高等數(shù)學(xué)7-習(xí)題課

1、良鄉(xiāng)1-1074月7日（周六）上午：9：00-12：00下午：1：00-2：004課時(shí)毛京中高數(shù)補(bǔ)考前輔導(dǎo)課安排高數(shù)補(bǔ)考前輔導(dǎo)課安排多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 習(xí)題課習(xí)題課平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集和區(qū)域和區(qū)域多元函數(shù)多元函數(shù)的極限的極限多元函數(shù)多元函數(shù)連續(xù)的概念連續(xù)的概念極極 限限 運(yùn)運(yùn) 算算多元連續(xù)函數(shù)多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容全微分全微分的應(yīng)用的應(yīng)用高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則全微分形式全微分形式的不變性的不變性微分法在微分法在幾何上的應(yīng)用幾何上的應(yīng)用方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值全微

2、分全微分概念概念偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)概念概念問(wèn)題問(wèn)題：求極限，判斷：求極限，判斷函數(shù)極限存在性函數(shù)極限存在性多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限存在性存在性定義，夾逼定理定義，夾逼定理不存在不存在特殊路徑、兩種方式特殊路徑、兩種方式求法求法運(yùn)算法則、定義、夾逼定理運(yùn)算法則、定義、夾逼定理 消去零因子、化成一元極限等消去零因子、化成一元極限等yxyxyx00lim解法101lim1100 xyyx解法2 令, xky 01lim0kkxx原式此法第一步排除了沿坐標(biāo)軸趨于原點(diǎn)的情況, 此法排除了沿曲線趨于原點(diǎn)的情況. 時(shí)例如xxy21lim2230 xxxx原式此時(shí)極限為 1 .第二步 未考慮分母變化的所有情況,

3、 , 1,111xyxxy時(shí)例如例例1. 討論二重極限時(shí), 下列算法是否正確是否正確?yxyxyx00lim解法3 令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式此法忽略了 的任意性,時(shí)當(dāng)4, 0r)sin(2sincossincossincos4rr極限不存在 !由以上分析可見, 三種解法都不對(duì), 因?yàn)槎疾荒鼙ＷC自變量在定義域內(nèi)以任意方式趨于原點(diǎn) .特別要注意, 在某些情況下可以利用極坐標(biāo)求極限, 但要注意在定義域內(nèi) r , 的變化應(yīng)該是任意的. 本題極限實(shí)際上不存在 .yxyxyx00lim問(wèn)題：?jiǎn)栴}：函數(shù)連續(xù)性、函數(shù)連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)存在性、可微偏導(dǎo)數(shù)存在性、可微性的判

4、別性的判別例例. .討論討論221arctan,( , )(0,0)( , )0( , )(0,0)xx yf x yxyx y 在點(diǎn)在點(diǎn)(0,0)處的連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)的存在性及可微性處的連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)的存在性及可微性. .解解由于當(dāng)( , )(0,0)x y 221|arctan|2xy時(shí)，故00lim( , )xyf x y22001lim arctanxyxxy0(0,0)f所以( , )(0,0).f x y函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)221arctan,( , )(0,0)( , )0( , )(0,0)xx yf x yxyx y 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)(0,0)xf 0( ,0)(0,0)limxf xfx

5、2011lim( arctan)xxxx201limarctanxx2(0,0)yf 0(0, )(0,0)limyfyfy00limyy0可微性可微性 (0,0)在點(diǎn)處，(0,0)(0,0)xyzfxfy 221arctan()()xxy 2x221(arctan)2()()xxy (0,0)(0,0)xyzfxfy 221(arctan)2()()xxy 因此(0,0)(0,0)xyzfxfy 1(arctan)2x由于01lim(arctan)20故0(0,0)(0,0)limxyzfxfy 0( , )(0,0)f x y因此函數(shù)在點(diǎn)可微.二、多元函數(shù)微分法二、多元函數(shù)微分法顯式結(jié)構(gòu)顯

6、式結(jié)構(gòu)隱式結(jié)構(gòu)隱式結(jié)構(gòu)1. 1. 分析復(fù)合結(jié)構(gòu)分析復(fù)合結(jié)構(gòu)( (畫變量關(guān)系圖畫變量關(guān)系圖) )自變量個(gè)數(shù)自變量個(gè)數(shù) = = 變量總個(gè)數(shù)變量總個(gè)數(shù) 方程總個(gè)數(shù)方程總個(gè)數(shù)自變量與因變量由所求對(duì)象判定自變量與因變量由所求對(duì)象判定2. 2. 正確使用求導(dǎo)法則正確使用求導(dǎo)法則“鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t”注意正確使用求導(dǎo)符號(hào)注意正確使用求導(dǎo)符號(hào)3. 3. 利用一階微分形式不變性利用一階微分形式不變性問(wèn)題：求偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)問(wèn)題：求偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)( (多元復(fù)合函數(shù)、隱含數(shù)求導(dǎo)方法多元復(fù)合函數(shù)、隱含數(shù)求導(dǎo)方法) )例例2 2解解.,)(),(2223yxzyzyzfxyxyfxz 求求，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二

