高中數(shù)學(xué)排列教學(xué)案例

1、高中數(shù)學(xué)排列教學(xué)案例教學(xué)目標(biāo)(1) 正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡(jiǎn)單問題的所有排列;(2) 了解排列和排列數(shù)的意義,能根據(jù)具體的問題,寫出符合要求的排列;(3) 掌握排列數(shù)公式,并能根據(jù)具體的問題,寫出符合要求的排列數(shù);(4) 會(huì)分析與數(shù)字有關(guān)的排列問題,培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力;(5) 通過對(duì)排列應(yīng)用問題的學(xué)習(xí),讓學(xué)生通過對(duì)具體事例的觀察、歸納中找出規(guī)律,得出結(jié)論,以培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)分析本小節(jié)的重點(diǎn)是排列的定義、排列數(shù)及排列數(shù)的公式,并運(yùn)用這個(gè)公式去解決有關(guān)排列數(shù)的應(yīng)用問題。難點(diǎn)是導(dǎo)出排列數(shù)的公式和解有關(guān)排列的應(yīng)用題。突破重點(diǎn)、難點(diǎn)的關(guān)鍵是對(duì)加法原理和乘法

2、原理的掌握和運(yùn)用,并將這兩個(gè)原理的基本思想方法貫穿在解決排列應(yīng)用問題當(dāng)中。從n個(gè)不同元素中任取m(mwn)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)元素的一個(gè)排列.因此,兩個(gè)相同排列,當(dāng)且僅當(dāng)他們的元素完全相同,并且元素的排列順序也完全相同。排列數(shù)是指從n個(gè)不同元素中任取m(m<n)個(gè)元素的所有不同排列的種數(shù)，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能計(jì)算相應(yīng)的排列數(shù).排列與排列數(shù)是兩個(gè)概念,前者是具有m個(gè)元素的排列,后者是這種排列的不同種數(shù)從集合的角度看，從n個(gè)元素的有限集中取出m個(gè)組成的有序集,相當(dāng)于一個(gè)排列,而這種有序集的個(gè)數(shù),就是相應(yīng)的排列數(shù)。公式推導(dǎo)要注意緊扣乘法原

3、理,借助框圖的直視解釋來講解.要重點(diǎn)分析好的推導(dǎo)。排列的應(yīng)用題是本節(jié)教材的難點(diǎn),通過本節(jié)例題的分析,應(yīng)注意培養(yǎng)學(xué)生解決應(yīng)用問題的能力。在分析應(yīng)用題的解法時(shí),教材上先畫出框圖,然后分析逐次填入時(shí)的種數(shù),這樣解釋比較直觀,教學(xué)上要充分利用,要求學(xué)生作題時(shí)也應(yīng)盡量采用教學(xué)過程設(shè)計(jì)一、復(fù)習(xí)引入上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)基本原理,請(qǐng)大家完成以下兩題的練習(xí)1.書架上層放著50本不同的社會(huì)科學(xué)書,下層放著40本不同的自然科學(xué)的書。(1) 從中任取1本,有多少種取法?(2) 從中任取社會(huì)科學(xué)書與自然科學(xué)書各1本,有多少種不同的取法?2某農(nóng)場(chǎng)為了考察三個(gè)外地優(yōu)良品種A,B,C,計(jì)劃在甲、乙、丙、丁、戊共五種類型的土地

4、上分別進(jìn)行引種試驗(yàn),問共需安排多少個(gè)試驗(yàn)小區(qū)?找一同學(xué)談解答并說明怎樣思考的的過程第1(1)小題從書架上任取1本書,有兩類辦法,第一類辦法是從上層取社會(huì)科學(xué)書,可以從50本中任取1本,有50種方法;第二類辦法是從下層取自然科學(xué)書可以從40本中任取1本,有40種方法.根據(jù)加法原理,得到不同的取法種數(shù)是50+40=90。第(2)小題從書架上取社會(huì)科學(xué)、自然科學(xué)書各1本(共取出2本),可以分兩個(gè)步驟完成:第一步取一本社會(huì)科學(xué)書,第二步取一本自然科學(xué)書,根據(jù)乘法原理,得到不同的取法種數(shù)是：50X40=2000。第2題說,共有A,B,C三個(gè)優(yōu)良品種，而每個(gè)品種在甲類型土地上實(shí)驗(yàn)有三個(gè)小區(qū)，在乙類型的土地

