，|f ( x) |；n定理 1 在自變量的同一變化過(guò)程xx0 （或 x）中，函數(shù) f ( x) 以 A 為極限的充分必要條件是f (x) A，其中是無(wú)窮小。證明：必要性：設(shè)limf (x)A ，則0，0，當(dāng) 0| x x0 |時(shí)， | f (x) A |。n x0令f ( x)A ，則是 xx0 時(shí)的無(wú)窮小，且f ( x)A。充分性：設(shè)f ( x)A，其中 A 為常數(shù)，是 xx0 時(shí)的無(wú)窮小。于是，0 ，0 ，當(dāng) 0 | x

18、x0 |時(shí) ， |， 即 | f ( x)A |， 因 此 ， A 為 f ( x) 當(dāng) xx0 時(shí) 的 極 限 ， 或lim f (x)A 。n x0二、無(wú)窮大如果當(dāng) xx0（或 x）時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的絕對(duì)值| f (x) |無(wú)限增大， 則稱函數(shù) f ( x) 為 xx0（或 x）時(shí)的無(wú)窮大。定義 2 設(shè)函數(shù) f ( x) 在 x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義（或 | x | 大于某一正數(shù)時(shí)有定義） 如果對(duì)于任意給定的正數(shù) M （不論它多么大） ，總存在正數(shù)（或正數(shù) X ），當(dāng) x 滿足 0 | x x0|（或 | x | X）時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值f (x) 滿足| f ( x) |M則說(shuō)函數(shù)f ( x

19、) 為 xx0 （或 x）時(shí)的無(wú)窮大。如果函數(shù)f (x) 為 xx0 （或x）時(shí)的無(wú)窮大，也可記為limf ( x)（或 limf ( x)）nx0x1n2x1例如：1為時(shí)的無(wú)窮大。時(shí)的無(wú)窮大；為 xx10，當(dāng) 0| xx0 |limf (x)：M0 ，時(shí)， f ( x)M；nx0limf ( x)：M0，X0，當(dāng) | x |X 時(shí)， f ( x)M 。n如果 limf (x)，則直線 xx0 是函數(shù) yf (x) 的圖形的鉛直漸近線；nx0如果 limf (x)A ，則直線 yA 是函數(shù) yf ( x) 的圖形的水平漸近線。n1定理 2在自變量的同一變化過(guò)程中，如果f (x) 為無(wú)窮大，則為

20、無(wú)窮小；反之，如果f ( x) 為無(wú)f (x)窮小，且f ( x)0 ，則1為無(wú)窮大。f (x)第四節(jié)極限運(yùn)算法則定理 1有限個(gè)無(wú)窮小的和也是無(wú)窮小。證明：以兩個(gè)無(wú)窮小的和為例：設(shè)及是 xx0 時(shí)的兩個(gè)無(wú)窮小，令。由于是 xx0 時(shí)無(wú)窮?。? ，1 0，當(dāng)0| xx0|1時(shí)， |；2又由于是 xx0 時(shí)無(wú)窮?。簩?duì)于0 ，20，當(dāng) 0| xx0 |2時(shí)， |；min1 ,2 ，則當(dāng) 02取| xx0 |時(shí)，0| x x0 |1 與 0| xx0| 2都成立，故 | |與 | |同時(shí)滿足，因此22|22即為 xx0 時(shí)的無(wú)窮小。定理 2有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小。推論 1 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是

21、無(wú)窮小。推論 2 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小。定理 3如果 lim f ( x)A ， lim g( x)B ，則(1)limf ( x)g( x)limf ( x)lim g(x)A B(2)limf ( x)g (x)limf ( x)lim g( x) AB(3)limf ( x)limf ( x)A( B0)g( x)limg( x)B證明：以 (2) 為例，由于 lim f ( x) A ，得 f ( x)A，為無(wú)窮??；又由于 lim g(x)B ，得g (x) B， 也為無(wú)窮小，因此f ( x) g( x) ( A) ( B)ABAB由定理與推論，得 AB為無(wú)窮小，故 A B 為

22、 f ( x)g ( x) 的極限。定理 3中的 (1)和 (2)可推廣到有限個(gè)的情況，即lim f (x) g( x) h( x)limf ( x) lim g(x)lim h( x)lim f (x) g (x) h(x)lim f (x) lim g (x) lim h(x)推論 1如果 limf ( x) 存在， c 為常數(shù)，則lim c f ( x)c limf ( x)推論 2如果 limf ( x) 存在， n 為正整數(shù)，則limf (x) nlim f (x) n將定理 3 應(yīng)用于數(shù)列的情況，得定理 4如果 lim xnA ， lim ynB ，則nn(1)lim ( xnyn

23、 )ABn(2)lim ( xnyn )ABnxnA(3)lim(yn0 , n1,2,且 B0 )ynBn例 1求 lim ( 2x23x2)x2例 2x31求 lim5x3x2 x 2對(duì)于多項(xiàng)式函數(shù)f ( x) a0x na xn 1an 1x an1有l(wèi)im f (x)lim (a0 x na1 x n 1an1 xan )xx0xx0a0(lim x) na1( lim x) n 1an 1lim x anxx0xx0x x0對(duì)于有理分式函數(shù)a0 x0 na1 x0n 1an 1 x0anf (x0 )F ( x)P(x)Q (x)其中 P( x) ， Q( x) 都是多項(xiàng)式，于是有l(wèi)im P( x)P( x0 ) ， lim Q( x)Q(x0 )xx0xx0因此，當(dāng) Q( x0 )0 時(shí)lim P(x)P( x)P(x0 )lim F ( x)limxx0F ( x0 )x x02xxx0 Q( x)lim Q(x)Q(x0 )例 33xx0求 lim5x4x1 x 2例 4求 limx 26x8x4x 235x2 4例 5求 lim3x36x28x7 x5x4a0 , 當(dāng)