7、階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè))1(213xfxfxyz ,2214fxfx )1()1(222121211422xfxfxxfxfxyz ,222123115fxfxfx xyzyxz 22)(2)(4222212221211413xyfyfxxfxyfyfxfx )(2214fxfxx .2422114213f yf yxfxfx ) )1 , 1(, 1() 1 (ff1)(dd3xxx1)1 , 1 ( f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf ),(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 1x 351, 1)1 , 1(f,),(,()(xxfxfx ,2) 1 , 1 (xf求.

8、1)(dd3xxx),(yxfz 在點(diǎn))1 , 1(處可微 , 且設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),3) 1 , 1 (yf解解: 由題設(shè)23)32( 解解., 0),(,sin, 0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) ,dxdzzfdxdyyfxfdxdu ,cos xdxdy 顯顯然然,dxdz求求得得的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩邊求兩邊求對(duì)對(duì),0),(2xzexy ,02321 dxdzdxdyexy .)cos2(1cos2sin13zfxexyfxxfdxdux 故故于是可得于是可得,),cos2(12sin13 xexdxdzx( ,)( , , )k

9、f tx ty tzt f x y z如果函數(shù)關(guān)系式恒滿足則稱此函( , , )kf x y z試證: 次齊次函數(shù)滿足關(guān)系式( , , )fffxyzkf x y zxyz證,utx vty wtz記方程t兩邊對(duì) 求導(dǎo)得1kfffxyzktfuvwt兩邊同乘以 得kffftxtytzkt fuvw( , ,)kf u v w即( , ,)fffuvwkf u v wuvw, , ,.x y zu v w用分別替換，即得結(jié)論k數(shù)為 次齊次函數(shù)，( ,)( , , )kf tx ty tzt f x y z三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用1 1.在幾何中的應(yīng)用在幾何中的應(yīng)用求曲線的

10、切線及法平面求曲線的切線及法平面 (關(guān)鍵關(guān)鍵: : 尋求切向量尋求切向量) 求曲面的切平面及法線求曲面的切平面及法線 (關(guān)鍵關(guān)鍵: : 尋求法向量尋求法向量) 2. 2. 極值與最值問(wèn)題極值與最值問(wèn)題 極值的必要條件與充分條件極值的必要條件與充分條件 求條件極值的方法求條件極值的方法 ( (消元法消元法, , 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法) ) 求解最值問(wèn)題求解最值問(wèn)題3. 3. 在微分方程變形等中的應(yīng)用在微分方程變形等中的應(yīng)用1.2221022273270 xyzxyzxyz過(guò)直線作曲面的切平面，求此切平面的方程.解曲面切平面的法向量為 6 ,2 , 2 ,xyz通過(guò)已知直線的平面束為(10

11、2227)()0 xyzxyz即(10)(2)(2)27xyz000(,),xy z設(shè)切平面的切點(diǎn)為則有00010(2)(2)622xyz222000327xyz000(10)(2)(2)27xyz解得119. 或故所求平面方程為927xyz或91717270 xyz00010(2)(2)622xyz222000327xyz000(10)(2)(2)27xyz3.2222(0).xyzxyyza a已知橢球面(1).z求橢球面上 坐標(biāo)為最大與最小的點(diǎn)(2).xOy求橢球面在平面上投影區(qū)域的邊界曲線解解 由于橢球面是一封閉曲面， 因此橢球面上z坐標(biāo)此最值即為橢球面方程所最大與最小的點(diǎn)一定存在.確

12、定的隱函數(shù)的最大值與最小值.方程兩邊分別關(guān)于xy及 求偏導(dǎo)，得220zzxzyyxx220zzyzxyzyy220zzxzyyxx220zzyzxyzyy令0,0,zzxy得2020 xyyxz解得2 ,3yx zx 代入橢球面方程得6ax 123(,),666aaaP223(,),666aaaP故得兩點(diǎn)由于橢球面確實(shí)存在z坐標(biāo)的最大與最小的點(diǎn)，因此12PP點(diǎn) 與 即為所求.2222(0).xyzxyyza a已知橢球面(2).xOy求橢球面在平面上投影區(qū)域的邊界曲線設(shè)S是橢球面對(duì)于xOy面的投影柱面，S與橢球面切于C則在曲線 上，兩曲面的法相量,C曲線相同，為2,2,2nxyyxzzynk由