5、上有三個(gè)小區(qū)所以共需3X5=15個(gè)實(shí)驗(yàn)小區(qū)。二、講授新課學(xué)習(xí)了兩個(gè)基本原理之后,現(xiàn)在我們繼續(xù)學(xué)習(xí)排列問題,這是我們本節(jié)討論的重點(diǎn).先從實(shí)例入手：1.北京、上海、廣州三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線,需要準(zhǔn)備多少種不同飛機(jī)票?由學(xué)生設(shè)計(jì)好方案并回答。(1) 用加法原理設(shè)計(jì)方案。首先確定起點(diǎn)站,如果北京是起點(diǎn)站,終點(diǎn)站是上?；驈V州,需要制2種飛機(jī)票,若起點(diǎn)站是上海,終點(diǎn)站是北京或廣州,又需制2種飛機(jī)票;若起點(diǎn)站是廣州,終點(diǎn)站是北京或上海,又需要2種飛機(jī)票,共需要2+2+2=6種飛機(jī)票.(2) 用乘法原理設(shè)計(jì)方案.首先確定起點(diǎn)站,在三個(gè)站中,任選一個(gè)站為起點(diǎn)站,有3種方法.即北京、上海、廣州任意一個(gè)城市為起

6、點(diǎn)站,當(dāng)選定起點(diǎn)站后,再確定終點(diǎn)站,由于已經(jīng)選了起點(diǎn)站,終點(diǎn)站只能在其余兩個(gè)站去選.那么,根據(jù)乘法原理,在三個(gè)民航站中,每次取兩個(gè),按起點(diǎn)站在前、終點(diǎn)站在后的順序排列不同方法共有3X2=6種。根據(jù)以上分析由學(xué)生(板演)寫出所有種飛機(jī)票。第二個(gè)實(shí)例,讓全體學(xué)生都參加設(shè)計(jì),把所有情況(包括每個(gè)位置情況)寫出來.由數(shù)字1,2,3,4可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?寫出這些所有的三位數(shù).根據(jù)乘法原理,從四個(gè)不同的數(shù)字中,每次取出三個(gè)排成三位數(shù)的方法共有4X3X2=24(個(gè)).請(qǐng)板演的學(xué)生談?wù)勗鯓酉氲?第一步,先確定百位上的數(shù)字，在1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字中任取一個(gè),有4種取法。第二步,確定十位上的

7、數(shù)字.當(dāng)百位上的數(shù)字確定以后,十位上的數(shù)字只能從余下的三個(gè)數(shù)字去取,有3種方法。第三步,確定個(gè)位上的數(shù)字.當(dāng)百位、十位上的數(shù)字都確定以后,個(gè)位上的數(shù)字只能從余下的兩個(gè)數(shù)字中去取,有2種方法。根據(jù)乘法原理,所以共有4X3X2=24種。下面由教師提問,學(xué)生回答下列問題(1) 以上我們討論了兩個(gè)實(shí)例,這兩個(gè)問題有什么共同的地方?都是從一些研究的對(duì)象之中取出某些研究的對(duì)象。(2) 取出的這些研究對(duì)象又做些什么?實(shí)質(zhì)上按著順序排成一排,交換不同的位置就是不同的情況。(3) 請(qǐng)大家看書，第X頁、第X行.我們把被取的對(duì)象叫做雙元素，如上面問題中的民航站、數(shù)字都是元素。上面第一個(gè)問題就是從3個(gè)不同的元素中,任

8、取2個(gè),然后按一定順序排成一列,求一共有多少種不同的排法,后來又寫出所有排法。第二個(gè)問題是從4個(gè)不同的元素中,任取3個(gè),然后按一定的順序排成一列,求一共有多少種不同的排法,并寫出所有的排法。給出排列定義請(qǐng)看課本，第x頁，第x行.一般地說，從n個(gè)不同的元素中，任取m(m<n)個(gè)元素(本章只研究被取出的元素各不相同的情況),按著一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。下面由教師提問,學(xué)生回答下列問題(1) 按著這個(gè)定義,結(jié)合上面的問題,請(qǐng)同學(xué)們談?wù)勈裁词窍嗤呐帕?什么是不同的排列?從排列的定義知道,如果兩個(gè)排列相同,不僅這兩個(gè)排列的元素必須完全相同而且排列的順序(即