13、，知0 010n， ，即20zyC因此曲線 的方程為222220 xyzxyyzazyzS消去 即得投影柱面 的方程22234xyxya故所求投影區(qū)域的邊界曲線為22234xyxya0z 例例14.設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為xoy坐標(biāo)面其底部所在的區(qū)域?yàn)?2( , )|75Dx yxyxy小山的高度函數(shù)為22( , )75.h x yxyxy00(1)(,)( , )M xyDh x y設(shè)為區(qū)域 上一點(diǎn)，問(wèn)在該點(diǎn)沿平面 上什么方向的方向?qū)?shù)最大？若記此方向?qū)?shù)的最解000( , )(,)h x yMxy在點(diǎn)沿梯度方向的方向?qū)?shù)最大，且最大值等于梯度的模， 由于( , )gradh x

14、y 2, 2xyyx0000(,),(,).g xyg xy大值為試寫出的表達(dá)式故0000(,) |(,)|g xygradh xy220000( 2)( 2)xyyx 220000558xyx y22000000(,)558g xyxyx y(2) 現(xiàn)在此山開展攀巖活動(dòng)，需在山腳尋找上山坡度最大點(diǎn)作為起點(diǎn)，試確定攀登起點(diǎn)的位置.22( , )|75Dx yxyxy解解 由題意知，要在底部區(qū)域D的邊界線2275xyxy上尋找使( , )g x y達(dá)到最大的點(diǎn).令22( , )558f x yxyxy，由題意，只需在約束條件2275xyxy( , ).f x y下求出的最大值點(diǎn)設(shè)2222( ,

15、)558(75)F x yxyxyxyxy 108(2)0 xFxyxy 108(2)0yFyxyx 2275xyxy解得5 35 3xy5 35 3xy 108(2)0 xFxyxy 108(2)0yFyxyx 2275xyxy55xy 55xy 由于(5 3,5 3)( 5 3, 5 3)150ff(5, 5)( 5,5)450ff(5, 5)( 5,5)與故皆可作為攀登起點(diǎn).解解?,),(0000222222模模此方向?qū)?shù)等于梯度的此方向?qū)?shù)等于梯度的具有什么關(guān)系時(shí)具有什么關(guān)系時(shí)的方向?qū)?shù)，問(wèn)的方向?qū)?shù)，問(wèn)的向徑的向徑處沿點(diǎn)處沿點(diǎn)在點(diǎn)在點(diǎn)求求cbarzyxMczbyaxu 例例5 5 ,

16、20202000000zyxrzyxr .cos,cos,cos000000rzryrx 處的方向?qū)?shù)為處的方向?qū)?shù)為在點(diǎn)在點(diǎn) M coscoscos0MMMMzuyuxuru 002000200020222rzczrybyrxax )(22222220000czbyaxr .),(2202020000zyxzyxu 處處的的梯梯度度為為在在點(diǎn)點(diǎn) MkzujyuixugraduMMMM ,222202020kczjbyiax ,2424242000czbyaxgraduM ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)cba ,22222000zyxagraduM ,2)(2202022202022222000000zyxazy

17、xzyxaruM ,0MMgraduru .,模模此方向?qū)?shù)等于梯度的此方向?qū)?shù)等于梯度的相等時(shí)相等時(shí)故當(dāng)故當(dāng)cba之間的最短距離之間的最短距離與平面與平面求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面2222 zyxyxz例例6 6解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距離為的距離為到平面到平面則則上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)為拋物面為拋物面設(shè)設(shè)分析分析:最最小小即即且且使使?jié)M滿足足，使使得得本本題題變變?yōu)闉榍笄笠灰稽c(diǎn)點(diǎn))22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令221(22)20,(1)31(22)20,(2)31(22)( 2)0,(3)3,(4)xyzFxyzxFxyzyFxyzzxy .81,41,41 zyx解此方程組得解此方程組得得得.647241414161min d),81,41,41(即得唯一駐點(diǎn)即得唯一駐點(diǎn)處處取取得得最最小小值值駐駐點(diǎn)點(diǎn)，故故必必在在一一定定存存在在，且且有有唯唯一一根根據(jù)據(jù)題題意意距距離離的的最最小小值值)81,41,41(例例7 設(shè)設(shè) y = f ( x ,t ) 而而 t 是由是由 F (x ,y ,t) 確定的確定