9、元素所在的位置)也必須相同。兩個(gè)條件中,只要有一個(gè)條件不符合,就是不同的排列.如第一個(gè)問題中,北京廣州,上海廣州是兩個(gè)排列,第三個(gè)問題中,213與423也是兩個(gè)排列.再如第一個(gè)問題中,北京廣州,廣州北京;第二個(gè)問題中,231和213雖然元素完全相同,但排列順序不同,也是兩個(gè)排列.(2) 還需要搞清楚一個(gè)問題,“一個(gè)排列”是不是一個(gè)數(shù)?生:“一個(gè)排列”不應(yīng)當(dāng)是一個(gè)數(shù),而應(yīng)當(dāng)指一件具體的事。如飛機(jī)票“北京廣州”是一個(gè)排列,“紅黃綠”是一種信號(hào),也是一個(gè)排列.如果問飛機(jī)票有多少種?能表示出多少種信號(hào).只問種數(shù),不用把所有情況羅列出來,才是一個(gè)數(shù)。三、課堂練習(xí)大家思考,下面的排列問題怎樣解?問題：有四

10、張卡片,每張分別寫著數(shù)碼1,2,3,4.有四個(gè)空箱,分別寫著號(hào)碼1,2,3,4.把卡片放到空箱內(nèi),每箱必須并且只能放一張,而且卡片數(shù)碼與箱子號(hào)碼必須不一致,問有多少種放法?分析:這是從四張卡片中取出4張,分別放在四個(gè)位置上,只要交換卡片位置,就是不同的放法,是個(gè)附有條件的排列問題.解法是:第一步把數(shù)碼卡片四張中2,3,4三張任選一個(gè)放在第1空箱。第二步從余下的三張卡片中任選符合條件的一張放在第2空箱。第三步從余下的兩張卡片中任選符合條件的一張放在第3空箱。第四步把最后符合條件的一張放在第四空箱.具體排法,用下面圖表表示:所以,共有9種放法。四、課外作業(yè)五、教學(xué)反思 在講解排列數(shù)的概念時(shí),要注意

11、區(qū)分“排列數(shù)”與“一個(gè)排列”這兩個(gè)概念.一個(gè)排列是指“從n個(gè)不同元素中，任取出m個(gè)元素,按照一定的順序擺成一排”它不是一個(gè)數(shù),而是具體的一件事;排列數(shù)是指“從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)”，它是一個(gè)數(shù).例如，從3個(gè)元素a,b,c中每次取出2個(gè)元素，按照一定的順序排成一排,有如下幾種:ab,ac,ba,bc,ca,cb,其中每一種都叫一個(gè)排列，共有6種,而數(shù)字6就是排列數(shù)，符號(hào)am表示排列 排列的定義中包含兩個(gè)基本內(nèi)容,一是“取出元素”,二是“按一定順序排列”。從定義知,只有當(dāng)元素完全相同,并且元素排列的順序也完全相同時(shí),才是同一個(gè)排列,元素完全不同,或元素部分相同或元素完全相同而

12、順序不同的排列,都不是同一排列。叫不同排列。在定義中“一定順序”就是說與位置有關(guān),在實(shí)際問題中,要由具體問題的性質(zhì)和條件來決定,這一點(diǎn)要特別注意,這也是與后面學(xué)習(xí)的組合的根本區(qū)別.在排列的定義中，如果a：有的書上叫選排列，如果A：，此時(shí)叫全排列.要特別注意,不加特殊說明,本章不研究重復(fù)排列問題. 關(guān)于排列數(shù)公式的推導(dǎo)的教學(xué).公式推導(dǎo)要注意緊扣乘法原理,借助框圖的直視解釋來講解課本上用的是不完全歸納法，先推導(dǎo)，,再推廣到，這樣由特殊到一般,由具體到抽象的講法,學(xué)生是不難理解的.導(dǎo)出公式后要分析這個(gè)公式的構(gòu)成特點(diǎn),以便幫助學(xué)生正確地記憶公式,防止學(xué)生在“n”、“m”比較復(fù)雜的時(shí)候把公式寫錯(cuò).這個(gè)公式的特點(diǎn)可見課本一段話：“其中，公式右邊第一個(gè)因數(shù)是n,后面每個(gè)因數(shù)都比